资源简介

第23讲　三角函数的图象与性质
【备选理由】 例1考查三角函数中已知两个函数值相等的相关问题,结合三角函数的周期性和图象的对称性求解;例2补充三角函数中x的系数为负数或三角函数前的系数为负数时单调区间的求法;例3难度相对较大,是由单调性求参数取值范围的拓展.
1 [配合探究点二使用] 已知函数f(x)=sin(0≤x≤π),且f(α)=f(β)=(α<β),则α+β的值为 或π　.
[解析] 由0≤x≤π,得≤2x+≤,∵f(α)=f(β)=(α<β),∴由正弦函数的图象的对称性可得2α++2β+=2×或2β+=2α++2π=,即α+β=或α+β=0+π=π.
2 [配合探究点三使用] (1)[2025·湖南邵阳联考] 函数f(x)=3tan的一个单调递减区间是 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.(0,π)
(2)函数y=sin的单调递增区间是,k∈Z .
[解析] (1)函数f(x)=3tan的单调递减区间即为函数y=3tan的单调递增区间,令kπ-<2x-(2)y=sin=-sin,令2kπ+≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,即函数y=sin的单调递增区间为,k∈Z.
3 [配合探究点三使用] 已知函数f(x)=在上单调递减,则正数ω的取值范围是 ( D )
A. B.
C. D.
[解析] 为得到f(x)=的图象,需要把y=2sin位于x轴下方的图象翻折到x轴上方,则π-≤·,即0<ω≤1,当第23讲 三角函数的图象与性质
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、
最大（小）值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在
上的性质.
◆ 知识聚焦 ◆
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数,的图象上,五个关键点是: ,
______,,_ ________, .
（2）在余弦函数,的图象上,五个关键点是: ,
______,,_ ______, .
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质（下表中 ）
函数
图象
定义域
值域 _______ _______ ___
周期
奇偶性 ________ ________ 奇函数
奇函数
偶函数
函数
单调性 在 上单调递增;在_______ _____________上单调 递减 在 上单调递减;在______________上单调递增 在
上单调递增
续表
函数
零点
对称轴 ________ 无
对称中心 _______
续表
常用结论
1.对称性与周期性
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距
离是个最小正周期，相邻对称中心与对称轴之间的距离是 个最小
正周期;
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个最小正周期.
2.奇偶性
设 ，则
（1）为偶函数的充要条件是 ;
（2）为奇函数的充要条件是 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正切函数 在定义域内是增函数.( )
×
[解析] 正切函数在每一个区间, 上都
单调递增，但在定义域内不是增函数，故错误.
（2） 是偶函数也是周期函数.( )
×
[解析] 是偶函数，不是周期函数，故错误.
（3）正弦函数在 内单调递增.( )
√
[解析] 由正弦函数的单调性可知正确.
题组二 教材改编
1.函数 的最小正周期是__.
[解析] 的最小正周期 .
2.若直线是函数 图象的一条对称轴，
则 的一个可能的值为_ ________________.
[解析] 由题知, ,,解得 , ,
又,所以 的一个可能的值为 .
（答案不唯一）
3.函数 的单调递增区间为________________________.
[解析] 因为 ，
所以要求的单调递增区间，
只需求 的单调递减区间.
令 ，
可得，
所以 的单调递减区间为，
即为函数 的单调递增区间.
探究点一 三角函数的定义域与值域（最值）
例1（1）函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知 ，，解得， .
故选C.
√
（2）[2026·福建宁德三模]若函数 在区间
上的最小值为，最大值为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A,B选项,当 时,，
易知， 的最小正周期为 ,
显然的最小值为,
只需 内有,即可.
作出 的部分图象，如图所示，
易得当时，取得最大值，最大值为 ，
故，A错误，B正确.
对于C，D选项，同理可得 的最大值为2，
只需内有, 即可.
当时， 取得最小值，最小值为 ，
故 ，C，D错误.故选B.
（3）[2024·全国甲卷] 函数在 上的最大
值是___.
2
[解析] ，
当 时，，
故当，即时， .
总结反思
1.求三角函数的定义域,实际上是解简单的三角函数不等式（组）,常
借助三角函数线或三角函数的图象来求解.
2.求解三角函数的值域（最值）的几种方法:
（1）形如 的三角函数,化为
的形式,再求值域（最值）;
（2）形如的三角函数,可设 ,
化为关于 的二次函数,再求值域（最值）;
（3）形如 的三角函数,
可设,化为关于 的二次函数,再求值域（最值）.
