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(共62张PPT)
微专题4 三角函数中与 范围
有关的问题
微点二
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一
微点一 三角函数的性质与 的关系
题型1 三角函数的单调性与 的关系
例1 将函数的图象向右平移 个单位长度
后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则
的最大值为( )
A.6 B.5 C.3 D.2
√
[解析] 由题可知， ，
当时，.
因为在区间 上单调递减，所以 ，解得，
又,所以 ，即 的最大值为5.故选B.
题型2 三角函数的最值（极值）与 的关系
例2（1）将函数 的图象上所有点的横坐
标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若 在
上只有一个极大值点，则 的最大值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
√
[解析]将函数 的图象上所有点的横坐
标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数 的图象，
则，
当 时，，
因为在 上只有一个极大值点,
所以,解得，
因为 ，所以正整数 的最大值为2.故选D.
（2）已知函数 ，若对任意的
,在区间上的取值范围均为，则 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，因为，所以 ，
因为对任意的 ,在区间上的取值范围均为，
所以必须大于 的最小正周期，即，
解得，即 的取值范围为 .故选A.
题型3 三角函数的对称性、奇偶性与 的关系
例3（1）[2026·福建龙岩质检]若函数 的图象
向左平移个单位长度后得到一个奇函数的图象，则 的最小值为
( )
A. B.1 C. D.3
√
[解析] 函数的图象向左平移 个单位长度后，
得到的图象，
因为 为奇函数，所以,，即, ，
又，所以 的最小值为 ，故选A.
（2）已知函数的图象向左平移 个单位长度后，
得到的图象关于轴对称，则满足上述条件且取得最小值的 的
值为( )
A.3 B. C.15 D.2
[解析]由题知函数 为偶函数，
所以 ,，解得, ，
因为取得最小值，所以，此时 ，故选A.
√
总结反思
（1）解决已知三角函数的单调区间求参数 的取值范围问题时,可
求出所给函数的相应单调区间,根据已知区间是相应单调区间的子集
列不等式（组）求解,也可由所给区间求出整体角的范围,根据该范围
是正（余）弦函数的相应单调区间的子集列不等式（组）求解.
（2）最小正周期,往往通过求来确定 .
（3）解决三角函数的奇偶性问题时,要结合五点作图法,根据正弦
（型）、余弦（型）函数图象的对称性求解 .
【对点演练1】（1）[2025·安徽A10联盟期中]已知函数
的图象关于点对称，且在 上
单调递增，则 的值为( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析]因为的图象关于点对称，所以 ，
即，所以 ，
解得.
因为， ，所以，
因为在 上单调递增，所以，可得.
综上， .故选B.
（2）函数的图象向右平移 个单位长度后，得
到函数的图象，且的图象与的图象关于点 对称，
那么 的最小值为___.
6
[解析] 由题可得，
因为的图象与 的图象关于点对称，
所以 ,化简得 ，
即，故 ， ，
即，，因为,所以 的最小值为6.
微点二 三角函数的零点与 的关系
例4（1）[2025·北京卷]设函数 ,若
恒成立，且在上存在零点，则 的最小值
为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
√
[解析] 函数 .
设函数的最小正周期为，由可得 ，
所以，即.
因为函数在 上存在零点，
且当时，，所以 ，即.
综上可得， 的最小值为4.故选C.
（2）[2025·山东济宁模拟]已知函数
在区间 上有且仅有3个
零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
令，即，则 .
令，则当，时， .
要使函数在区间上有且仅有3个零点，
则需满足 ，解得，
所以实数 的取值范围是 .故选D.
总结反思
（1）研究函数的零点个数问题时,往往采取整体换元的思想,即通过
的取值情况确定函数零点的情况,得到关于 的方程或
不等式，进而得到 的值或取值范围.
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
【对点演练2】（1）已知函数 ，
若集合,恰有3个元素，则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
√
[解析]
，
令，得，
令，由 ，得.
若要使集合, 恰有3个元素，
则需满足，解得 .故选D.
（2）将函数的图象先向右平移 个单位长度，再把所得
函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 ，
得到函数的图象.已知函数在上有两个零点，则 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
[解析]由题可知,,当 时,，
因为函数在 上有两个零点，
所以 ，解得 ，故选A.
√
（3）[2026·湖南常德模拟] 已知函数 在
区间上有且仅有1个零点，的图象在 ， 上有且仅
有1条对称轴，则实数 的取值范围是______.
[解析] 当,时， ，
由函数在区间上有且仅有1个零点，
的图象在, 上有且仅有1条对称轴， ，
得 或
解得或则，
所以实数 的取值范围是 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若函数在上的取值范围是 ，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
因为此时的取值范围为，
所以 ，则 .故选B.
√
2.[2025·福建南平质检]已知函数 的图象在区间
上恰有三个对称中心，在 上恰有两个极大值点，则( )
A. B. C. D.
[解析] 当，时， ，
因为的图象在区间上恰有三个对称中心，
在上恰有两个极大值点，
所以 ，解得 .故选A.
√
3.已知函数的图象在区间 上恰有三条对称
轴，在上恰有两个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，
因为函数 的图象在区间上恰有三条对称轴，
在 上恰有两个零点,所以,解得，
所以 的取值范围为 .故选C.
