资源简介

第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例
【备选理由】 例1是在多种测量方法下选出可行的方法,对正弦、余弦定理的应用要熟悉,让学生学以致用;例2考查三角形问题与三角函数求最值问题,综合性较强;例3是测量高度问题,意在考查数学运算的核心素养.
1 [配合探究点一使用] [2026·黑龙江哈尔滨模拟] 为丰富学生的校园文化生活,某中学每年冬天都会在操场上浇筑滑冰场,现欲测量操场上C,D两点之间的距离,甲同学选定了与C,D不共线的P1,P2两处观测点,如图所示,已知P1P2=a.设∠DP2P1=∠1,∠CP1P2=∠2,∠P2DP1=∠3,∠P1DC=∠4,∠P2CD=∠5,∠P2CP1=∠6,以下是测量数据的不同方案:①测量∠1,∠2,∠3,∠4;②测量∠1,∠2,∠3,∠6;③测量∠1,∠3,∠5,∠6;④测量∠1,∠3,∠4,∠6.若甲同学选择的方案能唯一确定C,D两点之间的距离,则这样的方案有 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] P1P2=a,即P1P2唯一确定.
对于①,因为∠1,∠3确定,所以△P1P2D是唯一确定的,则∠DP1P2,DP1唯一确定.
因为∠2确定,所以∠DP1C唯一确定.又∠4确定,
所以△P1CD唯一确定,则CD唯一确定,符合题意.
对于②,由①的分析及∠2可知∠DP1C,DP1唯一确定.因为∠2,∠6确定,所以△P1P2C唯一确定,则CP1唯一确定.又∠DP1C,DP1唯一确定,所以△P1CD唯一确定,则CD唯一确定,符合题意.对于③,由①的分析可知,△P1P2D唯一确定,则P2D唯一确定.因为∠6和P1P2唯一确定,所以点C在以线段P1P2为弦的圆O1上.因为∠5和P2D唯一确定,所以点C在以线段P2D为弦的圆O2上.若圆O1与圆O2重合,则此时CD不唯一确定,不符合题意.
对于④,由①③的分析可知,△P1P2D唯一确定,点C在以线段P1P2为弦的圆O1上.
如图所示,虽然∠4确定,但直线CD与圆O1有2个交点,所以CD不唯一确定,不符合题意.
综上所述,符合题意的方案有2个.
故选B.
2 [配合探究点一使用] [2026·河北邯郸期末] 为了增强游客体验,某景区拟在一块半径为100 m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫步体验区.如图所示,在四边形ABCD区域中,将△ACD设计成花卉观赏区,△ABC设计成DIY区,边AB,BC,CD,DA修建观赏步道,边AC修建隔离栏,其中BC=100 m,AC=100 m.
(1)求DIY区(即△ABC)面积的最小值;
(2)为使总的观赏步道尽可能长,则应如何设计四边形ABCD,请给出设计方案.
解:(1)因为BC=100 m,AC=100 m,==2×100,
所以sin∠ABC=,sin∠BAC=.
又BC当∠ABC=时,∠ACB=,如题图,此时S△ABC=×BC×AC=5000(m2);
当∠ABC=时,∠ACB=,如图,此时S△ABC=×BC×AC×sin=2500(m2).
所以DIY区(即△ABC)面积的最小值为2500m2.
(2)由(1)知当∠ABC=时,∠ACB=,∠ADC=,此时AB=200 m.设∠DAC=α,α∈,则CD=200sin α,AD=200sin,故CD+AD=200sin α+200sin=200=200sin.
由α∈,得α+∈,所以200sin≤200,当且仅当α+=,即α=时取等号,
则AB+BC+CD+DA≤500.
当∠ABC=时,∠ACB=,∠ADC=,此时AB=100 m.设∠DAC=α,α∈,则CD=200sin α,AD=200sin,故CD+AD=200sin α+200sin=200=200sin.
由α∈,得α+∈,
所以200sin≤200,当且仅当α+=,即α=时取等号,则AB+BC+CD+DA≤200+200.
