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第36讲 空间几何体
第1课时 空间几何体
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单
组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式
解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱
柱及其简单组合体）的直观图.
◆ 知识聚焦 ◆
1.空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相______且 ______ 多边形 互相______
侧棱 ____________ 相交于______，但 不一定相等 延长线交于
_______
侧面 形状 ____________ ________ ______
平行
全等
平行
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
续表
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相 等， ______于 底面 相交于 ______ 延长线交于 ______
垂直
一点
一点
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的 ______ 全等的 __________ 全等的 __________ ____
侧面展开图 ______ ______ ______
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
矩形
扇形
扇环
续表
2.斜二测画法
（1）原图形中轴、轴、轴两两垂直,三轴相交于点 ，直观图中
轴、轴、轴相交于点，___________, ____.
或
（2）原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍______________,平
行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度______,平行于 轴的线
段在直观图中长度为____________.
平行于坐标轴
不变
原来的一半
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 _____ ____ __________
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） _____
锥体（棱锥和圆锥） _ _____
台体（棱台和圆台）
球 ______ _ _____
其中柱体、锥体、台体的高为，球的半径为
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系
（其中， 分别为棱台的上、下底面面积， 为棱台的高）
常用结论
1.（1）斜二测画法的“三变”与“三不变”
三变：①坐标轴的夹角改变；②与轴平行（或在轴上）的线段的
长度改变；③图形的形状改变.
三不变：①线段的平行关系不变；②与轴平行或重合的线段的长度
不变；③点的相对位置不变.
（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积
的关系如下:
,.
2.几何体的体积计算常见方法
（1）补形法
将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.
如图：将三棱锥补成三棱柱或平行六面体
将三棱柱补成平行六面体
将台体补成锥体
（2）分割法
如图，将三棱柱分割成三个三棱锥.
（3）比例转化法:若,则 ，
如图.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）用斜二测画法画与直角坐标系对应的坐标系 时，
必须是 .( )
×
[解析] 用斜二测画法画与直角坐标系对应的坐标系 时，
是 或 ，故错误.
（2）棱长都是3的三棱锥的表面积为 .( )
√
[解析] 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，且正三角形的边长均为3，所以三棱锥的表面积 ，故正确.
（3）若两个柱体的体积相等，则它们的表面积相等.( )
×
[解析] 记一个圆柱的底面半径为2，高为9，体积为，表面积为 ，另一个圆柱的底面半径为3，高为4，体积为，表面积为 ，
则 ， ，即 ，
但 , ，即 ，故错误.
（4）如图，表示水平放置的 根据斜二测画法得到
的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则
. ( )
×
[解析] 还原，如图所示，
直观图中的点 ，，分别对应原图中的点，， ，
直观图中的轴、轴分别对应原图中的轴、 轴，
且，， .
因为，所以 ，则，
又，所以 ，故错误.
题组二 教材改编
1.已知圆柱的底面半径为，体积为 ，则该圆柱的表面积
为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱的高为,因为圆柱的底面半径为 ,体积为,
所以圆柱的底面周长为 ,体积 ,
解得 ，
所以圆柱的表面积为 ，
故选D.
√
2.已知正四棱锥的底面边长为2，高为 ，则它的侧面积为___.
8
[解析] 如图，在正四棱锥 中，，
取的中点，连接,， ，
易知， ，
因为正四棱锥的底面边长为2，高为，所以 ，
则 ，
所以正四棱锥的侧面积 .
3.圆锥的底面圆的半径，侧面展开图的面积为 ，则此
圆锥的体积为_ _____.
[解析] 设圆锥的母线长为，高为，
圆锥的侧面展开图的面积 ，
，，
圆锥的体积 .
4.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳都是由
正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中
点截）.如果被截正方体的棱长是4单位： ，那么一
个石凳的体积是____ .
[解析] 正方体的体积为 ，正方体截去的八个四面体是全等的
正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为 ，
则一个石凳的体积为 .
探究点一 基本立体图形
题型1 结构特征
例1 （多选题）[2025·山西大同期末]下列说法正确的是( )
A.一个多面体至少有4个面
B.圆柱的母线与它的轴可以不平行
C.用任意一个平面截球得到的截面都是圆面
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
√
√
[解析] 对于A，一个多面体至少有4个面，故A正确；
对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误；
对于C，用任意一个平面截球得到的截面都是圆面，故C正确；
对于D，如图所示，该几何体有两个面互相平行，其余各面都是
平行四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误.
故选 .
