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第25讲　余弦定理、正弦定理
【备选理由】 例1考查利用正、余弦定理解三角形,难度有所拔高,是对例题的拓展;例2巧用向量的坐标法解决解三角形问题,提供了新的解题思路;例3是解三角形问题与平面向量的数量积问题相交汇,意在提升学生处理交汇性问题的能力;例4为多三角形问题,意在提升学生的逻辑推理能力和数学运算的核心素养.
1 [配合探究点一使用] (1)[2026·广东湛江期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=b(cos C+sin C),且a+c=4,则b的最小值是 ( B )
A.　　　　　　　　　　　 B.2
C.2 D.2
(2)[2026·湖北黄石期末] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan C=,则的取值范围是 ( B )
A.(-3,-2) B.(-3,-1)
C.(-3,0) D.(-3,1)
(3)[2026·山东枣庄期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2bcos A,则的取值范围是 ( D )
A.(-1,1)∪(3,+∞) B.(1,2+)
C.(3,2+) D.(3,+∞)
[解析] (1)因为a=b(cos C+sin C),所以由正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Bsin C.因为A+B+C=π,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin A=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Bsin C,所以cos Bsin C=sin Bsin C.又sin C>0,所以 cos B=sin B,所以tan B=,由0(2)由tan C=,可得=,所以sin Ccos A=cos C-sin Acos C,即sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=cos C,因为A+C=π-B,所以sin B=cos C=sin,所以B=-C或B=+C.当B=-C,即B+C=时,A=,可得tan C=0,不符合题意,舍去;当B=+C时,可得A=-2C且0(3)因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,又sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B),又A∈(0,π),B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π),所以B=A-B或B+(A-B)=π,即A=2B或A=π(舍去),所以解得02 [配合探究点一、三使用] 在△ABC中,已知AB=2AC=4,∠BAC=60°,AB,BC边上的中线CF,AE交于点D,则cos∠EDF= ( A )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得AC=2,根据余弦定理得BC2=22+42-2×2×4cos 60°=12,则BC=2,所以AC2+BC2=AB2,则∠ACB=90°,如图,以A为原点,AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,2),C(2,0),E(2,),F(1,),
所以=(2,),=(-1,),则cos∠EDF=cos<,>===.故选A.
3 [配合探究点三使用] [2026·湖北武汉质检] 已知△ABC的面积为5,O为边BC的中点,OA=5,·=5.
(1)求BC的长;
(2)求角C的正弦值.
解:(1)因为O为边BC的中点,所以S△ABC=2S△AOB=2×OA·OBsin∠AOB=5,
即OA·OBsin∠AOB=5,
又·=||·||·cos∠AOB=5,所以tan∠AOB=,因为0<∠AOB<π,
所以∠AOB=,又OA=5,所以||·||·cos∠AOB=||=5,
故OB=2,则BC=2OB=4.
(2)由(1)得∠AOB=,OC=OB=2,则∠AOC=,
在△AOC中,由余弦定理可知AC2=OA2+OC2-2OA·OC·cos∠AOC=25+4+2×5×2×=39,则AC=,
又由正弦定理可知=,所以sin C===.
4 [配合探究点三使用] 如图,在平面四边形ABCD中,BC⊥CD,AD=,∠ACD=30°,∠CAD=45°.
(1)求AC的长;
(2)若△ABC为锐角三角形,求△ABC面积的取值范围.
解:(1)在△ACD中,∠ACD=30°,∠CAD=45°,则
∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=180°-30°-45°=105°,
由正弦定理得=,即=,所以AC=2sin 105°,
因为sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=×+×=,
所以AC=2×=+1.
(2)因为BC⊥CD,∠ACD=30°,所以∠ACB=60°,所以∠BAC=120°-B,
因为△ABC为锐角三角形,所以
即解得30°在△ABC中,由正弦定理得=,
则BC=====,
所以S△ABC=AC·BCsin∠ACB=×(+1)×sin 60°
=×=,
因为30°tan 30°=,
所以0<<3,所以1<+1<4,
所以<<2+3,即第25讲 余弦定理、正弦定理
课前基础巩固
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【课标要求】
掌握余弦定理、正弦定理.
