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第24讲 函数
及三角函数的应用
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.结合具体实例,了解 的实际意义;能
借助图象理解参数 , , 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻
画事物周期变化的数学模型.
◆ 知识聚焦 ◆
1. 的有关概念
振幅 最小正周期 频率 相位 初相
_ __ ___ _______ ___
2.用“五点法”画 在一个周期内的简
图时,要找五个特征点,如下表所示:
_ ___ _ ____ _____ _ ____ _ _____
___ __ ___ _ __ ____
0 A 0 0
0
3.函数的图象经变换得到
的图象的步骤#3
常用结论
1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为 为函数的最小正周期 .
2.若直线 为正（余）弦曲线的对称轴,则正（余）弦函数一定在
处取得最值.
3.若函数的最大值为 ,最小值为
,则, .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）用“五点法”作函数 在一个周期上的简图时，可
取第一个点为 .( )
√
[解析] 令，得 ，
故用“五点法”作函数在一个周期上的简图时，
可取第一个点为 ，故正确.
（2）把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，
纵坐标不变，得到函数 的图象.( )
×
[解析] 把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，
纵坐标不变，得到函数 的图象，故错误.
（3）要得到的图象，只需将 的图象向左
平移 个单位长度.( )
×
[解析] ，
故要得到的图象，
只需将函数的图象向左平移 个单位长度，故错误.
题组二 教材改编
1. 的振幅、频率和初相依次为___________.
2，，
[解析] 由题意知振幅,频率,初相 .
2.把函数的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应
的函数的解析式是_ ______________.
[解析] 把函数的图象向右平移 个单位长度,
得到函数 的图象,
故所求的函数解析式为 .
3.将函数的图象向左平移 个单位长度后
得到偶函数的图象,则 的最小值是___.
[解析] 由题意得 ,
因为为偶函数,所以 ,,解得, ,
又,所以当时, 取得最小值 .
探究点一 函数 的图象及变换
例1（1）函数 的图象可以由( )
A.的图象向右平移 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原
来的 （纵坐标不变）得到
B.的图象向左平移 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原
来的2倍（纵坐标不变）得到
C.的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将曲线向
右平移 个单位长度得到
D. 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将曲
线向左平移 个单位长度得到
√
[解析] 对于A,将的图象向右平移 个单位长度,
得到的图象，
再将 图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到 的图象，故A错误；
对于B,将的图象向左平移 个单位长度,得到的图象，
再将 图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到 的图象，故B错误；
对于C,将的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）,
得到的图象，再将的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，故C正确；
对于D,将 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),
得到的图象,再将的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，故D错误.故选C.
（2）[2026·江苏南通模拟]将函数 的图象
向左平移个单位长度后，所得图象与函数 的图
象重合，则 的最小值为( )
A.2 B.3 C.6 D.9
[解析] 将的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
因为所得图象与的图象重合，所以 ,，
所以 ，，又，所以 的最小值为3.故选B.
√
总结反思
三角函数图象变换的解题策略
（1）定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数
的图象.
（2）变同名：如果变换前后两个图象对应的函数的名称不一致，那
么应先利用诱导公式化为同名函数， 为负值时应先变成正值.
（3）选方法：根据变换前后函数的特点，选择先平移后伸缩还是先
伸缩后平移.
注意：对于函数的图象，向左平移 个单位长度
得到的是函数 的图象，而不是函数
的图象.#1.1.4
【对点演练1】（1）[2026·广东茂名质检]已知函数
的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到 的图象，可将
的图象( )
A.先向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标
不变
C.先向右平移 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标
不变
D.先向右平移 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐
标不变
√
[解析] 由题意可知的最小正周期 ,
因为, 所以 ，
所以 ，
所以可将的图象先向右平移个单位长度，
得到 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
得到的图象，即 的图象.故选A.
（2）[2026·河北秦皇岛模拟]已知函数，将 的
图象向右平移个单位长度后，得到函数 的图象，若
的图象与的图象关于轴对称，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意得，，
由 的图象与的图象关于轴对称，
得对任意的 恒成立，
即对任意的 恒成立.
