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第30讲　复数
【备选理由】 例1是一元二次方程背景下的复数考查,高考都还未直接涉及,供选择性补充;例2考查的是复数的三角表示,是课本上的选学内容,作为备选例题,意在提醒学生重视课本,不要忽略课本知识.
1 [补充使用] (1)若复数z=1-2i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则a+b= ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3
C.5 D.7
(2)已知α,β是关于x的方程x2+x+a=0(a∈R)的两根,则下列说法不正确的是 ( D )
A.若a>,则α,β是一对共轭复数
B.若a=1,则α3=β3=1
C.对任意的a∈R,α+β=-1
D.对任意的a∈R,|α|=|β|
[解析] (1)∵z=1-2i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,∴=1+2i也是该方程的一个根,
∴则∴a+b=3.
故选B.
(2)由题可知Δ=1-4a.对于A,当a>时,Δ<0,则方程x2+x+a=0有两个共轭虚根,所以α=,A中说法正确;对于B,若a=1,则Δ=-3<0,则α2+α+1=0,β2+β+1=0,又α3-1=(α-1)(α2+α+1)=0,β3-1=(β-1)(β2+β+1)=0,所以α3=β3=1,B中说法正确;对于C,因为x2+x+a=0的两根分别为α,β,所以α+β=-1,C中说法正确;对于D,当a=-2时,x2+x-2=0的根为-2或1,所以|α|≠|β|,D中说法错误.故选D.
2 [补充使用] (1)(多选题)欧拉公式exi=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( ABD )
A.的虚部为
B.eπi=-1
C.|exi|=|cos x|+|sin x|
D.的共轭复数为-i
(2)(多选题)[2026·云南师大附中期中] 设复数z在复平面内对应的点为Z,任意复数z都可以表示为三角形式r(cos θ+isin θ),其中r为复数z的模,θ(也被称为z的辐角)是以x轴的非负半轴为始边,以OZ所在的射线为终边的角.利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算,法国数学家棣莫弗发现[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,根据以上信息,若复数z满足z5=32,则z可能的取值为 ( BD )
A.2 B.2
C.2 D.2
[解析] (1)对于A,=cos+isin=+i,其虚部为,故A正确;
对于B,eπi=cos π+isin π=-1,故B正确;
对于C,exi=cos x+isin x,则|exi|==1,故C错误;
对于D,=cos+isin=i,则的共轭复数为-i,故D正确.
故选ABD.
(2)设z=r(cos θ+isin θ),其中r>0,则z5=r5(cos θ+isin θ)5=r5(cos 5θ+isin 5θ)=32,故r5cos 5θ=32,sin 5θ=0.∵r>0,∴cos 5θ>0,∴5θ=2kπ,k∈Z,∴θ=,k∈Z,则cos 5θ=1,故r5=32,则r=2,故z=2,k∈Z,故B,D正确,A,C错误.故选BD.(共60张PPT)
第30讲 复数
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
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答案核查【作】
【课标要求】
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
知识聚焦
1.复数的有关概念
（1）复数的概念
形如的数叫作复数,其中叫作虚数单位, 叫作复数的
______, 叫作复数的______.
对于复数
特别的，当且仅当__________时，它是实数0.
实部
虚部
且
且
（2）复数相等: _____________ .
（3）共轭复数:与共轭 _______________ .
且
且
（4）复数的模:向量的模叫作复数 的
模（或绝对值）,记作____或________,即 _________.
一般地,两个共轭复数的模相等,即 .
2.复数的几何意义
（1）复数 复平面内的点 .
（2）复数 平面向量___________
为坐标原点 .
3.复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设, ,则
①加法: _________________;
②减法: _________________;
③乘法: _____________________;
④除法: ______________.
（2）复数加法的运算律
对于任意,,,有________, ________
________.
复数加、减法几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则
或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形 可以直观地反映出
复数加、减法的几何意义，即 ___________，
___________.
（3）复数乘法的运算律
对于任意,,,有, ,
.
常用结论
1.,,, .
2.,,, ,
.
3. .
4. .
5.,, .#1.4.5
6.复平面内的中点坐标公式:在复平面内,若点为线段的中点,, ,
对应的复数分别为,,,则.特别地,在复平面内,
的重心对应的复数 .
7.（1）若在复平面内对应的点为,,则点 的集合是以原
点为圆心,分别以和 为半径的两圆所夹的圆环.
（2）若在复平面内对应的点为,,则点 在
以为圆心, 为半径的圆上.#1.4.7.1
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的实部是3，虚部是 .( )
×
[解析] 的虚部是4，故错误.
（2）对于复数，若，则是实数；若 ，
则 是纯虚数.( )
×
[解析] 当且时， 是纯虚数,故错误.
（3）若复数满足，则 .( )
√
[解析] 若，可设，则 ，故正确.
（4）若复数满足，则 .( )
×
[解析] 若，则，但 ，故错误.