◆ 知识聚焦 ◆
1.正弦定理和余弦定理
定理 余弦定理 正弦定理
公式 __________________, __________________, __________________ __________
（其中是 的外接圆半
径）
定理 余弦定理 正弦定理
定理 的变 形 _ ________, _ ________, _ ________ ,________,
________;
________________;
,, ;
, ,
续表
2.在中,已知,和 时,解的情况如下:
图形 关系式 解的个数
为锐角 ___
___
1
2
图形 关系式 解的个数
为锐角 ___
为钝角 或直角 ___
1
1
续表
3.三角形面积公式
（1）表示边上的高 ;
（2） ;
（3）为三角形的内切圆半径 .
常用结论
1.三角形的内角和定理:在中, ;
变形: .
2.三角形中的三角函数关系:在 中，
（1）;（2） ;
（3）;（4） .
3.角平分线定理:如图，在中， 的平分线
交于点，则 .
4.三角形中的射影定理:
在中,; ;
.
5.在圆所有的内接三角形中,正三角形的面积最大.
6.， .
7. 三角形的面积 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在中，若，则 .( )
√
[解析] 在中，由及正弦定理得 ，
所以 .故正确.
（2）在中，若，则 为钝角三角形.( )
√
[解析] 根据余弦定理有，若 ，
则，即为钝角，此时 为钝角三角形.故正确.
（3）在中，， ， ，则该三角形有两解.
( )
×
[解析] 因为， ，，，所以 ，
解得，因为，所以 ，
所以三角形有唯一解.故错误.
（4）若为锐角三角形且,则角的取值范围是 .( )
×
[解析] 若为锐角三角形,则, ，
又，所以，所以 .故错误.
题组二 教材改编
1.在中,内角,,的对边分别为,,,且, ,
,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为,所以由正弦定理可知,
在 中,由余弦定理可得,
解得 ,又,所以,故 .故选D.
√
2.在中, ,,则 外接圆的半径为( )
A.1 B. C.2 D.3
[解析] 设为外接圆的半径,则 ,
解得 .故选A.
√
3.在中,,,,则 的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由余弦定理得 ,
所以,
所以 的面积为 .故选B.
√
探究点一 利用余弦、正弦定理解三角形
例1（1）[2025· 全国二卷］在中，, ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由余弦定理得
，
又 ，所以 .
√
（2）在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是
( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] 对于A，，， ，为钝角且 ，
所以三角形有一解，故A不符合题意；
对于B，, ,,为锐角, ，
无解,故B不符合题意；
对于C，，， ，为钝角且 ，无解，
故C不符合题意；
对于D,,,, 为锐角,,
因为 ，所以三角形有两解，故D符合题意.故选D.
（3）（多选题）[2025· 全国一卷］已知的面积为 ，
， ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析]由 ,得，
则 ，所以，故A正确；
设，， ,
因为且 ,
所以，若，则 为锐角，
又，所以为锐角三角形，则 ，
故，则,即 ，
则,矛盾,
故 ,则,故 ，
则,
因为,所以 ，所以，
得，故 ，则 ，故B正确；
，
则,故C正确；
，故D错误.故选 .
总结反思
（1）利用正、余弦定理解三角形时,若在一个式子中三角形三个内角
的三角函数值同时出现,则要考虑利用 或
对其中某个角的三角函数值进行代换,从而达到
“消元”的目的.
（2）求解三角形个数时,可借助正、余弦定理求解,通过解的个数判
断三角形的个数,也可结合图形进行判断.
【对点演练1】（1）[2026·江西景德镇模拟]已知的内角 ，
，的对边分别为，，，若，，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，
所以由正弦定理可得 .故选C.
√
（2）[2025·福建福州质检]已知,,分别为的内角,, 的对
边，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
整理得，，
又 ， ,故选C.
√
（3）[2025·浙江金华义乌三模]在中，内角，， 所对的边
分别为，，，已知,, ，则下列结论一定正确的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由正弦定理，得 ，
因为,所以或，故A，B不一定正确.
若 ，则 ,
此时
,
若,则,
此时 为三角形中最小的内角，故 ，
故C不一定正确，D一定正确.故选D.
