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第28讲　平面向量基本定理及坐标表示
【备选理由】 例1是利用基底法表示向量求解参数取值范围的问题;例2是利用向量的坐标表示来求解参数取值范围的问题,这两道例题难度偏大,综合性强,适合作为学生的拓展训练.
1 [配合探究点一使用] [2025·江西宜春期中] 如图,在△ABC中,D,E分别是CB,CA的中点,点F在AB上,且3=,M是△AFE(不含边界)内的动点,满足=+k,则k的取值范围为 ( D )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
[解析] 如图,分别取BD,AE的中点G,N,连接GN交EF于H.∵D,E分别是CB,CA的中点,∴DE∥AB∥GN.∵=+k=+k,∴k=-=,则M在线段HN(不含端点)上.∵GN==AB,HN=AF=AB,∴GH=GN-HN=AB,则=+=+=+,同理,=+=+=+,∴2 [配合探究点一、二使用] (1)[2026·四川遂宁模拟] 在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为 AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上运动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是 ( B )
A.[-2,1] B.[-1,1] C.[-1,2] D.[-2,2]
(2)[2026·陕西西安期中] 边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P,已知=x+y,则2x+y的取值范围是 ( D )
A.[3-,3+] B.
C. D.
[解析] (1)以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),E(1,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1),F,=(-1,1),=.
设P(cos θ,sin θ),则=(cos θ,sin θ).
因为=λ+μ,所以(cos θ,sin θ)=λ(-1,1)+μ,
则解得
所以2λ-μ=(3sin θ-cos θ)-(sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ=sin.
因为0≤θ≤,所以-≤θ-≤,所以-≤sin≤,所以-1≤2λ-μ≤1.
故选B.
(2)如图,以内切圆的圆心O为坐标原点,以AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设△ABC的内切圆半径为r,则×2×r×3=×2×2×sin 60°,解得r=.
设P,θ∈[0,2π),
由题得A,B,C,则=,=(-1,-),=(1,-).
因为=x+y,所以=x(-1,-)+y(1,-)=(y-x,-(x+y)),
所以
解得所以2x+y=-cos θ-sin θ+1=-sin+1.
因为θ∈[0,2π),所以θ+∈,所以-1≤sin≤1,所以≤2x+y≤.
故选D.(共65张PPT)
第28讲 平面向量基本定理及坐标表示
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.掌握平面向量基本定理.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线.
知识聚焦
1.平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果, 是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的
______向量,______________实数,,使 .
不共线
任一
有且只有一对
（2）基底
若,________,我们把{, 叫作表示这一平面内______向量的一
个基底.
不共线
所有
2.平面向量的坐标运算
（1）平面向量的坐标运算
已知,,则________________,
_________________, __________.
（2）向量的坐标求法
已知,,则________________,
_______________________.
3.平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则
_______________.
常用结论
1.线段定比分点的定义
如图所示，设点是线段 上不同于
，的点，且满足 ，即
， 叫作点 分有向线段所成的比，
点叫作有向线段的以 为定比的定比分点.
2.定比分点的坐标表示
设点是直线上不同于，的点，， ，
若，则 ，即
当时，则点的坐标为 .
特别地，①当时，点的坐标为，这就是线段
的中点坐标公式；#3.2.3
②若，则点在 的延长线上或其反向延长线上，由向量共
线的坐标表示及向量的共线定理同样可得点 的坐标为
.
3.已知的顶点,,,则的重心 的
坐标为 .#3.3
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，，且与共线，则 .( )
×
[解析] 当，时，满足与共线，但不满足 ，
故错误.
（2）基底中可以含有零向量，但至多一个.( )
×
[解析] 基底中一定不可以含有零向量，故错误.
（3）已知{,}是平面的一个基底，若，则{, }也是该
平面的一个基底.( )
√
[解析] 因为{，}是平面的一个基底，所以与 不共线.又
，所以与不共线，所以{, }也是该平面的一个基底，故正确.
（4）若向量，，则 是单位向量.( )
×
[解析] 因为，所以 ，所
以 不是单位向量，故错误.
题组二 教材改编
1.已知,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由,,得 .故选C.
√
2.在中,点满足 ,则( )
A. B.
C. D.
[解析]
.故选A.
√
3.已知向量,,若,则实数 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 因为向量,,所以 .
因为,所以,解得 .故选A.
√
4.如图，在中，是对角线 上靠近
点的三等分点，是线段 的中点，若
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，是线段 的中点，
，
.故选C.
