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(共66张PPT)
微专题8 重构数列问题
微点一
微点二
微点三
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一 奇偶项问题
题型1 连续两项和或积的问题(形如 或
)
例1 已知数列的前项和为，， ，
则 ____.
24
[解析] 因为，，所以 ，得
.
由 ，可得 ，
由，得 ，
所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以 为首
项，2为公差的等差数列，， ，
则， ，
所以
.
题型2
例2 （多选题）记为数列的前 项和，已知
则( )
A.2027是数列 中的项
B.数列 是公比为2的等比数列
C.
D.若，则数列的前项和小于
√
√
√
[解析] 对于A，当为偶数时，令，得 ，符合
题意，故A正确；
对于B，由题知，, ，
则，故数列 是公比为4的等比数列，故B错误；
对于C，由题知，,,,,, ，
所以 ，故C正确；
对于D，，则 ，
则数列的前项和为
，故D正确.故选 .
题型3 递推公式中含 型
例3 [2026·山东实验中学一模] 若数列满足 ，
，则 的前2027项的和为______．
1014
[解析] 当为偶数时，，即 ，
所以 的前2027项的和为
.
总结反思
（1）连续两项和或积(形如或 )的
递推公式中，一般用替换得到与 的关系，然后分奇偶
项进行处理.
（2）对于 型的数列求和,一定要注意，
若为偶数,则奇数项与偶数项各有项；若为奇数,则奇数项有 项,
偶数项有项.若是公差为的等差数列,则 的奇数项构成
公差为的等差数列；若是公比为的等比数列,则 的偶数
项构成公比为 的等比数列.
（3）递推公式中含型的问题中要对 分奇、偶进行讨论,转化
为相邻两项和或差求解,当项数不确定时,要分为奇数和 为偶数分类
讨论求解.#2.3
【对点演练1】（1）若数列满足 ，
，则 ( )
A.155 B.156 C.203 D.204
√
[解析] 由 ，得
，两式相减得 ，
故数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2.
由，，得，同理可得， ，
则，，
所以
.故选A.
（2）已知数列的前项和为 ，
，则 ( )
A. B.0 C. D.
√
[解析] 当为奇数时， .
因为函数的周期为8，所以 .
又， ，
，，
所以 ，则
.故选C.
（3）若数列满足 则
_____．
107
[解析] 由题意可得数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差
数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
则
.
微点二 交替递推数列
例4 [2026·广东深圳诊断] 已知数列满足 ，
（1）记，写出，，并证明数列 为等比数列；
解：由题可知 ，
.
显然为偶数，则， ，
所以，即，则 .
又 ，
所以 是以5为首项，2为公比的等比数列，
则 ， .
（2）求的前项和 ．
解：记，则 ，
即 ，
.
总结反思
形如 的递推关系式求解通项公式时，解题思
路为：
令取得到 ，令取得到 ，
令取得到 ，
由①②消去得与的关系式，由②③消去得
与 的关系式，然后分别求得数列奇偶项的通项公式，进而得到数
列的通项公式.
【对点演练2】 [2026·云南曲靖质检]数列满足 且
则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令,，由题意可得.
令 ，则，所以 ，
所以.
又，所以 ,
则数列 是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以，则 ,
所以 ，故选C.
微点三 公共项、增减项问题
例5 已知数列满足,，数列 满足
， .
（1）求 的通项公式；
解：由可得.
又 ，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即 .
（2）求 的通项公式；
解：方法一：由题可得，且 ，
所以 ，
所以,,, , ，
累乘得
，
得.当时，也满足上式.故 .
方法二：由可知 是常数列，
所以 ，
所以 .
（3）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的 ,
之间插入项，从而构成一个新数列，设的前
项和为，求 .
解：设在的前100项中，来自的有 项.若第100项来自 ，
则 ，
整理可得 ，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自 ，则
，整理可得 .
易知在 上单调递增.
当时，，不满足题意；
当 时， ，满足题意.
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自 ，
所以
.
总结反思
（1）对于公共项问题，通过观察找到首项后，从首项开始，逐项判
断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中
的项，并找到规律，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.
（2）对于增加项或减少项数列问题，弄清插入（或减少）的项数及
插入（或减少）的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法解
决此类问题.
【对点演练3】（1）[2026·河南驻马店模拟]已知数列, 的通
项公式分别为,，将数列， 的公共项
从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列
是以1为首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为
公差的等差数列，
所以的前项和 .故选D.
（2）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一
个新的数列，扩充的次数记为 ，扩充规则为每相邻两项之
间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行扩充，第1次扩充得到数列
1，2，3；第2次扩充得到数列1，，2，，3； ，依次扩充，记第
次扩充得到的数列的所有项之和为，则 ( )
A.510 B.514 C.1022 D.1026
√
[解析] 设第次扩充得到的数列为1，,, , ，3，
则，
则第 次扩充得到的数列为1，，，，， ，， ，3，
则 .
显然，，
因此数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，
， ，
所以 .故选B.
作业手册
1.已知数列满足，且，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 由，可得 ，
， .故选B.
