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(共79张PPT)
第29讲 平面向量的数量积与平面向
量应用举例
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会
计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量垂直.
6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问
题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
知识聚焦
1.平面向量的数量积
（1）向量的夹角
①定义:已知两个非零向量,（如图）, 是平面内任
意一点,作,,则 叫
作向量与 的夹角.
②性质:当时,与同向;当 时,与 反向.
③向量垂直:如果与的夹角是,我们说与垂直,记作 .
（2）数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,我们把数量___________叫
作向量与的数量积（或内积）,记作,即 ___________.
规定:零向量与任一向量的数量积为___,即 .
（3）投影向量
0
如图,在平面内任取一点,作, ,
过点作直线的垂线,垂足为 ,则_____就
是向量在向量 上的投影向量,且
为与 方向相同的单位向量 .
2.平面向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量.
① ________.
② _________.
③当与同向时,______;当与反向时, ________.特别
地,_____或 _______.
④___ .
3.平面向量数量积的运算律
对于向量,,和实数 ,有
①交换律:____________;
②数乘结合律:________________ ;
③分配律: ___________.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量,,,为与 的夹角.
向量表示 坐标表示
常用结论
1.设,为两个平面向量,则有恒等式 .
2. .
3.若两个向量与的夹角为锐角,则,反之不成立（因为与
的夹角为0时不成立）.
4.若两个向量与的夹角为钝角,则,反之不成立（因为与
的夹角为 时不成立）.
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，，为非零向量，则 .( )
×
[解析] 因为表示的是与共线的向量，表示的是与
共线的向量，所以 不一定成立，故错误.
（2）若，则 .( )
×
[解析] 当时，满足，但 不一定成立，故
错误.
（3）若，则或 .( )
×
[解析] 当时，与可能均为非零向量且 ，故错误.
题组二 教材改编
1.若,,,的夹角为 ,则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] .故选B.
√
2.已知向量,满足,,,则 ( )
A. B.4 C.6 D.8
[解析] ,
则 .故选A.
√
3.已知向量，，若是在上的投影向量，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得, ，
所以 .故选C.
√
4.已知,,那么,的夹角 ______.
[解析] ,,, ,
, .
又 , .
探究点一 平面向量数量积的运算
例1（1）[2026·河北张家口模拟]在中， ，
，则 ( )
A.2 B. C. D.
[解析] 依题意得，
.故选C.
√
（2）[2026·福建厦门质检]在梯形中，， ，
，， ，则 ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
[解析] 如图，由题可知 ，所以
.
因为 ，所以 ,故选C.
√
（3）已知点在圆上，，，则 的
值为_____.
[解析] 圆的半径为 .
设，则 ，
，
故 .
总结反思
计算平面向量数量积的方法
（1）利用定义：， .
（2）利用坐标运算，若， ，则
.
（3）利用基底法求数量积.
（4）灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【对点演练1】（1）[2025·重庆质检]已知 为单位向量，向量
，若 , ，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] , ，
, .
故选B.
√
（2）[2025·湖南长沙模拟]已知菱形的边长为1, ,
是的中点，与相交于点，则 ( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 如图，由题可知 ，所以
， ，所以
，所以 ，所以
，故 .故选B.
探究点二 平面向量数量积的应用
题型1 平面向量的模
例2（1）[2025·湖北十堰调研]已知单位向量,满足 ，则
( )
A.0 B.1 C.2 D.
[解析] ，则
.故选D.
√
（2）[2025· 全国二卷] 已知平面向量, ，若
,则 ____.
[解析] 因为, ，
，所以，解得 ,
所以 .
题型2 平面向量的夹角
例3（1）已知向量,满足，且 ，
则, 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，由 ，得
，即 ，
所以，则，所以, .
又， ,所以,的夹角为，故选B.
√
（2）[2025·黑龙江大庆质检]已知向量, ,
，则向量与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为向量,所以 .
又 ，所以 .
