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第32讲 等差数列
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前 项和公式,理解等差数列的通项公式与前
项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列的首项为,公差为,前项和为 ,则
等差数列定义式 ______________为常数
等差中项 _ ___是与的等差中项
通项公式 __________________或_____________________
_______________
前 项和公式 _ _______ ______________
◆ 知识聚焦 ◆
2.等差数列的性质
已知是等差数列,是的前 项和.
（1）若,则有 _____
___ _____.
拓展：若 ，则
.
（2）数列,,, 成______数列.
等差
3.等差数列与函数的关系
（1）等差数列的通项公式可写成____________,当 时,
它是关于的__________,它的图象是直线 上横坐标
为正整数的一群______的点.
注：当时,是______数列;当时, 是______数列;当
时, 是____数列.
一次函数
孤立
递增
递减
常
（2）前项和公式可变形为________________,当 时,它是
关于 的常数项为0的__________,它的图象是抛物线
上横坐标为正整数的一群______的点.
注：若,,则存在最____值;若,,则 存在最
____值.
二次函数
孤立
大
小
常用结论
等差数列的性质
1.已知,是公差分别为,的等差数列,是的前 项和,
则有以下结论：
（1）是等差数列,公差为 .
（2）,都是常数是等差数列,且公差为 .
（3）,,,是公差为 的等差数列.
（4）是等差数列,其首项与的首项相同,公差是 .
（5）数列,,都是常数 都是等差数列,且公差分别为, .
2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
（1）若项数为,则, .
（2）若项数为,则, ,
, .
3.两个等差数列,的前项和分别为, ,则它们之间的关系
为(可由 推导).
4.数列是等差数列，公差为 数列 的通项公式是
（其中为常数）；数列是等差数列， ，
公差的前项和,为常数 .
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则
这个数列是等差数列.( )
×
[解析] 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差必须是同一个
常数才是等差数列.
◆ 课前演练 ◆
（2）数列为等差数列的充要条件是对任意 ，都有
.( )
√
[解析] 若，则 ，可知
是等差数列，充分性成立；
若是等差数列，则是 与的等差中项，
得 ，必要性成立.
（3）等差数列中，必有 .( )
×
[解析] 当数列是常数列且时， 是等差数列，但
.
（4）等差数列的前 项和公式是常数项为0的二次函数.( )
×
[解析] 当等差数列是常数列时，例如，前项和 ，
不是二次函数.
题组二 教材改编
1.等差数列，，， 的第100项是( )
A. B. C. D.
[解析] 由， ，得这个数列的通项公式
为 ，
所以 .
√
2.在等差数列中，，则 ( )
A.7 B.14 C.21 D.28
[解析] 在等差数列中， ，由等差中项的性质可得
.故选B.
√
3.已知等差数列的前项和为，且，，则
( )
A. B.2 C.4 D.6
[解析] 设的公差为，则 ，
，可得, ，
则 .故选B.
√
4.已知等差数列的前项和为，若，，则
( )
A.34 B.42 C.46 D.58
[解析] 据题意知，, 也成等差数列，则
，得 .
√
5.在等差数列中,若，且，则 ____.
10
[解析] 方法一（运用性质） 由题易知
,则 ，
.
因为，所以 ，所以 .
方法二（运用通项公式及求和公式）
设数列的公差为，因为，所以 .
因为，所以 ，即
，即 ，
所以，解得 .
探究点一 等差数列的基本量运算
例1（1）已知等差数列的前项和为，若 ，
，则 的值为( )
A.11 B.13 C.15 D.17
[解析] 设的公差为，因为， ，所以
解得
故 ,故选B.
√
（2）[2026·山东潍坊期末]记为等差数列的前 项和．已知
，，则 的公差等于( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 设等差数列的公差为，则
解得 故选D.
√
总结反思
等差数列的基本量运算一般是指关于和以及的通项公式和前
项和公式的应用,即通过解方程组的形式求解出基本量,, ,进而解
决问题.
【对点演练1】（1）已知为等差数列的前 项和，若
，，则 ( )
A.56 B.60 C.64 D.68
[解析] 设等差数列的公差为，由， ，得
解得
则 .故选B.
√
（2）已知等差数列的前项和为，若, ，
则 的公差为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 设等差数列的公差为，因为, ，所
以 即解得
故选A.
√
探究点二 等差数列的判定与证明
例2 [2026·河南开封期末] 已知满足 ，且
．
（1）求， ；
解：因为 ，所以
.
又，所以 ， .
