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第21讲 两角和、差及倍角公式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，两角和与差的正
弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两角和、差及二倍角公式
2.两角和与差的正切公式的常用变形
.
3.辅助角公式
___________________，其中 ，
.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对任意的 ，， 都成立.( )
×
[解析] 两角和的正切公式的适用条件是 ， ， 均不为
且 .
（2）对任意的， .( )
√
[解析] 二倍角的正弦公式对任意角都适用.
（3）存在实数 ， ，使等式 成立.( )
√
[解析] 当，或， 时等式成立.
题组二 教材改编
1.已知 ， 都是锐角,,,则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ， 都是锐角，， ，
所以 ，
，
所以 .故选B.
2.已知点是角 的终边上一点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点是角 的终边上一点,所以 ,，
所以 .故选A.
√
3.若 ， 均为锐角，且，则 的最小值为
__________.
,即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
，
又 ，，
，即 的最小值为 .
探究点一 三角函数公式的直接应用
例1（1）[2025· 全国二卷]已知 ， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：, ,
又 ， ，
则 .
√
方法二：由 可知， ,
,
,
.
（2）[2025·湖北T8联盟模拟]若， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，所以 ，
即 ，
又 ，所以， ，
所以 ，
所以 .故选B.
总结反思
在使用和、差、倍角的三角函数公式时,要记住公式的结构特征和符
号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角转换
的目的.
【对点演练1】（1）已知,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以 ，
故 .
故选D.
√
（2）[2026·河北沧州联考]已知角 , 满足
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
得 ，
整理得 ，
则 .故选B.
√
探究点二 三角函数公式的逆用及变形
例2（1）[2025·江西宜春模拟]化简
( )
A. B. C.1 D.
[解析] 易知
,
由诱导公式得 ，
则原式可化为 .故选D.
√
（2）[2026·河北沧州模拟] 的值为
( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选A.
√
（3）（多选题）下列化简结果正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，易知
，A错误；
对于B,易知 ，B正确；
对于C,易知
，C错误；
对于D，，D正确.故选 .
总结反思
在利用和、差、倍角的三角函数公式进行恒等变形时,要熟悉公式的
逆用及变形,增强从正向思维向逆向思维转化的能力.
【对点演练2】（1）（多选题）下列式子中成立的有( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A选项， ，A错误；
对于B选项，因为 ，
所以 ，B正确；
对于C选项, ，
C正确；
对于D选项, ,D正确.
故选 .
（2）已知，则 ____.
[解析] 因为 ，
即，所以 .
（3）[2026·浙江宁波模拟] 在中， ，
，则 ___.
9
[解析] 由题意知
，
所以，即 .
探究点三 角的变换问题
例3（1）[2025·广东深圳二模]若， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，
因此
.故选A.
√
（2）[2025·四川雅安联考]已知， ，则
( )
A. B.7 C. D.
[解析]
.
故选C.
√
总结反思
1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.
（1）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和
或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（2）当“已知角”有两个时，“所求角”一般可表示为两个“已知角”的
和或差的形式，再用和角或差角公式求解.
2.破解此类题的关键是会观察已知角与所求角的特征,并熟悉常见的
角的变换:,, ,
, ,
等.
【对点演练3】（1）[2025·安徽蚌埠联考]已知 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
又因为 ，所以 ，
所以
.故选A.
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得，
，
所以
.故选D.
√
【备选理由】例1是2024年新课标Ⅱ卷第13题的变形；
例1 ［配合探究点二使用］[2025·辽宁锦州期末] 已知
，，则 的值为__.
[解析] 由， ，
得 ，
所以 .
例2 ［配合探究点三使用］已知， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得
，
所以 ，
故选D.
√
【备选理由】例2属于配凑角问题，与探究点三呼应，但难度有所增加；
例3 ［配合探究点一、三使用］若 ， 为锐角， ，
，则 ( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3综合性较强,可以让我们进一步认识到知识之间的联系，
便于形成知识网络.
[解析] 因为，所以，由 ，
可得，则 .
又因为，所以，
由 ，可得，
所以
．故选D.
例4 ［配合探究点一、二使用］（多选题）已知锐角 ， 满足
， ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
【备选理由】例4综合性较强,可以让我们进一步认识到知识之间的联系,
便于形成知识网络.
[解析] 对于A,由 ，得,
即 ，所以 ，
所以 ，
所以 或 （舍去），故A正确；
对于B，由,得 ，
即 ,所以 ，
故B正确；
对于C，由A选项得 ，
所以,即 ，
又，所以舍去 ，故C错误；
对于D，由C选项知， ，故D正确.故选ABD.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
得 .故选B.