√
探究点一 平面向量基本定理及其应用
例1（1）[2026·湖北武汉联考]若， 是平面内一组不共线的向量，
则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是
( )
A.与 B.与
C.与 D.与
√
[解析] 因为，是平面内一组不共线的向量，所以与 不
共线，则与 能作为平面内所有向量的一个基底，所以A不
满足题意；
设，则无解， 故 与
不共线，能作为平面内所有向量的一个基底，所以B选项不满足题意；
设，则 无解，故与
不共线，能作为平面内所有向量的一个基底，所以C选项不满足题意；
因为 ，所以，
与 不能作为平面内所有向量的一个基底，所以D选项
满足题意.故选D.
（2）在直角梯形中，，，， 是
的中点，若，则 ( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由题意作图可知， ，
，
.
因为，所以 ，
根据平面向量基本定理可得 解得所以 ，故选A.
总结反思
1.（1）基底的两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的
选择不是唯一的.平面内的两个向量不共线是这两个向量可以作为这
个平面内所有向量的一个基底的条件.
（2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
2.（1）应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则
或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,
并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来
解决问题.
【对点演练1】（1）如图，在 中，
，点是的中点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在中，，点是 的中点，所以
.故选D.
√
（2）（多选题）[2025·湖北咸宁联考]若，是平面 内两个不共
线的向量，则下列说法正确的是( )
A.可以表示平面 内的所有向量
B.对于平面 内的任一向量，使的实数 ， 有无
数多对
C.若，，，均为实数，且向量与 共
线，则有且只有一个实数 ，使
D.若存在实数 ， ，使，则
√
√
[解析] 对于A，B，D，向量，可视为平面 内所有向量的一个
基底，则由平面向量基本定理可知A，D正确，B错误；
对于C，当时，满足题意的 有无数个，故C错误.
故选 .
探究点二 平面向量的坐标运算
例2（1）[2026·广东广州期中]已知向量， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，所以
.故选C.
√
（2）[2025·安徽A10联盟期中]若 ， }是一个基底，向量
，则称为向量 在基底{ ， }下的坐
标.现已知向量在基底{，下的坐标为 ，
则在另一个基底{， 下的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，， ，所以
,.
又因为向量在基底{， 下的坐标为，所
以 ，所以在基底{，
下的坐标为 .故选C.
√
总结反思
向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量
运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我
们熟知的数量运算.
【对点演练2】（1）已知向量，且点，则点
的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，点，所以点 的坐标为
.故选A.
√
（2）向量，， 在正方形网格中的位置如图
所示，若，则 的值
为( )
A.2.5 B.3 C. D.
√
[解析] 如图，以 为坐标原点建立平面直角坐
标系，则,, .
因为 ，
,
则则则 .故选C.
探究点三 平面向量共线的坐标表示
例3（1）已知，，则与 同方向的单位向量为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， ，所以与
同方向的单位向量为 .故选D.
√
（2）[2026·四川成都联考]已知向量, ，
则“”是“向量, 共线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时，向量,，因为 ，所
以向量,共线，充分性成立；
由向量 ，共线，得 ，
则 ，故,，必要性不成立.
所以“”是“向量, 共线”的充分不必要条件.故选A.
√
总结反思
（1）注意两个平面向量共线的充要条件.
（2）利用向量共线的坐标表示既可以判定两个向量平行,也可以由向
量平行求参数.当两个向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对
应成比例来求解.
【对点演练3】（1）[2025·河南洛阳模拟]已知两个不相等的向量
，，若，则 ( )
A. B.0 C. D.
[解析] 因为向量， ，所以
.由 ，得
，即 ，解
得或.
当时，，，此时 ，不符合题意；
当时，，，此时 ，符合题意.故选C.
√
（2）（多选题）已知向量，，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，， 存在 ，使得
，，
即 ，解得，或.故选 .
√
√
【备选理由】例1是利用基底法表示向量求解参数取值范围的问题；
例1 ［配合探究点一使用］[2025·江西宜春期中]
如图，在中，，分别是， 的中点，
点在上，且，是
（不含边界）内的动点，满足 ，
则 的取值范围为( )
A., B., C., D.,
√
[解析] 如图，分别取，的中点， ，连接交于
，则在线段 （不含端点）上.
，， ，则 ，
，分别是，的中点，.
，
同理， ，，即 的取值范围为, .故选D.
【备选理由】例2是利用向量的坐标表示来求解参数取值范围的问题，
这两道例题难度偏大，综合性强，适合作为学生的拓展训练.
A. B. C. D.
例2 ［配合探究点一、二使用］
（1）[2026·四川遂宁模拟]在直角梯形
中，,,, ,
,分别为,的中点，点在以 为圆心，
为半径的圆弧 上运动（如图所示）.若
，其中 ,，则 的取值范围是( )
√
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的平
面直角坐标系，
则,,,,,, ,
,, .