（2）证明：数列是等差数列，并求 的通项公式．
解：因为，所以 ，
所以是首项为，公差为3的等差数列，所以 ，
所以 .
总结反思
判断和证明等差数列常用的方法有定义法、等差中项法以及函数法.
（1）定义法:若数列满足,为常数 ,则该数
列为等差数列.
（2）等差中项法:若数列满足 ,则该
数列为等差数列.
（3）函数法:若数列满足或前 项和
,则该数列为等差数列.
在求解解答题时常常应用定义法进行证明和判断.
【对点演练2】 已知数列的各项均为正数，记为的前 项
和，且数列{}是等差数列，．求证 是等差数列，并
求出数列 的通项公式．
解：设，则 .
当时， ；当 时，
.
因为，所以，解得或 .
当时，， ，
当时，满足等差数列的定义，此时 为等差
数列；
当时，， 不合题意，
舍去.
综上可知为等差数列，其通项公为 .
探究点三 等差数列及其前 项和的性质
题型1 等差数列项的性质
例3（1）设等差数列的前项和为，若 为定值，
则( )
A.为定值 B.为定值 C.为定值 D. 为定值
√
[解析] 方法一：由，得，所以
为定值，所以 为定值.
方法二：设等差数列的公差为 ，则
.
又为定值，所以 为定值，
所以 为定值.故选B.
（2）[2026·山东滨州期末]已知两个等差数列， 的首项分别
为1和2，且，则数列 的前20项的和为( )
A.165 B.630 C.60 D.330
√
[解析] 设等差数列,的公差分别为, ，
由，,，得 ，解得
，
所以 ，
所以 的前20项和
.
故选B.
题型2 等差数列前 项和的性质
例4（1）已知等差数列的前项和为，且, ，则
( )
A.52 B.96 C.106 D.120
√
[解析] 方法一：由题得 ，
所以，则 .
方法二：由题知,, 构成等差数列，所以
，
所以 ,故选B.
（2）[2026·湖北黄冈模拟]设等差数列的前项和为 ，若
,,，则 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
√
[解析] 方法一：由题意得 ，
，则等差数列 的公差
，则 .
又，所以 .
方法二：由等差数列的性质得为等差数列，则 ，
得，解得 .故选C.
题型3 等差数列中最值问题
例5（1）已知等差数列的前项和为，且 ，
则( )
A.不可能为0 B. 没有最小值
C.有最大值 D. 有最小值
√
[解析] 因为，所以等差数列的公差 ，所以数
列是递增数列，又，所以 有最小值，故B错误，D正确；
当，时，随的增大而增大，故 无最大值，故C错
误;
当，时， ，所
以 可能为0，故A错误.故选D.
（2）[2026·河北衡水模拟]记为等差数列的前 项和，若
，，则 的最大值为( )
A.16 B.18 C.23 D.25
[解析] 设公差为，则， ，解得
,，所以 .
当时，，当时，，所以当时，
取得最大值，最大值为 .故选D.
√
总结反思
1.等差数列项的性质，主要用于解决下标之和相等的几项间的关系.
2.等差数列前 项和的性质，常用于解决连续等长的若干段之和成等
差数列、前 项和与中项的关系、奇数项和与偶数项和之间的关系等.
【对点演练3】（1）[2026·吉林四平期末]在等差数列 中，若
，则 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
[解析] 方法一：设等差数列的公差为，则，故 .
方法二：因为 ，所以
，所以 .故选B.
√
（2）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，
所有偶数项的和为261，则数列 的项数为( )
A.15 B.17 C.19 D.21
[解析] 设等差数列的项数为，所有奇数项的和为 ，所有偶数
项的和为，则 ，.
由，解得 ，
则数列的项数为 .故选C.
√
（3）（多选题）[2026·福建福州期中]已知是等差数列的前
项和，，且 ，则( )
A.公差 B.
C. D.当时， 最大
√
√
[解析] 设等差数列的公差为，由 得
.
因为 ，所以，,， ，
所以A，D错误，B正确.
因为 ，故C正确.故选 .
例1 ［配合探究点二、三使用］（1）[2026·云南昆明期末] 若,,
成等差数列，则直线 过定点________.
【备选理由】例1（1）是对等差数列与直线方程的综合考查；例1
（2）结合了数列通项公式及其前 项和，考查了等差数列的判定，
从而更精准的把握数列通项公式及其前 项和的关系及性质.
[解析] 由题得，所以由 ，得
，
整理得.由解得
所以直线过定点 .