【对点演练1】（1）设函数在区间 上的最小值
和最大值分别为和，则 ( )
A.2 B. C. D.
[解析] 当时， ，
由正弦函数的性质可知,当时,函数取得最小值,即；
当 时,函数取得最大值1,即,所以 .故选B.
√
（2）[2025·黑龙江哈尔滨期末] 函数 的定义域
为_______________________________.
[解析] 对于函数，
由 ，可得，解得 ，
因此，函数的定义域为
.
（3）[2026·湖北十堰教联体期中] 设当 时，函数
取得最大值，则 _ __.
[解析] ，
令， ，
则 ，
易知当，，
即,时, 取得最大值,则, ，
所以， .
（4）已知函数在 上的最小值
为，则 的最小值为__.
[解析] 由，可得，
令 ，，
由题意可知在上可取到 ，
结合余弦函数的性质可知需满足,解得,
所以 的最小值为 .
探究点二 三角函数的周期性与对称性
例2（1）[2026·河南驻马店模拟]函数 的图象的
一条对称轴方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 令 ，，解得，.
当 时，，
所以函数 的图象的一条对称轴方程为 .故选D.
√
（2）函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
[解析] ，
， ，故选C.
√
（3）[2025· 全国一卷]已知点是函数 图
象的一个对称中心，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为的图象的对称中心为点, ，
所以的图象的对称中心为点, ，
所以,，又，所以的最小值为 .故选B.
√
总结反思
已知,，则函数或 的
最小正周期,函数的最小正周期 .
对于函数 ,其图象的对称轴一定经过函
数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此
在判断直线或点 是否是函数图象的对称轴或对称中心时,
可通过计算 的值进行判断.
【对点演练2】（1）函数 的最小正周期是
( )
A. B. C. D.
[解析] 易知函数的最小正周期与 的最小正周期
一致，均为 ，所以函数的最小正周期为 .故选B.
√
（2）[2026·河北石家庄质检]将函数 的图象向
右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数 图象的一
个对称中心是( )
A. B. C. D.
√
[解析]由题知 .
令 ,，解得,，
所以函数 图象的对称中心为,，
所以当时， 为函数 图象的一个对称中心.故选A.
（3）将函数的图象向左平移 个单位长度得到
的图象.若的图象关于轴对称，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度，
可得的图象.
因为 的图象关于轴对称，所以是偶函数，
所以当 时,,即 ，
可得.
当时， ，此时 .故选B.
探究点三 三角函数的单调性
题型1 求三角函数的单调区间
例3（1）函数 的一个单调递减区间为( )
A. B. C. D.
[解析]由, ,得,，
故 的单调递减区间为, .
对比各选项，只有C符合题意.故选C.
√
（2）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调
递增的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，该函数的最小正周期为 ，
由 ,得,此时 单调递减,故A不符合题意；
对于B，该函数的最小正周期为，由，得 ，
此时 单调递减，故B不符合题意；
对于C，该函数的最小正周期为，
当时， 单调递减，故C不符合题意；
对于D，该函数的最小正周期为，
当 时， 单调递增，故D符合题意.故选D.
（3）[2025·陕西榆林模拟]函数 的单调递增区间
是( )
A. B.,
C., D.,
[解析] 由 ， ，
可得, .故选C.
√
题型2 根据单调性求参数
例4（1）已知函数在区间 上单调，
则的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知的最小正周期，
因为在区间 上单调，所以 ，
则 ，解得 .
当时，，且 ，
，由已知得 ，解得，
结合，得 的取值范围为 .故选D.
（2）[2026·陕西汉中二模] 已知函数，若 在
区间上单调递增，则 的最大值为__.
[解析] 令 , ，
得 ,，
则 的单调递增区间为
因为在区间 上单调递增，
所以,, ,
即且,,,
若 ,则不等式组的解集为空集；
若，则；若 ，则不等式组的解集为空集.
综上，的最大值为 .
题型3 比较函数值的大小
例5（1）[2026·山东聊城期中]已知， ，
，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
，
，
因为 ，且在上单调递减，
所以 ，即，所以 .故选D.
（2）设 ，， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
，
，
由正弦函数的性质知,所以 .故选D.
总结反思
1.求三角函数单调区间的两种方法
（1）代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式
（如 ）整体当作一个角，利用基本三角函数
的单调性列不等式求解.