题型2 直观图
例2 （多选题）用斜二测画法画水平放置的 （如图①）的直
观图△A'B'C'（如图②），， ，则下列说法正确
的是( )
A. B.的面积为
C.边上的高为 D.边上的高为
√
√
√
[解析] 由题易知 ，所以A正确；
在题图①中，过点作轴，交 轴于点，
在题图②中，在线段上取一点 ,使,连接,
则易知轴， ，如图所示，
因为于点，所以为原图形中 边上的高，
则，解得 ，所以C正确；
在直观图中作于点，则 ，
解得，所以D错误；
，所以B正确.故选 .
题型3 展开图
例3 顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，, 是底
面圆周上的两点，为底面中心，且 ，则在圆锥侧面上
由点到点的最短路线长为_____．精确到
45.9
[解析] 由圆锥底面半径为， ，
得 ，如图，
在圆锥的侧面展开图中，，
所以在 中， ，
故在圆锥侧面上由点到点 的最短路线长为 .
总结反思
1.要充分理解柱体、锥体、台体、球体的结构特征,要注意点、线、
面间的位置关系,而且要掌握相应平面上的几何量之间的关系,比如正
四面体各个面都是全等的等边三角形,顶点在底面上的射影是底面的
中心,进而可求正四面体的高、外接球半径等与棱长的关系.
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时,首先要掌握其量和位置关系
的“三变”和“三不变”，最后要掌握斜二测画法下平面图形的直观图
与原图面积之间存在固定的比值关系: .
3.展开图是解决立体几何问题的一种方法,即解决有关空间距离
（长度）最短问题,应用展开图解决问题要具有一定的空间想象能力,
保证展开情况合理,做到不重不漏.#2.3
【对点演练1】（1）如图，四边形 表示水平放置的四边形
根据斜二测画法得到的直观图，， ，
，，则 ( )
A. B. C.6 D.
√
[解析] 还原四边形 ，如图所示，
依题意可得,,, , .
取的中点，连接 ，
则，且 ，
故 .
故选B.
（2）（多选题）在正方体中，下列说法正确的是( )
A.正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B.以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D.以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
√
√
√
[解析] 对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可以确定 （条）不同的线段，A正确；
对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上，以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有 （个），B正确；
对于C，任取4个正方体顶点，共有 （种）选法，其中四点共面的情况有12种，因此以正方体的顶点为顶点的三棱锥有 （个），C错误；
对于D，由选项C知，正方体四点共面的情况有12种，因此以正方体的顶点为顶点的四棱锥有（个），D正确.故选 .
（3）如图所示，在三棱柱 中，
平面，， ，
为的中点，是棱上的点，且 ，
则由沿棱柱侧面到 的最短路线长为_____.
[解析] 因为 ，所以.
将平面沿 所在直线展开,使其与平面 在同一平面上，
如图甲，此时.
将平面 沿所在直线展开，使其与平面 在同一平面上，
如图乙，此时，
因为 ，所以由沿棱柱侧面到的最短路线长为 .
探究点二 简单几何体的表面积与体积
题型1 表面积与侧面积
例4（1）[2025·山东临沂期末]如图是一个在圆柱顶部挖
去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的
底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为
，则其表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆柱的高为 ，则， 解得 ，
故所求表面积为.故选C.
（2）已知圆台 的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则
该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由圆台侧面积公式可得.
故选C.
√
题型2 体积
例5（1）[2026·江苏镇江质检]已知某圆锥的侧面积为 ，轴截
面面积为2，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为 ，
则解得
则该圆锥的体积.
故选D.
√
（2）[2025·广东揭阳期末]已知正三棱柱的棱长均为 ,
为的中点，则四面体 的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示， 正三棱柱 的棱长均为 ，
底面是边长为的正三角形，侧面 是边长为的正方形，
则 .
故选A.
总结反思
1.空间几何体的侧面积与表面积
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.
（2）旋转体（除球外）的表面积是将其侧面展开后,侧面展开图的面
积与底面面积之和.
（3）组合体的表面积求解时要注意对衔接部分的处理.
2.空间几何体的体积
（1）常规几何体的体积可直接应用体积公式进行求解.
（2）非常规几何体可应用割补法、等体积法求解体积.
【对点演练2】（1）[2025·辽宁丹东期末]已知圆锥的母线长为2，底
面半径为1，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的母线长为，底面半径为，则, ，
所以圆锥的侧面积.
故选C.