探究点二 利用余弦、正弦定理判断三角形的形状
例2（1）在中，内角，，所对的边分别为，， .若
，则该三角形一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
[解析] 由，得 ，
所以，可得，
因为不能确定 是否成立，所以 一定是直角三角形.故选B.
√
（2）已知的三个内角,,所对的边分别为,, ，则下列条
件能推导出 一定为锐角三角形的是______.
； ；
；
②④
[解析] 对于①,若 ,则由余弦定理可知,
即角 为锐角，但不能推出其他角均为锐角，故①不符合题意；
对于②，因为 ，所以，
则由正弦定理得 ，
设,,,,则为三角形最大边, 为三角形最大角，
根据余弦定理得 ，
则为锐角，可得 一定是锐角三角形，故②符合题意；
对于③,因为 ，
所以 ，
整理可得，
由正弦定理可得，可得 为直角，故③不符合题意；
对于④，因为 ，
所以 ，
故 ，
因为，所以，
故,, 均为锐角,所以 为锐角三角形,故④符合题意.故填②④.
总结反思
判断三角形形状的技巧总结:
（1）整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边或等腰三角形;
（2）通过三角恒等变换,得出内角之间的关系,从而判断三角形是否
为锐角、直角或钝角三角形.
求解三角形形状问题时,既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑,以
免漏解.
【对点演练2】（1）[2026·四川雅安期中]已知的内角,, 的
对边分别为,,.若 ,，则 是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
[解析] 由余弦定理可得
，
因为，所以 ，
即为钝角，则 是钝角三角形,故选A.
√
（2）在中，内角,,的对边分别为，，，则“ ”
是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由，得 ，
由正弦定理得即 ,
所以，
因为,,所以或 ,故或，
所以“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B.
探究点三 利用余弦、正弦定理解决平面几何问题
题型1 三角形中最值（范围）问题
例3（1）[2025·江西萍乡二模]在中，内角,, 所对的边分别
为,,,若,,则 面积的最大值为( )
A.3 B. C. D.
√
[解析] 因为,所以 ,
则
，
即 ，
又，所以可得,.
因为 ,所以由余弦定理,可得 ，
由（当且仅当 时取等号），
可得（当且仅当 时取等号），
则，所以 ，
当且仅当 时等号成立,故选A.
（2）已知，，分别为斜三角形的内角，， 的对边，且
.
①求 的值；
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
因为为斜三角形，所以，故 ，
则由正弦定理可得 .
②已知的面积为，求 的最小值.
解：由①知, ,所以 ，
所以 ,
即 ，
因为 ，所以，
故 ，即，所以 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当，即时等号成立，此时 取得最小值4.
题型2 三角形中角平分线、中线、高线问题
例4（1）在中，已知,,,是 边上的
中线，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由余弦定理得 ，
则 ，
则 ，故选B.
√
（2）[2026·四川成都诊断]在中，， 的平分
线交于点，若，则 ( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 设 ,，则 ，
在 中，由正弦定理得，
在 中，由正弦定理得 ， 易知，
所以可得 ，所以，所以 ，
由正弦定理得，所以 ，
所以 ，
又由正弦定理得，所以,
所以 ，
所以 ，
化简得,所以或 （舍去），
又，所以，所以 .故选C.
例5 [2025·北京卷] 在中，, .
（1）求 ；
解：因为,，所以 ，
由正弦定理得，解得 .
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求
边上的高.
；；的面积为 .
解：如图所示，若存在，则设其 边上的高为 .
若选①，因为，，所以 ，
又因为，所以 有两个钝角，
而这是不可能的，所以 不存在，故不能选①.
若选②，由正弦定理得 ，
解得 ，所以， ，
而,, , ，
所以 ，
,可以唯一确定，
所以, 也可以唯一确定，
这表明是存在的，且边上的高 .
若选③，因为的面积是 ，所以
，
解得 ，由余弦定理可得
,可以唯一确定，
这表明是存在的，
且 边上的高满足，即 .
题型3 多个三角形为背景的问题
例6 （多选题）[2025·河南许昌三模]如图，在平面四边形 中，
，，， ，则下列结论正确的是
( )
A.