（2）图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间.
提醒：要注意求函数 的单调区间时
的符号，若，那么一定要先借助诱导公式将 化为正数，
同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.
2.已知函数的单调性求参数,可先求出
的取值范围,再根据是函数 的单调区间的子区间
列不等式（组）求解.
3.比较三角函数值大小的方法
先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区
间内的角，再利用函数的单调性比较.
【对点演练3】（1）[2026·浙江宁波模拟]下列四个函数中，以 为
最小正周期，且在区间 上单调递减的是( )
A. B. C. D.
[解析] 的最小正周期为,的最小正周期为 ，
故A,D不符合题意；
在 上单调递增,故C不符合题意；
的最小正周期为 ，且在区间 上单调递减，
故B符合题意.故选B.
√
（2）[2026·山东临沂模拟]已知，, ，
则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为在内单调递增，并且 是奇函数，
所以
,
所以“”是“ ”的充要条件，故选C.
√
（3）已知函数 在
上单调递增，且其图象关于点对称，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函数在 上单调递增，
得 ，解得.
由的图象关于点 对称，得 ,，
解得,.
综上， , ，则 ，
所以 .故选C.
（4）若函数满足对任意的，都有 ，
，则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为,所以 的图象关于直线对称，
又 ,所以，
所以 是以4为周期的周期函数.
对于A，若 ，则其最小正周期，
又,所以 的图象不关于直线 对称，
故A不符合题意；
对于B，若，则其最小正周期 ，
又，
所以的图象不关于直线 对称，故B不符合题意；
对于C，若 ，则其最小正周期，
则，又 不恒成立，
所以 不恒成立，故C不符合题意；
对于D，若，则其最小正周期 ，
又，
满足 的图象关于直线 对称，故D符合题意.故选D.
例1 ［配合探究点二使用］已知函数 ，
且，则 的值为______.
[解析] 由 ,得 ,，
由正弦函数的图象的对称性可得
或，
即 或 .
或
【备选理由】例1考查三角函数中已知两个函数值相等的相关问题，
结合三角函数的周期性和图象的对称性求解；
例2 ［配合探究点三使用］（1）[2025·湖南邵阳联考]函数
的一个单调递减区间是( )
A., B., C. , D.
√
【备选理由】例2补充三角函数中 的系数为负数或三角函数前的系数
为负数时单调区间的求法;
[解析] 函数 的单调递减区间即为函数
的单调递增区间，
令 , ，解得,，
令，可得 . 故选A.
（2）函数 的单调递增区间是____________________
____ .
,,
[解析] ，
令，,
解得 , ，
即函数的单调递增区间为 ,, .
例3 ［配合探究点三使用］已知函数在, 上
单调递减，则正数 的取值范围是( )
A., B., C., D.,
√
【备选理由】例3难度相对较大,是由单调性求参数取值范围的拓展.
[解析] 为得到 的图象，
需要把位于轴下方的图象翻折到 轴上方，
则，即，
当 时,,则 ，
解得，当时， .故选D.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知函数在 处取得最大值，则
( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由题意知 ，，则， ，
又，所以 .故选D.
√
2.[2025·江苏泰州调研]已知函数 ，则“
，”是“的图象关于点 对称”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 令，，得 ，，
即 的图象关于点，对称，
“, ”是“的图象关于点 对称”的充分不必要条件,
故选A.
√
3.[2026·湖北黄冈模拟]已知函数 的最小
正周期为，则在 上的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.3
[解析] 由题意得，解得，
因为 ，所以，
所以在 上的最大值为3.故选D.
√
4.已知函数图象的一条对称轴为直线 ，
且的图象关于点对，称则 的值可能为( )
A.0 B. C. D.
√
[解析] ，
令 ,，解得,，
故 , .
令,,解得, ,故, ，
则,, ，
当时， ，故C正确.故选C.
5.函数在 上的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析]
，
因为 ，所以，
所以 ，故选A.
√
6.[2026·广东深圳模拟]奇函数 的单
调递减区间可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为奇函数,所以 ,即,
又,所以 ,所以.
令, , 解得,.
当时， 的单调递减区间为 ,A正确，
其他选项均不满足条件，故选A.
√
7.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是
( )
A. 的最小正周期为1
B.的定义域为
C.