√
（2）[2026·山东潍坊模拟]陀螺由同底的圆柱和圆锥两部分组成.已
知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺
的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 该陀螺的表面积包含底面圆的面积、圆柱的侧面积和圆锥的
侧面积，
因为圆柱的底面直径为16，所以底面圆的半径为8，
则底面圆的面积为 ，
因为圆柱的高为6，所以圆柱的侧面积为 ，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，得圆锥母线长为，
所以圆锥的侧面积为 ，
所以该陀螺的表面积为 ，故选A.
（3）如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入
的水，水面高度恰好为棱台高度的 ，
且， ，则这个容器的容
积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设水面的高度为，由题得水面是边长为 的正方形，
则，解得 ，
故该容器的高为 ，
则容器的容积 ，故选A.
√
【备选理由】例1旨在补充不规则几何体体积的计算，培养学生的空
间想象能力.
例1（1）［配合探究点二使用］[2026·重庆八中期末]已知三棱柱
的体积为1，，分别是棱，的中点，则以 ，
，，，， 为顶点的五面体的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设三棱柱的高为，体积.
延长与 的延长线交于点，延长与的延长线交于点，
由 , ，得是的中点，
同理是的中点，所以, 重合，
所以几何体 为三棱台，如图，
易知三棱台 的高等于
三棱柱 的高，
则 .
故选A.
（2）已知正方体的体积为 ，则四棱锥
与四棱锥 重叠部分的体积是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设与交于点，与 交于点 ，
由图易知四棱锥与四棱锥 重叠的部分为
五面体 ，
由正方体的性质知，分别为，的中点.
由正方体的体积为 ，得，
解得 ，
则， ，
则.
取，的中点，分别记为，，连接 ，，，
易知， ，
所以五面体由三棱柱 和四棱锥 组成，
故五面体 的体积 .
故选D.
例2（1）［配合探究点二使用］[2025·吉林长春期末]若一个三棱锥
中有一条棱的长为，其余棱的长均为1，则其体积取得最大值时 的
值为( )
A.3 B. C. D.1
√
【备选理由】例2与三角函数及基本不等式结合，考查常见空间几
何体体积或表面积的最值问题，加强知识之间的联系.
[解析] 如图，设，其余各棱的长为1，
取 ,的中点，分别记为,，连接,, ，
因为,, ，
所以，所以，则 ，
因为，，所以，，
又 ，且, 平面，所以 平面 .
可得，
，
所以 ，
则三棱锥 的体积 ，
因为，当且仅当 ，
即时取等号，
所以三棱锥 的体积最大时的值为 .
故选B.
（2）[2026·湖南长沙期中] 若正四棱锥的体积 ，则正四棱锥
的表面积的最小值为___.
4
[解析] 如图，设正四棱锥的底面中心为，
线段 的中点为，连接,, ，
设,，则 ， ，
由正四棱锥的体积，得，则 ，
因此正四棱锥的表面积 ，
则 ，
当且仅当 ，即时取等号，
所以 ，所以正四棱锥的表面积的最小值为4.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·浙江金华十校联考]以边长为1的正方形的一条边所在直线为
轴旋转一周，得到的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 以边长为1的正方形的一条边所在直线为轴旋转一周，
得到的几何体是底面半径为1，高为1的圆柱，
其体积.
故选B.
√
2.若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积
为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，
所以圆锥的底面半径，高 ，
所以圆锥的体积.
故选A.
√
3.用斜二测画法画出 的直观图△A'B'C'，如图所示，其中
，，那么 是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
√
[解析] 根据斜二测画法画出 ，如图所示，
由题得， ，则，
故 为等边三角形，故选A.
4.[2025·广东茂名一中期中]一几何体形状如图所
示，底面是边长为4的正方形， ,
,, 均为正三角形，且它们所在
的平面都与平面 垂直，则该几何体的体积
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 把该几何体补形为长方体 ，
如图，由题得 ，
，
所以该几何体的体积为 ，
故选C.
5.[2026·江苏如皋中学期中]若圆柱的侧面展开图的周长为4，则该圆
柱体积的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱的母线长为，底面半径为，
则 ，圆柱的体积，其中 ，
故，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故选A.
√
6.已知圆锥的轴截面是正三角形，其内接圆柱的下底面在圆锥底面内，
上底面圆在圆锥的侧面上，若圆柱与圆锥的侧面积的比值为 ，则
此圆柱与圆锥的体积的比值为( )
A. B.或 C.或 D.或
√
[解析] 设圆柱的底面半径为，高为 ，圆锥的底面半径为 ，
由圆锥的轴截面是正三角形，可得圆锥的高为，如图，
由，可得 ，即，
所以 ，
由题得 ，
即，解得或 .
