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(共61张PPT)
微专题7 由数列的递推关系求通项
公式
微点一
微点二
微点三
微点四
微点五
微点六
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一 累加法(形如
例1 [2026·山东青岛二中期末]在数列中， ，
，则 ( )
A.5 B. C.4 D.
√
[解析] 在数列中，， ,即
,
所以
.故选A.
总结反思
根据形如是可以求和的关于 的函数）的递推
关系式求通项公式时,常利用
求出
与的关系式,进而得到 的通项公式.
【对点演练1】 [2026·重庆一中模拟]已知数列的前项和为 ，
，， ，
则 ( )
A. B.3 C.4 D.
√
[解析] 由 ，
得 ，
所以 ，
所以，，，
，
以上各式相加得 ，
则 .故选C.
微点二 累乘法(形如 )
例2 若数列满足, ，则
( )
A.2 B.6 C.12 D.20
[解析] 由得，
， .故选D.
√
总结反思
已知形如是可以求积的关于的函数 的递推关系式,
常利用求 的通项公式.
【对点演练2】 在数列中，，前项和 ，
则数列 的通项公式为 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ，
当 时， ，
两式相减可得 ,
，
，因此
.
当时，也满足上式，所以 .故选A.
微点三 构造法求数列通项
题型1 形如
例3 已知数列满足，且，则 的通项公
式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由可得 ，
所以数列是首项为，公比为 的等比数列，
所以，所以 .故选C.
题型2 形如
角度1 形如
例4 [2026·河北邢台期末]已知数列中， ，
，则 ( )
A.2037 B.2047 C.1014 D.1021
√
[解析] 由可得 ，即
.
又，所以，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
所以 ，
所以 .故选A.
角度2 形如
例5 [2026·广东广州期末] 已知数列满足 ，
，，则数列 的通项公式为___________
_____．
[解析] 由， ，可得.
又，所以 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，
则， .
总结反思
（1）形如 的递推关系式可以变形为
的形式对比原递推关系式可得
（也可利用不动点法由方程），确定 后,构
建一个公比为的等比数列,再求 的通项公式.
（2）形如 的递推关系式可以变形为
的形式，对比原递推关系式求
得,的值，构建一个公比为的等比数列,再求 的通项公式.
（3）形如 的递推关系式，将递推关系式两边同
时除以得,再利用累加法等求 的通项公式.#2.3
【对点演练3】（1）[2026·安徽皖中名校联盟模拟]已知数列 的
前项和为，若，则 ( )
A.16 B.31 C.47 D.63
√
[解析] 因为，
所以当 时， ，两式相减得
，即 ，
可得.
当时， ，即，解得，
所以数列 是首项为，公比为2的等比数列，
所以 ，则，
所以 .故选C.
（2）设是数列的前项和，若，则
( )
A.3059 B.2056 C.1033 D.520
√
[解析] 由题得 ，则
，
所以 ，则.
又 ，所以，则，
所以 是首项、公比均为2的等比数列，
则，所以 ，
则 .故选C.
（3）[2026·山西大学附属中学期末]已知数列的前项和为 ，
满足，且，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，可得.
又 ，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以
.故选C.
微点四 含相邻三项数列的递推关系(形如
)
例6 已知数列满足，且 ，
，，则数列 的前10项和为______.
2036
[解析] 因为，且 ，
所以， ，
所以数列是首项为 ，公比为2的等比数列，
为常数列，
所以 ，，
两式相减得 ，
所以数列的前10项和为
.
总结反思
形如 的递推关系式可以变形为
的形式，对比原递推关系式可得
,,是方程的根，求得,
值，
（1）（解答题适用）分别构建以, 为公比的等比数列，加减消元
求得通项公式.#1.1.1.1
（2）（选填题适用）当对应的方程①有两个不同的实根时可利用
，的值代入 进行求解；
当对应的方程①有两个相同的实根时利用， 的值代入
进行求解；
当对应的方程①无实根时对应数列一般为周期数列.#1.1.1.4
【对点演练4】 已知数列的前项和为，且满足 ，
，，则 的通项公式为_ ____________.
[解析] 设 ，则
，所以，解得或.
当 时，，
因为 ，所以 是以4为首项，4为公比的等比
数列，所以；
当时， ，
因为，所以是以 为首
项，为公比的等比数列，所以 两式
作差得， .
