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第35讲 数列的综合问题
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有
关知识解决相应的问题.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、
解析几何等知识解决一些数列问题.
2.能依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为
数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决.
1.数列的综合应用
（1）等差数列和等比数列的综合
等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列
的通项公式、前项和公式，建立关于两个基本量，即首项 和公差
或公比 的方程组，以及解决等差中项、等比中项等问题.
◆ 知识聚焦 ◆
（2）数列和函数
数列是特殊的函数，等差数列的通项公式和前 项和公式分别是关于
的一次函数和二次函数，等比数列的通项公式和前 项和公式在公
比不等于1的情况下是公比 的指数型函数，可以根据函数的性质解
决一些数列问题.
（3）数列和不等式
以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题，
体现了在知识交汇点上命题的特点.这类问题一般通过数列求通项以及
求和去解决一个不等式问题，这里的不等式通常是关于正整数的不等
式，可以通过比较法、基本不等式法、导数方法或数学归纳法解决.
2.数列应用题常见模型
等差数 列模型 如果增加（或减少）的量是一个固定量，那么该模型是等
差数列模型，增加（或减少）的量就是公差
等比数 列模型 如果后一个量与前一个量的比值是一个固定的数，那么该
模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比
递推数 列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，即随着项
的变化而变化，那么应考虑与 之间的递推关
系，或前项和与 之间的递推关系
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果数列为等比数列，那么数列{ 是等差数列.( )
×
[解析] 设等比数列的公比为，当 时，
，当 为负数时无意义.
◆ 课前演练 ◆
（2）设等差数列的前项和为，且，则
在 处取得最大值或最小值.( )
[解析] 必须是正整数，而 不一定是正整数，所以错误.
×
（3）等比数列中，和是方程 的两根，
则，且 ( )
×
[解析] 因为和是方程 的两根，所以
,，所以， .
因为，所以 .
设等比数列的公比为，则，
即 .
（4）等差数列的单调性是由公差 决定的.( )
√
[解析] 当时，.
若，则 ，此时为递增数列；
若，则，此时 为常数列；
若，则，此时 为递减数列.
题组二 教材改编
1.已知数列的前项和，则 取最大
值时 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 令函数，其图象的对称轴为直线 ，
开口向下，所以当时函数取得最大值，
所以当 时， 取得最大值.故选B.
√
2.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 ，
则 年后这批设备的价值为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意可知一年后这批设备的价值为 ，两年后这
批设备的价值为 ，
三年后这批设备的价值为， ，年后这批设备的价值
为 .故选D.
√
3.已知等比数列的公比为，则“”是“，， 成等差
数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 因为为等比数列，所以.若 ，则
，，则，， 为常数列，
且为等差数列，所以充分性成立；
若，， 成等差数列，则，
可得，且 ，则，
解得或 ，所以必要性不成立.
所以“”是“，， 成等差数列”的充分不必要条件.故选A.
4.某人从2025年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），
若年利率为 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，
到2035年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数
（单位：万元）约为（参考数据：， ，
）( )
A.17.5 B.19.9 C.22.3 D.24.8
√
[解析] 由题意，2025年存的2万元共存了10年，本息和为
万元，
2026年存的2万元共存了9年，本息和为万元， ，
2034年存的2万元共存了1年，本息和为 万元，
所以到2035年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的
钱数为
（万元），故选C.
5.如图，正方形的边长为5，取正方形
各边中点,,,，作第2个正方形 ，然后再
取正方形各边的中点,,, ，作第3个正方形
，依此方法一直继续下去，则从正方形
开始，连续10个正方形的面积之和是______.
[解析] 记第个正方形的边长为 ，面积 ，
由每个正方形都是由上一个正方形各边中点连接得到的，
可知第 个正方形的边长为，
面积 ，则，
所以正方形面积构成的数列 是首项为，公比为 的等比数列，
故从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和为
.
探究点一 等差、等比数列的综合运算
例1 已知公差为正数的等差数列满足,且,,
成等比数列．
（1）求 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，由,, 成等比
数列，得 .