（2）[2026·浙江丽水调研]记为数列的前项和，为数列
的前项和，且数列 是一个首项不等于公差的等差数列，则下列
结论正确的是( )
A.和 均是等差数列
B.是等差数列， 不是等差数列
C.不是等差数列， 是等差数列
D.和 均不是等差数列
√
[解析] 设数列的公差为.数列 是一个首项不等于公差的等差
数列，可设且，
则 ，，.
又，所以,, 不成等差数列，故不是等差数列.
因为 ，所以，
所以 ，
所以是以为首项，以 为公差的等差数列.故选C.
例2 ［配合探究点三使用］（1）[2026·安徽蚌埠质检]若等差数列
满足 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例2（1）综合考查数列通项公式的性质及换元法求取
值范围，综合性较强，有助于学生增强知识间的联系； 例2（2）是
对数列奇偶项问题的创新性考查.
[解析] 设等差数列的公差为，则 ,
故 ，
而 ，故
.
设, ,，
则 .故选D.
（2）[2026·安徽亳州期末] 已知数列 的奇数项按原来的顺序构
成一个以 为首项，2为公比的等比数列，偶数项按原来的顺序
构成一个以为首项，3为公差的等差数列.若 的前10项和
，则 ___.
5
[解析] 由题意可知
，
.
由得 .
作业手册
1.已知数列是等差数列，,，则 ( )
A.19 B.51 C.69 D.87
[解析] .故选C.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.[2026·湖南师大附中期末]记为等差数列的前 项和，若
，，则 ( )
A.21 B.19 C.12 D.42
[解析] 记数列的公差为，由题得 ，即
，故,则,
所以 ，则 ，故选A.
√
3.[2026·辽宁鞍山模拟]已知各项均为正数的数列 为等比数列，其
前项和为，是与的等差中项，若，则 为( )
A.10 B.15 C.30 D.31
[解析] 设数列的公比为，因为是与 的等差中
项，所以，即 ，解
得或（舍去）.
又，所以 ，则 ，
故选D.
√
4.已知等差数列的前项和为，, ，
则取最小值时， 的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.15或16
√
[解析] 由，得 ，
由，得，
所以数列 的公差.
又，所以 ，
所以.又，且数列是递增数列，
所以 取最小值时， 的值为15或16.故选D.
5.已知等差数列的项数为 ，若该数列前三项的和为3，
最后三项的和为63，所有项的和为110，则 的值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
[解析] 由题知， ，所
以，即.
因为 的所有项的和为110，所以，
解得 .故选A.
√
6.已知两个等差数列,的前项和分别是,，且 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为,均为等差数列，且,满足 ，所以可
设，则， 为常数,
则 ，故选B.
7.（多选题）[2026·山东青岛期末]已知公差为的等差数列 的前
项和 ，则( )
A. B.
C. D.是公差为 的等差数列
√
√
[解析] 因为等差数列的前项和 ，所以
，故A正确；
，所以
，故B错误；
，故C正确；
，所以 是公差为1的等差数列，故D错误.故选
.
8.[2026·青海西宁三模] 已知为等差数列的前项和，当
时，，则 __.
[解析] 当时，，即.在等差数列 中，
，所以，得 .
9.[2026·山东淄博模拟] 已知数列中，， ，
，则 _____.
[解析] 因为,，且 ，所以数
列是首项为 ，公差为2的等差数列，
则，所以 ，
所以 .
10.已知数列的前项和为,且满足 ,且
.
（1）求证:数列为常数列,并求 的通项公式;
解：由,两边同时除以 ,得
,
所以 ，即 ，
所以数列 为常数列，所以 ，
故 .
（2）若使不等式成立的的最小值为7,且,求和 的
最小值.
解：由（1）知,数列 是等差数列,
所以 .
由,可得 .
令 ,
由题知成立的 的最小值为7,
所以解得 .
因为,所以 ，
所以,故的最小值为 .
11.已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若 ，
则集合,,2, , 中元素的个数为( )
A.2025 B.2023 C.2027 D.2013
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由 ，
可得
又 ，所以 .
由二次函数的对称性得,,, , ，所以集合,,2, ,中元素的个数为 ，故选D.
12.已知等差数列的前项和为，且, ，则
取最大值时 的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.10
√
[解析] 设等差数列的公差为 ，则
，化简得 ，即，
则
，
由，得当时， 取得最大值.故选B.
13.（多选题）[2026·重庆南开中学期末]设等差数列的前 项和为
，公差为，已知, ，则下列说法正确的是
( )
A.的最小值为 B.满足的 的最小值为14
C.满足的的最大值为14 D.数列 的最小项为第8项
√
√
√
[解析] 由,可知,, .