当 ,时，， ，
此式不恒成立，舍去.
当 , 时，,，
因为，所以, .故选B.
探究点二 函数 的图象与解析式
例2（1）[2026·甘肃白银模拟]如图，将函数
的图象向左平移得到
的图象，其中点是图象上的最高点，, 分别
是，的图象与轴的相邻交点，若， 的面
积为10，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由点向轴作垂线，垂足为 ，易知，
则 ，解得，
，.
在 中，，，
又 （其中为的最小正周期），
， .
由题图可知，平移后的图象过原点，
平移后的图象所对应的函数解析式为,
, 将 的图象向右平移5个单位长度，可得的图象，
故 .故选A.
（2）[2025·黑龙江牡丹江模拟]函数
的图象如图所示，将 的图象向左平移个单位长度后，
得到 的图象，则下列说法中错误的是( )
A.
B.函数的图象关于点 对称
C.函数的图象关于直线 对称
D.函数在 上单调递减
√
[解析] 对于A选项，由题图可知，函数 的图象过点，
,,, ，
解得,，， ，故A中说法正确；
对于B选项，，
令 , ，得 ,，
的图象关于点对称，
当时，函数的图象关于点 对称，故B中说法正确；
对于C选项，将 的图象向左平移 个单位长度后，
得到 的图象，
则的图象的对称轴为直线 , ，故C中说法错误；
对于D选项，函数，
当 时，，
函数在 上单调递减，
故D中说法正确.故选C.
（3）（多选题）如图是函数
的部分图象，则下列结论正确的是( )
A.
B.的图象关于点 对称
C.在 上单调递增
D.的图象向左平移 个单位长度后，所得图
象对应的函数为奇函数
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，由，得，
由 ，得 ，
故，且 ，
化简得，且 ，
由题图可知该函数的最小正周期，故，
综上可得 ，所以 ，故A正确；
对于B，由，得 的图象不关于点对称，
故B错误；
对于C，由 ，可得 ，
由，
得函数 在上单调递增，故C正确；
对于D， 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数的图象,易知 为偶函数,故D错误.
故选 .
总结反思
根据三角函数的图象求解析式,即求参数，确定
的步骤和方法
（1）求，，确定函数的最大值和最小值，则 ，
.
（2）求 ，确定函数的最小正周期，则可得 .
（3）求 ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入（此时， ， 已知）
或代入图象与直线 的交点的坐标求解（此时要注意交点在上升
区间上还是在下降区间上）.
②特殊点法：确定 值时，往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下：
“最大值点”（即图象的“峰点”）时， ；“最
小值点”（即图象的“谷点”）时， .
提醒：如果已知图象上有“最值点”（即图象的“峰点”或“谷点”），最
好代入“最值点”坐标求解.若将图象上除“最值点”外的点的坐标代入
解析式求解，则需注意点在上升区间还是在下降区间上.
【对点演练2】（1）已知函数
的部分
图象如图所示，该图象与轴的交点为 ，与
轴的交点为，最高点为 ，且满足
A. B.0 C. D.
.若将 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应的
函数为，则 ( )
√
[解析] 由题知，函数的最小正周期 满足，
解得 ，所以，则.
由点 在的图象上，
得 ,则，
因为，所以 ，即，
则，所以的图象与 轴的 交点为，
则， .
因为 ，所以，
解得 （舍去）或，所以.
若将 的图象向左平移1个单位长度后,得到的图象对应的函数为 ，
则 ，
所以 .故选D.
（2）（多选题）如图，直线 与函数
的图象依次交于，， 三点，若
， ，则( )
A.
B.
C.直线是 图象的一条对称轴
D. 的图象向右平移1个单位长度后，所得图
象关于原点对称
√
√
[解析] 因为，，所以 , ，
所以函数的最小正周期为 ，所以 ，故选项B错误；
函数，
当函数取得最大值时，
,，解得, ，
故函数位于 轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，
又，所以 ，所以 ，
故选项A正确；
当 时， ，
故直线是 图象的一条对称轴，故选项C正确；
的图象向右平移1个单位长度后，
得到 的图象，
显然所得图象不关于原点对称，故选项D错误.
