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第31讲 数列的概念与简单表示法
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法
（列表、图象、通项公式）.
2.了解数列是一种特殊函数.
1.数列的有关概念
有关概念 定义
数列 按照____________排列的一列数
数列的项 数列中的__________
数列的通项 数列{}的第项
通项公式 数列{}的第项 与它的序号___之间的关系式
前 项和 数列{}中， _____________________
确定的顺序
每一个数
◆ 知识聚焦 ◆
2.数列的表示法
表示法 定义
列表法 通过表格表示与 的对应关系
图象法 用平面直角坐标系内 轴______一系列孤立的点
表示
公式 法 通项公式 ______
递推公式 ；
右侧
3.数列的分类
分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项间的大 小关系 递增数列 ___ 其中
递减数列 ___ 常数列 ___ 有限
无限
>
<
=
4.与 的关系
已知数列的前项和为，则
5.数列与函数的关系
数列是从正整数集或它的有限子集，2， ， 到实数集
的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项 ，记
为 .
常用结论
1.对于无穷数列，若恒成立，则 无最大（小）
值；若为递增（减）数列，且存在,,则 有
最小（大）值.
2.在数列中，若最大，则若 最小，则
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何一个数列都有唯一的通项公式.( )
×
[解析] 存在一个数列有不同的通项公式，如数列,1，,1， ，
其通项公式可以为，也可以为 .
◆ 课前演练 ◆
（2）若数列的前项和为，且，则当 时，
取得最小值.( )
×
[解析] 在数列中，，所以不可能取 .
（3）已知数列的前项和为，且满足 ，则
.( )
×
[解析] 当时，，不满足 .
题组二 教材改编
1.已知数列满足 ，且
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得.又，所以 .
因为，所以.
同理可得，，故 .故选B.
√
2.（多选题）已知数列 的前4项依次为2，0，2，0，依此归纳数
列 的通项公式可能是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，当为奇数时，，当为偶数时， ，故A
中通项公式正确；
对于B，显然正确；
对于C，当时， ，不符合题意，故C中通项公式不正确；
对于D，当 为奇数时，，当为偶数时，，故D中通项
公式正确.故选 .
3.已知数列1,，,,3,, ,, ，则 是这个数列
的第____项.
23
[解析] 因为题中数列的第项为 ，且
，所以 是题中数列的第23项.
探究点一 由与 的关系求通项公式
例1（1）[2026·贵州贵阳联考] 已知数列的前项和为 ，对一
切正整数，点在函数的图象上，求数列
的通项公式.
解：由题可知 .
当时， ；
当时， .
经验证，满足 ，
故 .
（2）[2026·山西大同联考] 已知数列的前项和为 ，且满足
，求 的通项公式.
解：当时，，可得 .
当时， ，
因为， ，
所以 ，
化简得，即，所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
则， .
总结反思
1.已知求的一般步骤:
（1）当时,由,求出的值;
（2）当时,由求得的表达式.
提醒:利用求通项公式时,应注意这一前提条件,
易忽视验证而出错.
2.当题中包含的任一形式时均可考虑应用与 的关系进行求解,
的常见形式有三种:（1）型;（2）型;（3）
与 型.
3.已知与 关系问题的求解思路
角度1：已知与的关系；或与 的 关系求 用，得到
角度2：已知与的关系求 替换题目中的
【对点演练1】（1）[2026·江苏扬州期末] 已知数列的前 项和
为，，，则 _____.
[解析] 由， ，
可得 ，
故，两边同时除以 ，
得 ，
故为等差数列，其公差为2，首项为 ，
则的通项公式为，所以 .
（2）数列满足 ，
，求数列 的通项公式.
解：由 ，
得 ，
两式相减得 .
当时， 满足上式，
所以，，则 ，
两式相除得，则 .
当为奇数时，，则 ；
由题易知，当为偶数时，，则 .
综上，对任意，，所以数列的通项公式为 .
探究点二 数列的函数性质
题型1 数列的单调性
例2 [2025·湖南长沙期末]数列 的通项公式为
，且为递增数列，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由数列是递增数列得，对 恒成立，即
，整理可得对 恒成
立.
因为函数在上单调递增，所以 .故选B.
题型2 数列的周期性
例3 [2026·河北邢台质检]在数列中，若, ，则
中的项是( )
A.4 B. C. D.
√
[解析] 由,，得, ，
，, ，
所以是以3为周期的数列.
又 ,,,所以A，C，D均不是 中的项.故选B.
题型3 数列的最值
例4 （多选题）[2026·陕西汉中联考]已知数列 的通项公式为
，则下列说法正确的是( )
A.是数列的最小项 B.是数列 的最大项
C.是数列的最大项 D.当时，数列 递减
√
√
√
[解析] 设第项为的最大项，则
即 所以
又，所以或，
故数列中与 均为最大项，且.
当时，数列 递减，故B，C，D正确.
当趋向正无穷大时， 无限趋向于0且大于0，
又，所以不是数列的最小项，且数列 无最小项，
故A错误.故选 .
