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微专题5 “爪形”三角形问题
微点二
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一
微点一 已知三角形一边上一点的等比分点问题
例1 [2026·山东青岛期末] 记的内角，， 的对边分别为
，，，已知， .
（1）求 ；
解：由 ，可得 ,
则 ，
整理得 ，
，，，则 ，
又， .
（2）若是边上靠近的三等分点，且，求 的长.
解：是边上靠近的三等分点，且 ，
，， .
在中，由正弦定理得 ，
在中，由余弦定理可得 ，
即，即，故 .
总结反思
求解“爪形”三角形问题的思考途径一（如图）：
1.角互补: .
2.边与面积的比值： .
3.向量关系式：设，，则 .
当 为中线时，可以考虑：
①中线长公式： .
②向量关系式： .
【对点演练1】 记的内角，，的对边分别为，， ，
.
（1）求 ；
解：由题意及正弦定理得
，
整理得 ，
即 ，
因为，所以，所以 ，
因为，所以 .
（2）若是边上靠近点的三等分点，， 的面积
为，求 的周长.
解：设，则 ，
在中，由，，得 ，
由余弦定理得 ，
所以，解得 ，
在 中，由余弦定理得
，
所以，解得 ，
因为，所以 ，
则 ，
所以的周长为 .
微点二 已知三角形一个顶点对应的三个角问题
例2（1）[2025·湖北武汉调研]在中，内角，， 的对边分
别是，，，且，，的面积为，为边 上一
点，是的平分线，则 ( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 在中，由余弦定理可得 ，
所以，所以，
又 的面积为，所以，所以 ，
所以，所以.
因为 是的平分线，，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，所以，
所以 .故选B.
（2）在中，已知，，边的中线 ，那
么 ___.
9
[解析]由 ,得 ，
所以 ，
即，则 .
由余弦定理得
，所以 .
总结反思
求解“爪形”三角形问题的思考途径二（如图）：
等面积法： .
特别地，当 为角平分线时，可以考虑：
①角平分线定理：或 .
②等面积法：
.
【对点演练2】（1）在中，内角,,所对的边分别为,, ，
，的平分线交于点，且，则
的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
√
[解析] 由题意得， ，
即 ,所以 ,则,
由, ，
得 ，
当且仅当，即,时等号成立，
故 的最小值为9.故选D.
（2）记的内角,,的对边分别为,,，已知 .
①证明： ；
证明：由余弦定理得 ，
当且仅当时等号成立，所以 ，
由正弦定理可得 ，
又，所以，即 .
②若边上的中线长为，求 的最大值.
解：设为边的中点，则有 ，
两边平方得 ，
即 ，
故，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为4.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·湖南长沙模拟]已知的面积为， ，
，的角平分线交边于点，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为的面积为， ， ，
所以，解得.
在 中，由余弦定理得
，
所以.
因为平分 ，所以 .故选A.
2.在中，内角，，所对的边分别为，，，若 ，
，边上的高，则 ( )
A. B. C.8 D.
√
[解析] 因为边上的高, ,所以，
将，， 代入上式可得，
即，解得 .
由余弦定理，可得 ，
即，即，
把 代入上式可得，
即 ，所以 .故选A.
3.如图，在中，，是 上一
点，若,则实数 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 由,得 ,则,
因为，， 三点共线，所以,即 ，故选D.
√
4.（多选题）在中，是的中点，, ，则下列
结论一定正确的是( )
A.的最大值是
B.
C.面积的最大值是
D.的最大值是
√
√
√
[解析] 因为,,所以 ,即外接圆的半径为，
所以的最大值为 ，故A正确；
由题知 ，故B错误；
如图,以的外接圆圆心为原点,
的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，
则, 易知当的坐标为时
取得最大值 ，又是的中点,,
所以 面积的最大值是,故C正确；
设 ,，
因为, ，，
所以，
因为,所以 ，
所以当，即时，
取得最大值 ，故D正确.故选 .
5.[2025·福建龙岩质检] 在中，，为 边上的点，
且满足，，则 _ _.
[解析] 在中，, ，
由余弦定理得，
在中， ，所以 ，
.
6.[2026·安徽合肥联考] 在中，内角，，的对边分别为 ，
，，若，是的平分线，点在上， ，
，则 的面积为_ ___.
[解析] 在中，由角平分线定理得，所以 ，
由 ，
得，解得， ，
所以 .
7.记的内角，，的对边分别为，，，为 的中点，
为边上一点，.设 ，且
，则 __.
[解析] 因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
又因为 ，
，
所以 ，
可得 ，
又 ，所以，可得 ，
则 ，
因为，所以 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2026·河北石家庄质检] 设的内角，，的对边分别为 ，
，，已知 .
（1）求角 的大小；
解：在中，由 及正弦定理得
，即 ，
因为，，所以，则 ，
可得，故 .
（2）若，且，为的中点，求 边上的
中线 的长.
解：由正弦定理可得 ，
所以 .
在 中，由余弦定理可得
，
所以，
因为为边上的中线，所以 ，
所以
，
故 ，因此，边上的中线 的长为2.
9.在中，，角的平分线交边于点 .
（1）若，求角 .
解：设，由题意可知，
在 中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得 ，
因为，为角的平分线，所以 ，
又，所以，
设，则 ，
在 中，由余弦定理可得
，
所以，所以，所以 .
（2）若，问：的面积能否取到？若能，请求出
和 的长度；若不能，请说明理由.
解：的面积不能取到 .
方法一：因为角的平分线交边于点 ，
所以由 ，
得 ，
即 ，
又，当且仅当 时等号成立，
所以，所以的面积的最小值为 .
因为，所以的面积不能取到 .
方法二：因为角的平分线交边于点 ，
所以由 ，
得 ，
即.
假设的面积能取到 ,则进而 ①，
所以②，联立①②，可得 ，此方程无解，
假设不成立.所以的面积不能取到 .
微点一
例1（1） （2）
【对点演练1】（1） （2）的周长为
微点二
例2（1）B （2）9
【对点演练2】（1）D （2）①证明略 ②的最大值为4
夯实基础
1. A 2. A 3. D 4. ACD 5. 6. 7.
综合提升
8.（1） （2）的长为2
9.（1） （2）的面积不能取到

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