故选 .
探究点三 函数 的图象与性质的应用
例3（1）将函数的图象上的点沿 轴向左或向右
平移个单位长度后，所得点正好位于函数 的图象
上，则( )
A.,的最小值为 B.,的最小值为
C.,的最小值为 D.,的最小值为
√
[解析] 依题意得，.
若点沿 轴向左平移个单位长度，
则可得到点 ，此时；
若点沿轴向右平移 个单位长度，则可得到点，
此时 .
由，得 ,或 , ，
解得,或,,所以 .故选D.
（2）（多选题）[2025·山东菏泽二模]已知函数
，函数 ，则下列
结论正确的有( )
A.的图象与 的图象有相同的对称轴
B.与 有相同的最小正周期
C.将的图象向右平移个单位长度，可得到 的图象
D.与的图象在 上只有一个交点
√
√
√
[解析]由,可得 的最小正周期为，
由 ，
可得的最小正周期为，故B正确；
由 , ，得,，
则图象的对称轴为直线, ，
由 ,，得，，
则 图象的对称轴为直线,，故A错误；
将的图象向右平移 个单位长度，
可得 的图象,故C正确；
由可得 ，
因为 , ，
所以，解得, ，
因为，所以，故D正确.故选 .
总结反思
1.三角函数图象与性质综合问题的求解思路:
（1）将函数解析式整理成 或
的形式;
（2）把 看成一个整体;
（3）借助正弦函数或余弦函数 的图象与性质
（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关
问题.
2.解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应
函数的图象，然后再将函数零点（方程根）的问题转化为图象的交
点问题，利用数形结合思想解决.
【对点演练3】(1)(多选题)[2026·山东泰安模拟]函数
在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，,为
图象与轴的交点,点 ,且 为正三角形,则下列说法正确的是( )
A.
B.当时，函数的取值范围为
C.将函数的图象向右平移 个单位长度后，
得到的图象关于 轴对称
D.若，且 ，则
√
√
√
[解析] 由题知的高为，所以 ，
所以函数的最小正周期，则 ，故A正确.
因为的图象过点 ，所以 ,，
所以 , ，因为 ,所以，
所以，
当 时，，
所以函数的取值范围为 ，故B正确.
将函数的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象，
易知 是一个奇函数，故C错误.
因为 ，所以,
因为 ,所以 ，
所以 ，
故 ，
故D正确.故选 .
（2）（多选题）[2025·辽宁盘锦三模]已知函数 ，
，的图象与 的图象关于
直线对称，若 ，则( )
A.
B.直线为 图象的一条对称轴
C.在 上单调递减
D.函数在 上有5个零点
√
√
[解析] 在函数的图象上任取一点，
则此点关于直线 的对称点在 的图象上，
故 ，
所以，故， ，故A错误；
由题知，则 ，
所以直线为 图象的一条对称轴，故B正确；
时，，
故在 上单调递减，故C正确；
，
令，得 ，，即， ，
令 ，解得，
又，所以, ,0,1，
所以函数在上有4个零点，故D错误.故选 .
探究点四 三角函数模型
例4（1）某地区2024年全年月平均温度（单位：）与月份 之间
近似满足 .已知该地区2024
年2月份的月平均温度为 ，全年月平均温度最高的月份为6月份，
且6月份的平均温度为 ，则该地区2024年12月份的平均温度为
( )
A. B. C. D.
√
[解析]由题意可知,直线是曲线 的一条对称轴，
所以，，即， .
又,所以 ,所以 .
因为该地区2024年全年月平均温度的最大值为,所以.
又当时， ，所以，所以.
由①②解得 ，，所以，
则当 时， .故选A.
（2）（多选题）[2026·安徽池州质检]某弹簧振子（简称振子）在完
成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移 （单位：毫
米）满足, ，则下列叙述中正确的是
( )
A.当 时， B.该简谐运动的初相为
C.该函数的一个极值点为 D.该函数在 上单调递增
√
√
√
[解析] 当 时,
，选项A正确.
