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第33讲　等比数列
【备选理由】 例1(1)(2)综合考查了数列的性质.例2(1)揭示了等差数列与等比数列的关系;例2(2)是易错题,该题考查的数列从第二项起是等比数列,易误判数列为等比数列.
1 [配合探究点三使用] (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=,则{an}的公比为　2　;记Tn=a1a2…an(n∈N*),则Tn的最小值为 　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)已知数列{an}为等比数列,首项a1>0,公比q∈(-1,0),则下列说法不正确的是 ( D )
A.数列{an}的最大项为a1
B.数列{an}的最小项为a2
C.数列{anan+1}为递增数列
D.数列{a2n-1+a2n}为递增数列
[解析] (1)因为Sn=,所以a1=S1=,a2=S2-S1==,
故公比q==2,所以an=×2n-1,所以a1故Tn的最小值为T3=T4=××=.
(2)对于A,由题意知,当n为偶数时,an<00,则an+2-an=an(q2-1)<0,此时a1最大.综上所述,数列{an}的最大项为a1,A中说法正确.对于B,当n为偶数时,an<0,则an+2-an=an(q2-1)>0,此时a2最小;当n为奇数时,an>0>a2.综上所述,数列{an}的最小项为a2,B中说法正确.对于C,∵anan+1=q,an+1an+2=q,∴an+1an+2-anan+1=q(-)=q(q2-1).∵-10,∴数列{anan+1}为递增数列,C中说法正确.对于D,∵a2n-1+a2n=a2n-1(1+q),a2n+1+a2n+2=a2n+1(1+q),∴(a2n+1+a2n+2)-(a2n-1+a2n)=(1+q)(a2n+1-a2n-1)=(1+q)(q2-1)a2n-1.∵-10,q2-1<0.又a2n-1>0,∴(a2n+1+a2n+2)-(a2n-1+a2n)<0,∴数列{a2n-1+a2n}为递减数列,D中说法不正确.故选D.
2 [配合探究点二使用] (1)[2026·广东茂名模拟] 已知各项均为正数的数列{an},令bn=lg an,则“{bn}为等差数列”是“{an}为等比数列”的 ( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2026·湖南常德模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且an+1=a1+a2+…+an(n∈N*),则 ( D )
A.a2=2 B.a4=8
C.S2=3 D.S5=16
[解析] (1)若{bn}是公差为d的等差数列,则bn-bn-1=lg an-lg an-1=lg=d,所以=10d,即{an}为等比数列,充分性成立;若{an}是公比为q的等比数列,则=q(q>0),所以bn-bn-1=lg an-lg an-1=lg=lg q,即{bn}为等差数列,必要性成立.所以“{bn}为等差数列”是“{an}为等比数列”的充要条件.故选C.
(2)由an+1=a1+a2+…+an=Sn可知,当n=1时,a2=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+1-an,所以an+1=2an,所以数列{an}从第二项开始是以a2=1为首项,2为公比的等比数列,所以an=则Sn=所以a2=1,a4=4,S2=2,S5=16,故A,B,C错误,D正确.故选D.(共84张PPT)
第33讲 等比数列
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前 项和公式,理解等比数列的通项公式与前
项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列中的有关公式
已知等比数列的首项为，公比为，前项和为 ，则
等比数列定义式 _ ________且为常数
等比中项 是与的等比中项
通项公式 ____________或_______________________
前 项和公式 当时， _____；
当时，_ _______ _______
◆ 知识聚焦 ◆
2.等比数列的性质
已知是等比数列，是的前 项和.
（1）若，则有 ______
____.
（2）若公比，或且为奇数，则数列 ，
，， 成______数列，其公比为____.
等比
3.等比数列与函数的关系
（1）等比数列的通项公式可以写成，前 项和
公式可以写成 .
（2）①当 或 时， 是递增数列；
②当 或 时， 是递减数列；
③当时， 是常数列；④当时， 是摆动数列.
常用结论
1.若,（项数相同）是等比数列,则,, ,
,, 均是等比数列.
2.在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
，，，， 为等比数列，公比为 .
3.等比数列（公比为）各项的次幂仍构成一个等比数列 ,
新公比是 .
4.若为等比数列，，则，，， 成等
比数列.#3.4
5.在数列中，当且时，其前 项和
是为等比数列的充要条件，此时 .
6.等比数列的通项公式可以写成 .