B.
C.
D.若，则中边上高的长度为
√
√
√
[解析] 在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，即，
解得或（舍去）， ，故A正确；
在 中，由正弦定理得，
即 ，解得，故B不正确；
,
故C正确；
，
在中，由余弦定理得，解得，
的面积为 ，
设中边上的高为，则 ，
可得，中边上的高为 ，
故D正确.故选 .
例7 在中，内角，，的对边分别为，，， 且
.
（1）求 ；
解： ，
，
，
，
即 ，
,, ,即 ,
又 ， ，即 .
（2）如图所示，为外一点，， ，
，求 .
解：， 令 ， ，
在中，由正弦定理得 ，
， ，
在中，由正弦定理得 ，
， ，
，
，可得 ，即 .
总结反思
1.求解有关三角形的最值（范围）问题时,先用正弦定理、余弦定理、
面积公式等进行化简整理,构造出关于某个角或某条边的函数或不等
式,再利用三角函数值域的有界性、函数的单调性或不等式性质求解.
2.求解三角形的中线、角平分线、高线问题的常用方法.
（1）向量法:已知为的边上一点,若为 的中线,则
,;若为
的平分线，则, .
（2）在中,取边上的一点,连接,得到, ,且
,则 ,因此可利用余弦定理
分别在两个三角形中去求解这两个角的余弦值,再根据两角余弦值间
的关系建立等式.#2.2.2
（3）若为的边上一点,为 的平分线,则
,即
.
3.多三角形背景问题的求解策略.
（1）寻找各三角形中已知条件较多、边角关系较明显的三角形,以这
样的三角形为主运用正弦、余弦定理解决问题.
（2）注意发现不同三角形内角之间的关系,尤其是具有互余、互补关
系的角,通过这些关系结合诱导公式进行三角函数值之间的转化并求解.
【对点演练3】（1）[2026·河北邯郸调研]在正三棱锥 中，
,,，分别在,上，当 的周长最小
时， 的面积等于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 三棱锥 是正三棱锥，
，
将三棱锥的侧面沿 所在直线剪开，使其在同一个平面上，如图，
则 ，易知周长的最小值为 ,
此时 , ,
, ,
则 .
故选B.
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，且 ，
，，则边上的高 ( )
A. B. C. D.
[解析] ,,, 由余弦定理得,
即,解得或 （舍去），
又, ,由三角形的面积公式可得，
则 .故选B.
√
（3）[2025·湖北黄冈中学模拟] 如图，在中，内角，，
的对边分别为，，，已知，， .
①求 的值；
解：方法一（正余弦定理综合法）
在 中，
由余弦定理得，
所以 .
由正弦定理得 ，则 .
方法二（几何法）
过点作，垂足为 .
在中，由，，可得 ，
又，所以 .
在中，，因此 .
②在边上取一点，使得，求 的值.
解：方法一（两角和的正弦公式法）
因为， ，
所以 .
因为，所以 ，所以 ，
所以
.
因为 ，所以 ，
所以 .
方法二（几何法两角差的正切公式法）
在①的方法二中，由 ，
可得 ，
从而.易知 ,
则 ，
则 .
又由①可得 ，
所以 .
方法三（几何法正弦定理法）
在①的方法二中可得,, .
由 ,
可得 ，
因为，所以 .
在中，, ，
所以 .
在中，由正弦定理可得 ，
因为，所以 ，
所以 .
方法四（构造直角三角形法）
在①的方法二中,作,垂足为点 .如图，
可得，， .
由，可得 ，
则 .
在中， ，
， .
由①知，
所以在中， ，
，从而 .
在中，，所以 .
例1 ［配合探究点一使用］（1）[2026·广东湛江期末]在中，
内角,,的对边分别是 ,, ，若，
且，则 的最小值是 ( )
A. B.2 C. D.
√
【备选理由】例1考查利用正、余弦定理解三角形，难度有所拔高，
是对例题的拓展;
[解析] 因为 ，
所以由正弦定理得.
因为 ,所以 ，
所以 ，
所以.
又,所以 , 所以,
由,得 ．
由余弦定理得
，
当且仅当时,等号成立,所以，即 的最小值为2. 故选B.