对于选项A，由,,,，可知,, ,为负，
,, 为正，所以 最小，故A正确.
对于选项B，C，,
，则满足的的最小值为14，满足的 的
最大值为13,故B正确，C错误.
对于选项D,由上述分析可得,, ,为负，,, 为正，
,, ,为负，,, 为正,
所以,, , 为负,
又,，所以最大，
即 最小，故D正确.故选 .
14.无穷数列满足，且 .
（1）求证： 为等差数列；
证明：因为 ，即
，
所以
，
故数列 是以1为公差的等差数列.
（2）若为数列中的最小项，求 的取值范围.
解：若，则数列是递增数列，所以数列 无最大
项，此时中无最小项，故.
因为数列 是递增数列，且为数列中的最小项，
所以是数列 中的最大负项，从而有
又 ，所以
解得，故的取值范围为 .
知识聚焦
1.

2.（1） （2）等差
3.（1） 一次函数 孤立 递增 递减 常 （2） 二
次函数 孤立 大 小
课前演练
（1）× （2）√ （3）× （4）× 1.C 2.B 3.B 4.B 5.10
课堂考点探究
例1（1）B （2）D 【对点演练1】（1）B （2）A
例2（1） m> （2）.
【对点演练2】证明略，>的通项公为
例3（1）B （2）B 例4（1）B （2）C 例5（1）D （2）D
【对点演练3】（1）B （2）C （3）BC
教师备用习题
例1（1） （2）C 例2（1）D （2）5
夯实基础
1.C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.AC 8. 9.
10.（1）证明略，.
（2） 的最小值为
综合提升
11.D 12.B 13.ABD
14.（1）证明：略（2）的取值范围为.第32讲　等差数列
【备选理由】 例1(1)是对等差数列与直线方程的综合考查;例1(2)结合了数列通项公式及其前n项和,考查了等差数列的判定,从而更精准的把握数列通项公式及其前n项和的关系及性质.例2(1)综合考查数列通项公式的性质及换元法求取值范围,综合性较强,有助于学生增强知识间的联系; 例2(2)是对数列奇偶项问题的创新性考查.
1 [配合探究点二、三使用] (1)[2026·云南昆明期末] 若m,n,p成等差数列,则直线l:mx+ny+p=0过定点　(1,-2)　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)[2026·浙江丽水调研] 记Sn为数列{an}的前n项和,Tn为数列{Sn}的前n项和,且数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列,则下列结论正确的是 ( C )
A.{an}和均是等差数列
B.{an}是等差数列,不是等差数列
C.{an}不是等差数列,是等差数列
D.{an}和均不是等差数列
[解析] (1)由题得n=,所以由mx+ny+p=0,得mx+y+p=0,
整理得m(2x+y)+p(y+2)=0.由解得所以直线l过定点(1,-2).
(2)设数列{Sn}的公差为d.数列{Sn}是一个首项不等于公差的等差数列,可设Sn=S1+(n-1)d且S1≠d,则a1=S1,a2=S2-S1=d,a3=S3-S2=d.又S1≠d,所以a1,a2,a3不成等差数列,故{an}不是等差数列.因为Tn=nS1+d,所以=S1+d,所以-=-=,所以是以S1为首项,以为公差的等差数列.故选C.
2 [配合探究点三使用] (1)[2026·安徽蚌埠质检] 若等差数列{an}满足+=8,则3a1+a7的取值范围是 ( D )
A.[-2,2] B.[-4,4]
C.[-4,4] D.[-8,8]
(2)[2026·安徽亳州期末] 已知数列{an}的奇数项按原来的顺序构成一个以a1=3为首项,2为公比的等比数列,偶数项按原来的顺序构成一个以a2为首项,3为公差的等差数列.若{an}的前10项和S10=148,则a2=　5　.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2,故a1=a2-d=2a2-a3,而a7=a1+6d=2a2-a3+6(a3-a2)=5a3-4a2,故3a1+a7=6a2-3a3+5a3-4a2=2a2+2a3.设a2=2cos θ,a3=2sin θ,θ∈R,则3a1+a7=4(cos θ+sin θ)∈[-8,8].故选D.
(2)由题意可知a1+a3+a5+a7+a9=3+3×2+3×22+3×23+3×24==93,
a2+a4+a6+a8+a10=a2+(a2+3)+(a2+3×2)+(a2+3×3)+(a2+3×4)=5a2+30.由S10=5a2+30+93=148得a2=5.

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