√
4.[2026·江西宜春期中]将函数 图象上所有点的
横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位
长度,得到函数的图象,若在 上单调递减,则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原
来的（纵坐标不变），得到函数 的图象，
再将函数的图象向左平移 个单位长度，
得到的图象.
当 时，，
因为函数在 上单调递减，所以，
解得， ，
当时，；当时， ，不符合题意；
当时，，不符合题意.
故实数 的取值范围为 .故选B.
5.[2025·河北秦皇岛一模]已知函数 ，
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若 在
上的取值范围为，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由题意可知 ，
当时，，
因为 ，所以,，
要使在 上的取值范围为，
需满足且 ，
综上可得 ，故选B.
6.已知函数，其中 ，若对任意的
，都有恒成立，则 的值不可能是( )
A. B.1 C. D.2
√
[解析] 依题意得，函数在上单调，
令 ，，解得,，
所以函数 图象的对称轴方程为,，
则 ，解得，
由解得 ，
又，所以或，所以或 ，
结合选项 的值不可能是 .故选C.
7.（多选题）已知关于的方程 在
上恰有5个实数根，则 的值可能为( )
A. B. C.14 D.13
√
√
√
[解析] 由题意得
，则或，
解得 或 或.
由 ，得，
因为关于 的方程在 上恰有5个实数根，
所以结合余弦函数的图象得 ，
解得 .故选 .
8.[2026·北京丰台区模拟] 设函数 .
①给出一个 的值，使得的图象向右平移 个单位长度后得到的
函数的图象关于原点对称，则 _ ________________；
（答案不唯一）
[解析] 由题意可得 ，
因为的图象关于原点对称，所以 , ，
解得,，不妨令，则 .
②若在区间上有且仅有两个零点，则 的取值范围是
_ ______.
[解析] 若，则,
因为此时 有且仅有两个零点，所以 ，
解得，所以 的取值范围为 .
9.已知函数 在
区间上恰好存在5个零点，则正整数 ___.
5
[解析] 令,则,当 时,，
因为，所以 或 ，，
按从小到大的顺序，设函数 的零点依次为,,,,，
则,, ,, ，
由题意知，解得，故正整数 .
10.[2026·湖南长沙模拟] 已知函数
.
（1）若的最小正周期为 ，求当时, 的取值范围；
解：由已知得, .
因为的最小正周期为 ，所以 ，所以 ,
则.当时， ，
则，所以的取值范围是 .
（2）若在区间内无零点，求 的取值范围.
解：方法一:令,则,,即 , .
因为在区间内无零点,所以 ,，
所以，且 ，即，且， .
因为，所以，且，即 .
因为，所以.所以 的取值范围是 .
方法二：令，则当时， .
由题意得，函数在区间 内无零点，
则 , 且,,即 , 且, .
因为，所以，且，即 .
因为，所以.所以 的取值范围是 .
◆ 综合提升 ◆
11.设函数的最小正周期为，
将 的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，
且 在区间内的零点与最值点恰好共有4个，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 因为，所以 ，
将的图象向左平移 个单位长度后，
可得 的图象，
因为的图象关于原点对称,所以, ，
即,，
又，所以 ，所以.
因为，所以 ，
由题意可得 ，解得，
又 ，所以 .故选C.
12.（多选题）[2026·辽宁大连期中]已知函数
在 上单调，且
，若在上恰有2个零点，则 的值可能
为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为函数在 上单调，
且，而， ，
所以的图象关于点对称,即.
设函数 的最小正周期为,则,即,解得 ，
又函数在区间上恰有2个零点， 恰为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期，所以，即 ，
解得，
又，所以，所以 的值可能为，.故选 .
13.已知函数， 是函数
的一个零点，是函数图象的一条对称轴，若 在区
间上单调，则 的最大值为___.
6
[解析] 设函数的最小正周期为，
因为是函数 的一个零点,是函数 图象的一条对称轴，
所以，其中，所以 ，
所以.
因为函数在区间上单调，所以 ，
所以，所以 的可能取值有2,6.
当 时, , ，
所以，则，
因为 ，所以，所以，
当 时,,所以函数在上单调,符合题意,
故 的最大值为6.
14.[2026·江西新九校协作体期中] 已知函数
.
（1）若的最小正周期为 ，
（ⅰ）求 的值；
解：
，
因为的最小正周期为，所以，解得 .
（ⅱ）求 的单调递增区间.
解：由（ⅰ）得, .
令，，
解得 ，.
故的单调递增区间为 .
（2）若在上没有最小值，求 的取值范围.
解：由，得，
因为 在上没有最小值，
所以 ，解得， .
因为,所以 ,又,,所以取,，
所以或 ，故 的取值范围为 .
微点一
例1 B 例2（1）D （2）A 例3（1）A （2）A
【对点演练1】（1）B （2）6
微点二
例4（1）C （2）D 【对点演练2】（1）D （2）A （3）
夯实基础
B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. C 7. ABC
8. ①（答案不唯一） ② 9. 5
10.（1） （2）
综合提升
11. C 12. BC 13. 6
14.（1）（ⅰ） （ⅱ）单调递增区间为（2）

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