（5）复数可以比较大小.( )
×
[解析] 复数不一定可以比较大小，故错误.
题组二 教材改编
1.若复数为纯虚数，则实数 ( )
A. B.0 C.1 D.
[解析] 因为复数为纯虚数,所以 ，解得
故选A.
√
2. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
√
3.在复平面内，若向量与对应的复数分别是, ,则
向量 对应的复数为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得, ,所以
,故向量对应的复数为 .故选B.
√
4.若复数满足,则在复平面内, 所对应的点组成的图形的
面积为____.
[解析] 由复数模的几何意义可知,复数 在复平面内对
应的点在如图所示的圆环内（包括边界）,小圆的半径
,大圆的半径 ,所以圆环的面积
，即所求面积为 .
探究点一 复数的概念及运算
例1（1）[2025·全国一卷] 的虚部为( )
A. B.0 C.1 D.6
[解析] ，其虚部为1，故选C.
√
（2）设复数满足，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，可得 ，
所以，故 .故选A.
√
（3）已知，若，则 的值是( )
A.1 B.0 C. D.
[解析] ，又 ，所以
，解得 .故选B.
√
总结反思
复数运算的双关
一是“运算关”,即熟练掌握复数的四则运算.复数的乘法:类似于多项式
的乘法运算,可将含有虚数单位的看作一类同类项,不含 的看作另一
类同类项,分别合并即可.复数的除法:进行复数除法运算的关键是分
子、分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把 的幂写成最简形式.
二是“概念关”,复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭
复数、模等,在解题时要注意辨析概念,灵活使用条件得出符合要求的
答案.
【对点演练1】（1）[2026·吉林长春模拟]已知复数
为纯虚数，则实数 的值为( )
A. B.1 C. 或1 D.2
[解析] 由题可得所以 .故选B.
√
（2）[2025·湖南长沙模拟]若复数为实数，则实数 等于( )
A. B. C.1 D.2
[解析] ，因为为实数，所以 ，
解得 .故选C.
√
（3）（多选题）[2026·浙江金华模拟]已知复数， 互为共轭复数，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 设，，则 .
对于A，，所以A正确.
对于B， , ，所以B正确.
对于C， ，,
，所以C正确.
对于D，取,，则 ，则
,，所以D错误.故选 .
探究点二 复数的几何意义
例2（1）[2025·湖北黄冈模拟]复数 的共轭复数在复平面内对应的
点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ，其共轭复数为 ，
在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.故选B.
√
（2）[2026·湖南师大附中模拟]在复平面内， 为坐标原点，复数
，对应的向量分别是，，则 对应的复数为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数，在复平面内对应的向量分别为 ，
，所以， ，所以
，则 对应的复数为
.故选A.
√
（3）（多选题）[2025·辽宁沈阳模拟]设复数 在复平面内对应的点
为 ，则下列选项正确的有( )
A.若，则 的最大值为6
B.若，则点 的轨迹为椭圆
C.若，则点 的轨迹为椭圆
D.若，则点的轨迹长度为
[解析] 在复平面内，设点,,, ，复数
对应的点为.
对于A，, 两点间的距离,
√
√
√
由，得点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，又
表示, 两点间的距离，所以的最大值为
，故A正确；
对于B，表示 , 两点间的距离，表示, 两点间的距离，
由，得点的轨迹为线段 ，故B错误；
对于C，，则点的轨迹是以 ,
为焦点，长轴长为4的椭圆，故C正确；
对于D，，即或 ，
易知表示以为圆心，1为半径的圆，表示以
为圆心，2为半径的圆，则点的轨迹长度为 ，
故D正确.故选 .
总结反思
（1）复数在复平面内对应的点和向量 一一对应.
（2）复数的几何意义:复数在复平面内对应的点的坐标就是向量
的坐标.对于复数 ,其在复平面内对应的点的坐标
是 ,复数的模即其对应向量的模.
【对点演练2】（1）已知复数在复平面内对应的点为 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，，则 ，
所以复数的共轭复数 .故选B.
√
（2）已知，，复数， 在复平面内对应的点
分别为，，则 ( )
A.5 B. C.2 D.
√
[解析] 方法一：因为， ，
所以， ，所以 ，则
，即 .
方法二：如图，在复平面内作出复数， 对
应的点，分别为，，
由勾股定理得 .故选B.
（3）（多选题）[2025·福建龙岩质检]已知复数 ，则
( )
A.复数 的模为2
B.复数 在复平面内对应的点位于第二象限
C.复数是方程 在复数集内的解
D.若复数 满足，则
√
√
√
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，复数在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限，
故B错误；
对于C，将 代入方程，得
，故C正确；
对于D，在复平面内，设复数 对应的向量为 ，复数对
应的向量为，其中 为坐标原点，由，得
，则复数 对应的点在圆心为 ，半径为1的圆上，
所以 ，即，故D正确.
故选 .
【备选理由】例1是一元二次方程背景下的复数考查，高考都还未直
接涉及，供选择性补充.