设向量与的夹角为 ,，则 ，
所以 .故选C.
√
题型3 投影向量
例4（1）[2026·江西赣州二模]若向量，满足， ，
则在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 由投影向量的定义知，在 上的投影向量为
.故选D.
√
（2）已知向量,，则在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，.在 上的投
影向量为 .故选A.
√
总结反思
1.求平面向量的模的方法:
（1）公式法:或 ;
② ;
③若,则 .
（2）几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边
形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
2.求平面向量夹角的方法:
（1）定义法:利用向量数量积的定义,得,,其中向量,
夹角的取值范围为, .
（2）坐标法:已知非零向量,,则 ,
.
3.求投影向量的方法:
（1）在上的投影向量为 为,的夹角,在 上的
投影向量为 .
（2）在上的投影向量为,在上的投影向量为 .
【对点演练2】（1）[2025·陕西商洛模拟]已知 ，则
在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ，可得
，即 ，即
，所以，即.
如图所示，设, ， 则四边形为矩形，，
所以在 上的投影向量为 .故选A.
（2）[2025·辽宁沈阳三模]已知向量，满足 ，
，则 等于( )
A.12 B.10 C. D.
[解析] 由，得，即 ，又
，所以
，所以 ，故选C.
√
探究点三 平面向量在物理中的应用
例5（1）[2025· 全国一卷]帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风
速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对
应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其
中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下
表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运
动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图
（线段长度代表速度大小，单位 ）,则真风为( )
级数 名称 风速大小
2 轻风
3 微风
4 和风
5 劲风
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
√
[解析] 设视风风速对应的向量为 ，真风风速对应
的向量为，船速对应的向量为 ，由题图得
，
.
因为船速对应的向量和船行风风速对应的向量大小相等、方向相反，
所以船行风风速对应的向量为 .
因为视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的
向量之和，所以，则
，所以 ，
由题表得真风为轻风，故选A.
（2）[2026·山西长治质检]平面上的三个力,, 作用于一点，且
处于平衡状态.若, ,与的夹角为 ，
则与 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知 ，则
.
设与的夹角为 ，则
，
即，解得 ，
故选A.
总结反思
用向量方法解决实际问题的步骤
【对点演练3】（1）[2026·宁夏银川质检]如图所示，质
点从点出发，沿，，运动至点 ，已知
,,,， ，则质
点 位移的大小是( )
A.9 B. C. D.
√
[解析] 因为,， ，所以
.
设与的夹角为 ，则
，得 .
因为 ,所以.
因为点 的位移为，所以
，所以 .故选D.
（2）（多选题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一
艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小
，水流速度 的大小，设和的夹
角为 ，则下列说法正确的为( )
A.当船的航行时间最短时，
B.当船的航行距离最短时，
C.当 时，船的航行时间为6分钟
D.当时，船的航行距离为
√
√
[解析] 由题意知船垂直河岸方向的分速度 的大小 ，
河宽 ，则航行时间.
对于A，当，即 时，取得最小值，所以当船的航行时
间最短时， ，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，船的实际航行速度的 方向垂直于河
岸，如图，
则，所以 ，故B错误；
对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度 的大小
， 船的航行时间
，即6分钟，故C正确；
对于D，设船的实际速度为，则，当 时，
，所以
，
因为船垂直河岸方向的分速度 的大小
，所以船的航行时间 ，
所以船的航行距离为，故D错误.故选 .
【备选理由】例1属于新定义问题，考查在新的背景下利用平面向量
的数量积解决问题.
例1 ［配合探究点一使用］[2026·安徽安庆模拟]
互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角
坐标系，若平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则
这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，设，
A.3 B.2 C. D.
是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴、 轴正方向相同的单
位向量，且，，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和 轴
上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记 ，则该坐标系中
和 两点间的距离为( )
√
[解析] 由题意可得 ，
，则 ，
所以 ，所以 .故选D.