√
2.[2026·江苏苏州调研]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，，及 ，
可得，，所以 ，
则 ，故选B.
√
3.[2025·广东揭阳模拟]已知为锐角,且 , 则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 为锐角，,所以 ，
又，所以，
则
,故选B.
√
4.若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
可得 ，
则 ，则 ，故选C.
√
5.[2026·浙江宁波模拟]已知 为锐角，且
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为 是锐角，所以，
则 ，故选B.
√
6.已知 ，，则 ( )
A.3 B.2 C. D.
[解析] 由 ，得 ，
由，得 ，
即，所以 ，
由①②得,化简得,所以 .故选C.
√
7.（多选题）已知 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题可知 ，故选项A正确；
，故选项B不正确；
，故选项C正确；
,即 ,故选项D正确.
故选 .
8.[2025·河北邯郸模拟] 已知，则 ____.
[解析] 由，解得 ，
由,，
解得 或故 .
9.[2026·重庆调研] 设，已知 ,
，则 ___.
[解析] 由 可得 ，
又，即 ，
所以，由题易知，所以 ，
因为，所以 ，
故 .
10.[2026·河北承德联考]
（1）若，，求 的值.
解：由， ，
可得 ，
故 ，
即，解得 .
（2）已知 ,，， ，求
的值.
解：因为 ,，所以，
又 ,所以 .
因为，，
所以 ，
所以
.
◆ 综合提升 ◆
11.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，
若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间
的劣弧对应的圆心角为 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知, ,所以 ，
因为
，
即，且 ，
所以 .故选A.
12.（多选题）[2026·湖北宜昌联考]已知 ,
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由 ，
且，得 ，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，
故D正确.故选 .
13.已知，，则 __.
[解析] 因为 ，
所以 ，
又 ，
所以，解得 ，
故 ，
所以 .
14.已知， .
（1）求 ， 的值；
解：由 ，
，
解得， .
（2）求 的值；
解：
.
（3）若 ， 均为锐角，且，求 的值.
解：由 为锐角，且，得 .
由,得，
因为 为锐角,所以,所以, ，
由，，得
， ，
所以
.
【知识聚焦】1.

3.
【课前演练】 （1）× （2）√ （3）√ 1. B 2. A 3.
课堂考点探究
例1（1）D （2）B 【对点演练1】（1）D （2）B
例2（1）D （2）A （3）BD 【对点演练2】（1）BCD （2） （3）9
例3（1）A （2）C 【对点演练3】（1）A （2）D
教师备用习题
例1 例2 D 例3 D 例4 ABD
夯实基础
1. B 2. B 3. B 4. C 5. B 6. C 7. ACD 8. 9.
10.（1）< （2）
综合提升
11. A 12. ACD 13. 14.（1），.
（2） （3）<第21讲　两角和、差及倍角公式
【备选理由】 例1是2024年新课标Ⅱ卷第13题的变形;例2属于配凑角问题,与探究点三呼应,但难度有所增加;例3,4综合性较强,可以让我们进一步认识到知识之间的联系,便于形成知识网络.
1 [配合探究点二使用] [2025·辽宁锦州期末] 已知tan α+tan β=4,tan(α+β)=-,则的值为 　.
[解析] 由tan α+tan β=4,tan(α+β)==-,得tan αtan β=7,
所以====.
2 [配合探究点三使用] 已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=1,则sin 4β= ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
[解析] 由题意得tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]===,所以sin 4β=2sin 2βcos 2β====,故选D.
3 [配合探究点一、三使用] 若α,β为锐角,cos=,cos=,则cos= ( D )
A. B.-
C.- D.
[解析] 因为0<α<,所以<+α<,由cos=>0,可得<α+<,则sin==.又因为0<β<,所以<+<,由cos=,可得sin==,所以cos=cos=coscos+sinsin=×+× =.故选D.
4 [配合探究点一、二使用] (多选题)已知锐角α,β满足=,++=2,则 ( ABD )
A.α+2β=π B.tan(α+β)=-2
C.sin α= D.tan α∶tan β=2∶3
[解析] 对于A,由=,得=,即=,所以sin αcos β=sin β-cos αsin β,所以sin β=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β),所以β+α+β=α+2β=π或β=α+β(舍去),故A正确;对于B,由++=2,得+=2,即tan α+tan β=-2(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==-2,故B正确;对于C,由A选项得tan β=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=2,所以tan α=tan[(α+β)-β]===,即=,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=,故C错误;对于D,由C选项知,tan α∶tan β=∶2=2∶3,故D正确.故选ABD.

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