√
◆ 夯实基础 ◆
2.[2025·河南焦作期末]已知数列， 的通项公式分别为
，，由， 的公共项从小到大排列得
到的数列为，则 ( )
A.1941 B.1961 C.1981 D.2001
[解析] 由题可知是首项为1，公差为4的等差数列， 是首项
为1，公差为5的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列 是首项为1，
公差为20的等差数列，
故 .故选C.
√
3.已知数列满足，对于任意的且 ，都有
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意，设，则 ，
，， ，
， ，
，
归纳得 ，
则，所以 .故选B.
4.已知等差数列的首项，公差，在 的每相邻两
项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数
列，当时， ( )
A.4052 B.4054 C.4056 D.4058
[解析] 因为,，所以.
当时， , ，
所以等差数列的公差为 ，
故，则 .故选B.
√
5.[2025·贵州六盘水期末]已知数列满足 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,
，
是首项为5，公比为2的等比数列，
，则 ，
.故选C.
6.已知数列和的通项公式分别为,，在 与
之间插入数列的前项，构成新数列，即,,, ,
,,,,,,,,,,， .记数列的前项和为 ，则
( )
A.30 B.4944 C.9876 D.14 748
√
[解析] 因为数列的通项公式为，所以数列的前 项和
.
因为数列的通项公式为，所以数列 的前项和
，
则
.
当时， .故选B.
7.（多选题）已知等差数列的首项，公差，在
中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个
新的等差数列 ，下列说法正确的有( )
A.
B.当时，
C.当时，不是数列 中的项
D.若是数列中的项，则 的值可能为6
√
√
√
[解析] 对于选项A， ，故A正确；
对于选项B，C，当时，由，可知 的公差
，所以 ，
则，
令，解得，所以 是数列中的项，故B正
确，C错误；
对于选项D，当 时，数列的公差，
则, ，即，
所以若是数列中的项，则 的值可能为6，故D正确.故选 .
8.[2026·江苏泰州期末] 已知数列满足 ，
，则 的前20项和为_____.
500
[解析] 数列满足， ，
则.
当时， ，；
当时， ， .
所以数列 的奇数项构成以1为首项，5为公差的等差数列，偶数
项构成以4为首项，5为公差的等差数列，
所以 的前20项和为
.
9.[2026·安徽芜湖期末] 已知数列满足 ，
，则__， _____.
[解析] 由，得.
由 ，，，
，
得 ，
所以
.
10.已知数列的前项和为,, .
（1）求数列 的通项公式；
解：当时，由可得 ，
两式作差可得，可得 .
又，，满足 ，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，故 .
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为
的等差数列，设，求 .
解：由题意可得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
两式作差得
，因此 .
11.数列,的通项公式分别为, ，在数列
中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数的占比为( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 中的项依次为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28， ；
中的项依次为2,4,8,16,32,64，
与 中小于25的公共项为4，16，
在数列中去掉与 的公共项后，小于25的项有1,7,10,13,
19,22，其中质数有7,13,19，
所以小于25的项中质数的占比为 ，故选B.
12.（多选题）[2026·山东济宁期末]已知 记
数列的前项和为，且 ，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为，即 ，
所以，即，解得 ，
故A正确；
由题可得，， ，
， ，
当为奇数时，为偶数， 为奇数，
所以， ，
所以，
所以数列 中的奇数项是等比数列，其首项为，公
比为2，
所以当 为奇数时，， ，
所以 ，故B错误；
当为偶数时，为奇数，为偶数，则 ，
，所以 ，
所以数列中的偶数项是等比数列，其首项为 ，公
比为2，
所以当为偶数时，， ，
所以，故C正确；
对于D，
，故D正确.故选 .
13.[2026·天津南开中学模拟] 在1和11之间插入个数，使得这
个数成等差数列.若这个数中第1个为，第个为，则 的最
小值是___.
3
[解析] 由题可知，, ，
所以
，当且仅当，即,时等号成立，
此时, 满足，，所以 的最小值是3.
14.已知数列满足, 公差
不为0的等差数列满足,,成等比数列， .
（1）证明：数列 是等比数列.
证明：在数列中，
则，
又 ，所以数列是等比数列，其首项为 ，公比为4.
（2）求和 的通项公式.
解：由（1）知， ， ，
所以数列的通项公式为
设等差数列的公差为 ，
由,,成等比数列，得 ，即，
得 ，
又，即，所以 ，
所以数列的通项公式为 .
（3）在与之间从的第一项起依次插入中的 项，构
成新数列,,,,，,,,,, ，求 中前60项的
和 .
解：依题意，数列中，前有数列中的前 项，有数列
中的前 （项），
因此数列中，前共有 （项），
当时， ，
当时， ，
因此数列的前60项中有数列中的前10项，有数列 中的前
50项，
所以
.
微点一 题型1 例1 24
题型2 例2 ACD
题型3 例3 1014 【对点演练1】（1）A （2）C （3）107
微点二 例4（1），. 证明略（2） .
【对点演练2】C
微点三 例5（1）m>.（2）.（3）.
【对点演练3】（1）D （2）B
夯实基础
1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B 7.ABD 8.500 9.
10.（1）.（2）.
综合提升
11.B 12.ACD 13.3
14.（1）证明：略（2） .
（3） .

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