在函数中, ,所以该简谐运动的初相为,
选项B正确.
由 ，可得，
当 时，，
所以 不是该函数的极值点,选项C错误.
令, ,解得,,
当 时,该函数的单调递增区间为，
因为,所以该函数在 上单调递增,选项D正确.
故选 .
总结反思
三角函数模型的实际应用问题的常见类型及解题关键:
（1）已知函数解析式（模型）,利用三角函数的有关性质解决问题,
其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
（2）当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立
三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.其关键是利用三
角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、
初相等,然后建立模型.
【对点演练4】（1）已知摩天轮的半径为80米，摩天轮
中心 到地面的距离为82米，摩天轮每30分钟按逆时针
方向匀速转动1圈.若某座舱的初始位置 距地面的高度
A. B.
C. D.
为42米，以摩天轮的中心为坐标原点，过点的水平直线为 轴建立平
面直角坐标系，如图所示.设座舱从点运动到点 时所经过的时间
为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为 （单位：米），
则当时， ( )
√
[解析] 由题意得，而是以 为始边，为终边的角，
经过时间，转过的角为 ，
可知以为始边，为终边的角为，
则点 的纵坐标为，
所以点 距地面的高度 .故选A.
(2)(多选题)如图①是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道. 建立如图②
所示的平面直角坐标系,(单位：)表示在时间 (单位：)时,过山车
(看作质点)离地平面的高度.轨道最高点 距离地平面,最低点距离地
平面.入口处 距离地平面.当时，过山车到达最高点,
当 时，过山车到达最低点.设
，则下列结论正确的是( )
A.函数 的最小正周期为12
B.
C.当时，过山车距离地平面
D.一个周期内过山车距离地平面高于的时间是
√
√
[解析] 由题意可知,最小正周期满足,得 ,故A正确；
所以，得，由解得
所以，
又 ，所以，得，
因为，所以 ，故B错误；
所以 ，
则，故C正确；
由 ，得，即 ，
则 ， ，
解得， ，
所以一个周期内过山车距离地平面高于的时间是
，故D错误.故选 .
【备选理由】通过例1可使学生体会数形结合思想在三角函数中的应用；
例1 [配合探究点二使用](多选题)已知函数,
, 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.的图象关于点， 对称
B.若在区间，上单调递增且，则 的
取值范围为，
C.将函数的图象向右平移 个单
位长度后，得到函数 的图象
D.若方程在， 上有两个不相等的实数根，
则的取值范围是
√
√
√
[解析] 由题图可知，， 的最小正周期，
所以 ，所以，
将， 代入，得，所以， ，
解得，，
又，所以 ，故 .
对于A，因为 ，
所以点，不是函数 图象的对称中心，故A错误；
对于B，因为在， 上单调递增，，
所以，可得 ，
因为，，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以要使在区间，上单调递增，
则 ，解得，所以 ，故B正确；
对于C， ，
将其图象向右平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为
， 故C正确；
对于D,当，时,， ,
当,即时, 取得最大值2,
当,即时, ,
当,即时,,
作出在 上的图象及直线, 如图,
要使方程在, 上有两个不相等的实数根，
只需直线与在,上的图象有两个交点，
由图可知 ，故D正确.故选BCD.
例2 ［配合探究点一、三使用］（多选题）[2026·山东泰安调研]将
函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵
坐标不变，得到函数 的图象，则下列结论正确的为( )
A.函数 为偶函数
B.直线 是函数 图象的一条对称轴
C.若，，则的取值范围为，
D.，是函数 的一个单调递减区间
√
√
【备选理由】例2是三角函数的图象变换及性质的综合应用；
[解析] 因为函数 图象上所有点的横坐标缩短到
原来的，纵坐标不变，得到函数 的图象，
所以 .
对于A,设 ，
因为的定义域为，且 ，
所以函数 为奇函数，故A不正确；
,
所以当时,函数 取得最小值，
所以直线 是函数 图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，由，，得， ，
则，，所以， ，故C正确；
对于D，当，时，，
在上单调递增，
所以，是函数 的一个单调递增区间，故D不正确.