由于200+200>500,
故为使总的观赏步道尽可能长,则应使∠ABC=,
即设计方案为四边形ABCD中∠ABC=,使得△ABC为等腰三角形,D点在△ABC另一侧的圆弧上,△ADC为等边三角形.
3 [配合探究点二、三使用] [2026·湖南长沙联考] 如图,某中学数学兴趣小组,为测量学校附近某建筑物DE的高度,在学校操场选择了同一条直线上的A,B,C三点,其中AC=40 m,点B为AC的中点,兴趣小组组长在A,B,C三点上方5 m处的A1,B1,C1观察建筑物最高点E的仰角分别为α,β,γ,其中tan α=1,tan β=2,tan γ=3,点D为点E在地面上的射影,点D1为DE上与A1,B1,C1位于同一高度的点.
(1)求建筑物DE的高度;
(2)求的值.
解:(1)设ED1=h m,因为在A1,B1,C1处观察点E的仰角分别为α,β,γ,且tan α=1,tan β=2,tan γ=3,
所以A1D1=h m,B1D1= m,C1D1= m.由题可知A1C1=40 m,B1是A1C1的中点,所以A1B1=B1C1=20 m,所以在△A1B1D1中,由余弦定理得cos∠A1B1D1=.
在△C1B1D1中,由余弦定理得cos∠C1B1D1=.
又∠A1B1D1+∠C1B1D1=π,所以+=0,整理得=800,解得h=,所以DE= m.
(2)在△A1B1D1中,由正弦定理知=,则sin∠A1D1B1=;
在△C1B1D1中,由正弦定理知=,则sin∠B1D1C1=.
由(1)知=,又sin∠A1B1D1=sin∠C1B1D1,
所以==.(共105张PPT)
第26讲 余弦定理、正弦定理应用举例
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂 平面内）所成的角中，目标视线在水平视 线______的叫作仰角，目标视线在水平视 线______的叫作俯角
上方
下方
◆ 知识聚焦 ◆
术语名称 术语意义 图形表示
方位角 从某点的______方向线起按________方向 转到目标方向线的水平角叫作方位角，方 位角 的范围是______________
正北
顺时针
续表
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐 角，通常表达为北（南）偏东（西） _________________________
_________________________
续表
术语名称 术语意义 图形表示
坡角与 坡比 坡面与水平面的夹角叫坡角 为坡角 ； 坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡比 为坡比，也叫坡度 ，即_ ____________
续表
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若某点的方位角为 ，则该点的方向角为北偏东 方向.
( )
√
[解析] 方位角为 对应方向角为北偏东 ，故正确.
（2）北偏西 指的是方位角.( )
×
[解析] 北偏西 指的是方向角，故错误.
（3）若从处望处的仰角为 ，从处望处的俯角为 ，则
.( )
√
[解析] 因为两直线平行，内错角相等，且从处望处的仰角为 ，
从处望处的俯角为 ，所以 ，故正确.
题组二 教材改编
1.在某次测量中，设在的南偏东，则在 的( )
A.北偏西 B.北偏东
C.北偏西 D.南偏西
√
[解析] 如图，根据方向角的概念可知A正确.故选A.
2.如图，,两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选
取点，测得，间的距离为, ,
，则, 两点间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 , ，
所以 .
由正弦定理得，得 .故选D.
√
3.某指挥中心接到在其北偏东 相距5海里的甲船抛锚等待救援
的信号，指挥中心迅速通知在北偏西 相距3海里的乙船前去救
援，若乙船速度的大小是20海里/时，则乙船最快到达甲船位置需要
航行( )
A.小时 B.小时 C.小时 D. 小时
√
[解析] 如图，设甲船在处，乙船在 处，
由题可得海里,海里, .
在 中，由余弦定理得，
所以 海里，所以乙船最快到达甲船位置需要航行 小时.故选C.
探究点一 距离问题
例1（1）[2026·安徽黄山二模]如图①，为了测量两山顶， 间的距
离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，,,, 在同一个平面
内，其平面图形如图②所示.已知 ， ,
, ,,则 ( )
A. B. C. D.10
√
[解析]在中,由题知, ,则 .
