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第五单元　平面向量、复数
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第27讲　平面向量的概念及其线性运算
【备选理由】 例1、例2、例3的综合性较强,难度偏大,作为例题的补充,老师可以对程度稍微好一点的同学因材施教,提供训练题目.
1 [配合探究点二使用] 已知O为△ABC的内心,A为锐角,sin A=,若=μ+λ,则μ+λ的最大值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
[解析] 方法一:因为点O是△ABC的内心,所以a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c,
则a+b(+)+c(+)=0,
整理得(a+b+c)+b+c=0,
则=+,所以μ=,λ=,
所以μ+λ=,则=1+.
因为角A为锐角,sin A=,所以cos A=.
由余弦定理得cos A==,则b2+c2-bc=a2,
故==.
因为+≥2(当且仅当b=c时取等号),
所以1-≥1-=,所以=1+≥1+=,
所以μ+λ≤,故μ+λ的最大值为.故选C.
方法二:如图所示,延长AO,交BC于点D.
设=y,则-=y(-),所以=y+(1-y).
设=x=x[y+(1-y)] =xy+x(1-y),
则故λ+μ=x.
设△ABC的内切圆O与BC切于点E,与AB切于点F,圆O的半径为r.
因为sin A=且A为锐角,
sin A=2sincos==,
所以=,解得tan=或tan=(舍去),故sin=cos.
又sin2+cos2=1,所以sin=(负值舍去),则=,即||=4r.由图知||≥||=r,
所以x==≤,故μ+λ的最大值为.
故选C.
2 [配合探究点二、三使用] [2026·山东聊城模拟] 已知O为坐标原点,与为单位向量,(+)·=,C在定直线l:y=x+2上,不等式|++|≥T恒成立,则实数T的取值范围为 ( B )
A.(-∞,2+] B.(-∞,2-]
C.(-∞,2] D.(-∞,]
[解析] ∵与为单位向量,
∴(+)·=·+=cos<,>+1=,∴cos<,>=.又<,>∈[0,π],∴<,>=,即与的夹角为,∴点A,B是以原点为圆心的单位圆上的动点,且∠AOB=.令=+,则||=|+|=,则点G是以原点为圆心,为半径的圆上的动点,∴|++|=|+|.如图,过点O作OH⊥直线l于点H,
因为|||-|||≤|+|,当且仅当与反向共线时取等号,所以当点C在点H处,且与反向共线时,|+|取得最小值,|+|min=-=2-,∴T≤2-.故选B.
3 [配合探究点二、三使用] [2026·安徽合肥调研] 如图,延长△ABC的边AB至点P,边BC至点Q,边CA至点R,使得线段AP,BQ,CR的长分别为AB,BC,CA的λ(λ∈N*,λ≥2)倍,我们将△PQR称为△ABC的“λ变换三角形”.
(1)当λ=2时,若AB=3,BC=4,AC=5,求PR的长;
(2)若△ABC是边长为2的等边三角形,点M为其“2变换三角形”中线段AP上的动点,求(-)·的最大值;
(3)证明:当λ变化时,△ABC的“λ变换三角形”的重心始终为同一点.
解:(1)因为AB=3,BC=4,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC,则cos∠BAC==.
因为λ=2,所以AR=AC=5,AP=2AB=6.
在△ARP中,由余弦定理得
RP2=AR2+AP2-2AR·AP·cos (π-∠BAC)=AR2+AP2+2AR·AP·cos∠BAC
=52+62+2×5×6×=97,所以RP=.
(2)设=t,则t∈[0,2].
由题意得,==4,·=||·||cos=22×=2,
=+=+=+t,
=-=-2=3-2,
=-=-t,
所以(-)·=[(t-3)+3]·(-t)
=3-t(t-3)-(2t+3)·=-4t2+8t+6=-4(t-1)2+10,
故当t=1,即点M为线段AP的中点B时,(-)·取得最大值10.
(3)证明:由题意得,=λ,=λ,=λ(λ∈N*,λ≥2),
记△ABC的重心为点G,则++=0,
++=(+)+(+)+(+)
=+λ++λ++λ=+++λ(++)=0,
所以点G为△PQR的重心,所以当λ变化时,△ABC的“λ变换三角形”的重心始终为同一点.(共80张PPT)
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第27讲 平面向量的概念及其线性运算
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景,理解
平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算
规则,理解其几何意义.
4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.
