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微专题6 平面向量中的综合问题
微点一
微点二
微点三
微点四
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一 平面向量在几何中的应用
例1 （多选题）在中， ，，，点在线
段 上（不包括端点），下列结论正确的是( )
A.若是高，则
B.若是中线，则
C.若是角平分线，则
D.若，则是线段 的三等分点
√
√
[解析] 因为，，，所以 ，所以.
对于A，若 是高，则 ，故A不正确.
对于B，由题得，因为是中线，所以 ，所以 ，所以，故B正确.
对于C，由B选项分析可得，若 为角平分线，则.
因为 ，所以, 整理可得，得，故C正确.
对于D，设， ，则 , 所以.
因为 ，，， ,所以，解得或（舍），所以 不是线段的三等分点，故D不正确.故选 .
总结反思
破解向量在几何问题中的应用的步骤:
（1）设出向量或将某些向量用其他向量进行表示,将几何问题转化为
向量问题;
（2）利用向量之间的计算解决几何图形上的长度、夹角等问题.
【对点演练1】 [2026·江西南昌模拟]如图，在
中， ，，是 边的中点，
过点作于点，延长交于点 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：设，则 .
因为，所以，又是 边的中点，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .
因为， ，所以 ， ，所以，， ，则，解得，所以 ，所以 .
方法二：因为 ， ，所以为等腰直角三角形，所以 .
因为为 边的中点，所以 ， 所以.
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 .
如图，过点作，交于点，则 为等腰直角三角形，设，则 ，因为 ，所以，解得，所以 .故选C.
微点二 与向量有关的最值（范围）问题
题型1 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题
例2 [2025·安徽合肥模拟]如图，在 中，
,,为 上一点，且满足
，若，则 的最小值
是( )
A.2 B.4 C. D.
√
[解析] 由题可知 .
设 ，则 ，
所以解得 所以 .
因为 ，所以
， 当且仅当 时，等号成立，
所以的最小值为 .故选C.
题型2 与数量积有关的最值（范围）问题
例3（1）[2025·江西新余模拟]已知在正方形中，， 为
的中点，为正方形内部或边界上一点，则 的最大
值为( )
A.1 B. C. D.2
√
[解析] 如图，以为坐标原点，, 所在直线分别
为,轴，建立平面直角坐标系，则, ,
,,.
设， , ，则，
，所以
，
故当, 时，取得最大值，
最大值为 .故选D.
（2）[2025·重庆沙坪坝区模拟]如图所示，点 为正
八边形的中心，已知，点 为
或上的一个动点，则 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 点为正八边形的中心，故 .
取 的中点，连接，则， .
又 ，所以，
则 ，故.
过点作，交 的延长线于点，
由正八边形的性质知， .
当点在 上时，如图①， ，
则 ，此时，由图①可知，此时 取得最大值1；
当点在上运动时，如图②，，显然当与
重合时， 取得最小值，最小值为.
所以的取值范围是 ，
故选D.
题型3 与模有关的最值（范围）问题
例4（1）[2026·云南昆明模拟]已知向量, ，则
的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.4
√
[解析] 在平面直角坐标系 中，设
,，则点 在直
线上运动，点在曲线 上运动.
作出直线与曲线 ，如图所示，
因为 ，所以的最小值即为 的最小
值，即求直线上的点与函数图象上的点 间的最小距离.
对于函数，令，得，则 ，由图知，
点到直线的最小距离为 ，
即 .故选B.
（2）[2026·四川泸州一模]已知平面向量, ,
, ，则 的最小值是( )
A.1 B.2 C. D.3
√
[解析] 由题意知，点,,分别在以 为圆心，4,3,1为半径的圆上.
因为，所以，所以.
设为 的中点，连接，则，所以点在以为圆心，
为半径的圆上.
因为为的中点，所以，则 .
又，所以 ，所以
的最小值为3.故选D.
总结反思
1.破解与平面向量基本定理有关的含参最值或范围问题的关键:
一是会用定理,即会利用平面向量基本定理,把二维平面中的任一向量
用不共线的两个向量来表示;
二是求目标代数式,通过对所引入的参数的判断,利用函数的单调性、
配方法、基本不等式等求出参数的最值或范围.