因为,且 ,
所以.
在中，由题知 , ，则 .
又 ,且 ，
所以.
在中， .
故选C.
（2）[2025·广东惠州五校联考]一艘船以 的速度向东航行，
船在处看到一个灯塔在南偏东 方向上，行驶后，船到达
处看到灯塔在南偏西 方向上，此时测得船与灯塔的距离为
，则 的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 如图，由题意知，在三角形 中,
, ,
则 ,
所以三角形 为直角三角形.
又 ，所以,则 .
故选B.
总结反思
求解距离问题的关键:一是找三角形,即将所测量的距离与题中其他的
点组成三角形;二是找或画出边或角,对所找的三角形,分析题中已知
的边角或可求的边角,或是恰当地画出（找出）适合解决问题的三角
形, 将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角度;三是
利用正弦定理或余弦定理求出边长,即求出两点间的距离.
【对点演练1】（1）斜拉桥（如图①）是我国常见的桥型之一,是由
许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔
垂直于桥面,斜拉索,与桥面所成角,
(如图②)主塔的高度为，
则， 间的距离为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 在中，，即，则 .
在中，，即，则 .
所以
，故选A.
（2）[2026·湖南长沙模拟] 如图所示，已知船在灯塔北偏东
的方向上，且，间的距离为2，船在灯塔北偏西 的方向上，
且，两船间的距离为3，则， 间的距离为_______.
[解析] 由题意可知， ， ，
在中，由余弦定理可得，
故，
解得 （舍）或 .
探究点二 高度问题
例2（1）[2026·湖北武汉期中]享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于
湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而
名闻天下.如图,某同学为测量黄鹤楼的高度 ，在黄鹤楼的正东方向找到
一座建筑物,高为26,在地面上点处 ,,三点共线测得建筑物顶部，
黄鹤楼顶部的仰角分别为 和，在处测得黄鹤楼顶部的仰角为 ，
则黄鹤楼的高度为 ( )
A.48 B.54
C.52 D.56
√
[解析] 由题意得 , , ,
,,.
在 中， .
在 中, ,
则 ，
由正弦定理得,即,得 .
在中， .故选C.
（2）小韭菜坪，位于贵州省六盘水市钟山区大湾镇，素有“贵州屋
脊”之称.登上山顶放眼四周，乌蒙磅礴的气势尽收眼底，景区内的野
韭菜、高山洞穴、天坑等地质奇观及自然景观极具观赏价值和科考
价值，是贵州久负盛名的露营基地.某旅游爱好者为了测量小韭菜坪
的海拔，操控无人机飞到海拔3000米的点 处，此时测得小韭菜坪的
最高点的俯角为,在点 的高度上，再操控无人机垂直提升200米的
高度，使其到达点处，此时测得点的俯角为, 与水平面垂直,
则小韭菜坪的海拔约为（参考数据： ）( )
A.2800米 B.2900米 C.2880米 D.2920米
√
[解析]由题意作出示意图如图所示,过向 所在直线作垂线，
垂足为.
因为在点处测得点的俯角为 ，所以 ，
所以.
因为在点处测得点 的俯角为 ，所以 .
又 ，所以，所以.
又因为米，所以米，所以米，
故米，所以点 的海拔高度约为 （米），
所以小韭菜坪的海拔约为2900米.故选B.
总结反思
求解高度问题的注意点:（1）在处理有关高度的问题时,正确理解仰
角、俯角、方向（位）角是关键;
（2）在实际问题中,可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题,
这时最好画两个图形（一个空间图形和一个平面图形）,这样处理起
来既清楚又不容易搞错;
（3）注意塔垂直于地面或海平面,这有助于把空间问题转化为平面问题.
【对点演练2】（1）[2026·江苏南通模拟]如图①是某长方体建筑，
图②中长方体是该建筑物的直观图，点在 的延长
线上，是垂直于地面的测量标杆，高为.现测得的长为 ，在处
测得点的仰角为 ，点的仰角为 ，则建筑物的高 为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 设建筑物的高为，如图，在上取点 ，
使，连接，则四边形 为矩形，
在上取点，使，连接， ，
则四边形、四边形 均为矩形.