又 ，
所以当时，；
当 时， .
故选C.
7.在三棱锥中，已知， ，
，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 三棱锥 可放置在如图所示的长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为,,，
则 可得
则三棱锥 的体积为 .
故选A.
8.已知圆锥的母线长为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，
绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为 ，则此圆
锥的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆锥的顶点为，记 是底面圆周上的
一点，作出圆锥侧面展开图，如图所示，
因为质点从圆锥的底面圆周上一点出发，
绕着圆锥侧面运动一周,再回到出发点的最短距离为，
所以 ，
又因为，所以，所以 .
设圆锥底面半径为，高为，则，解得 ，
所以 ，
所以圆锥的体积 .故选A.
9.（多选题）[2026·山西晋城模拟]已知圆锥的顶点为， 为底面直
径， 是面积为1的直角三角形，则( )
A.该圆锥的母线长为
B.该圆锥的体积为
C.该圆锥的侧面积为
D.该圆锥的侧面展开图的圆心角为
√
√
√
[解析] 设该圆锥的母线长为，因为 是面积为1的直角三角形，
所以，解得，故A正确；
设该圆锥的底面圆心为 ，连接，
在中，，所以 ，则圆锥的高，
所以该圆锥的体积 ，故B正确；
该圆锥的侧面积为 ，故C错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，则，
所以 ，故D正确.
故选 .
10.已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过
侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为
_ ____.
[解析] 如图，延长三棱台 的侧棱交于一点，
可以得到正三棱锥 ，
设三棱台的上底面边长为，则下底面边长为 ，
由题得，解得，
则正三棱锥 的侧棱长为4，过点作 平面 ，
交平面于点，记的中点为，连接 ，
则，
故三棱锥 的高 ，
所以三棱台的体积 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2025·山东日照联考]降水量是指降落在水平面上单位面积的水层
深度（单位： ）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某
学生用上口直径为，底面直径为，母线长为 的
圆台形水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此
桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的 ，则本次降雨的日降水
量是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示,, ,,
过点作于点,, 分别为下底面与上底面的圆心,连接 ,
设,的中点分别为,,连接 ,分别交,于点,,
作出以线段 为直径,且平行于底面的圆.
则，， ，
则桶的深度 ，
故雨水的 高度，易知 ，
故 ，
则雨水的体积 ，
圆台形水桶的上口直径为 ，
面积为 ，
故本次降雨的日降水量是，
故为 .
12.（多选题）如图,已知正方体 的
棱长为2，，分别为，的中点，为棱
上靠近 的三等分点，则下列结论正确的有( )
A.沿正方体表面从到的最短距离为
B.若为内的一动点，则的最小值为
C.若为线段上的动点，则到底面的距离与它到点 的距
离之和的最小值为
D.若是直线上的动点，则的最大值为
√
√
√
[解析] 对于A，将正方体的面沿 展开，
使其与面 在同一平面内，
此时 ，故A错误；
对于B，连接，如图，易知 平面，
且 到平面的距离为，
所以关于平面的对称点为线段 上靠近的三等分点，
连接 ，，则，
所以 ，，
当且仅当 为与平面 的交点时取等号，故B正确；
对于C，设关于直线的对称点为， 到
平面的距离显然等于到直线的距离 ，
设，垂足为 ，
那么，
当且仅当为 与的交点时取等号，
，
故C正确；
对于D，连接，显然 ，
所以 ，
当且仅当为直线与直线 的交点时取等号，故D正确.
故选 .
13.[2026·重庆八中期末] 已知三棱锥 如图所
示，,,两两垂直，且 ，点
,分别是棱,的中点，点是棱上靠近点
的三等分点，则空间几何体 的体积为___.
[解析] 过点作，交于点 ，
因为，，，， 平面，
所以平面,所以平面 ,且,因此,
因为， 分别为，的中点，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
14.如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些
水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不
同，有下面五个结论：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面 所在四边形的面积为定值；
（4）棱 始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图③所示时， 是定值.
其中所有正确结论的序号是_____________.
[解析] 因为平面平面 ,所以有水的部分和无水的部分
始终有两个面平行,易知其余各面都是平行四边形,故（1）,（2）正确；
在题图①中,水面面积 ,
在题图③中,水面面积,
易知题图①中的 小于题图③中的,所以 ,故（3）错误；
因为棱始终与平行， 与水面始终平行，故（4）正确；
因为水的体积是不变的，形成柱体的高始终是 ，也不变，
所以的面积也不变，即 是定值，所以（5）正确.