7.等比数列的前项和 满足:
（1） ；
（2）若项数为，则；若项数为，则 或
.#3.7.2
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）三个数，，成等比数列的充要条件是 .( )
×
[解析] 若,,成等比数列，则；当时， ,
但,,不成等比数列.所以,,成等比数列的充要条件不是 .
（2）等比数列的公比 ，则该数列为递增数列.( )
×
[解析] 如数列，，，， ，其公比为2，但不是递增数列.
◆ 课前演练 ◆
（3）若等比数列的公比为，则， ，
的公比也为 .( )
√
[解析] 易知,,的公比也是 .
（4）若数列为等比数列，且 ，则
.( )
×
[解析] 当数列为常数列，且各项为2时，不满足 .
题组二 教材改编
1.在等比数列中，若，，则的公比
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
√
2.已知数列是等比数列，是其前项和，若 ，公比
，，则 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由题意知，解得 ，故选B.
√
3.已知等比数列满足，，则的前项和
( )
A. B. C. D.
[解析] 设数列的公比为，因为， ，所以
，解得，
所以 .故选D.
√
4.在递增的等比数列中，，，则
______.
[解析] 方法一：设等比数列的公比为，因为 ，
，
所以 解得或
因为等比数列是递增数列，所以 所以 .
方法二：因为， ，
所以,是方程 的两个根，
所以或
因为等比数列是递增数列，所以所以公比 ，
所以 .
探究点一 等比数列基本量的运算
例1（1）[2026·江苏靖江期中]已知等比数列的前项和为 ,
,，则 ( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 设公比为，由 ，得
，则 .
又，所以 ，则
.故选D.
（2）已知数列的前项和为，且， ，则
( )
A.7 B.13 C.18 D.63
[解析] 因为，，所以数列 为等比数列，
且公比.
又，所以 ，所以 .
故选A.
√
总结反思
等比数列的基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列
中有五个量,,,,,求解时一般都转化成基本量,, ，通过列
方程（组）求解.
（2）求等比数列的前项和时,要注意对公比 是否为1进行分类讨论.
（3）求解与等比数列前 项和有关的运算时常常将两个求和公式作
商,进而简化运算.
【对点演练1】（1）[2026·湖北鄂北六校期中]已知等比数列 的
前3项和为28，且，则 ( )
A.28 B.56 C.64 D.128
[解析] 因为，所以,.又 的前3项和
①，，
所以由 可得，解得（舍）或，
代入②式得 ，则 .故选D.
√
（2）已知为等比数列，若，则的公比
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 由可得，显然 ，
所以，解得 .故选D.
√
探究点二 等比数列的判定与证明
例2 [2025·浙江温州模拟] 数列满足 ，
, ．
（1）数列满足，试判断 是否是等比数列，并说
明理由；
解： 是等比数列，理由如下：
因为,，所以 .
又，所以 .
因为，所以，所以 是以3为首项，3为公比的等
比数列.
（2）数列满足，求数列的前项和 ．
解：由（1）可知，所以 ，
所以 ，
所以
.
总结反思
常用的等比数列的判定方法:
（1）定义法:若为非零常数,或 为非零常数且
,,则 是等比数列.
（2）等比中项法:若数列中,且 , 则
是等比数列.
（3）函数法:若数列的通项公式可写成 为非零常数,
,前项和可写成为非零常数,,1 ,则 是等
比数列.
【对点演练2】 [2026·辽宁辽阳期末] 已知为数列的前 项和，
且 .
（1）求 ；
解：因为 ，
当时，，解得 .
（2）证明：数列 是等比数列；
证明：因为，所以 ，
所以，即 ，
所以.
又 ，
所以 是以12为首项，2为公比的等比数列.
（3）求数列的前项和 .
解：由（2）可知，则 ，
所以 ，
所以
.
探究点三 等比数列性质的应用
题型1 等比数列项的性质
例3（1）在等比数列中，若，则 ( )
A.6 B.9 C. D.
[解析] 在等比数列中，若 ，则
.
由等比数列的性质可得 ，故 .故选B.
√
（2）[2026·江苏南通质检]已知数列为等比数列， ，公
比，则数列的前项积最大时， ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 因为，公比，所以 ，
所以当时，；当时，.
又是数列 的前项积，所以当时， 取得最大值，故选B.