在直角三角形中， ，故.
同理在直角三角形 中，可得 .
在直角三角形中， ，
故，即 ，
得
.故选B.
（2）如图，已知某建筑物附近有两座建筑 ，
，，，在同一水平面上，，， 为三座建筑
物的顶点，经测量得， ，
， ，在点测得 点的
仰角为 ，在点测得点的仰角为 ，则建筑
A.268 B.265 C.266 D.267
物的高约为（参考数据：， ，
，结果保留整数） ( )
√
[解析] 如图,分别过,作, ,
垂足分别为,，过作，垂足为 ，
根据题意易得，.
在 中，
由正弦定理得 .
在中， ,
则 .
在中， ,
则.
又 ， ，
所以 .
故选C.
探究点三 角度问题
例3（1）[2025·浙江温州联考]一艘渔船航行到处时看灯塔在 的
南偏东 方向上，距离为6，灯塔在的北偏东 方向上，距离
为，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔 在其南
偏西 方向，则此时灯塔 位于渔船的( )
A.北偏东 方向 B.北偏西 方向
C.北偏西 方向 D.北偏东 方向
√
[解析] 如图,由题意,在 中,,, ，
则 为正三角形，则.
在 中，因为， ，
所以由余弦定理得
，所以，
因为,所以,所以 ,
此时灯塔位于渔船的北偏东 方向.故选D.
（2）某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔
画都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用
， ， ， ， ， 等特殊
角度.为了判断某字的弯折角度是否符合书法中的
A. B. C. D.
美学要求，该同学取端点绘制了，测得， ，
，，点恰好在边上，则 的值为( )
√
[解析]由题意,在 中,
由余弦定理得 .
因为 ，
所以 .
在中，由正弦定理得 ,
所以，解得 .故选D.
总结反思
求一个角的大小，解题的一般步骤是在弄清题意的基础上，画出表
示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定
理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
【对点演练3】 [2025·安徽安庆期中] 为丰富学生课余活动，体育组
陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在 处北
偏东 方向，距离处的处，并让站在 处北偏西
的方向，距离处的处的乙同学以 的速度去追
甲同学.此时，甲同学正以的速度从处向北偏东 方向奔
跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
解：如图，设乙同学需要用时在 处追上甲同学，
则， .
在中，， ， ，
由余弦定理得
，
，
由正弦定理可得 ，
，则点在点 的正东方向.
在中， ,
由正弦定理得 ，
,
即乙同学沿北偏东 方向能最快追上甲同学.
例1［配合探究点一使用］[2026·黑龙江哈尔滨模拟] 为丰富学生的校园文化
生活,某中学每年冬天都会在操场上浇筑滑冰场,现欲测量操场上, 两点之间
的距离,甲同学选定了与,不共线的,两处观测点,如图所示,已知 .
设,,, ,,
,以下是测量数据的不同方案:①测量,,,;②测量,,
,;③测量,, ,;④测量,,,.若甲同学选择的方案能唯一
确定, 两点之间的距离,则这样的方案有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
【备选理由】例1是在多种测量方法下选出可行的方法，对正弦、余
弦定理的应用要熟悉，让学生学以致用；
[解析] ，即 唯一确定.
对于①，因为，确定，所以 是唯一确定的，
则， 唯一确定.
因为确定，所以唯一确定.
又 确定，所以唯一确定，则 唯一确定，符合题意.
对于②，由①的分析及可知，唯一确定.
因为， 确定，所以唯一确定，则唯一确定.
又， 唯一确定，所以唯一确定，则 唯一确定，
符合题意.
对于③，由 ①的分析可知，唯一确定，则唯一确定.
因为和 唯一确定，所以点在以线段为弦的圆上.
因为和 唯一确定，所以点在以线段为弦的圆上.
若圆与圆 重合，则此时 不唯一确定，不符合题意.