设 ，
则 .
因为，所以, ，
则 解得
所以
.
因为，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选B.
（2）[2026·陕西西安期中]边长为2的正三角形 的内切圆上有一
点，已知，则 的取值范围是( )
A. B.，
C.， D.，
[解析] 如图，以内切圆的圆心为坐标原点，以 所
在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
设的内切圆半径为 ，则
，解得 .
√
设 ,， ，
由题得,,,,, ,
则 ,, ,
.
因为 ，
所以 , ，
所以 解得
所以 .
因为，所以, ，
所以，所以 .
故选D.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·山西太原二模]若{, }是平面内的一个基底，则下列四组
向量中能作为平面向量的基底的是( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 对于选项A， ，两向量共线，不符合基
底的定义，故A错误；
对于选项B， ，两向量共线，不符合基底
的定义，故B错误；
对于选项C，不存在实数 ，使得，即
与 不共线，可以作为平面向量的基底，故C正确；
对于选项D， ，两向量共线，不符合基
底的定义，故D错误.故选C.
2.已知向量，，若，则 ( )
A. B. C.5 D.20
[解析] 向量，，由，得,解得 ，
则，所以 .故选B.
√
3.[2026·河北秦皇岛模拟]已知向量与单位向量 同向，且
,，则 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由,，可得 ，且
，所以与向量 同向的单位向量
.故选B.
√
4.[2025·山东青岛模拟]已知向量， ，
，若点,,不能构成三角形，则 的值为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 由题意可得 ,
.
因为点,, 不能构成三角形,所以点,,共线，所以
，解得 .故选B.
√
5.设,是两个不共线的向量，且, ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设，代入, 并整理
得.又，所以 解得
所以 .故选B.
√
6.已知点,，点是线段 上的点，且
，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则, .
由，可得 解得
即 .故选A.
√
7.已知向量,, 在正方形网格中的位置如图所
示，以,为基底，则 可表示为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
设与轴正方向相同的单位向量为，与 轴正方
向相同的单位向量为，则 ,
,.
设 ，则 .
因为, 不共线，所以解得故 .
故选C.
8.（多选题）[2026·广东东莞模拟]已知点，，与 平
行，且方向相反的向量 可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以， .
对于A，，所以 符合题意，A正确；
对于B，，所以 不符合题意，
B错误；
对于C， ，所以不符合
题意，C错误；
对于D， ，所以符合题意，D正确.
故选 .
√
√
9.已知向量,,若，则 的值为
____.
[解析] 因为,，所以 ,
.
因为，所以，解得 .
10.设平面向量，，，且 ，若
向量与共线，则__________________， _____________
_____________________________________________________.
（答案不唯一）
3（答案不唯
一.第一空填，则第二空填3;第一空填3，则第二空填）
[解析] 因为，，所以 ，即
.
因为， ，所以.
又向量与共线， ，所以，
即，所以 ，解得或，
所以或
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·福建漳州质检]在平面直角坐标系 中，向量
,，若，不共线，记以，
为邻边的平行四边形的面积,.已知 ,
， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意设, ，则
， ,
， ,
， ,
，则 .故选C.
12.（多选题）[2025·陕西西安模拟]如图，在长方形 中，
,，点满足，其中，则
的取值可以是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
√
√
√
[解析] 以为坐标原点，， 所在直线分别为
， 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则
，，，，
故.
因为 ，所以.故选 .
设 ，因为，所以 ，即 ，，故，，则 ，
13.[2025·江苏苏北七市调研] 已知点在直线 上，
，则原点与 的距离的最小值为_ __.
[解析] 不妨设点 ，则
，
因此 ，
当且仅当时，等号成立，因此原点与的最短距离为 .
14.[2026·安徽蚌埠模拟] 在中，，，点在
上且，则 的取值范围是______.
[解析] 由题意，以为坐标原点，所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设 ,，因为在 中，
，，所以, ,
.
设，则, .
又，所以 ，
解得 , ，所以 ，
所以 .
因为，所以 ，则
，所以的取值范围是 .
【知识聚焦】
1.（1）不共线 任一 有且只有一对 （2）不共线 所有
2.（1）
（2）
3.
【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）√ （4）×
题组二 1.C 2.A 3.A 4.C
课堂考点探究
例1（1）D （2）A 对点演练1（1）D （2）AD 例2（1）C （2）C
对点演练2（1）A （2）C 例3（1）D （2）A 对点演练3（1）C （2）AD
夯实基础
1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.AD 9.
10.（答案不唯一） 3（答案不唯一.第一空填，则第二空填3;第一空填3，
则第二空填）
综合提升
11.C 12.ABC 13. 14.

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