故选BC.
例3 ［配合探究点四使用］ 声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每
个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数． 音有四要素：
音调、响度、音长和音色，它们都与函数 及其参数有关，
比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；
音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．我们平时听到的
乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的
声音函数是 ，结合上述材料
及所学知识，下列说法中错误的有( )
【备选理由】例3借助实际问题，对较为复杂的三角函数性质进行讨论.
A.函数 不
具有奇偶性
B.函数在区间， 上
单调递增
C.若某声音甲对应函数近似为 ，
则声音甲的响度一定比纯音 的响度大
D.若某声音乙对应函数近似为 ，则声音乙一定
比纯音 更低沉
√
[解析] 对于A，因为的定义域为 ，且
，
所以函数
是奇函数，故A中说法错误；
对于B,当,时,, ,,,,，
此时函数, ,和 都单调递增，
所以函数在区间, 上
单调递增，故B中说法正确；
对于C，因为 ，所以声音甲的振幅大于，
而纯音的振幅等于 ，
所以声音甲的响度一定比纯音 的响度大,故C中说法正确；
对于D,易知的最小正周期为,频率为, 的频率为，
因为，所以声音乙一定比纯音 更低沉，
故D中说法正确.故选A.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·重庆期中]已知曲线，把 上各点的横坐标
缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长
度，得到曲线，则曲线 对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 把曲线上各点的横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到的曲线对应的函数解析式为 ，
再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线，
则曲线 对应的函数解析式为 .故选D.
2.将函数的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数的图象.若的图象关于轴对称，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 是
偶函数，所以解得, .故选B.
√
3.[2026·四川德阳质检]已知函数 的图象
向右平移个单位长度后，得到的图象，若 是奇函数，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知 ，
因为是奇函数,所以,,所以, ,
因为，所以 .故选C.
√
4.将函数的图象向右平移 个单位长度后，
得到函数的图象，以, 图象相邻的三个交点为顶点的三
角形的面积为，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，不妨取纵轴右侧的连续三个交点，依次设为，， ，
易知的最小正周期也为 ，则 ，
由的面积为 及三角函数图象的对称性知, ,进而，
将点 的坐标代入结合，得 .故选B.
5.[2025·山东滨州二模]已知函数 ，则下列
说法正确的是( )
A.要得到的图象，只需将的图象向右平移 个单位长度
B.的图象关于点 对称
C.在区间 上单调递减
D.若，且，则的最小值为
√
[解析] 易知 .
对于A，将的图象向右平移个单位长度后，
得到 的图象，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，当 时， ，
由正弦函数图象性质可得在区间 上单调递减，
故C正确；
对于D，若，且，
则 的最小值为的一个最小正周期的长度，即 ，
故D错误.故选C.
6.[2025·河北石家庄二模]已知函数
的图象向右平移 个单位长度后得到函数
的图象,直线 与函数,的图象
分别交于, 两点,直线与函数,的
图象分别交于, 两点(如图所示),若曲边四边形的面积为，
则的图象在 上对称轴的条数为( )
A.1 B.3 C.2 D.5
√
[解析]连接,易知曲边四边形 的面积等于平行四边形 的面积，
由平移知识可知， ，两平行直线 之间的距离为2，
所以，则 ，
所以，
令, ,解得,，
又,所以的图象在 上的对称轴方程为, ，
共2条，故选C.
7.（多选题）[2026·湖北武汉新洲区期中]筒车是我国古代发明的
一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用
(图①),若一半径为2米的筒车的圆心 距离水面1米(示意图如图②)，
已知筒车按逆时针方向转动，每分钟转动5圈，当筒车上的点从
水中浮现时(图②中的点)开始计时，经过分钟后点 距水面的
高度可以用函数
表示，则下列结论正确的有( )
A.关于的函数解析式为
B.点 第一次到达最高点需用时5秒
C.点 再次接触水面需用时8秒
D.当点 运动2秒时，距水面的高度为2米
√
√
[解析]由题得,,最小正周期 ,
所以.
