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素养导向 解题指引——三角函数与
解三角形
例 [2025· 全国二卷] 已知函数 ，
.
（1）求 ;[切入点:利用赋值法]
（2）设函数，求 的值域和单调区间.[关
键点:利用辅助角公式化简]
［思路分析］
（1）由，再进行三角函数求值，得 的值；
（2）利用（1）的结论，得 的解析式，从而求得
的解析式，利用两角和的余弦公式与辅助角
公式，化简， 再利用余弦函数（或正弦函数），得值域，由整
体代入法，即可求得函数 的单调区间.
解：
［得分秘籍］破解与三角函数的图象和性质有关问题的关键：
一是会化简：利用三角恒等变换把所给的三角函数式化为
或 的形式.二是会求值域
（最值）直接利用正弦、余弦函数的有界性求解，也可以把
或 看作一个整体,转换为函数求值域（最值），还可以利用
和 的关系转换为二次函数求值域（最值）.三
是会求单调区间：求形如或
（其中的函数的单调区间时,要视“ ”为一个整体,通过
解不等式求解.
例「2025·全国二卷]已知函数f(x)=C0S(2x+p)(0≤p<π)
f(0)
(1)求p;切入点：利用赋值法]
(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的值域和单调区间.[关
键点：利用辅助角公式化简]
[思路分析]
(1)由f(0)
再进行三角函数求值，得0的值
(2)利用(1)的结论，得f(x)的解析式，从而求得
(x)=(x)+f(x一)的解析式，利用两角和的余弦公式与辅助角
公式，化简gx),再利用余弦函数（或正弦函数），得值域，由整
体代入法，即可求得函数g(x)的单调区间
[步骤拆解]
根据已知条件及函数特点
解：(1)依题意，得∫(0)=cos9=2,
(2分)
选择赋值法求解.
因为0≤g注意条件中角的范围
(4分)
限制.
(2)由(1)可知f(x)=c0s(2x+),(5分)
注意第(1)问没有单独的
前提条件，其结论可直接
所以g(x)=f(x)+f(x-6)=cos(2x+g)+cos[2(x)+
利用.
1
√3
注意复合函数的规则及两
角和的余弦公式的正确
3
cos 2x-
3
2 sin 2r-3 cos(2x).)
使用.
使用.
2 cos 2.-
9m2a5co时2x1日≥K7分)
3
因为x∈R,所以函数g(x)的值域为[一3,3].(8分)
也可以转化为2c0s2x
令2x≤2x+否≤x十2k,k∈Z,(9分)
√3
Py
in2x=-√3sin(2x
解得-
臣十+6∈Z.(10分)
),再利用正弦函数的单
令元十2m≤2x+≤2x十2m,k∈7.(11分)
调性求值域与单调区间.
鲜得F+6≤+eZ.12分
5元
利用整体思想求解函数单
调性，并需注意目标三角
所以函数()的单调递减区间为[一十
5π+k元k∈Z,
函数的名称及对应函数的
单调递增（减）区间.
单调递增区间为[5+十k,π+kπ]，k∈Z.(13分)
,11π

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