（2）[2026·湖北黄石期末]记的内角,,的对边分别为,, ，
已知，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，可得 ，
所以 ，
即，
因为 ，所以，
所以或 .
当,即时,,可得 ,不符合题意,舍去；
当时，可得且 ，
由正弦定理得,,，
其中为 外接圆的半径，
则
，
又由，可得,，所以 ，
即的取值范围为 .故选B.
（3）[2026·山东枣庄期中]在中，内角，， 所对的边分别
为，，，若，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为 ,
所以由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
则 ，
又，，所以,
所以 或 ，即或 （舍去），
所以解得，则 ，
所以，
因为 ，所以,
因为 ，所以，
所以，即 的取值范围是． 故选D.
例2 ［配合探究点一、三使用］在中，已知 ,
,,边上的中线，交于点，则
( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例2巧用向量的坐标法解决解三角形问题,提供了新
的解题思路；
[解析]由题意得 ,
根据余弦定理得 ，
则,所以，则 ，
如图，以为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则,,,, ，
所以,，
则 , .
故选A.
例3 ［配合探究点三使用］[2026·湖北武汉质检] 已知 的面积
为，为边的中点，， ．
（1）求 的长；
【备选理由】例3是解三角形问题与平面向量的数量积问题相交汇，
意在提升学生处理交汇性问题的能力；
解：因为为边 的中点，
所以 ，
即 ，
又，所以 ，
因为 ,所以，
又 ，所以 ，
故,则 .
（2）求角 的正弦值．
解：由（1）得,，则 ，
在 中，
由余弦定理可知
，则 ，
又由正弦定理可知 ,所以 ．
例4 ［配合探究点三使用］如图，在平面四边形 中，
，， ， .
（1）求 的长；
【备选理由】例4为多三角形问题，意在提升学生的逻辑推理能力和
数学运算的核心素养.
解：在中， ， ，
则 ，
由正弦定理得 ，
即，所以 ，
因为
，
所以 .
（2）若为锐角三角形，求 面积的取值范围.
解：因为， ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以
即解得 .
在中，由正弦定理得 ，
则
，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以，所以 ，
所以 ，
即 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.在中，内角,,的对边分别为,,，且 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由及，得 ，
由余弦定理得，
因为 ，所以 .故选C.
√
2.[2025·重庆三模]在中，内角,,所对的边分别为,, .若
,为边上的点,且,,,则 ( )
A.4 B. C. D.
[解析] 因为,,所以 ，
因为 ，
所以，
解得 .故选D.
√
3.[2026·河北邯郸模拟]在中，内角，，的对边分别为 ，
，，若 ， ，，则 的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
易知，
所以 的面积为 .故选D.
√
4.在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，且，则 的形状
一定是( )
A.非等腰直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰钝角三角形 D.不确定
√
[解析] 因为 ，
所以 ，
整理可得，
由正弦定理可得，故 .
因为，所以由正弦定理可得 ，
因为，均为锐角,所以,则，所以 ，
故，因此， 为等腰直角三角形.故选B.
5.在锐角三角形中，，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由余弦定理可知 ，
在锐角三角形中，有 即
即 即解得,则 ，
故选C.
6.[2026·河北定州一模]记的内角,,所对的边分别为,, ，
若,，为 的中点，
则边上的中线 长度的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ，
得 ，
所以 ，
即 ，
则由正弦定理得，
因为, ，所以,，所以，
即 ，又，所以，
，
即 .
由题可得 ，
所以 ，
因为，当且仅当 时等号成立，
所以，所以，则，
所以 边上的中线长度的最小值为 .故选C.
7.（多选题）[2025·江苏苏州三模]记的内角，， 所对的边
分别是，，，若,, ，则( )
A. B. C. D.
√
√
.因为，所以，且 ，
那么或 .
若,,则 ,这与矛盾,
所以 ,故B正确，A错误.
由余弦定理可得,即 ，
即,则或.
因为，所以 ，故D正确，C错误.故选 .
8. 湘豫名校联考］在中，内角，， 所对的边分别
为，，，边上的高为.若，，则 的最小值为___ ；
若，则 的最大值为___.