当时，，解得 ，
因为,所以,所以, ,故A错误.
令，得，则 , ，
解得,，所以的最小值为 分钟，即用时4秒，
所以点第一次到达最高点需用时4秒，故B错误.
由题意知,点 再次接触水面需用时 (分钟),即8秒,故C正确.
当点运动2秒，即时，
（米），
故D正确.故选 .
8.将函数的图象向左平移 个单位长度后，得到函
数的图象，则 ____.
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为
，
所以 .
9.已知函数的最小正周期为 ，将
的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则
在区间 上的取值范围为________.
[解析] 因为的最小正周期为 ，所以 ，
故，则 ，
因为，所以，则 ，
则，故在区间上的取值范围为 .
10.[2026·吉林长春联考] 已知函数
的
部分图象如图所示.
（1）求 的解析式及单调递增区间；
解：由题图可知,, ,解得.
当时,, ,
可得， ，
因为,所以 ，所以.
令, ,得, ，
所以函数的单调递增区间是， .
（2）将函数的图象向左平移 个单位长度后
得到函数的图象，若不等式 对
任意的恒成立，求 的取值范围.
解：由已知得 ，
当时， ，
则 ，
若不等式对任意的恒成立，
则需满足 ，得.故的取值范围是 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·辽宁沈阳实验中学期中]将函数 的图象先向右平
移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ，
纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在 上没有零
点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 将函数的图象先向右平移 个单位长度，
得到 的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象.
函数在上没有零点，， .
，，
函数在 上没有零点， ，
解得，
， 令 得；
令得， 的取值范围是 .故选B.
12.（多选题）[2025·湖北武汉模拟]已知函数
，若函数
的部分图象如图所示，则关于函数 的结论正确
的是 ( )
A.
B.直线是函数 图象的对称轴
C.在 上单调递增
D.函数的图象可由函数 的图象先向左平移
个单位长度，再向上平移2个单位长度得到
√
√
√
[解析] 由题得函数的最大值为2，最小值为 ，
则故,
易知 (其中为的最小正周期),即 ，
则，故.
当 时，，故，
又因为，所以 ，所以 .
对于A， ，故A错误；
对于B，函数图象的对称轴方程为， ，
得，，当时， ，故B正确；
对于C，因为，所以 ，
因为函数在区间 上单调递增，
所以在 上调递增，故C正确；
对于D，设函数图象上的点先向左平移
个单位长度，
再向上平移2个单位长度得到函数 的图象，
则 ,
因为 ，故D正确.故选 .
13.已知函数，若在 上的图象
与直线恰有三个交点，则 的取值范围为_______.
[解析] 令，，，则 ，
原问题等价于直线与函数的图象在 上有三个交点，
令，得,,,, , 于是有
可得，故 的取值范围为 .
14.[2026·湖北襄阳四中质检] 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
解： ,
令 ，
解得 ，
所以的单调递减区间为 .
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到 的图象，
当函数在上只有一个零点时，求 的取值范围.
解：将函数的图象向右平移 个单位长度后，
得到的图象.
因为 ，所以 ，
要使函数 在上只有一个零点，
则需满足的图象与直线在 上只有一个交点，
作出函数在 上的图象，如图所示，
由图可得，当或时，
的图象与直线在上只有一个交点，
所以实数 的取值范围为 .
【知识聚焦 】1. 2. 0
3.
【课前演练】（1）√ （2）× （3）× 1. 2，， 2. 3.
课堂考点探究
例1（1）C （2）B 【对点演练1】（1）A （2）B
例2（1）A （2）C （3）AC 【对点演练2】（1）D （2）AC
例3（1）D （2）BCD 【对点演练3】（1）ABD （2）BC
例4（1）A （2）ABD 【对点演练4】（1）A （2）AC
教师备用习题
例1 BCD 例2 BC 例3 A
夯实基础
1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C 7.CD 8. 9.
