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第22讲　简单的三角恒等变换
【备选理由】 例1(1)首先利用三角恒等变换化简,转化成同名三角函数,然后再利用函数单调性比较大小,综合性较强;例1(2)结合三角恒等变换考查给值求值问题;例2综合考查三角函数式的求值问题,意在考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
1 [配合探究点一、二、三使用] (1)若a=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,d=(cos 80°-2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a>b>d>c B.b>a>d>c
C.d>a>b>c D.c>a>d>b
(2)[2026·江西新余模拟] 已知α,β∈,cos2α-cos2β=,cos(α+β)=,则tan= ( A )
A.- B.
C.3 D.-3
[解析] (1)由题知a=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°=-sin 40°sin 38°+cos 40°cos 38°=cos(40°+38°)=cos 78°,b=(sin 56°-cos 56°)=sin 45°sin 56°-cos 45°cos 56°=-cos(45°+56°)=-cos 101°=cos 79°,c===cos240°30'-sin240°30'=cos 81°,d=(cos 80°-2cos250°+1)=(cos 80°-cos 100°)=(cos 80°+cos 80°)=cos 80°.由余弦函数y=cos x的单调性及78°<79°<80°<81°,
得cos 78°>cos 79°>cos 80°>cos 81°,即a>b>d>c.故选A.
(2)cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β)={cos [(α+β)+(α-β)]-cos [(α+β)-(α-β)]}=-sin(α+β)sin(α-β)=,因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,故sin(α-β)=-,又α,β∈,所以α-β∈,所以cos(α-β)=,所以tan==-,故选A.
2 [配合探究点二、三使用] (1)[2026·湖北武汉质检] 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常?泛的应用.黄金分割比t=≈0.618,现给出三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cos α和二倍角公式sin 2α=2sin αcos α,则下列t与sin 18°的关系式中正确的为 ( B )
A.t=sin 18° B.t=2sin 18°
C.t=sin 18° D.t=4sin 18°
(2)(多选题)[2026·江苏镇江质检] 下列等式成立的是 ( AC )
A.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2
B.=cos 2
C.4sin 18°cos 36°=1
D.-=1
(3)(多选题)[2025·江苏南通调研] 已知α∈,若sin=,则下列结论正确的是 ( ABD )
A.cos α= B.sin 2α=
C.cos 2α= D.sin α+cos α=
[解析] (1)因为cos 54°=sin 36°,所以cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°,则cos 3β=sin 2β,又cos 3β=4cos3β-3cos β,sin 2β=2sin βcos β,所以4cos3β-3cos β=2sin βcos β,因为cos β≠0,所以4cos2β-3=2sin β,即4(1-sin2β)-3=2sin β,整理得4sin2β+2sin β-1=0,解得sin β=,因为sin 18°>0,所以sin 18°=,故t==2sin 18°.故选B.
(2)对于A,(1+tan 18°)(1+tan 27°)=[1+tan(45°-27°)](1+tan 27°)=(1+tan 27°)=(1+tan 27°)=2,故A中等式成立;对于B,因为<2<π,所以==-cos 2,故B中等式不成立;对于C,4sin 18°cos 36°=====1,故C中等式成立;对于D,-===4,故D中等式不成立.故选AC.
(3)因为α∈,所以α-∈,又sin=,所以cos==,所以cos α=cos=coscos-sinsin=×-×=,故A正确;cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,故C错误;因为cos α=,α∈,所以sin α==,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,故B正确;sin α+cos α=+=,故D正确.故选ABD.(共82张PPT)
第22讲 简单的三角恒等变换
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余
弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化
积、半角公式,这三组公式不要求记忆）.
◆ 知识聚焦 ◆
1.半角公式
（1） .
（2） .
（3） .
符号由 的终边所在象限决定.
2.常用的三角公式
（1）_ ______, ________.（升幂公式）
（2） _ ______________.（升幂公式）
（3）,_ ______, ________.（万能公式）
（4）半角正切公式的有理化
.
3.三角恒等变换的基本技巧
（1）变换函数名称:使用诱导公式.
（2）升幂、降幂:使用倍角（半角）公式.
（3）常数代换:如 .
（4）变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）半角公式对任意角都适用.( )
×
[解析] 当 , 时，半角的正切公式不适用.