理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
知识聚焦
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 既有______又有______的量叫 作向量 用,,,…或 ,
,…表示
向量的长度 向量的______称为向量的长度 （或称模） ____或_____
零向量 _________的向量叫作零向量,零 向量的方向是不确定的 记作___
大小
方向
大小
长度为0
名称 定义 表示
单位向量 长度等于_____________的向量, 叫作单位向量 用表示, ___
相等向量 ______相等且______相同的向 量叫作相等向量 向量和 相等，记
作_______
平行 （或共线） 向量 方向______或______的非零向 量叫作平行向量,平行向量也叫 作共线向量 两个向量和 平行,
记作______,零向量
与任意向量______
1个单位长度
1
长度
方向
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量 ____的运算,叫作向量的加法 ____________________________ ________法则 _________________________________ ____________法则 （1）加法交换律:
______.
（2）加法结合律:
__________
和
三角形
平行四边形
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
减法 求两个向量差的运算叫 作向量的减法.减去一 个向量相当于加上这个 向量的__________ __________________________ ________法则
_________
相反向量
三角形
续表
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
数乘 规定实数 与 向量 的____ 是一个向量， 这种运算叫作 向量的数乘 （1）当且 时, ______. （2）当时,与 的 方向______;当时, 与 的方向______;当 或时, ___
_______,
_________,
________
积
相同
相反
续表
3.向量的共线定理
向量与共线的充要条件是:存在唯一一个实数 ,使 ____.
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向
最后一个向量终点的向量，即
.特别地，当第一个向量
的起点与最后一个向量的终点重合时，和为零向量.
2.在中，三角形三边上的中线交于点，为的重心，
为 的中点，则有如下结论：
（1） ；
（2） ；
（3） .
3.在中，三角形的三条角平分线交于点，为 的内心，
则有如下结论：
（1）点是内心的充要条件是： ，其
中,, ；
（2）若，则点的轨迹一定过 的内心.
4. ， 为实数，若点，，共线，点 不在
直线上，则 .
5.对于任意两个向量，，都有 .
6.若平行四边形满足 ,则该平行四边形
为矩形.
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若成立,则 .( )
√
[解析] 当与中至少有一个为时，满足题意；
当与均不为 时，若成立，则以, 为邻边的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，此时 成立.故正确.
（2）平行向量的方向相同.( )
×
[解析] 根据平行向量的定义可知，方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，零向量与任意向量平行，故错误.
（3）若,,则 .( )
×
[解析] 若为零向量,则,不一定能推出 ,故错误.
（4）若，则 .( )
×
[解析] 当时，满足，但 ，故错误.
题组二 教材改编
1.已知：;;; .其中表
示 的是______（填序号）.
①④
[解析] ;
;
;
.
故填①④.
2.已知与是两个不共线的向量,且向量与共线,则 的
值为_ ___.
[解析] 由向量的共线定理可得,存在唯一一个实数 ,使
,即,则 解得
3.如图，在四边形中， ，且
，则 ______.
[解析] 因为 ，所以由向量加法的几
何意义可知四边形是平行四边形，所以 .
又因为，所以四边形是菱形，且 ，所以.
探究点一 平面向量的基本概念
例1（1）关于非零向量， ，下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则， 不是共线向量
√
[解析] 对于A，向量不能比较大小，故A错误；
对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错误；
对于C，若 ，由向量相等的条件可得 ，故C正确；
对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错误.故选C.
（2）如图所示，在平行四边形 中，
，分别是， 的中点.
①写出与向量 共线的向量；
解：因为在平行四边形中，，分别是， 的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以 .
所以与向量共线的向量为，， .
②求证： .
证明：在平行四边形中， ， .
因为，分别是， 的中点，所以且 ，所以四边形 是平行四边形，所以， ，故 .
总结反思
（1）解决平面向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的
大小,还要考虑向量的方向;二是注意零向量的特殊性.
（2）由两个向量相等可得出这两个向量互相平行,反之不成立.
【对点演练1】（1）[2026·江苏宿迁期中]下列说法正确的是( )
A.单位向量均相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.模为零的向量与任意向量平行
D.模相等的两个共线向量是相等向量
[解析] 对于A，单位向量的模相等都是1，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；
对于C，模为0的向量为零向量，零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，模相等的两个共线向量可能是相等向量，也可能是相反向量，故D错误.故选C.
√
（2）（多选题）如图所示，四边形，， 是全等的
菱形，则下列结论中一定正确的是( )
A. B.与 共线
C.与共线 D.
[解析] 由四边形，， 是全等的菱形，可知，故A正确；
由题图可知与的方向相反，与 方向相同且长度相等，即与共线， ，故B，D正确；
与不一定共线，故C不一定正确.故选 .
√
√
√
探究点二 平面向量的线性运算
题型1 平面向量的线性运算及其几何意义
例2（1）[2025·福建莆田期中]如图所示，， 为
边上的三等分点，且 ,则下列
各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，为边 上的三等分点，所以，所以 , ,故D正确；
假设，则 ,即，显然不成立，故假设不成立，故C错误；
与 的方向不同，不能相等，故A错误；
与 的方向相反，不能相等，故B错误.故选D.