10.（1）单调递增区间是，（2）
综合提升
11. B 12. BCD 13.
14.（1）单调递减区间为
（2）第24讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用
【备选理由】 通过例1可使学生体会数形结合思想在三角函数中的应用;例2是三角函数的图象变换及性质的综合应用;例3借助实际问题,对较为复杂的三角函数性质进行讨论.
1 [配合探究点二使用] (多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,下列说法正确的是 ( BCD )
A.f(x)的图象关于点对称
B.若y=f(tx)在区间上单调递增且t>0,则t的取值范围为
C.将函数y=cos 2x-sin 2x的图象向右平移个单位长度后,得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是[,2)
[解析] 由题图可知,A=2,f(x)的最小正周期T=4=π,所以ω===2,所以f(x)=2sin(2x+φ),将代入,得2sin=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,故f(x)=2sin.
对于A,因为f=2sin=2sin≠0,所以点不是函数f(x)图象的对称中心,故A错误;
对于B,因为y=2sin在上单调递增,t>0,所以≥2=,可得0对于D,当x∈时,2x+∈,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=,即x=0时,f(x)=f(0)=,当2x+=,即x=时,f(x)=f=-,作出f(x)在上的图象及直线y=m,如图,
要使方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,只需直线y=m与f(x)在上的图象有两个交点,由图可知≤m<2,故D正确.故选BCD.
2 [配合探究点一、三使用] (多选题)[2026·山东泰安调研] 将函数f(x)=3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的为 ( BC )
A.函数y=f为偶函数
B.直线x=π是函数g(x)图象的一条对称轴
C.若x∈,则g(x)的取值范围为
D.是函数g(x)的一个单调递减区间
[解析] 因为函数f(x)=3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,所以g(x)=3sin=3cos.对于A,设h(x)=f=3sin=3sin(π-2x)=3sin 2x,因为h(x)的定义域为R,且h(-x)=3sin(-2x)=-3sin 2x=-h(x),所以函数h(x)=f为奇函数,故A不正确;对于B,g=3cos=-3,所以当x=π时,函数g(x)取得最小值,所以直线x=π是函数g(x)图象的一条对称轴,故B正确;对于C,由x∈,得4x-∈,则cos∈,所以g(x)∈,故C正确;对于D,当x∈时,4x-∈[-3π,-2π],g(x)在[-3π,-2π]上单调递增,所以是函数g(x)的一个单调递增区间,故D不正确.故选BC.
3 [配合探究点四使用] 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数y=Asin ωt.音有四要素:音调、响度、音长和音色,它们都与函数y=Asin ωt及其参数有关,比如:响度与振幅有关,振幅越大响度越大,振幅越小响度越小;音调与频率有关,频率低的声音低沉,频率高的声音尖利.我们平时听到的乐音不只是一个音在响,而是许多音的结合,称为复合音.我们听到的声音函数是f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…,结合上述材料及所学知识,下列说法中错误的有 ( A )
A.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…+sin 100x不具有奇偶性
B.函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x在区间上单调递增
C.若某声音甲对应函数近似为f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x,则声音甲的响度一定比纯音h(x)=sin 2x的响度大
D.若某声音乙对应函数近似为g(x)=sin x+sin 2x,则声音乙一定比纯音m(x)=sin 3x更低沉
[解析] 对于A,因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)+sin(-2x)+sin(-3x)+sin(-4x)+…+sin(-100x) =- =-f(x),所以函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x+…+sin 100x是奇函数,故A中说法错误;对于B,当x∈时,2x∈,3x∈,4x∈,此时函数y=sin x,y=sin 2x,y=sin 3x和y=sin 4x都单调递增,所以函数f(x)=sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x在区间上单调递增,故B中说法正确;对于C,因为f=++× >,所以声音甲的振幅大于,而纯音h(x)=sin 2x的振幅等于,所以声音甲的响度一定比纯音h(x)=sin 2x的响度大,故C中说法正确;对于D,易知g(x)的最小正周期为2π,频率为,m(x)=sin 3x的频率为,因为<,所以声音乙一定比纯音m(x)=sin 3x更低沉,故D中说法正确.故选A.

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