对于④，由①③的分析可知，唯一确定，
点在以线段 为弦的圆 上.
如图所示，虽然确定，
但直线与圆 有2个交点，所以 不唯一确定，不符合题意.
综上所述，符合题意的方案有2个. 故选B.
例2 ［配合探究点一使用］[2026·河北邯郸期末] 为
了增强游客体验，某景区拟在一块半径为 的圆
形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫步体
验区.如图所示，在四边形区域中，将
设计成花卉观赏区，设计成区，边，，， 修建观
赏步道，边修建隔离栏，其中， .
【备选理由】例2考查三角形问题与三角函数求最值问题，综合性较强；
（1）求区（即 ）面积的最小值；
解：因为， ，
，
所以， .
又，所以或， .
当时， ，
如题图，此时 ；
当时， ，如图，
此时 .
所以区（即）面积的最小值为 .
（2）为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形 ，请
给出设计方案.
解：由（1）知当时， ，
，此时.
设 ，，，则 ，，
故
.
由，，得，，所以 ，
当且仅当，即 时取等号，
则 .
当时,,,此时 .
设 ，，，
则 ， ，
故 .
由，，得， ，
所以，
当且仅当，即 时取等号，
则 .
由于 ，
故为使总的观赏步道尽可能长，则应使 ，
即设计方案为四边形中，
使得为等腰三角形， 点在另一侧的圆弧上，
为等边三角形.
例3 ［配合探究点二、三使用］[2026·湖南长沙联考]
如图，某中学数学兴趣小组，为测量学校附近某建
筑物 的高度，在学校操场选择了同一条直线上的
，，三点，其中，点为 的中点，
兴趣小组组长在，，三点上方处的，， 观察建筑物最高
点的仰角分别为 ， ， ，其中，， ，
点为点在地面上的射影，点为上与,, 位于同一高度的点.
【备选理由】例3是测量高度问题，意在考查数学运算的核心素养.
解:设,
因为在,,处观察点 的仰角分别为,,,
且， ， ，
所以，， .
由题可知，是的中点，所以 ，
所以在 中，由余弦定理得 .
（1）求建筑物 的高度；
在 中，由余弦定理得 .
又 ，所以，
整理得 ，解得，
所以 .
（2）求 的值.
解：在 中，由正弦定理知 ，
则 ；
在 中，由正弦定理知 ，
则 .
由(1) 知 =
又 ，所以.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东 的方向
直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在 处观察灯
塔，其方向是南偏东 ，在处观察灯塔，其方向是北偏东 ，
那么, 间的距离是( )
A.海里 B.海里 C.海里 D. 海里
√
[解析] 如图，由题可得 ，
， （海里），
则 ，
由正弦定理得 ，则 （海里），
故选A.
2.[2025·陕西商洛期末]位于处的雷达接收到在其正东方向相距
海里的处一艘渔船遇险发出的求救信号后，即刻通知位于 处北偏
东 方向相距30海里的 处的甲船前往救援，则甲船至少需要航
行( )
A.海里 B.海里 C.海里 D. 海里
√
[解析] 如图，由题意可得 .
在 中，由余弦定理可得
（海里），
故甲船至少需要航行 海里.故选C.
3.某校学生参加课外实践活动，测量一土坡的倾斜
程度，如图，坡顶有一建筑物，在坡脚 处测得
，沿土坡前进到达 处，测得
，已知， ，设土坡
对于水平面的坡角为 ，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,所以 ,
所以,
则 为等腰三角形,所以.
在 中，根据正弦定理 ，
得.
因为 ，所以 ，故为直角三角形，
所以 .故选D.
4.如图所示，某同学为了测量某塔 的高度，在
塔对面笔直的临江大道上的三点，， 处测得
其顶点的仰角分别为 ， ，
（点，， 为水平地面上共线的三点），且
米，则该塔的高度为( )
A.米 B. 米
C.米 D. 米
√
[解析] 设米，依题意得， 米,米, 米.
由 ，得 .
在， 中，由余弦定理得 ，
解得，
所以该塔的高度为 米.故选C.