D.的图象关于点 对称
√
√
[解析] 易知的最小正周期为 ，故A正确；
令 ，，解得，，
因此 的定义域为 ，故B不正确；
因为 ，
，在 上单调递增，
,所以,即 ,故 C不正确；
令,，解得，，
可得 的图象关于点，对称，
当时，可得 的图象关于点对称，故D正确.故选 .
8.若函数为偶函数，则 的值可以为__________
_______________.（写出一个即可）
（答案不唯一）
[解析] 因为函数为偶函数，
所以 可取 的奇数倍，故 可以为 （答案不唯一）.
9.[2025·湖南郴州三模] 已知函数，若 在区间
上单调递增，则实数 的取值范围为_ ______.
[解析] 由, ,得,，
所以 的单调递增区间为，
令，得 .
因为在区间上单调递增，所以实数的取值范围为 .
10.已知 .
（1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
解：
，所以函数的最小正周期 .
由,,得 ,，
所以的单调递增区间为， .
（2）设，若函数和在 上有相同
的最大值，求 的取值范围.
解:由,得,所以在 上的最大值为，
则在 上的最大值也是.
由，，得， ，
因为，所以， ，
又，所以或 ，
故的取值范围为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·辽宁名校联盟模拟]已知函数
在区间上单调递增，则 的最大值为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 由题得，
因为在区间 上单调递增，
所以在区间 上单调递减，
当时， ，
所以，解得， .
因为在区间上单调递增,所以,即 ，
又，所以只有当时，不等式有解，所以 ，
所以 的最大值为 .故选A.
12.（多选题）[2026·湖北华中师大模拟]设函数
，则下列说法正确的是 ( )
A.的最小正周期为
B. 的最大值为3
C.的图象关于直线 对称
D.在区间 上单调递增
√
√
[解析] 对于选项A, 显然成立，
假设存在，使得成立，
则必有 , ，
即 ,,
可得, ，
又 ，所以不存在，假设不成立，
因此 是函数 的最小正周期，故A正确.
对于选项B，易知 ，故B错误.
对于选项C，因为
，
所以函数的图象不关于直线 对称，故C错误.
对于选项D,
，
则当时,,所以在区间 ] 上单调递增,故D正确.
故选 .
13.已知函数在上的最大值为 ，
最小值为，则 的取值范围为_ ______.
,此时 ，
故.
当时， ,则.
当时， ,则.
当时， ，
则 ，
此时，故 .
当时，，则 .
当时， ，
则.
综上， 的取值范围为 .
14.[2025·北京朝阳区质检] 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和单调递增区间.
解：由题意得 ，
所以的最小正周期 ，
由 ，
得 .
所以的单调递增区间为 .
（2）设函数 ，从条件①、条件②、条
件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在且唯一，求
在区间 上的最大值和最小值.
条件①：在区间 上单调递增；
条件②：的最大值为 ；
条件③： 为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个
符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：选择条件①：由题意得 .
由(1)易知 的单调递增区间为 .
由在区间上单调递增，得
解得.
又因为，所以 ，从而 存在且唯一.
当时，，
所以当，即时， 取得最大值；
当，即时，取得最小值 .
选择条件②：
由题意得，若函数的最大值为 ，
则只需， ，
由于，故 的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②.
选择条件③：由题意得.
由 为偶函数可知 ,解得 .
又因为，所以 .
从而存在且唯一.
当 时， ，
所以当，即时，取得最小值；
当 ，即时，取得最大值 .
【知识聚焦】1.（1） （2）
2. 奇函数 偶函数
【课前演练】（1）×（2）×（3）√ 1. 2. （答案不唯一）
3.
课堂考点探究
例1（1）C （2）B （3）2 【对点演练1】（1）B （2）
（3） （4） 例2（1）D （2）C （3）B 【对点演练2】（1）B （2）A （3）B
例3（1）C （2）D （3）C 例4（1）D （2）
例5（1）D （2）D 【对点演练3】（1）B （2）C （3）C （4）D
教师备用习题
例1 或 例2（1）A （2）,, 例3 D
夯实基础
1. D 2. A 3. D 4. C 5. A 6. A 7. AD 8. (答案不唯一) 9.
10.（1）最小正周期 单调递增区间为，.
（2）综合提升
11. A 12. AD 13.
14.（1）最小正周期 ，单调递增区间为.
（2）选择条件①最大值；最小值. 选择条件③：最小值；最大值.

展开更多......

收起↑