（2）如图，在正六边形中，点 满足
，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意及正六边形的结构特征知， ，且，.
又 ，所以 ，则 .故选B.
√
题型2 利用向量的线性运算求参数
例3（1）[2026·湖北咸宁模拟]在平行四边形中，点是 边上
的点，，点是线段的中点，若 ，则
( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 因为点是线段的中点,所以 .
又，所以 ，则 ，所以 ，所以 ，故选C.
（2）[2025·湖南长沙九校联考]如图，在
中，点是线段上靠近点 的三等分点，过点
的直线分别交直线，于点， .设
，，则 的值为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 如图，连接.
因为点是线段 上靠近点的三等分点，所以 ，所以，所以 .
又因为， ，所以.
因为，，三点共线，所以 ，所以 .
故选C.
总结反思
解决线性运算问题通常有两种思路:
（1）根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形（或三角形）,
再结合其他知识求解相关问题;
（2）对于平面几何中出现平行四边形或可能构造出平行四边形
（或三角形）的问题,可考虑利用向量知识来求解.
【对点演练2】（1）在中，点为边上一点，且 ，
点为边上的中点. 若，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，因为，所以为 的中点，
即.
又因为点为 边上的中点，所以 ，则 .
又，，所以 ，故选D.
（2）（多选题）正五角星与黄金分割有着密切的联
系.在如图所示的正五角星中，以,,,, 为顶点的
多边形为正五边形，且 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 因为，所以 .
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
，故C正确；
对于D， , ，假设，则 ，不符合题意，故假设不成立，故D错误.
故选 .
探究点三 平面向量的共线定理
例4（1）已知与是两个不共线的向量， ,
,，若,,三点共线，则实数 的值
为( )
A. B. C.4 D.5
√
[解析] 因为, ，所以 .
因为,,三点共线，所以必存在一个实数 ，使得 ，所以.
又, 不共线，所以解得 .故选B.
（2）在平行四边形中，，，与 交于
点.设，，_ _______（用， 表示）；若
，则 __.
[解析] .
如图，,, 三点共线，设，则 ，
所以 .
因为,, 三点共线，所以可设，，， ，
所以 ，
所以 解得
又 ，所以 .
总结反思
利用向量共线定理解题的策略
（1） 是判断两个向量共线的主要依据.
（2）若与不共线且，则 .
（3）已知，， 是不共线的三点，且
，则，， 三点共线的充要条件是
.
【对点演练3】（1）如图，与 的面积之
比为，点是 内任意一点（含边界），且
，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,所以当点 在线段上时（如图①）， ，此时 取得最小值.
过点作的平行线分别交的延长线、的延长线于， ，如图②所示.
因为，所以与 相似.
因为与的面积的比为 ，所以与在 边上的高之比为，即在 边上的高与在边上的高之比为 ，所以 .
当点位于 点时，，, , 三点共线，所以，即 ，此时 取得最大值.
所以 的取值范围为 .故选A.
（2）在中，为上一点，，为 上一点，且
满足，则 的最小值为___.
9
[解析] 因为 ，所以.
又,, 三点共线，所以 ，所以 ，当且仅当，即,时，等号成立，所以 的最小值为9.
【备选理由】例1、例2、例3的综合性较强，难度偏大，作为例题的
补充，老师可以对程度稍微好一点的同学因材施教，提供训练题目.
例1 ［配合探究点二使用］已知为的内心， 为锐角，
，若，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为点是 的内心，所以，其中，， ，则 ，整理得 ，
√
则，所以， ，所以，则 .
因为角为锐角，，所以 .
由余弦定理得，则 ，故 .
因为（当且仅当 时取等号）， 所以，所以 ，所以，故 的最大值为 .故选C.
方法二：如图所示，延长，交于点 .
设，则 ，
所以 .
设 ，则 故 .
设的内切圆与切于点，与切于点，圆的半径为 .
因为且 为锐角， ，所以，解得或 （舍去），故 .
又，所以 （负值舍去），
则，即.
由图知 ，所以，故 的最大值为 .故选C.
例2 ［配合探究点二、三使用］[2026·山东聊城模拟]已知 为坐标原
点，与为单位向量，， 在定直线
上，不等式恒成立，则实数 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 与 为单位向量， , ，,.
又 , ，,，即与 的夹角为， 点,是以原点为圆心的单位圆上的动点，且 .
令，则，则点 是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，.
如图，过点 作 直线于点 ，
因为，当且仅当 与反向共线时取等号，所以当点在点 处，且与反向共线时， 取得最小值， ， .故选B.
