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第34讲 数列求和
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.掌握等差数列、等比数列的前 项和公式.
2.掌握一般数列求和的几种常见的方法.
1.分组求和法与并项求和法
（1）一个数列的通项是由__________________________的数列的通
项组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加、减.
（2）数列 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用______
______求其前项和.如通项公式形如 的数列.
若干个等差或等比或可求和
并项
求和法
◆ 知识聚焦 ◆
2.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之
____构成的，那么求这个数列的前 项和时即可用错位相减法.
积
3.裂项相消法
把数列的通项拆成__________，在求和时中间的一些项可以相互抵
消，从而求得其和.
两项之差
常用结论
1.一些常见的前 项和公式
（1） .
（2） .
（3） .
2.常用的裂项公式
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列满足，则 可用错位相减法求和.
( )
×
[解析] 错位相减法应用于通项公式为等差数列和等比数列乘积的形
式，故数列 不能用错位相减法求和.
◆ 课前演练 ◆
（2）若数列满足，则其前 项和
( )
×
[解析] 当为偶数时， ；
当 为奇数时，
.
所以
（3）若数列满足，则其前 项和
.( )
√
[解析] 因为 ，所以
.
（4） .( )
√
[解析] 令 ，
则，
由得
，所以 .
题组二 教材改编
1.数列的前项和为，若，则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 依题意， ，则
，所以 .故选D.
√
2.已知数列满足,，则 的前9项和
____.
45
[解析] .
3.设数列的前项和为，若，则 ___.
2
[解析] 由，得 .
4.已知数列的前项和为，，则 ______.
8194
[解析] 由题得 ，
则，
两式相减得
，
所以 .
探究点一 分组、并项求和
例1（1）[2025·江西萍乡期末]数列满足，前 项
和为，对任意正整数都有，则 ( )
A.18 B.28 C.40 D.54
[解析] 由可知， .故选B.
√
（2）已知数列满足且， ，
记的前项和为，则 ( )
A.1124 B.2146 C.1023 D.2145
√
[解析] 当为偶数时，，又， 的偶数项是
以1为首项，2为公差的等差数列；
当为奇数时， ，又， 的奇数项是以2为首项，
2为公比的等比数列.
.故
选B.
总结反思
（1）若数列的通项公式是由多个不同类型的数列构成的,则该数列求
和应用分组求和,即应用各类数列求和的方法分别求和,最后再整合为
一个求和结果.
（2）若数列的通项公式为奇偶项的形式,则应用通项公式的特点将奇
偶项整合求和或者分别求和.
【对点演练1】 记为等差数列的前项和，数列 为各项均
为正数的等比数列，已知，，， .
（1）求数列， 的通项公式；
解：设数列的公差为，数列的公比为 ，
由，，可得解得
所以，即数列 的通
项公式为 .
因为，,所以 ，
解得 ，
所以，所以数列的通项公式为 .
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）可知， ，
.
探究点二 错位相减法求和
例2 [2026·山西大学附属中学模拟] 已知等差数列 满足公差
，，.等比数列的首项 ，公
比为3.
（1）求数列， 的通项公式；
解：因为为等差数列，所以 .
联立 整理得，
解得或 .
当时，；当时， .
因为，所以，，故 ，
则，所以的通项公式为 .
因为等比数列的首项，公比为3，所以 的通项公式为
.
（2）数列的前项和为，记数列的前项和为，求 .
解：由（1）得，则 ，则
，
，
则 ，
两式相减得
，
故 .
总结反思
若数列的通项公式满足,其中数列 为等比数列,数列
为等差数列,则用错位相减法求和, ，等式两
端通过乘等比数列的公比进行错位,要将等比数列的项进行对齐然后
作差化简得结果.可以利用“苹果公式”检验结果是否正确.“苹果公式”
指的是：若通项公式可变形为 形式，则
，其中, .
【对点演练2】 [2026·广东潮州模拟] 已知数列的前项和为 ，
且满足， .
（1）求证：数列 是等差数列；
证明：因为， ，
所以，即 ，
两边同时除以可得，所以 .
又，所以 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）可知，所以 ，
所以 ，
，
所以
，
所以 .
探究点三 裂项相消法求和
题型1 形如
例3 设等差数列的前项和为，若， ，则数列
的前99项和为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
√
[解析] 依题意，，所以 .