又，所以，即 ，
则，所以 .
（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列
的前项和成立的 的最大值．
解：由题意知,，则等比数列 的公比
，所以，则 ，
故数列是首项、公比都为 的等比数列，则 .
由，得，即，即 .
又，，所以 ，
所以使成立的 的最大值为4.
总结反思
求解等差数列和等比数列的综合问题,主要方法是回归基本量,一般地
回归“母数列”的基本量,即若数列 是等差数列,则数列中的项都用
公差和 进行表示,应用方程思想求解.
【对点演练1】（1）[2026·北京师大附中期中]在等差数列 中，
，且，，成等比数列，则 的通项公式为( )
A. B.
C.或 D.或
√
[解析] 设等差数列的公差为，因为 ，所以
.
因为，， 成等比数列，所以，
所以，解得 或.
当时，，，，满足条件；
当 时，，满足条件.
所以或 ，故选D.
（2）已知数列是公差大于0的等差数列，， ，
数列的前项和满足， .
①求数列， 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 ，则
，
整理可得，解得 （负值舍去），
则 .
当时，，解得 .
当时， ，
整理可得，则 .
又，所以是首项为 ，公比为2的等比数列，
则 ，
所以 .
②若，求数列的前项和 .
解：由①得，
，
则
，
，
则
，
即 .
探究点二 数列与函数、不等式的结合
题型1 数列与不等式的结合
例2 已知数列的前项和为，且， ．
（1）求数列 的通项公式；
解：由，得 ，
则 ，即
，得 ，
则，， ，， ，
将以上个式子相乘得.
又 ，所以 .
当时，也满足上式，所以 .
（2）若，且数列的前项和为，求证： ．
证明：因为 ，
所以 ，得证.
题型2 数列与函数的综合
例3（1）[2026·辽宁名校联盟联考]已知等差数列的前项和为 ，
若，，则使最大的 的值为( )
A.7 B.8 C.7或8 D.8或9
√
[解析] 因为所以解得
所以.
又 为正整数，所以当或8时， 最大.故选C.
（2）已知函数若数列 满足
，，且是递增数列，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知分段函数在 上均单调递增，
且，即解得 ，
故实数的取值范围是 .故选D.
总结反思
1.（1）对于“和式”数列不等式,根据数列项的特征，先选择合适的方
法（公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等）求和，再
利用所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围.
（2）若不能直接求和,则可以先放缩再求和.常见的放缩技巧有:
① ；
② ；
③ ；
④, .
2.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略:
（1）已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、
图象研究数列问题.
（2）已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的
通项公式、前 项和公式、求和方法等对式子化简变形.
注意数列是一类特殊的函数,即数列只能看作是自变量为正整数的一
类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.
【对点演练2】（1）已知函数的图象在点 处
的切线与直线垂直，记数列的前项和为 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，则的图象在 处的切线
的斜率为.
又切线与直线 垂直，直线的斜率为，
所以 ，解得，则函数，
所以数列 的通项公式为 ，
则 ，所以
.故选A.
（2）已知数列的通项公式为 .
①求证： ；
证明：由,可知数列是递增数列，则 的最
小项为.
又,所以,故 ,得证.
②令，证明： .
证明：由①得 ,当时， ;
当时， ;当 时， ,
所以 .
综上， .
探究点三 数列的综合应用
题型1 实际应用问题
例4 [2026·辽宁沈阳联考]刚考入大学的小明准备向银行贷款 元购买
一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明
与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每
个月所还的钱数都相等，贷款的月利率为 ．则小明每个月所还的钱
数为 ( )
A.B. C. D.
√
[解析] 设小明每个月所还的钱数为 ，根据等额本息还款法得，
第一个月月末还款后所欠银行钱数为 ；
第二个月月末还款后所欠银行钱数为
；…；
第12个月月末还款后所欠银行钱数为
.
因为分12次还清所有的欠款，所以 ，解
得 .故选D.