2.破解向量数量积的最值或范围问题的关键:
一是会计算向量的数量积,有关向量数量积的计算通常有两种方法，
数量积的定义、坐标运算；
二是求目标代数式,通过引入参数求出向量数量积,转化为关于参数的
函数,此时,常利用函数的单调性、配方法、基本不等式等求出向量数
量积的最值或范围.
3.破解与平面向量的模有关的最值或范围问题的方法:
一种是借助函数,可以建系借助坐标法求解;另一种是借助向量的几何
意义,常用三角形法则与数形结合求解.
【对点演练2】（1）铜钱，古代铜质钱币，指秦
汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中
正方形 的边长为4，圆的半径为，正方
形的中心与圆 的圆心重合，动点在圆上，
且，则 的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 方法一：以为原点，，所在直线分别为， 轴，建立
如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，
点在圆 上.
设点 ，则
，， .
因为 ，所以
，所以 ，
，所以
，即 的最大值为3.
方法二：如图，连接，过点作平行于 的直线，分别交直线
，于点，，设直线交直线于点，取线段 的中点
，延长与圆交于点.
因为，，三点共线，所以存在 ，使得，
所以 ，则 .
因为，，三点共线，所以存在 ，使得
.
因为，且 ，不共线，
所以， ，
所以.
因为，且 ，，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，所以.
易知，所以，故，， 三点共线.
要使得 取得最大值，则 ，且
，当且仅当为射线 与圆的
交点时， 取得最大值3，故选C.
（2）已知圆的半径为2，弦，为圆 上的一个动点，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为圆的半径为2，，所以 为等边三
角形，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设 ，则
， ，所以
.
当时，取得最小值 .故选B.
√
方法二：如图，作圆的直径，过作垂直于 的延长线，
垂足为，连接 .
可以看作在上的投影向量与 的数量积.
由圆的性质知，当与重合时，取得最小值.
因为 ，所以 ，
则，所以 ，
所以的最小值为 .故选B.
（3）[2025·河北保定模拟]平面向量,满足, ,
，若，则 的最小值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为,, ,所以
.
又 ，所以 ,
即 ，即 ，所以
,即.
设与的夹角为 ，则,
.当时， 取得最小值 .故选B.
方法二：因为，所以 ，
设,，则是以1， 为直角边，
为直角的直角三角形，则.
设 ，为的中点，如图，
由知， 点在线段的垂直平分线 上.
易知， ， ，则
的最小值为点到直线的距离 .故选B.
方法三：设，，因为 ，所以
.
以为原点，，所在直线分别为， 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ,
.
设，由 知， ，
可得，则
，所以当时,取得最小值 .
故选B.
微点三 等和线定理
例5 [2025·辽宁沈阳模拟] 如图，为中点，
是的重心，,分别是边， 上的动点，
且,,三点共线.设， ，则
___.
3
[解析] 因为是的重心，所以 ，
易知 ，所以
.
又因为,, 三点共线，所以存在实数 , 满足,
且 .
又，，所以 ，可得
即 所以 .
总结反思
1.等和（高）线定理
（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：
如图， ，由三点共线结论可知，若
，则，由与 相似，
可知必存在一个常数, ，使得 ，则
，又 ，所以
；反之也成立.
（2）平面内一个基底，}及任一向量 ，
，若点在直线上或在平行于 的直
线上，则（定值）；反之也成立，我们把直线 以及与直
线 平行的直线称为等和（高）线.
①当等和线恰为直线时， ；
②当等和线在点与直线之间时， ；
③当直线在点与等和线之间时， ；
④当等和线过点时， ；
⑤若两等和线关于点对称，则定值， 互为相反数；
⑥定值的变化与点 到等和线的距离成正比.
【对点演练3】 如图所示，点在由线段 ，
的延长线及线段 围成的阴影区域内
（不含边界），则下列说法中正确的是______.
（填写所有正确说法的序号）
①④
①存在点，使得 ；
②存在点，使得 ；
③存在点，使得 ；
④存在点，使得 .