例3 ［配合探究点二、三使用］[2026·安徽合肥调
研] 如图，延长的边至点，边至点 ，
边至点，使得线段，， 的长分别为
，，的倍，我们将
称为的“ 变换三角形”.
（1）当时，若，，，求 的长；
解：因为，， ，所以，则 ，则 .
因为，所以， .
在 中，由余弦定理得
，所以 .
（2）若是边长为2的等边三角形，点 为其“2变换三角形”中
线段上的动点，求 的最大值；
解：设，则 .
由题意得， ， ， ，
， ，
所以 ，故当，即点为线段的中点 时， 取得最大值10.
（3）证明：当 变化时，的“ 变换三角形”的重心始终为同
一点.
证明：由题意得，， ， ，记的重心为点，则 ， ，
所以点为的重心，所以当 变化时， 的“ 变换三角形”的重心始终为同一点.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·江西赣州模拟]已知,，则“向量, 共线”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
[解析] 因为向量,共线且,，所以当， 同向共线时，，当，反向共线时， ，充分性不成立；
若，且,，则向量, 同向共线，必要性成立.
所以“向量,共线”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
2.在中，是边的中点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，因为是边 的中点，所以，即 .故选A.
√
3.在所在平面内，点满足，记， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由向量的线性运算可知 .故选C.
√
4.已知平行四边形的对角线相交于点 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 在平行四边形 中，
.故选C.
√
5.在中，点是的中点，点在上，若 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点是的中点，所以 .
又，所以 ，则.
又因为点在上，所以 ，所以，解得 .故选B.
√
6.[2026·吉林长春质检]在中，，点在 上，若
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，因为 ，所以，
则.
因为,, 三点共线，所以，解得 .故选C.
7.[2025·浙江杭州模拟]在中，是 上一点，满足
，是的中点，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，，则 ，所以.
由，可得 ,所以，所以,，得 .故选C.
√
8.（多选题）[2025·湖北随州期末]下列说法中正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若,都为非零向量，则使成立的条件是与 反向共线
D.若,则
√
√
√
[解析] 对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与 反向共线时， 才成立，故C正确；
对于D，由向量相等的定义知D正确.
故选 .
9.[2025·河南信阳期中] 如图，在中，
是上靠近的一个三等分点， ，
，则可以用， 表示为____________
___.
[解析] 因为是上靠近的一个三等分点，所以 .
又， ，所以 .
10.[2026·湖北十堰期中] 在中，， ，若
，则 __.
[解析] 因为， ，所以 .
又，且与不共线，所以则 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·重庆模拟]在平行四边形中，，，
与相交于，若，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，因为,, 三点共线，所以可设 ，所以.
因为,, 三点共线，所以可设.
因为， ，所以 ，所以 ，所以 ，
即解得 所以 ，故选A.
12.（多选题）如图，在四边形中，，为 的中
点，与交于点，与交于点，设， ，则
下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.若，则
√
√
[解析] 对于选项A，因为 ，所以，且 ，所以，所以 ，故选项A正确.
对于选项B，假设，则为的中点.
因为为 的中点，所以，与,相交于点 矛盾，故假设不成立，故选项B错误.
对于选项C，因为为 的中点，所以 ，故选项C正确.
对于选项D，方法一：由题意可设，
，所以
.
又，所以， ，所以 ，故选项D错误.
方法二：设，因为, , 三点共线，所以 .
又 ，，所以， ，则 ，故选项D错误.故选 .
13.已知在梯形中，，若为边上靠近 的三等分
点，且，则 __.
[解析] 如图所示，因为在梯形中，，为 边上靠近 的三等分点，所以 , ，所以
.
又因为 ，所以 .
14.[2026·江苏连云港期中] 在中，为的中点， ，
设与交于点，则 __.
[解析] 如图，因为 ，
由,,三点共线，可设 ，所以.
所以 .
由,,三点共线，可设
.
又，不共线，所以 解得所以 .
又 ， ，所以，即 .
【知识聚焦】1.大小 方向 大小 长度为0 1个单位长度 1 长度 方向
相同 相反 平行 2.和 三角形 平行四边形
相反向量 三角形 积 相同 相反
3.
【课前演练】题组一（1）√ （2）× （3）× （4）× 题组二 1.①④ 2.<
/m> 3.
课堂考点探究
例1（1）C （2）①，， ②略 对点演练1（1）C （2）ABD
例2（1）D （2）B 例3（1）C （2）C 对点演练2（1）D （2）AC
例4（1）B （2） 对点演练3（1）A （2）9
夯实基础
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.BCD 9. 10.
综合提升
11.A 12.AC 13. 14.

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