题型2 新信息情境下的数列问题
例5（1）[2026·江苏南京六校联合体调研]行列式是近代数学中研究
线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：
.已知是等比数列的前 项和，若
，，公比，则 ( )
A.31 B.63 C.127 D.255
√
[解析] 根据题意可得.因为数列
是等比数列， ,
所以 .
又且，所以，
所以 .故选C.
（2）[2026·天津联考]中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下
第二十六题，叫作“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三
数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个
相关的问题：将1到2027这2027个自然数中被5除余3且被7除余2的数
按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和
为( )
A.63 199 B.59 288 C.59 287 D.59 189
√
[解析] 易知 .
记题中所求数列为，则，， ，则
.
因为为自然数，所以，均为正整数，所以 , 8,13,18, .
记的取值从小到大为数列 ，则.
令，解得 ，所以，
则数列 的通项公式为，
则数列 的各项之和为 故选D.
总结反思
1.（1）解决数列应用问题的核心是“将实际问题转化为数列模型”，
再利用等差、等比数列的通项公式、前 项和公式求解.
（2）数列应用问题的通用解题步骤：
①审题：明确“变化规律”.
②建模：将实际问题转化为数列的数学表达式.
③求解：利用数列公式计算目标量.
④验证：检验结果的合理性，即数列应用问题的结果需符合实际意义.
2.在新信息情境下的数列问题中，核心难点在于将陌生的背景、定义
或规则转化为熟悉的数列模型（如等差、等比数列）.解题的关键是
“先理解新信息，再建立数学联系，最后用数列知识求解”.
第一步，精读题干，拆解“新信息”——明确定义、规则或背景；
第二步，利用“新信息”生成前几项——初步感知数列规律；
第三步，建立“新信息”与“已知数列模型”的联系——转化为可解问题；
第四步，验证与求解——确保逻辑闭环.
【对点演练3】（1）现有某种细胞1000个，其中约有一半的细胞每
小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，
细胞总数约为 ，2小时后，细胞
总数约为， ，则当细
胞总数超过个时，所需时间至少为（参考数据： ，
）( )
A.36小时 B.38小时 C.40小时 D.42小时
√
[解析] 记小时后细胞的个数为，则 .
又，所以是首项为，公比为 的等比
数列，
故.令 ，
得，则 ，
故.
又 为整数，所以当细胞总数超过 个时，所需时间至少为40小
时.故选C.
（2）若数列满足，为常数 ，则称数列
为调和数列．已知数列 为调和数列，且
，则 的最大值为_____.
[解析] 因为数列为调和数列，所以，故 为等
差数列.
由，得 ，所
以，所以.
又 ，所以，当且仅当
或 时取等号.
又 ，当且仅
当 时取等号，
所以的最大值为 .
【备选理由】例1是构造函数解决有关数列不等式问题，对能力要求
较高.
例1 ［配合探究点二使用］[2026·广西南宁模拟] 已知 ,
．
（1）求 的通项公式；
解：由，左右同时除以得 ，
所以 .
又，所以，即 ，
故 是以3为首项，3为公差的等差数列，
所以，则 .
（2）令，为的前 项之积，求证：
．
证明：令函数, ，
则.令，得 ，
所以在上单调递增，所以当时， ，
即 .
又,，所以，所以 .
由（1）知，, ,
则 ，
所以 .
【备选理由】例2（1）对应课本的课外阅读与思考，考查斐波那契数列；
例2（2）对应课本的课外阅读与思考，考查牛顿数列.
例2 ［配合探究点三使用］（1）（多选题）[2026·江苏镇江期中]1202年，
斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，
，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项
的和.记为斐波那契数列的前 项和，则下列结论正确的有( )
A. B. 为奇数
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，由题意知，，， ，，
，， ，，
， ，故
A正确;
对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于
它前面两项的和，所以此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环
出现，每3个数一组，而，故 为偶数，故B错误;
对于C，由题意知，
所以，
，故C正确;
对于D， ， ，
， ，
，
将这些等式左右两边分别相加得
，所以 ，故D正确.故选 .