5.如图，，是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于点北偏东 、 点北
偏西 的处有一艘船发出求救信号，位于 点
南偏西 且与点相距海里的 点的救援船立
A.1小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.0.2小时
即前往营救，其航行速度为20海里/时，则该救援船到达 点所需时间
至少为( )
√
[解析] 在中， 海里，
,,
所以 ，
由正弦定理可得， ，
则 （海里）.
在中,,
海里，
由余弦定理可得，
，
所以 海里,
因此救援船到达点最少需要的时间为 （小时）.故选B.
6.墙上挂着一幅高为的画，画的上端到地面的距离为 ，某摄
像机在地面上拍摄这幅画.将画上端一点、下端一点 与摄像机连线
的夹角称为视角（点， 与摄像机在同一竖直平面内），且把最大
的视角称为最佳视角.若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当
摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，延长与地面交于点 ，摄像机在地面点，
则 为视角, .
当 最大时，最大，
.
设,则, ,
所以 ,
当且仅当,即 时取等号，所以的最大值为 .
又， ,
所以当最大值时， ，
故最佳视角的正弦值为 .故选A.
7.（多选题）[2025·福建福州期中]如图，在
山脚处测得山顶的仰角为 ，沿倾斜角
为的斜坡向上行走到达处，在
处测得山顶的仰角为 ，则下列选项正确
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意可得 ，， ， ，
， .
对于A， ， ，
所以 ，
，
在中，由正弦定理得 ，
故 ，故A错误；
对于B， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
故 ，
在 中， ，
故B正确；
对于C，在 中， ，故C正确；
对于D，在 中， ，
故D正确.故选 .
8.[2025·辽宁丹东期中] 甲、乙两人分别骑自行车同时从 地出发，
甲沿北偏东 方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东
方向做匀速直线运动，去往 地，甲、乙同时到达目的地，甲的速度
是乙的速度的两倍，且地与地相距，则地与 地相距约
____.（参考数据：取 ）
10
[解析] 如图，由题意可知，
，
设,则 ,
由余弦定理可得
，
解得，所以地与地相距约 .
9.某日中午12:00甲船以的速度沿北偏东 的方向驶离码头
，下午1:00乙船沿南偏东 的方向匀速驶离码头 ，下午5:00甲
船到达地，乙船到达地，且在的南偏西 的方向上，则乙船
的航行速度约为____.（参考数据 ）
20
[解析] 如图，由题意得 ，
， ，
则 .
由正弦定理得，即 ，
得 ，
所以乙船的航行速度约为 .
10. 某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串
联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.
在 处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，
计划在某段全长200的笔直绿道一侧规划一个
三角形区域（古塔的底座忽略不计） 做绿化，
如图，已知 ，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个
锐角三角形.
（1）若在，处分别测得塔顶的仰角为 ， ，求塔高 .
解：设 ，依题意可知， ，
在，处分别测得塔顶的仰角为， ，
即， ，，.
在中， ，
由余弦定理得 ，
即，解得或 （舍去），
塔高 为100米.
（2）求绿化区域 面积的取值范围.
解：设 ，则 .
在中，由正弦定理得 ，
故 .
为锐角三角形，解得 ，
，则 .
又 ，
.
（3）绿化完成后，某游客在绿道 的另一侧空地上寻找最佳拍照
打卡点，该游客从到，再从到.已知 ，求该游客所走
路程的最大值.
解:在 中,由余弦定理得，
，
，
，当且仅当 时取等号，
故该游客所走路程的最大值为400.
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·江西景德镇质检]如图，圭表是我国古代一
种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，
它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北
方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺 （称为“圭”）.
当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面所
成的角就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影
点为冬至线，日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为 夏至线.
已知景德镇冬至正午太阳高度角为
，夏至正午太阳高度角为 ，
表高为42，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50，
则 的值为( )
A. B.
C. D.
√
[解析]如图, ,,
, .
又， ，
根据勾股定理得 .
在中，根据正弦定理可知 ，
即 ，解得 .故选C.