（2） .( )
×
[解析] ,使用二倍角公式时要注意“二倍”的含义.
（3） .( )
×
[解析] ，
使用辅助角公式解决问题时要熟练掌握两角和、差的正弦、余弦公式的逆用.
题组二 教材改编
1.已知,则 ( )
A. B. C. D.1
[解析]
,故选D.
√
2. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
3.已知 ,且 是第四象限角，则 _ ____.
[解析] 由 是第四象限角，得 是第二或第四象限角，
则 .
√
探究点一 三角函数式的化简
例1（1）若，则化简 的结果是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
因为，所以，
故, ，,
故,，
进而
，故选D.
（2）[2026·湖南衡阳期末]已知,, ，
，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以 ，
则 ，
因为,,,所以,即 ，故选B.
总结反思
三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、
降幂与升幂.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数
尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.
【对点演练1】（1）化简 的结果为( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 ，故选B.
√
（2）（多选题）已知，且 ，
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
，B选项正确；
，A选项错误；
，C选项正确；
，
，， ，D选项错误.故选 .
探究点二 三角函数式的求值
题型1 给值求值
例2（1）[2026·陕西咸阳模拟]已知，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得 .
故选C.
（2）若,，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
因为 ,所以,所以 ，
所以 .故选C.
√
题型2 给角求值
例3（1）化简求值： _ __.
[解析]
.
（2） ____.
[解析] .
题型3 给值求角
例4（1）[2026·江苏连云港期中]已知 ， 是方程
的两个根，且 ,，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得
则，
因为 , ，所以 ，故 .故选C.
√
（2）若，，且， ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，可得，
因为 ，所以.
又，所以 ，
因为,所以 ，
故
，
因为 ，所以 .故选B.
总结反思
1.给值求值
是指已知某个角的三角函数值（或三角函数式的值）,求与该角相关
的其他三角函数值（或三角函数式的值）的问题,解题关键是观察已
知角与待求角的特征,合理“变角”,使角相同或具有某种关系,即可利用
和、差、倍角公式进行求解.
2.给角求值
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其
变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
3.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:
（1）已知正切函数值,则选正切函数.
（2）已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是
,则选正弦、余弦函数皆可;若角的范围是 ,则选余弦函数较
好;若角的范围是 ,则选正弦函数较好.这样选,主要是避免出现
多值对应.
【对点演练2】（1）[2026·山东烟台期中]若 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为，所以 ，故选B.
√
（2）[2025·河北石家庄期末]
( )
A.1 B.2 C. D.
√
[解析] ，
同理可得 ，
则
. 故选D.
（3）已知 ,，且, ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,，且,，
所以 , , 所以,, ，
所以 ，
因为，所以 ，故选A.
√
（4）已知，则 的值为_ ___.
[解析] 因为，所以 ，
所以
.
探究点三 三角恒等变换的综合应用
例5（1）[2025·云南曲靖质检]在扇形 中，
以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标
系，若，，为 的中
点，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为， ，所以 ，
.
因为 ，，
所以 ，
则 .
根据半角公式得, , .
由题可知，设 ，
则 ，
，
所以 .故选B.
（2）[2026·江西南昌模拟] 已知
，若
对任意的恒成立，则 的取值
范围是________.
，
所以 对任意的恒成立，
因为，所以 ，所以对任意的恒成立，
则只需要 即可.
设，令, ，
因为在上单调递减，
所以当时， 取得最大值5，所以，所以的取值范围是 .
总结反思
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其
是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
（2）形如的式子可化为
，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与其图象对
称性.
【对点演练3】（1）如图，在扇形中，，，
是弧上的动点，矩形 内接于扇形，则下列说法正确的是
( )
A.当时，矩形 为正方形
B.当 时，
C.面积的最大值为
D.矩形面积的最大值为
√
[解析] 对于A，因为， ，
所以 ， ，
则 ，则 ，
故A错误；
对于B,当时, , , ，
则 ，故B错误；
对于C，由B选项知 , ，
则 ，
因为，所以，
故当 ，即时，取得最大值 ，
故C错误；
对于D，由B选项知 ， ，
则
，
因为 ，所以，
故当，即 时， 取得最大值 ，
故D正确.故选D.