（2）[2025·山东淄博模拟] 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方
法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列
满足，则称数列 为牛顿数列.若函数
，数列为牛顿数列，设 ，且
，，则 ______.
[解析] 根据题意得 ，则 ，
所以 ，且
.
因为，所以 ，
所以，即.
又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，则
.
作业手册
1.已知等比数列满足，且，， 成等差数列，则数
列 的公比等于( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 设的公比为，因为,, 成等差数列，所以
，即，解得 .
√
◆ 夯实基础 ◆
2.[2025·湖南长沙期中]已知数列 的通项公式为
，若是递增数列，则实数 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为为递增数列，
所以 得
所以的取值范围为 .故选B.
3.[2026·河南郑州期末]2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤
楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，
主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼每一层都挂上
灯笼，预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层
灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为( )
A.12 B.24 C.36 D.48
√
[解析] 由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为
数列，第5层楼所挂灯笼数为，公比 .
由，解得 ，
则最中间一层的灯笼数为 .故选B.
4.已知是公比为的等比数列，首项 ，对于
，，若当且仅当时，数列的前 项和取
得最大值，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 等比数列的公比为，首项 ，
，
数列是以 为公差，为首项的等差数列，
.
当且仅当时数列的前项和取得最大值，
，且
,且
，解得 ，故选C.
5.[2026·广东深圳盐田区外国语学校质检]在等比数列中，,
是函数的两个零点，则 ( )
A. B. C.5 D.
[解析] 因为,是函数的两个零点，
所以 ,是方程的两个根，
则 ，，所以,都为负数.
又, ，
所以 .故选B.
√
6.数列是各项均为正数的等比数列，数列 是等差数列，且
，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设的公比为，的公差为，
则 ，
， .
又 ,
所以 .故选B.
7.（多选题）[2026·河南驻马店期末]设是等差数列的前 项和，
若， ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.当时，最大 D.使的 的最大值为13
√
√
[解析] 对于A，B，由，得 ，
又，所以，且，
则， 为递减数列，故，故A正确，B错误；
当时， ，当时，，则当时， 最大，
故C正确；
因为,，所以使的
的最大值为14，故D错误.故选 .
8.设是公差不为0的等差数列,且,, 成等比数列,则
的前10项和 ___.
[解析] 设数列的公差为，因为,, 成等比数列，所
以，
则，解得或 （舍），
所以 .
9.[2026·北京中国人民大学附属中学模拟] 已知等比数列的前 项
和为，，，，成等差数列，则使得 的
的最小值是____.
11
[解析] 设等比数列的公比为，由题意得 ，
即，即 ，
整理可得，解得，
所以 .
令，则.
又因为，所以 ，故使得的 的最小值是11.
10.各项均为正数的等比数列的首项，为其前 项和，若
，， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
解：设数列的公比为，因为，， 成等差数列，所以
，则 ，
则，解得或 .
因为等比数列的各项均为正数，所以.
又 ，所以 .
（2），，记数列的前项和为 ，若
，求 的最大值.
解：由（1）得，所以，
故，
由 ，得，得 ，
故 的最大值为2025.
11.[2026·四川眉山期末]设 是以2为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为公比的等比数列，记
，则 中不超过2027的项的个数为
( )
A.8 B.9 C.10 D.11
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由题得， ，所
以 ，
则
.
又 ，
，
所以 中不超过2027的项有10个.故选C.
12.已知是等差数列的前项和，公差，，若 ,
, 成等比数列，则 的最小值为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] ,,成等比数列， ，
则，即，可得 ，
.
由函数在上单调递减，在 上单调
递增，且,
得当或4，即或3时， 取得最小值.
当时，；当时，.故 的最
小值为 .故选A.
13.等差数列的通项公式为，前项和为，则
____，数列 的最小值为____.
[解析] 由题意可得 ，
所以 .
由题意可知 .
令, ，
则
由，得或;
由，得 .
所以在上单调递减，在, 上单调递增.
又因为， , ，
，
所以数列的最小值为 .