例1 ［补充使用］
（1）若复数是方程 的一个根，
则 ( )
A.2 B.3 C.5 D.7
[解析] 是方程 的一个根，
也是该方程的一个根，
则 ．故选B.
√
（2）已知 , 是关于的方程 的两根，则下
列说法不正确的是( )
A.若，则 , 是一对共轭复数
B.若，则
C.对任意的,
D.对任意的，
√
[解析] 由题可知.
对于A，当时， ，则方程有两个共轭虚根，
所以 ，A中说法正确；
对于B，若，则，则， ，
又 ，
，所以 ，B中说法正确；
对于C，因为的两根分别为 ， ，所以，
C中说法正确；
对于D，当时， 的根为或1，所以 ，
D中说法错误.故选D.
例2 ［补充使用］
（1）（多选题）欧拉公式为虚数单位，
是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，
被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.的虚部为 B.
C. D.的共轭复数为
√
√
√
【备选理由】例2考查的是复数的三角表示,是课本上的选
学内容，作为备选例题,意在提醒学生重视课本,不要忽略课本知识.
[解析] 对于A，，其虚部为 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，，则 ，故C错误；
对于D，，则的共轭复数为 ，故D正确.
故选 .
（2）（多选题）[2026·云南师大附中期中]设复数 在复平面内对应
的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中
为复数的模， （也被称为的辐角）是以 轴的非负半轴为始边，
以 所在的射线为终边的角．利用复数的三角形式可以进行复数的
指数运算，法国数学家棣莫弗发现
，我们称这个结
论为棣莫弗定理，根据以上信息，若复数满足，则 可能的
取值为( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 设，其中 ，则
，故
，
，， , ，,，
则，故，则 ，故，
，故B，D正确，A,C错误.故选 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·浙江桐乡模拟]已知复数满足，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
所以 .故选B.
√
2.已知复数满足，则复数 的共轭复数的虚部是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数满足 ，所以
，所以 ，故复
数的共轭复数的虚部是 .故选D.
√
3.[2026·湖北武汉模拟]在复平面内，点对应的复数为 ，
则实数 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 在复平面内，点对应的复数为 ，所以
，解得 .故选C.
√
4.已知复数，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ，所以 在复平面内对
应的点的坐标为 ，它位于第四象限.故选D.
√
5.[2025·江西新余模拟]在复平面内，复数 对应的点
在实轴上，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，， 复数
在复平面内对应的点在实轴上，，解得 .故选D.
√
6.若复数满足，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得 在复平面内对应的点在以原点为圆
心，1为半径的圆上.表示上述圆上的点到点 的距离，
结合圆的性质，易知 .故选D.
√
7.复数 在复平面内对应的点在第二象限，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解得，即的取值范围是 .故选B.
√
8.（多选题）[2025·河北石家庄模拟]已知复数 ,
，则( )
A.的虚部是 B.
C. D.
[解析] ，其虚部是, 正确；
,, 正确；
,,
不正确；
, 不正确.故选 .
√
√
9.[2025·湖南湘潭模拟] 复数 的实部与虚部之和为___.
4
[解析] 因为，所以 的实
部为1，虚部为3，和为4.
10.[2025·陕西西安模拟] 已知复数
为正实数，则 ___.
2
[解析] 由题意得
解得 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·辽宁沈阳模拟]已知复数 ，若集合
，则 的子集的个数是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 方法一：因为，复数 ，所
以 ，即
，所以
√
解得 所以，所以, ，含有两个
元素，所以的子集有（个）.
方法二： ，由求根公式得
，所以集合 ,，含有两个元素，所以的子
集有 （个）.
方法三：因为，所以 有且仅
有2个虚数根，所以中含有两个元素，所以的子集有 （个）.
故选C.
12.（多选题）[2025·江苏南京二模]若复数 ，则( )
A.
B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D.复数 满足，则的最大值为
√
√
√
[解析] 复数.
对于A， ，A错误；
对于B，在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由 ，得复数 在复平面内对应的点在以原点为圆心，
1为半径的圆上， 表示 对应的点与点的距离，所以
的最大值为，D正确.故选 .
13.已知，若复数 为纯虚数，
则 ___.
2
[解析] 由题意可得解得 .
14.已知复数是关于的方程的一个根，则 ____.
[解析] 由题意得，则，所以 ，所以
.
【知识聚焦】1.（1）实部 虚部 且 且
（2）且 （3）且 （4）
2. （2） 3.（1）① ②
③ ④ （2）

【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×
题组二 1.A 2.D 3.B 4.
课堂考点探究
例1（1）C （2）A （3）B 对点演练1（1）B （2）C （3）ABC
例2（1）B （2）A （3）ACD 对点演练2（1）B （2）B （3）ACD
夯实基础
1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.D 7.B 8.AB 9.4 10.2
综合提升
11.C 12.BCD 13.2 14.

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