[解析] 设，由题图可知， ,且
，则①④正确.故填①④.
微点四 平面向量与三角形“四心”
题型1 平面向量与三角形的重心
例6 已知三角形的重心为，内角，，的对边分别为， ，
，若，则三角形 的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 因为 ，所以.
因为为 的重心，所以，所以
.
由平面向量基本定理可得，则，
所以 ，所以，，
故三角形 是等腰直角三角形.故选D.
题型2 平面向量与三角形的外心
例7 设是所在平面内的一点，若 ，
且，则点是 的______.（填“外心”“内心”“重心”
“垂心”）
外心
[解析] 取的中点，连接 ，如图所示，
因为 ，
所以，所以 ，
所以，即点在线段的中垂线上.
又因为 ，所以点在线段的中垂线上，
所以为 的外心.
题型3 平面向量与三角形的内心
例8 [2026·福建福州九校联考] 已知为 的内心，且
，记,分别为 的外接圆、内切圆半径，若
，则 _ __.
[解析] 如图，取的中点 ，依题意，
，所以，， 三
点共线，，所以 .
由，得， .
作于点，则 ，所以
， ，
，所以
.
又 ，
所以，则 .
题型4 平面向量与三角形的垂心
例9 [2025·福建福州期中] 已知是 的垂心，满足
，且，则 ____.
[解析] 由，得 ，
化简得 ，
则 ，故 .
总结反思
1.重心：三角形三条中线的交点，重心将中线分成长度之比为 的
两部分.
三角形重心的相关结论：若为 的重心，则
（1） ；
（2） ；
（3）若动点满足,，则点 的轨
迹一定通过 的重心；
（4）若动点满足, ，则
动点的轨迹一定通过 的重心；
（5）已知的顶点,,，则 的重
心坐标为 .
2.外心：三角形三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形
各顶点的距离相等.
三角形外心的相关结论：若为 的外心，则
（1） ；
（2）若动点满足 ，
，则动点的轨迹一定通过 的外心；#2.2.1.2
（3）若 ，
则是 的外心；
（4） ；
（5） .#2.2.1.5
3.内心：三角形三条角平分线的交点（内切圆的圆心），内心到三角
形各边的距离相等.
三角形内心的相关结论：设，，分别为的内角，， 所
对的边，若为 的内心，则
（1） ；
（2） ；
（3）若动点满足，，则 的轨
迹一定通过 的内心；
（4） .
4.垂心：三角形三条高线的交点，高线与对应边垂直.
三角形垂心的相关结论：若为 的垂心，则
（1） ；
（2） ；
（3）若动点满足， ，
则动点的轨迹一定通过 的垂心；
（4） ；
（5） .
【对点演练4】（1）已知为的重心，线段上一点 满足
，与相交于点，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，取的中点，连接.
因为 为的重心，所以在上，且 .
又，所以 .
设，则 .
又，所以.
又,, 三点共线，所以，可得，所以 .
故选C.
（2）[2026·山东菏泽期中］已知为的内心，内角，，
对应的边分别为,,，且，，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，延长，交于点 .
因为为的内心，所以为 的平分线，
由角平分线的性质可得，同理可得 ，
又，所以，且 ，
又，所以，则 .
√
因为， ，所以
，则 ，则
，
故 .故选C.
（3）已知在中，为的垂心，是 所在平面内
一点，且 ，则以下说法中正确的是 ( )
A.点为的内心 B.点为 的外心
C. D. 为等边三角形
√
[解析] 在中，由为的垂心，得 ，由
，
，则
，即 .
又 ，
，所以同理可得，因此点为 的外心，B
正确，A错误.
由题意无法得到C，D， 故C，D错误.故选B.
（4）已知点为的外心，且向量 ，
，若向量在向量上的投影向量为，则 的值为__.
[解析] 由 ，可得
，即，所以
与共线，所以，， 三点共线.
所以 ，即是直角三角形.
因为在向量 上的投影向量为，所以，
可得 .
又因为，所以.
因为，所以 .