微点五 取倒数法(形如,,, 为常数)
例7 已知数列的首项，且满足 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知，因为 ，所以
，即.
又，所以 ，故 是以3为首项，4为公差的等差数列，
则，故，所以 .
故选A.
总结反思
有的递推关系式进行倒数变形后可转化为“ 常数”或“
常数”的形式,再结合等差数列的通项公式求解.
【对点演练5】 已知数列满足，，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以.
又，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
则，得，所以 .故选B.
微点六 取对数法(形如 )
例8 [2026·安徽马鞍山质检]数列满足， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由，及，可知 ，
，两边取以3为底的对数得 ，
所以数列{是以为首项， 为公比的等比数列，
所以，所以 .
方法二：由，可得 ，
， ，
所以 ，故选C.
总结反思
形如 的递推关系式两边同时取对数得
，然后利用构造法得数列{
是以为公比的等比数列，从而得到数列 的通项公式.
【对点演练6】 [2026·安徽安庆模拟] 数列满足 ,
，则使得成立的 的最小值为___.
6
[解析] 因为，所以 ，则
.
又，所以{是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以 ，则原不等式为
，
故,解得，所以 的最小正整数值为6.
作业手册
1.已知数列满足，若，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的最小正周期为，
所以 ,故选D.
◆ 夯实基础 ◆
2.在数列中，若,，则
( )
A.1014 B.1013 C.2027 D.2026
[解析] 因为，所以 ，
所以数列，所以数列是常数列，所以 .
又，所以 .故选A.
√
3.已知数列中，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由得.
又， 数列 是以1为首项，为公差的等差数列，
，, .故选D.
√
4.[2026·福建漳州质检]记数列的前项和为，已知 ，
，则 ( )
A.1024 B.1023 C.513 D.256
[解析] 由，得 .
因为，所以，，所以 是
首项为4，公比为2的等比数列，
则 ，
所以，所以 .故选B.
√
5.[2026·广东茂名模拟]已知为各项均为正数的数列的前 项的
乘积，且,，则 ( )
A.16 B.32 C.64 D.128
[解析] 由，得，则 ，则
，两边取对数得 ，
因此，数列是常数列，则 ，即
，
所以，则 .故选B.
√
6.已知数列满足,，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得，，, ,
,等式两边分别相加，得
.
因为，所以.又 满足上式，
所以，则, .
设函数，易知在 上单调递减，在
上单调递增.
而,，当 时，
，当时，， ，
所以的最小值为 .故选A.
7.在数列中，,，则数列 的通项公式为
_______.
[解析] 由 ，
可得 .
又，所以数列是以 为首项，3为公比的等比
数列，
所以，故 .
8.[2026·河北张家口模拟] 已知数列满足， 且
，则 ________.
[解析] 由题得
，
当时， 符合题意，所以
.
9.[2026·江苏常州一中模拟]在数列，中， ，
，，为的前 项和，则满足
的 的最小值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由 ，得
，
则.又，所以 ，
所以，所以 ，
则.又，所以数列 是以1为首项，2为公比
的等比数列，则
由，得 ，即.
又,，所以 ，故选D.
10.（多选题）已知数列满足， ，则
( )
A.
B. 是等差数列
C. 是等比数列
D.数列的前99项和为
√
√
[解析] 对于A选项，令可得，即 ，得
，故A错误；
对于B选项，两边同时除以 ，可得，
即，又，所以 是以1为首项，1为公差的等
差数列，故B正确；
对于C选项，由B可知，所以，
所以 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
对于D选项，因为 ，
所以数列 的前99项和为
，故D错误.故选 .
11.[2026·江西南昌期中] 已知数列的前项和为， ,
，且，求数列 的通项公式.
解：由题可知
，
, ，
，
，即{}是以 为首项，2为公差的等
差数列，
，则 .
当时， ，
显然，当 时，上式不成立，
所以
微点一 1 A 【对点演练1】C
微点二 例2 D 【对点演练2】A
微点三 例3 C 例4 A
例5 【对点演练3】（1）C （2）C （3）C
微点四例6 2036 【对点演练4】
微点五 例7 A 【对点演练5】B
微点六 例8 C 【对点演练6】6
夯实基础
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7. 8.
综合提升
9.D 10.BC 11.解：

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