14.[2026·浙江宁波九校联考] 已知函数 .数列
的首项，记曲线在 处的切
线为，若，则记与轴交点的横坐标为 .
（1）证明：数列 为等比数列；
证明：由，得 ，
则曲线在 处的切线方程为
.
令可得， ，
则 .
因为 ，
所以，则 .
又，所以 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）设，求数列的前项和 .
解：由（1）得，则 ，
则 ，
，
由 得，
，
所以 .
知识聚焦
课前演练
（1）× （2）× （3）× （4）√ 1.B 2.D 3.A 4.C 5.
课堂考点探究
例1（1）m>.（2） 的最大值为4.
【对点演练1】（1）D （2）①. .
②. 例2（1）.（2）证明：略
例3（1）C （2）D 【对点演练2】（1）A （2）①证明：略 ② 证明：略
例4 D 例5（1）C （2）D 【对点演练3】（1）C （2）
教师备用习题
例1（1） .（2）证明：略
例2（1）ACD （2）
夯实基础
1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.B 7.AC 8. 9.11
10.（1）.（2）的最大值为2025.
综合提升
11.C 12.A 13.
14.（1）证明：略（2） .第35讲　数列的综合问题
【备选理由】 例1是构造函数解决有关数列不等式问题,对能力要求较高.例2(1)对应课本的课外阅读与思考,考查斐波那契数列;例2(2)对应课本的课外阅读与思考,考查牛顿数列.　　　　　 　　　　　 　　　　　
1 [配合探究点二使用] [2026·广西南宁模拟] 已知a2=,an+1+3anan+1=an.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=,Tn为bn的前n项之积,求证:+++…+解:(1)由an+1+3anan+1=an,左右同时除以anan+1得+3=,所以-=3.
又a2=,所以=3,即a1=,
故是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以=3+3(n-1)=3n,则an=.
(2)证明:令函数f(x)=ln x-x+1,0则f'(x)=-1=.令f'(x)>0,得0所以f(x)在(0,1)上单调递增,所以当0又<1,n∈N*,所以ln<-1=-,所以由(1)知,bn=,Tn=××…×=n+1,
则=<所以+++…+2 [配合探究点三使用] (1)(多选题)[2026·江苏镇江期中] 1202年,斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,…,该数列的特点是前两项为1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和.记Sn为斐波那契数列{an}的前n项和,则下列结论正确的有 ( ACD )
A.a11=89
B.a2025为奇数
C.a1+a3+a5+…+a2025=a2026
D.=a2027
(2)[2025·山东淄博模拟] 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时,给出的“牛顿数列”在航空航天中应用?泛.若数列{xn}满足xn+1=xn-,则称数列{xn}为牛顿数列.若函数f(x)=3x2-27,数列{xn}为牛顿数列,设an=ln ,且a1=2,xn>3,则a2025=　22025　.
[解析] (1)对于A,由题意知a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21,a9=a7+a8=13+21=34,a10=a8+a9=21+34=55,a11=a9+a10=34+55=89,故A正确;对于B,因为该数列的特点是前两项为1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和,所以此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现,每3个数一组,而2025=3×675,故a2025为偶数,故B错误;对于C,由题意知an-1+an=an+1(n≥2),所以an=an+1-an-1(n≥2),a1+a3+a5+…+a2025=a1+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2026-a2024)=a1+a2026-a2=a2026,故C正确;对于D,=a1a2,=a2(a3-a1)=a2a3-a1a2,=a3(a4-a2)=a3a4-a2a3,…,=a2026(a2027-a2025)=a2026a2027-a2025a2026,将这些等式左右两边分别相加得++…+=a1a2+(a2a3-a1a2)+(a3a4-a2a3)+…+(a2026a2027-a2025a2026)=a2026a2027,所以=a2027,故D正确.故选ACD.
(2)根据题意得f'(x)=6x,则xn+1=xn-==,所以xn+1+3=+3==,且xn+1-3=-3==.
因为xn>3,所以=×==,所以ln =ln =2ln ,即an+1=2an.又a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,则a2025=2×22024=22025.

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