12.（多选题）图①为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽
发髻，延颈削肩，神奇秀丽”.某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚 处
测得峰顶的仰角为 ，从出发沿着地平面方向 使得
，前进至点恰使 ，测得 .若
峰顶在所在地平面的射影为点，山坳处有一个憩息点，在
处观测峰顶的仰角为 ，在地平面的射影点落在 上，
，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若从点观测峰顶的仰角为 ，则
D.若从点观测点的仰角为 ，则
√
√
√
[解析]对于A,依题意,,, ,
所以 , 则 .
因为峰顶在所在地平面的垂直投影点为,
即 平面 ， 平面，所以 ，
所以 ，故A正确.
对于B，因为在地平面的垂直投影点落在上，
即 平面， 平面 ，所以.
如图，过点作于点 ，则， .
又， ，
所以 .
因为在点处观测峰顶的仰角为，即 ，
所以 ，
则 ，故B正确.
对于C，因为从点观测峰顶的仰角为 ，所以 ，
所以，则 ，故C错误.
对于D，因为 平面， 平面 ，所以 .
又，，, 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面，所以 ，
所以 ， ，
所以，
所以 .
因为从点观测点的仰角为 ，
所以，故D正确.故选 .
13.[2025·陕西西安期中] 某博物馆是一座以收藏、研
究和陈列历代碑石、墓志及石刻造像为主的专题类艺
术博物馆.如图，为了测量该博物馆某建筑物的高度，
选取了与该建筑物最高点在地面的射影
（即与地面垂直）在同一水平面内的两个测量基点与，在点 处
测得点的仰角为 ，在点处测得点的仰角为 ，且 ，
，则该建筑物的高度 ______.
[解析] 由题意可知， ，设 ，
则， ，
所以， .
在中，由余弦定理得 ，
即 ，
得，故（负值舍去），
故该建筑物的高度 .
14.[2026·福建漳州联考] 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于
美洲大草原点处正上空的点 处，一架无人机正在对猎豹捕
食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点西南方向的草丛 处潜伏着
一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其北偏东 方向上点 处的一只羚羊，
且无人机拍摄猎豹的俯角为 ，拍摄羚羊的俯角为 ，假设 ，
， 三点在同一水平面上.
（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离.
解：根据题意作图如图所示，
由题可知 ， ，
，
则 ， ， .
由正弦定理得，可得 .
因此 或 .
当 时， ，
猎豹与羚羊之间的距离为 ；
当 ， ，
猎豹与羚羊之间的距离为 .
综上，猎豹与羚羊之间的距离为或 .
（2）若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以
的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东
方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑 ，试问猎豹
这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因.
解：由题意作图如图所示，
假设猎豹可以捕猎成功，且捕猎成功所需的最短时间为 ，
将猎豹追上羚羊的位置设为 ，
因为猎豹到点处比到点 处的距离更近，
所以由（1）得， .
在中，， ，
由余弦定理得，
整理得 .
设，显然 , ，
因为猎豹能坚持奔跑的最长时间为 ，
且 ，
所以假设不成立，故猎豹这次捕猎没有成功的可能.
【知识聚焦】 上方 下方 正北 顺时针
【课前演练】（1）√ （2）× （3）√ 1. A 2. D 3. C
课堂考点探究
例1（1）C （2）B 【对点演练1】（1）A （2）
例2（1）C （2）B 【对点演练2】（1）B （2）C
例3（1）D （2）D 【对点演练3】乙同学沿北偏东 方向能最快追上甲同学.
教师备用习题
例1 B 例2（1）区（即）面积的最小值为
（2）设计方案为四边形中，使得为等腰三角形，点在
另一侧的圆弧上，为等边三角形
例3（1）（2）
夯实基础
1. A 2. C 3. D 4. C 5. B 6. A 7. BCD
8. 10 9. 20 10.（1）塔高为100米 （2） （3）该游客所走路程的最大值为400
综合提升
11. C 12. ABD 13.
14.（1）猎豹与羚羊之间的距离为或.
（2）猎豹这次捕猎没有成功的可能.理由略

展开更多......

收起↑