例2 ［配合探究点一、二使用］[2026·吉林通化调研] 已知
，，且动点满足，则 的取
值范围为_______；若线段的垂直平分线与交于点，则
的正切值的最大值为_ ___.
[解析] 因为， ，所以， .
【备选理由】例2属于最值问题，难度偏大，综合性强，旨在让学生形成知识网络，加强高中数学各个知识板块内容的联系与应用.
以的中点为原点，的所在直线为轴， 的中垂线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，.
设 ，则，，， .
因为 ，所以
，整理得 ，
所以点的轨迹是以点 为圆心，2为半径的圆.
所以 .
因为线段的垂直平分线与交于点 ，所以
，
所以点的轨迹是以， 为焦点、长轴长为2、短
轴长为 的椭圆，
该椭圆的方程为，当 与椭圆相切
时， 的正切值最大.
设直线的斜率为，则 ，直线
的方程为 ，
由
消去得 ，
令 ，
得，即 ，
所以的正切值的最大值为 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·浙江义乌模拟]已知,，向量与 的夹角
为，则 ( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由题意可得，
，解得或 （舍）.故选B.
2.[2025·四川攀枝花模拟]平面向量，满足，，则
在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 在上的投影向量为 ，故选B.
√
3.在中，“且”是“ 为锐角三角形”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 因为，所以是锐角，因为，所以
是锐角，但不一定是锐角，如,,，此时 是
钝角三角形，充分性不成立；
若为锐角三角形，则, 是锐角，所以，
，必要性成立.
所以“ 且”是“ 为锐角三角形”的必要不
充分条件，故选B.
4.[2026·江西新余模拟]已知平面向量，满足 ，
，向量在向量上的投影向量为，则向量，
的夹角 为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，因为 ，且
，所以，可得 ，所以
.
因为 ，所以 ，故选C.
√
5.[2026·河北石家庄质检]已知平面向量，是两个单位向量，在
上的投影向量为，则 ( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 因为，是两个单位向量，且在 上的投影向量为
,,所以,,所以 ,所以
,故选B.
√
6.在正方形中，，分别为，的中点，若 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则,,, ,
,，可得, ,
,.
因为 ，所以，
所以 .故选B.
7.（多选题）已知向量, ，则( )
A.
B.
C.,
D.在上的投影向量的坐标为
√
√
√
[解析] 因为，所以 ，故A正确；
因为，所以，则 ，故B正确；
，则 ，
故C错误；
在上的投影向量为 ，故D正确.
故选 .
8.[2025·安徽合肥八中模拟] 已知向量, ，若
,，则 ____.
[解析] 由,，可得, ，
.
又,，所以 .
9.[2026·福建龙岩质检] 已知向量， ，且向量
与的夹角为，则 ___.
2
[解析] 因为向量，，且向量与的夹角为 ，
所以，化简得 ，
所以，则 .
10.[2025·山东青岛期末] 如图，在等边三角形中， ,
,，线段与交于点 .
（1）求 ；
解：以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐
标系，
由,,可得,, ，
，
由可得，所以 ,
，
则 .
（2）求 ；
解：由图可得 .
（3）若为所在平面内的一个动点，求
的最小值.
解：设，则 ,
, ，
所以
，当且仅当, 时取等号，所以的最小值为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·重庆江北区模拟]正六边形在中国传统文
化中象征着 “六合”与 “六顺”，这种形状常被用
于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的
窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边
A.12 B.16 C.18 D.20
形的摆放位置如图所示， 是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，
则 的最大值为 ( )
√
[解析] 过作，交直线于点 ，则
，如图，由图知
当位于点或时， 取得最大值，易知
,,此时 ，所以
，故选C.
12.（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易
有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图
所示是由八卦抽象得到的正八边形 ，其
中， 为正八边形的中心，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，如图，连接，交于点 ，易知为的
中点，所以 ，故B错误；
对于C，在中，易知，且 ，
所以， ，由二倍角公式可得
，故C正确；
对于D，连接，则，所以 ，故D正确.