√
题型2 等比数列前 项和的性质
例4（1）记为各项均为正数的等比数列的前 项和，若
，，则 ( )
A.6 B.9 C.12 D.15
[解析] 设等比数列的公比为，由题意知，且 ，
，成等比数列，所以 ，
即，得 （负值舍去）.故选B.
√
（2）等比数列的前项和为，， ，则
( )
A.27 B.24 C.21 D.18
[解析] 在等比数列中，公比 ，
所以 ，
所以 故选C.
√
总结反思
1.等比数列项的性质
（1）等比数列问题常考查的性质:若,,,, ,
,则 .具体应用中要注意两点:一是下角标
的和相等,二是等号左右两边项数要一致.此性质还可以拓展为：若
，则
.
（2）等比数列的单调性由首项与公比 决定,具体可根据指数型函
数的单调性进行判断.
2.等比数列前 项和的性质
（1）等比数列 中,等距离项的和依然成等比数列;
（2）求解与等比数列前项和有关的问题时,常常不直接求解 ,而是
求解相应的 的值.
【对点演练3】（1）设等比数列的公比为，若 ,
，则 ( )
A.1 B. C.或2 D. 或1
[解析] 在等比数列中，，而 ，解得
，即，解得，所以或 .故选D.
√
（2）设等比数列的公比为，则“且”是“ 是
递减数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由等比数列的通项公式可得， ，当
且时，，且单调递减，则随着 的增
大而减小，故是递减数列，充分性成立；
由 是递减数列，，可得或必要性
不成立.
所以“ 且”是“ 是递减数列”的充分不必要条件.故选A.
（3）设为等比数列的前项和，若， ，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.5
√
[解析] 方法一：设等比数列的公比为，显然 ，由
，，得，则，则 ，
所以 .故选C.
方法二：设等比数列的公比为，显然，由 ，
，得，则，则 ，
因为，所以 .
（4）[2026·重庆南开中学质检]已知数列 为等比数列，且
，，则 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[解析] 设数列的公比为 ，
则 ，
则 .故选C.
√
例1 ［配合探究点三使用］（1）已知等比数列的前项和为
，则 的公比为___；记，
则 的最小值为___．
2
【备选理由】例1 综合考查了数列的性质.
[解析] 因为，所以， ，
故公比，所以 ，
所以 ，
故的最小值为 .
（2）已知数列为等比数列，首项，公比 ，则
下列说法不正确的是( )
A.数列的最大项为 B.数列的最小项为
C.数列为递增数列 D.数列 为递增数列
√
[解析] 对于A，由题意知，当为偶数时，；当 为奇数
时，，则，此时 最大.综上所述，
数列的最大项为，A中说法正确.
对于B，当 为偶数时，，则，
此时最小；当 为奇数时，.综上所述，数列的最
小项为 ，B中说法正确.
对于C，， ，
，，， 数列 为递增数列，C中说法正确.
对于D， ，，，，.
又 ，， 数列 为递减数列，D中说法不正确.故选D.
例2 ［配合探究点二使用］（1）[2026·广东茂名模拟]已知各项均为
正数的数列 ，令，则“为等差数列”是“ 为等比
数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
【备选理由】例2（1）揭示了等差数列与等比数列的关系；例2（2）
是易错题，该题考查的数列从第二项起是等比数列，易误判数列为
等比数列.
[解析] 若是公差为 的等差数列，则
，所以，即
为等比数列，充分性成立；
若是公比为 的等比数列，则，所以
，即为等差数列，必要性成立.
所以“为等差数列”是“ 为等比数列”的充要条件．故选C.
（2）[2026·湖南常德模拟]已知数列的前项和为, ，且
，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可知，当 时，
，当时， ，所以
，
所以数列从第二项开始是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 则
所以,,, ，故A，B，C错误，D正确.故选D.
作业手册
1.等比数列中，若,，则 的公比为
( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 设数列的公比为.因为数列 为等比数列，所以
，即，解得 .故选D.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.在等比数列中，，，则 ( )
A. B. C.36 D.6
[解析] 因为为等比数列，所以，故 .
又，所以，所以，得
（,, 同号，负值舍去），故选D.
√
3.[2026·湖南株洲期末]记等比数列的前项和为 ，若
，则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 显然公比，因为等比数列前 项和
，且，
所以 ，所以,所以 .故选C.
√
4.已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列 是
递增数列，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当首项时，若，则数列 是递减数列，如
，充分性不成立；
若数列是递增数列，当首项 时，，如 ，
必要性不成立.