总结反思
1.判断数列的单调性常用以下两种方法:（1）定义法:已知 ,若
满足,则数列为递增数列;若满足 ,则
数列 为递减数列.（2）函数法:根据数列通项公式的形式将通项
公式对应到相应的函数中,利用相应函数的性质求解数列的有关问题,
要注意 .数列单调性的判断更多的是应用定义判断,进而求解数
列的最值问题等.
2.数列的周期性主要体现在项数较大的求值问题中.一般要通过递推
关系进行列项求值,发现规律,进而解决求值问题.
3.求解数列最值问题常用的方法:
（1）将数列视为当时函数 所对应的一系列函数值,先求出
的单调性,利用单调性求出 的最值,进而求出数列的最大（小）
项.
（2）通过通项公式 研究数列的单调性或各项的正负情况,利用
确定最大项,利用 确定最小项.
【对点演练2】（1）已知数列，满足 ,
,，则 ( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 方法一：因为,, ，所以
，，，， ，
所以 是以3为周期的周期数列，所以 .
方法二：因为,所以 ,两
式相减得，
所以 是以3为周期的周期数列，
所以 .故选A.
（2）数列的通项公式为，则当该数列的前
项和取得最小值时， 的值为( )
A.5 B.7 C.7或8 D.6或7
[解析] 由，得当时，，
当 时，.由，得 ，
因此 ,
则,，
当 时，，所以当该数列的前项和取得最小值时， 的
值为6或7.故选D.
√
（3）已知数列 的通项公式为
,若数列 是递增数列，则实数 的取值范围是________.
[解析] 当时，，因为数列是递增数列，所以 .
当时，由题得 ，
即，解得 .
又，所以，解得或 .
综上，实数的取值范围是 .
例1 ［配合探究点一、二使用］（1）记为数列的前项和，
则“对任意正整数，均有 ”是“ 为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
【备选理由】例1（1）综合考查了与的关系及与 单
调性的关系； 例1（2）考查了与的关系，从而求 .
[解析] 当时， ，则
，即数列 是递增数列，充分性成立；
取数列为，1，2，3，4， ，显然数列是递增数列，
但是 不一定大于零，必要性不成立.
因此“对任意正整数，均有 ”是“ 为递增数列”的充分不
必要条件.故选A.
（2）[2026·山东淄博模拟] 已知数列的前项和为 ，
若，，则 _ ___.
[解析] 由 可得 .
因为，所以，即 .
当时， ，
所以数列 是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，则，所以 .
【备选理由】例2（1）是由 的通项公式作差判断数列单调性，从
而求解参数的取值范围；例2（2）将数列与函数综合，利用周期性求
数列中的项，是创新考法.
例2 ［配合探究点二使用］（1）已知数列是递增数列，
， ，则实数 的取值范围为( )
A. B. C.， D.
√
[解析] 因为数列 为递增数列，所以
，
整理得恒成立.
令 ，则，，
所以数列 是递减数列，故是数列的最大项，
所以的取值范围为， . 故选C.
（2）［2026·北京育才学校期中］已知函数 的部分对应值如表
所示.数列满足，且对任意，点 都在函数
的图象上，则 ( )
1 2 3 4
3 1 2 4
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由题意得， ，
，， ，
所以 是周期为3的周期数列，所以 .故选C.
作业手册
1.[2026·福建福州期中]已知数列，，，， ，则
是它的( )
A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项
[解析] 数列,,,, ，即数列,,,, ，其通项
公式为,.
令，解得 ，
所以 是它的第13项.故选C.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.已知数列满足若，则 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 设，由题得 ，
，
所以 ，所以 .故选B.
√
3.已知数列满足,，则 ( )
A. B. C.0 D.
[解析] 由，得且 ，
所以，所以是以8为周期的周期数列.
又, ，所以，
所以 .故选B.
√
4.[2026·浙江绍兴期末]已知数列的通项公式为，前
项和为，则取得最小值时 的值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 令，则，解得或.
因为 ，所以当或时，，
当时， ，
所以当时， 取得最小值.故选B.
√
5.已知函数，若，则“ ”是“
是递增数列”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 为递增数列, ,
,
,
.
又“”是“ ”的充分不必要条件，
所以“”是“ 是递增数列”的充分不必要条件.故选B.
6.[2025·陕西安康模拟]在数列中，,, ，若对
任意的,恒成立，则 ( )
A. B.1 C. D.
[解析] 由,得 ，两式
相减得，即.
又 ，所以，
所以 .故选B.
√
7.（多选题）已知数列的通项公式为，前项和为 ，
则( )
A. 既有最小项，也有最大项
B.使的 共有5个
C.满足的 共有4个
D.使取得最小值的 的值为4
√
√
[解析] 令，易知在，
上单调递减，所以当时，，当 时，
.
又 ，所以 ，
.
对于A，由上述分析知数列有最小项，有最大项
，故A正确；
对于B，由，知，又，所以或
或 或，所以使的共有4个，故B错误；
对于C，易知 ，若，则，， 中
有1个负数或3个负数，所以或或，故满足
的 共有3个，故C错误；
对于D，因为当时，，当时， ，
所以当时，取得最小值，故D正确.故选 .