因为，所以的公差，则的通项公式
为 ，所以,
所以数列 的前99项和为
，故选C.
题型2 形如（ 为等差数列）
例4（1）[2026·辽宁辽阳二模]已知等差数列的公差为2，前 项
和为，且,,成等比数列.令，则数列 的前50项
和 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为， ，
，,, 成等比数列，
所以，解得，所以 ，
则 ，
则 .故选D.
（2）记为等差数列的前项和，已知， .
①求 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，由题意可知
解得故 .
②求数列的前项和 .
解：由①得，所以 ，
则 .
总结反思
1.用裂项相消法求和时,要对通项公式进行变换，一般裂为一个数列的
前后两项差或和的形式，从而使裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项，后边就
剩倒数第几项.
【对点演练3】（1）[2026·四川成都模拟]数列的前项和为 ，
且，，则数列的前
项和 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 数列的前项和，当 时，
，而
满足上式，因此 ，
则，
所以
.故选D.
（2）[2026·吉林长春吉大附中实验学校期末]记首项为1的数列
的前项和为，且是以2为公差的等差数列，则数列 的
前100项和 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为首项为1的数列的前项和为，所以 ，
令，则，由题意得 是以2为公差的等差数列，
所以，即 ，得
，
则，
所以
.故选D.
【备选理由】例1补充特殊的裂项形式；
例1 ［配合探究点三使用］[2026·山东德州模拟] 已知等差数列
满足， ．
（1）求 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，则 .
因为， ，
所以， ，解得， ，
所以 .
（2）求数列的前项和 ．
解：由（1）得
，
所以数列的前 项和
，
所以数列的前项和 .
【备选理由】例2补充差指型的裂项形式；
例2 ［配合探究点三使用］记为数列的前 项和，
．
（1）求 的通项公式；
解：当时，，得 ，
当时，①， ，
由得， ，
则 ，
所以数列是以 为首项，4为公比的等比数列，
所以，所以 .
（2）设，求数列的前项和 ．
解：由（1）得 ，
所以
．
【备选理由】例3补充利用放缩法的证明问题.
例3 ［配合探究点三使用］已知各项均为正数的数列的前 项和
为，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
解：因为为各项均为正数的数列， ，
所以当时， ；当时， ，
由得 ，则
，故
，
所以 是首项为2，公差为2的等差数列，所以 ．
（2）求证： ．
证明：方法一：因为
，
所以当 时，
，
当时， ，所以原不等式成立．
方法二：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以当时，
，
当时， ，所以原不等式成立．
作业手册
1.[2026·四川眉山期末]已知数列 的通项公式为
则数列的前10项和 ( )
A.107 B.1409 C.1414 D.112
[解析] 因为所以 .故选B.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.[2026·河南三门峡期末]已知数列的前项和为，首项 ，
且满足，则 ( )
A.4093 B.4094 C.4095 D.4096
[解析] 当为偶数时，，
所以 .故选A.
√
3.在数列中，， ，则
( )
A.630 B.648 C.660 D.675
√
[解析] 依题意，由，得，所以数列
是首项为，公差 的等差数列，
则，
则当时，，当 时， ，
所以
.故选C.
4.[2026·河北承德模拟]已知数列,满足 ,
，则数列的前30项和 ( )
A. B. C. D.
[解析] 将代入 整理得
，
故
.故选D.
√
5.已知数列的通项公式为，则使的前 项和
成立的的（参考数据： ）( )
A.最小值为7 B.最大值为7 C.最小值为8 D.最大值为8
√
[解析] ，
故
.
令 ，得 ，
则 ，解得
，
故满足题意的正整数 的最小值为8.故选C.
6.[2026·河南师大附中期末]已知等差数列 的公差大于0且
，若，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设等差数列的公差为， ,
, ，
,
，
,解得, .故选B.
7.[2025·安徽合肥期末]数列 满足
，若 ，则
数列 的前10项和为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得当
时，；
当 时，，
由 可得，即.
经检验，当 时，满足上式，故， ，
所以 ，
所以
. 故选C.
8.[2026·河北邢台期末] 已知数列，满足 ，
，则 ____.
[解析] 由，，可得 ，
所以
.
9.[2026·黑龙江绥化二中期末] 已知数列的前项和为 ，
，，则 ______（用数字作答）.
1365
[解析] 因为，， ，
， ，
所以
.
10.在数列中，， ，且 .