（2）[2025·山东淄博联考] 已知向量， ，
，且，则 ___.
3
[解析] 由，，，及 ，
可得 ，所以，所以 .
【备选理由】例1（1）首先利用三角恒等变换化简，转化成同名三
角函数，然后再利用函数单调性比较大小，综合性较强；
例1 ［配合探究点一、二、三使用］
（1）若 ，
， ，
，则，，， 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题知
，
，
，
.
由余弦函数 的单调性及 ,
得 ，即 .
故选A.
（2）[2026·江西新余模拟]已知 ,,, ,
，则 ( )
A. B. C.3 D.
√
【备选理由】例1（2）结合三角恒等变换考查给值求值问题；
[解析] ，
因为, ,，所以,
因为 ，所以，故，
又 ,, ，所以,，所以 ，
所以 ，故选A.
例2 ［配合探究点二、三使用］（1）[2026·湖北武汉质检]著名数学家
华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在
生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比 ，
现给出三倍角公式 和二倍角公式
,则下列与 的关系式中正确的为( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例2综合考查三角函数式的求值问题,意在考查逻辑推理
和数学运算的核心素养.
[解析] 因为，所以 ，
令，则,
又, ,
所以 ，
因为，所以,
即 ，整理得，
解得 ，
因为,所以，故.故选B.
（2）（多选题）[2026·江苏镇江质检]下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，
，故A中等式成立；
对于B，因为 ，所以，
故B中等式不成立；
对于C，
，故C中等式成立；
对于D， ，
故D中等式不成立.故选 .
（3）（多选题）[2025·江苏南通调研]已知, ，若
，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为,，所以,，
又 ，所以，
所以 ，故A正确；
，故C错误；
因为，,，所以 ，
所以 ，故B正确；
，故D正确.故选 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.化简： ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
2.已知，则 ( )
A.2 B.1 C. D.
[解析] ，故 ，
可得 ,,即 , ，
所以， .故选C.
√
3.[2025·山东济南三模]已知，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] .故选B.
√
4.[2026·河北张家口模拟]已知，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以
.
故选D.
√
5.已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选A.
√
6.[2026·陕西咸阳模拟]已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得，
即 ，所以，
所以 .故选C.
√
7.（多选题）下列选项的结果为 的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A， ,故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D错误.故选 .
8.[2025·湖北武汉质检]已知,且 ,
则 __.
[解析] 由，得 ，
由，得，则 ，
即，所以 ，
所以 ，
则 .
9.[2026·浙江金华三模] 若，则 _ __.
[解析]
.
10.已知，且 ，证明：
（1） ；
证明：因为 ,
所以 ，
等号两边同时除以 ，得 ，
即 ，得证.
（2） .
证明 ：因为，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，得证.
◆ 综合提升 ◆
11.已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 显然,因为,所以 ,
则，即 ，
解得或(舍去),所以 ，
则 .故选B.
√
12.（多选题）已知 ，则下列等式可能成立的有
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 当时,满足,此时 ,
故A可能成立；
假设 ,则 ，
假设不成立，故B不可能成立；
因为，所以 ，
所以 ，故C可能成立，D不可能成立.
故选 .
13.已知，， ，
,则 ___.
,所以，
故.
故
.
14.[2026·江苏连云港联考] 已知， ，且
， .求：
（1） ；
解：由，解得 ，
则 .
（2） .
解：因为，所以，则，于是 ，
又，所以.
由 ,得,由,得 .
于是 ，
，
故 是第一象限角，所以 .
【知识聚焦】2.（1） （2） （3）
【课前演练】（1）× （2）× （3）× 1.D 2.D 3.
课堂考点探究
例1（1）D （2）B 【对点演练1】（1）B （2）BC
例2（1）C （2）C 例3（1） （2）
例4（1）C （2）B 【对点演练2】（1）B （2）D （3）A （4）
例5（1）B （2） 【对点演练3】（1）D （2）3
教师备用习题
例1（1）A （2）A 例2（1）B （2）AC （3）ABD
夯实基础
1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. AC 8. 9.
10.（1）证明略 （2）证明略
综合提升
11. B 12. AC 13.
14.（1） （2）

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