因为点为的外心，所以 ，
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若是所在平面内一点，则“ ”
是“ 为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由，得 ，则
，两边平方并化简得 ，则
，即，所以 为直角三角形，充分性成立；
因为为直角三角形不能推出 ，所以必要性不成立.
所以“”是“ 为直角三角形”的充
分不必要条件.故选A.
2.在平行四边形中，,,，点在边
上，且，则 ( )
A.2 B.3 C. D.4
[解析] 因为，所以 ，
，所以
.故选B.
√
3.已知平面向量，，满足，， ，
，若，为坐标原点，则点 的轨迹为
( )
A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆
√
[解析] 设，， ，则
，
, ，
，即，
化简得， 点 的轨迹为一个圆.故选C.
4.[2026·江苏南京模拟]在四边形中，， ，
，是线段的中点，是线段 上的动点，
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以点为坐标原点，, 所在直线分别为
, 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，是线段 的中点，所
以,,,,.
则, ，
因为 是线段 上的动点，所以可设 , ，所以点的坐标是，所以 ,，
所以当时，取得最小值 . 故选C.
5.在中，点在上，且满足，点为 上任意一
点，若实数，满足，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，由,, 三点共线
可得，且, ，所以
，
当且仅当，即, 时等号成立.故选D.
√
6.在等边三角形中，，为 所在平面内的一个动点，
若，则 的最大值为( )
A.4 B. C. D.6
[解析] 以为原点，所在直线为 轴，建立如
图所示的平面直角坐标系，
， 点在以 为圆心，1为半径的圆上，
设
√
为等边三角形， ，,， ，, ，则 ，当 ，，
即 , 时， ，
故选B.
7.（多选题）[2025·福建南平质检]已知向量,满足, ，
则( )
A.当时，与的夹角为
B.当时，在上的投影向量为
C.的最大值为
D. 的最小值为4
√
√
√
[解析] 当时，,.又 ,
，所以,，故A错误.
由 ，可得.又,，所以
，所以，所以在上的投影向量为
，故B正确.
设,的夹角为 ，则 ，
，所以
.
设 ，则
.
因为 ，所以，所以.
当 时，，所以；
当 时，，所以.故C，D正确.
故选 .
8.在菱形中，为边的中点，若，则
____.
[解析] 方法一：由题可知
.
，且由对称性易知 ，
.
方法二：如图，设,在 上的投影向量分
别为 , ，易知 ，
由数量积的几何意义可知，
，
.
◆ 综合提升 ◆
9.（多选题）[2026·湖南长沙长郡中学模拟]在中，内角 ，
，所对的边分别为，，，点是 所在平面上一点，且
，则下列说法正确的是( )
A.若,,，则在 内部
B.若，则为 的重心
C.若,，则的面积是面积的
D.若,,，为 外接圆的圆心，则
√
√
√
[解析] 对于选项A，当时，,, 三点共线，由向量的线
性运算可知，当,,时，在
内部，故A正确；
对于选项B，如图，设为的中点，为 的
重心，则
，故B正确；
对于选项C， ，则
，所以在边上，且 ，则
，所以的面积是面积的 ，故C错误；
对于选项D，因为， 为外心，
所以 ,,
易知 ,则 ,
，
解得,，所以，故D正确.故选 .
10.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重
要.有机物萘可以用如图①所示的键线式表示，其结构简式可以抽象
为如图②所示的图形.已知六边形与六边形 为全等的
正六边形，且，点为正六边形 内的一点
（包含边界），则 的取值范围是________.
[解析] 如图，连接，过点作直线 的垂线，
垂足为，过点作直线的垂线，垂足为 ，则
, ,
所以 .
当点与点重合时， 取得最小值，最小值为
；
当点与点重合时， 取得最大值，最大值为
.
所以的取值范围是 .
微点一 例1 BC 对点演练1 C
微点二 例2 C 例3（1）D （2）D 例4（1）B （2）D
对点演练2（1）C （2）B （3）B
微点三 例5 3 对点演练3 ①④
微点四 例6 D 例7 外心 例8 例9
对点演练4（1）C （2）C （3）B （4）
夯实基础
1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.BCD 8.
综合提升
9.ABD 10.

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