（1）求 的通项公式；
解：因为，所以 .
因为，，所以, ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列，
则，故 .
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）可知，则 ，
所以 ，
，
由得 ，
即 ，
则 .
11.[2026·湖北武汉质检]已知等差数列中， ,
，则数列 }的前2026项的和为( )
A.1013 B.1014 C.2026 D.2028
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 设等差数列的公差为，
则由 得
化简得 解得
.
， 数列 }的通项公式为.
设数列 }的前项和为 ，
则 .
，
.故选C.
12.[2026·广东茂名二模]已知函数满足 ，
，设，为数列的前 项和，则使得
成立的 的最小值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
√
[解析] 因为，所以.
又 ，所以，所以，
所以是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以，
所以，所以 .
又， ，所以使得成立的 的最小值为9.故选B.
13.[2026·山东济宁实验中学模拟] 已知函数是 上
的奇函数，若数列 的项满足
，则数列
的通项公式为 _______.
[解析] 因为函数是 上的奇函数，所以
，即.
又 ，
，
两式相加得
，所以，
所以 .
14.已知是各项均为正数的数列，为{}的前 项和，且
，， 成等差数列.
（1）求 的通项公式；
解：由，，成等差数列，得 .
当时， ，，
得（ 舍去）;
当时， ，
得， ，
.
又， ， }是首项为2，公
差为1的等差数列，， .
（2）求证： ；
证明： ，
故
.
（3）已知，求数列的前项和 .
解：由（1）知 .
当 是奇数时，
;
当 是偶数时，
.
综上，
知识聚焦
1.（1）若干个等差或等比或可求和 （2）并项求和法 2.积 3.两项之差
课前演练
（1）× （2）× （3）√ （4）√ 1.D 2. 45 3. 2 4. 8194
课堂考点探究
例1（1）B （2）B 【对点演练1】（1）. >.
（2）.
例2（1）. .（2）.
【对点演练2】（1）证明略.
例3 C 例4（1）D （2）①. ②.【对点演练3】（1）D （2）D
教师备用习题
例1（1）. （2）.
例2（1）. （2）．
例3（1） ．（2）证明略
夯实基础
1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8. 9.1365
10.（1）m>.（2） m>.
综合提升
11.C 12.B 13.
14.（1）m>.（2）证明：略（3）略第34讲　数列求和
【备选理由】 例1补充特殊的裂项形式;例2补充差指型的裂项形式; 例3补充利用放缩法的证明问题.
1 [配合探究点三使用] [2026·山东德州模拟] 已知等差数列{an}满足a1+a2=4,a2+a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前2n项和S2n.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为a1+a2=4,a2+a3=8,
所以2a1+d=4,2a1+3d=8,
解得a1=1,d=2,
所以an=2n-1.
(2)由(1)得(-1)n·=(-1)n=(-1)n=(-1)n+(-1)n,
所以数列的前2n项和S2n=++++…++=-1+=-,
所以数列的前2n项和S2n=-.
2 [配合探究点三使用] 记Sn为数列{an}的前n项和,3Sn=4an-3n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)当n=1时,3S1=4a1-3=3a1,得a1=3,
当n≥2时,3Sn=4an-3n①,3Sn-1=4an-1-3(n-1)②,
由①-②得,an=4an-1+3,
则an+1=4(an-1+1),
所以数列{an+1}是以a1+1=4为首项,4为公比的等比数列,
所以an+1=4n,所以an=4n-1.
(2)由(1)得bn==,
所以Tn=b1+b2+…+bn==.
3 [配合探究点三使用] 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:+++…+<(n∈N*).
解:(1)因为{an}为各项均为正数的数列,Sn=①,
所以当n=1时,a1=2;
当n≥2时,Sn-1=②,
由①-②得an=[+2an-(+2an-1)](n≥2),则-=(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)(n≥2),故an-an-1=2(n≥2),
所以{an}是首项为2,公差为2的等差数列,
所以an=2n.
(2)证明:方法一:因为==<=(n≥2),
所以当n≥2时,
+++…+<+=+-<,
当n=1时,=<,所以原不等式成立.
方法二:因为n3-4n(n-1)=n(n2-4n+4)=n(n-2)2≥0,所以n3≥4n(n-1),
所以==≤=(n≥2),
所以当n≥2时,+++…+≤
+=+<+=,
当n=1时,=<,所以原不等式成立.

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