综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件.故选D.
5.[2026·江西南昌二模]记为等比数列的前 项和，若
,，则 ( )
A.81 B.71 C.61 D.51
√
[解析] 由题可知,,，， 成等比数列，
所以，即，得 ，
则等比数列，，，， 的首项为1，
公比为，
所以 ，
，
所以 .故选C.
6.已知数列，分别满足， ，则下列说
法错误的是( )
A.数列 是公比为9的等比数列
B.数列 是公差为2的等差数列
C.数列的前10项和为
D.数列 是等比数列
√
[解析] 对于A选项，，故数列 是公比为
9的等比数列，A中说法正确；
对于B选项， ，
故数列 是公差为2的等差数列，B中说法正确；
对于C选项，因为 ，
所以，
所以的前10项之和为
，
C中说法错误；
对于D选项，因为，故数
列 是等比数列，D中说法正确.故选C.
7.（多选题）[2026·安徽合肥调研]记数列的前项和为 ，则下
列条件使数列 一定为等比数列的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，由等比数列的定义知， 一定为等比数列.
对于B，当时，成立，但 不是等比数列.
对于C，由，得, ,
，,,不成等比数列.
对于D，由 ，得,,则，数列是公比
为1的等比数列.故选 .
8.[2026·福建厦门外国语学校模拟] 已知等比数列的前 项和为
，若，则 ___.
8
[解析] 因为,所以，则.
由等比数列 的前项和的性质可知，数列,,,
是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以， ，
则， ，
所以 .
9.若等比数列满足，则其公比 ____.
[解析] 由，得, ，
所以，即，解得.
又 ，所以，所以 .
10.[2026·湖南雅礼中学模拟] 已知数列和 满足
,, .
（1）证明：数列 是等比数列；
证明：由题意知，,
又 ，所以，即.
又 ，
所以数列是首项为，公比为 的等比数列.
（2）设，求数列的前项和 .
解：由（1）知 ，
所以 ，
所以
.
11.[2026·甘肃兰州模拟]在等比数列中， ，
，且数列的前项和，则此数列的项数 等
于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 设的公比为，因为 是等比数列，所以
，
又，所以或
若是递增数列，则，，
因为 ，所以，解得，
所以 ，解得；
若是递减数列，则，，
因为 ，
所以，解得，
所以 ，解得.
综上，数列的项数 为5.
12.若数列和满足， ，
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可得 ，即
，
所以数列是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，故.
由题可得 ，
即 ，
所以 ，
故 ，
则，
所以 ，
所以 .故选A.
13.（多选题）[2026·山东淄博质检]设公比为的等比数列的前
项积为 ，则( )
A.若，则
B.若，则必有
C.若，，则 有最大值
D.若，则数列{ 一定是等差数列
√
√
[解析] 若 ，则
，所以，故A错误；
因为 ，且
，所以，又等比数列奇数项必同号，所以
，故B正确；
因为，，所以等比数列 是递减数列，必存在
，使得且，则当时， ，当
时，，则的最大值为，故C正确；
因为 ，所以，
，
当时，不满足为同一个常数，故数列{ 不一
定是等差数列，故D错误.故选 .
14.已知数列满足, .设
.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列 的通项公式；
解：由 ，
可得 ，
所以数列是以 为首项，3为公比的等比数列，
则，故 .
（2）设数列，且对任意正整数，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：数列 ，
则 ，
所以数列是递减数列，故.
对任意正整数 ，不等式 恒成立，所以，即 的取值范
围是 .
知识聚焦
1.
2.（1） （2）等比
课前演练
（1）× （2）× （3）√ （4）× 1.D 2.B 3.D 4.
课堂考点探究
例1（1）D （2）A 【对点演练1】（1）D （2）D 例2（1）解：是等
比数列，证明略（2）.
【对点演练2】（1）.（2）证明略（3）.
例3（1）B （2）B
例4（1）B （2）C 【对点演练3】（1）D （2）A （3）C （4）C
备用习题
例1（1）2 （2）D 例2（1）C （2）D
夯实基础
1.D 2.D 3.C 4.D 5.C 6.C 7.AD 8.8 9.
10.（1）证明略（2）.
综合提升
11.B 12.A 13.BC
14.（1）证明略，m>.
（2） 的取值范围是.

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