故填 .
【知识聚焦】
1.（1）平行 全等 平行 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形
（2）垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环
2.（1） 或 （2）平行于坐标轴 不变 原来的一半
3. 4.
【课前演练】题组一 （1）× （2）√ （3）× （4）×
题组二 1.D 2.8 3. 4.
课堂考点探究
例1 AC 例2 ABC 例3 45.9 对点演练1（1）B （2）ABD （3）
例4（1）C （2）C 例5（1）D （2）A 对点演练2（1）C （2）A （3）A
教师备用习题
例1（1）A （2）D 例2（1）B （2）4
夯实基础
1.B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.A 8.A
9.ABD 10.
综合提升
11.A 12.BCD 13. 14.第七单元　立体几何
知识网络
第36讲　空间几何体
第1课时　空间几何体
【备选理由】 例1 旨在补充不规则几何体体积的计算,培养学生的空间想象能力; 例2 与三角函数及基本不等式结合,考查常见空间几何体体积或表面积的最值问题,加强知识之间的联系.
1 (1)[配合探究点二使用] [2026·重庆八中期末] 已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1,E,F分别是棱BC,CA的中点,则以A,B,B1,A1,E,F为顶点的五面体的体积为 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为16,则四棱锥A1-ABCD与四棱锥B1-ABCD重叠部分的体积是 ( D )
A. B.2
C. D.
[解析] (1)设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,体积V=1.延长A1F与C1C的延长线交于点G,延长B1E与C1C的延长线交于点G',由CF∥A1C1,CF=A1C1,
得C是C1G的中点,同理C是C1G'的中点,所以G,G'重合,所以几何体FEC-A1B1C1为三棱台,如图,
易知三棱台FEC-A1B1C1的高等于三棱柱ABC-A1B1C1的高h,则=-=V-h·(S△FCE++)=V-h·=V-h·S△ABC=V-V=V=.故选A.
(2)如图,设A1B与AB1交于点E,A1C与B1D交于点E1,
由图易知四棱锥A1-ABCD与四棱锥B1-ABCD重叠的部分为五面体ABE-DCE1,由正方体的性质知E,E1分别为A1B,A1C的中点.由正方体的体积为16,得AB3=16,解得AB=2,则EE1=BC=,AE=BE=AB=2,则S△ABE=AE·BE=2.取AD,BC的中点,分别记为G,F,连接GE1,E1F,GF,易知GE1∥AE,E1F∥BE,所以五面体ABE-DCE1由三棱柱ABE-GFE1和四棱锥E1-GFCD组成,
故五面体ABE-DCE1的体积=BC·S△ABE+×AA1×S四边形ABCD=2+=.故选D.
2 (1)[配合探究点二使用] [2025·吉林长春期末] 若一个三棱锥中有一条棱的长为a,其余棱的长均为1,则其体积取得最大值时a的值为 ( B )
A.3 B.
C. D.1
(2)[2026·湖南长沙期中] 若正四棱锥的体积V=,则正四棱锥的表面积的最小值为　4　.
[解析] (1)如图,设PC=a,其余各棱的长为1,取AB,PC的中点,分别记为D,E,连接AE,BE,DE,
因为BC=AC,BP=AP,PC=PC,所以△APC≌△BPC,所以AE=BE,则DE⊥AB,因为AP=AC,BP=BC,所以AE⊥PC,BE⊥PC,又AE∩BE=E,且AE,BE 平面ABE,所以PC⊥平面ABE.可得AE=BE==,DE==,所以S△ABE=AB·DE=××1=,则三棱锥P-ABC的体积V=S△ABE·PC=××a=,因为≤=,当且仅当a=,即a=时取等号,所以三棱锥P-ABC的体积最大时a的值为.故选B.
(2)如图,设正四棱锥P-ABCD的底面中心为O,线段BC的中点为E,连接PO,PE,OE,
设AB=2a,∠PEO=θ,则PO=atan θ,PE=,
由正四棱锥的体积V=,得(2a)2·atan θ=,则a3=,
因此正四棱锥的表面积S=(2a)2+4××2a·=4a2,
则S3=64=64·===≥=64,
当且仅当1-cos θ=2cos θ,即cos θ=时取等号,所以S≥4,
所以正四棱锥的表面积的最小值为4.

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