8.[2026·山东菏泽期末] 已知递增数列 的通项公式为
，则 的取值范围为__________.
[解析] 由数列 是递增数列，可得
,
即,
则对任意恒成立，故 ，
故的取值范围为 .
9.[2025·安徽黄山期末] 已知数列 的通项公式为
，则 中最小项的值为____ .
[解析] ，
，而，
当时， ，当时，
，所以中最小项的值为 .
10.已知数列满足,若 ，
则 ___ .
5
[解析] 由题可得，， ，
，则 .
11.[2026·福建宁德期中]在数列中，若 ，
是数列的前项和，则 ( )
A. B.1015 C.2029 D.2030
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 因为， ，
所以， ，
，
所以数列 是以3为周期的周期数列.
因为 ，所以 .
故选A.
12.（多选题）已知数列满足, ，则下列说
法正确的是( )
A. B. 为递增数列
C. D.
√
√
√
[解析] 因为 ，所以
，所以数列为递增数列，故 ，选项A正
确；
因为数列为递增数列，所以，所以 为递减 数列，
选项B错误；
因为 ，所以，
两边平方整理得 ，选项C正确；
由，整理得 ，两边
平方得，则 ，
所以,, , ，累加可得
，即 ，
所以，故D正确.故选 .
13.数列中， ，且满足
，则实数 的取值范围是__________.
[解析] 由得 ，所以
.
由题知数列是递增数列，所以，即
对任意恒成立，所以，即 .
当时，取得最大值，所以，故实数 的取
值范围是 .
14.已知等差数列满足， .
（1）求数列 的通项公式.
解：设等差数列的公差为 ，
由题意可得 解得
则 ，
故数列的通项公式为
（2）设，试判断并说明 的符号.
解：由（1）知，，故 ，
因此
，所以 的符号为正.
（3）请问是否存在正整数，使得为数列 中的项？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：由题知
.
若为数列中的项，则必定有 为3的整数倍，即
或3或或 ，
又为正整数，所以，故不存在正整数 ，使得
为数列 中的项.
知识聚焦
1.确定的顺序 每一个数 2.右侧
3.有限 无限 > < =
课前演练
（1）× （2）× （3）× 1.B 2.ABD 3.23
课堂考点探究
例1（1）m>（2），【对点演练1】
（1） （2）. 例2 B 例3 B 例4 BCD 【对点演练2】
（1）A （2）D （3）
教师备用习题
例1（1）A （2） 例2（1）C （2）C
夯实基础
1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.AD 8. 9. 10.5
综合提升
11.A 12.ACD 13. 14.（1）
（2）的符号为正.（3）不存在正整数，使得为数列
中的项.第六单元　数列
知识网络
第31讲　数列的概念与简单表示法
【备选理由】 例1(1)综合考查了Sn与an的关系及an>0与{Sn}单调性的关系;例1(2)考查了Sn-Sn-1与an的关系,从而求Sn.例2(1)是由{an}的通项公式作差判断数列单调性,从而求解参数的取值范围;
例2(2)将数列与函数综合,利用周期性求数列中的项,是创新考法.
1 [配合探究点一、二使用] (1)记Sn为数列{an}的前n项和,则“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2026·山东淄博模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),若an+Sn-1Sn=0(n≥2),a1=1,则S100= 　.
[解析] (1)当an>0时,Sn-Sn-1=an>0(n≥2,n∈N*),则Sn>Sn-1(n≥2),即数列{Sn}是递增数列,充分性成立;取数列{an}为-1,1,2,3,4,…,显然数列{Sn}是递增数列,但是an不一定大于零,必要性不成立.因此“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.
(2)由an+Sn-1Sn=0(n≥2)可得Sn-Sn-1+Sn-1Sn=0(n≥2).
因为Sn≠0,所以-+1=0,即-=1(n≥2).
当n=1时,S1=a1=1,
所以数列是以1为首项,以1为公差的等差数列,
则=1+(n-1)×1=n,则=100,所以S100=.
2 [配合探究点二使用] (1)已知数列{an}是递增数列,an=m(2n-1)-n2,n∈N*,则实数m的取值范围为 ( C )
A.(2,+∞) B.(1,2)
C. D.(2,3)
(2)[2026·北京育才学校期中] 已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列{an}满足a1=1,且对任意n∈N*,点(an,an+1)都在函数f(x)的图象上,则a2027= ( C )
x 1 2 3 4
f(x) 3 1 2 4
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析] (1)因为数列{an}为递增数列,所以an+1-an=m(2n+1-1)-(n+1)2-[m(2n-1)-n2]=m·2n-2n-1>0,整理得m>恒成立.令bn=,则bn+1-bn=-=<0,n∈N*,所以数列{bn}是递减数列,故b1=是数列{bn}的最大项,所以m的取值范围为.故选C.
(2)由题意得a1=1,a2=f(a1)=f(1)=3,a3=f(a2)=f(3)=2,a4=f(a3)=f(2)=1,…,所以{an}是周期为3的周期数列,所以a2027=a2=3.故选C.

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