故选 .
13.[2026·河北秦皇岛模拟] 在平行四边形中， ，
.若为的中点，则向量在向量 上的投影向量为
______（用表示）；若，点在边上，满足 ，
点，分别为线段，上的动点，满足 ，则
的最小值为___.
[解析] 依题意可知 .
又 ， ，
所以 ，
则向量在向量 上的投影向量为
.
以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.
由，，可得 .
又 ，所以 .
又，所以 .
设,，则.由，可得 .
又 ，所以 ，因此,
，可得
，显然当 时，取得最小值，最小
值为 .
14.[2026·山西太原二模] 如图，已知 的三个
内角,,所对的边分别为,,.动点在边 上且
不与点,重合，动点在边上， .向
量,,, .
（1）试用,,,,,及 表示下列各式.
（ⅰ）当时， ；
解：当时，与反向，即与的夹角为 .
因为 ，所以 .
（ⅱ） .
解：由题意， ，
，
.
所以
①.
（2）若,，，在 的条件下，
当时，求 .
解：当时，①式化简为 ②.
将,,代入②，得 .
又因为，所以，所以 .
【知识聚焦】1. 0 2.① ② ③
④ 3.① ②
4.
【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）× 题组二 1.B 2.A 3.C 4.
课堂考点探究
例1（1）C （2）C （3） 对点演练1（1）B （2）B 例2（1）D
（2） 例3（1）B （2）C 例4（1）D （2）A 对点演练2（1）A
（2）C 例5（1）A （2）A 对点演练3（1）D （2）AC
夯实基础
1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.ABD 8. 9.2
10.（1） （3）
综合提升
11.C 12.ACD
13.
14.（1）（ⅰ）（ⅱ） （2）
（）（）第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例
【备选理由】 例1属于新定义问题,考查在新的背景下利用平面向量的数量积解决问题;例2属于最值问题,难度偏大,综合性强,旨在让学生形成知识网络,加强高中数学各个知识板块内容的联系与应用.
1 [配合探究点一使用] [2026·安徽安庆模拟] 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,若平面坐标系中两条坐标轴不垂直,则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图,设Ox,Oy是平面内相交的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且=,过点P作两坐标轴的平行线,其在x轴和y轴上的截距a,b分别作为点P的x坐标和y坐标,记P(a,b),则该坐标系中M(3,3)和N(2,1)两点间的距离为 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.2 C. D.
[解析] 由题意可得=3e1+3e2,=2e1+e2,则=-=e1+2e2,
所以==+4+4e1·e2=1+4+4cos=5+2=7,所以|MN|=.
故选D.
2 [配合探究点一、二使用] [2026·吉林通化调研] 已知||=4,=4,且动点P满足||=2||,则·的取值范围为　[-8,8]　;若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q,则∠ABQ的正切值的最大值为 　.
[解析] 因为||=4,=4,所以||=1,||=3.
以AM的中点O为原点,AM的所在直线为x轴,AM的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A,M,B.设P(x,y),
则=,=.
因为||=2||,所以=2,整理得+y2=4,
所以点P的轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆.
所以·=||·||cos∠PAB∈[-8,8].
因为线段PM的垂直平分线与PA交于点Q,所以|QA|+|QM|=|QA|+|QP|=|AP|=2>1,
所以点Q的轨迹是以A,M为焦点、长轴长为2、短轴长为2=的椭圆,
该椭圆的方程为x2+=1,当QB与椭圆相切时,∠ABQ的正切值最大.
设直线BQ的斜率为k,则k=±tan∠ABQ,直线BQ的方程为y=k,
由
消去y得(3+4k2)x2-28k2x+49k2-3=0,
令Δ=-4×(3+4k2)(49k2-3)=0,
得k2=,即k=±,
所以∠ABQ的正切值的最大值为.

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