6
4
[解析] 因为 ，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以 的最小值为6.若，则 ，
解得,
由余弦定理得 ，
整理得 ，
所以，当时， 取得最大值4.
9.如图，半圆的直径为4， 为直径延长线上的
一点，，为半圆上任意一点，以 为一
边作等边三角形，则四边形 面积的最
大值为_________.
[解析] 设，
则 的面积为
，
的面积为 ，
所以四边形 的面积为
.
因为,所以当,即 时,
四边形的面积取得最大值 .
10.[2025·江西萍乡三模] 已知 中，
，且 .
（1）若，求 外接圆的面积；
解：依题意得，，则 ，
故，
因为，且，所以 ，则，
故外接圆的半径，
故 外接圆的面积 .
（2）若在延长线上，，， 的面积为
，求 的周长.
解：由及(1)知,,又 ,所以 ，
所以,得 ,
故.
由的面积为,得 ,代入,
可得,，
又 ，所以，解得 ，
由余弦定理得 ，
故的周长为 .
◆ 综合提升 ◆
11.在等边三角形中，，，分别在边，， 上，且
,,，则 面积的最大值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 ，则,,，
, ,，，
在中，由 ，得 ，
同理，在 中， ，
，
其中，
， 当时，取得最大值 ，
，当且仅当 时等号成立.
故选A.
12.（多选题）已知的内角，，的对边分别为，， ，
，的平分线交于点， ，则下列说法正
确的是( )
A.的最小值为
B.
C.的最大值是
D.的周长的取值范围是
√
√
√
[解析] 对于A，由等面积法得 ，
即 ，
得，即 ，
所以
，当且仅当,时取等号，
故的最小值为 ，故A正确；
对于B，在中，，在 中，，
由的平分线交于点,得 ,故,故B错误；
对于C,在 中,,在中,，
所以
，
又 ，所以当 时，取得最大值 ，故C正确；
对于D,由A知,则,故 ，
所以，当且仅当 时取等号，
因为，
所以 ，
故三角形周长为，
令，
则 的周长 在上单调递增，
所以，
即 周长的取值范围是，故D正确.故选 .
13. 浙江杭州三模］如图，在三角形 中，若
，， ，
则四边形 的面积的最大值为_________.
[解析] 由正弦定理及 ，
可得 ，
由 ，得，
所以 ，即 ，
又
（当且仅当时等号成立），
所以整理得 ，
即 ，即,
又 ，所以，
又 ，所以，即 .
同理,条件等式也可化简为 和
，
可得 ，所以是等边三角形.
设, ,
在中, ，
故 ,，
所以
，
易知当 时，四边形的面积取得最大值 .
14.[2026·广东揭阳联考] 已知的内角，， 所对的边分别是
，，，且 .
（1）求 的最值；
解：当时，，满足 .
令，则，故 无最大值.
，
所以 ，
所以,
则 或，
由，得 ，则 .
①当时， ，
当且仅当 时取等号；
②当 时，
，当且仅当 时取等号，
因为，所以的最小值是.
综上所述， 有最小值 ，无最大值.
（2）若，，求的面积 的取值范围.
解：①当时， ，
则 ；
②当时，
在 中,由正弦定理得,所以， ，
则，
，
所以 .
综上，的面积的取值范围是 .
【知识聚焦】1.
2. 1 2 1 1
【课前演练】（1）√ （2）√ （3）× （4）× 1. D 2. A 3. B
课堂考点探究
例1（1）A （2）D （3）ABC 【对点演练1】（1）C （2）C （3）D
例2（1）B （2）②④ 【对点演练2】（1）A （2）B 例3（1）A （2）① ② 4
例4（1）B （2）C 例5（1）（2）不能选①.若选②，边上的高为.若选③，边上的高为
例6 ACD 例7（1）
教师备用习题
例1（1）B （2）B （3）D 例2 A 例3（1）（2）例4（1）（2）
夯实基础
C 2. D 3. D 4. B 5. C 6. C 7. BD 8. 6 4
9. 10.（1）外接圆的面积 （2）的周长为
综合提升
11. A 12. ACD 13.
14.（1）m>有最小值，无最大值 （2）

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