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(共77张PPT)
第36讲 空间几何体
第2课时 与球有关的切接问题
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
◆ 知识聚焦 ◆
1.多面体的内切球与外接球的常用结论：
（1）设正方体的棱长为,则它的内切球的半径 ,外接球的半径
.
（2）设长方体的长、宽、高分别为,, ,则它的外接球的半径
.
结论：可以割补成长方体的几何体：①对棱相等的四面体；②含有
两两相互垂直的棱的三棱锥或侧棱与底面垂直，且底面是矩形的四
棱锥.可以借助长方体的外接球求其外接球相关的问题.
（3）设正四面体的棱长为,则它的高为,内切球的半径 ,
外接球的半径 .
2.球的有关性质
（1）过球心的平面截球面所得的圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等.
（2）经过小圆的直径且与小圆所在的平面垂直的平面必过球心,该平
面截球面所得的圆是大圆.
（3）过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的
垂径定理）.#2.3
（4）球心在小圆所在的平面上的射影是小圆的圆心.
（5）在同一球中,分别过两相交圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线
相交,交点是球心（类比：在同一个圆中,两相交弦的中垂线的交点是
圆心）.#2.5
3.外接球的有关结论与方法
（1）结论：
结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对
角线的中点是外接球的球心.
结论2：长方体的外接球的直径就是以一条面对角线及与其所在面垂
直的一条棱为两条直角边构成的直角三角形的外接圆直径.换言之,以
长方体底面的一条对角线与一条高线为两条直角边构成的直角三角
形的外接圆是该长方体外接球的大圆.#3.1.2
结论3：圆柱的外接球的球心在以上、下两底面圆的圆心为端点的线
段的中点处.
结论4：圆柱轴截面（矩形）的外接圆是圆柱外接球的大圆,该矩形的
对角线（外接圆直径）是外接球的直径.
结论5：直棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球.
结论6：圆锥的外接球的球心在圆锥的高所在的直线上.
结论7：圆锥轴截面（等腰三角形）的外接圆是圆锥外接球的大圆,该
三角形的外接圆的直径是外接球的直径.
结论8：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.#3.1.8
（2）基本方法：
勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）.
4.内切球的有关结论与方法
（1）结论：
结论1：若球与平面相切,则切点与球心的连线与切面垂直（类比：圆
与直线相切）.
结论2：内切球的球心到多面体各面的距离均相等,外接球的球心到多
面体各顶点的距离均相等（类比：多边形的内切圆与外接圆）.
结论3：正多面体的内切球和外接球的球心重合.
结论4：正棱锥的内切球和外接球的球心都在棱锥的高所在的直线上,
但两者不一定重合.
（2）基本方法：
①构造三角形利用相似比和勾股定理;
②等体积法（体积分割）.
探究点一 外接球
题型1 定义法
例1 [2026·湖北武汉模拟]已知矩形的长为4，宽为3，将
沿对角线所在直线翻折，得到三棱锥 ，则三棱锥
的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在矩形中，连接,与相交于点，
则点为, 的中点，所以，
所以点 为三棱锥的外接球的球心，
则三棱锥 的外接球的体积为 .故选A.
题型2 补形法
例2 在三棱锥中， 平面， ，
，，则三棱锥 外接球的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，，且
平面，所以可将三棱锥 补形为长方体，如图，
则长方体的体对角线即为三棱锥 的外接
球的直径，
因为 ,
所以三棱锥的外接球的半径，
故三棱锥 外接球的体积 .故选A.
题型3 借助三角形外心确定球心位置
例3 [2025·广东湛江期末]在三棱锥中， ，其他棱
长都是，则三棱锥 外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，取棱的中点，连接, ，
则,，且 ，
设外接圆的圆心为，三棱锥 外接球
的球心为，连接,,，作 ， 垂足为，
易知为 的外心.
√
由题意得,, .
因为 ，所以，所以.
又 ，,， 平面，
所以 平面，则, .
设三棱锥外接球的半径为 ，
则 ，
即，解得 ，
故三棱锥外接球的表面积是 .
故选D.
总结反思
1.外接球球心到几何体顶点的距离都等于球的半径，所以常借助直角
三角形斜边的中点到直角顶点的距离为斜边的一半，三角形的外心
到各顶点的距离相等去找球心的位置.
2.对棱相等，侧棱两两相互垂直的三棱锥一般可以补成长方体，借助
长方体求解相应三棱锥外接球的半径；侧棱与底面垂直的锥体，可
以补成直三棱柱，借助相应的直三棱柱求解相应几何体外接球的半径.
3.一般几何体找球心的方法：若点，，是球面上的三点,点 是
的外心,则球心在过且与平面 垂直的直线上.
【对点演练1】（1）已知直三棱柱中，底面 是等
腰直角三角形， ，， ，若该直
三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，， ，分别取
,的中点,，连接 ，
则点,分别是, 的外心，
故直三棱柱的外接球球心为的中点，
连接 ，则， ，
故直三棱柱 的外接球半径，
则该球体积为 .故选B.
（2）在三棱锥中，， ，
，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将三棱锥补成长方体，则三棱锥 的外接球即为长方
体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为,,，则
可得 ，
所以长方体的外接球半径，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .故选D.
（3）[2025·浙江衢州期末]在三棱锥中， ,
， 平面，且，则三棱锥 的外
接球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设外接圆的半径为 ，根据正弦定理可得
，解得 .
因为 平面 ，所以三棱锥外接球的球心到平面的
距离 ，
所以外接球的半径 ，
所以三棱锥的外接球的表面积 .
故选C.
探究点二 内切球
例4 已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，
下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 作出圆台及其内切球的轴截面，如图，
记球的半径为，上、下底面圆圆心分别为 ,
，连接，取的中点，则 ，
作，则易知, ，
则，
又 ，所以,，
由 ，得，
所以球的表面积 .故选D.
总结反思
并不是所有的几何体都有内切球，具有内切球的几何体往往具有很好
的对称性，可借助其轴截面，转化为平面图形的内切圆问题来解决.
【对点演练2】 [2026·湖南长沙一中调研]某圆锥的侧面展开图是一
个半径为，圆心角为 的扇形，则该圆锥的内切球的体积为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆锥的底面半径为，高为 ，
则由题意可得，解得 ，
所以 ，
设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示，
其中 为内切球的球心，为圆锥底面的圆心， 为切点，
则，则，即 ，解得 ，
所以该圆锥的内切球的体积 ，故选A.
探究点三 棱切球
例5 从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为, ,
，，，，若，则球 的表面积
为_____.
[解析] 易知，如图，连接， ，，
因为，， ，
所以，，即 ，
可知，所以为直角三角形，其外心为 的中点，
又因为，所以点在平面内的投影为 的外心，
连接，即 平面，所以必在 的延长线上，
连接，由题知，则，且 ，
即，可得，
则，所以球 的表面积为 .
总结反思
解决棱切球（与棱相切的球，又称“切棱球”）问题的核心是找到球
心到任意一条棱的距离，该距离即为球的半径，关键在于利用几何
图形的对称性.
【对点演练3】 把一个皮球放入如图所示的由8根长均为 的铁
丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点
（皮球不变形），则皮球的半径为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，交于点，连接 ，
由题知 平面，因为 平面 ，
所以 ，
因为 ，
，
所以，到,,, 的距离都
是，
在等腰直角三角形中，到 的距离为，
同理可得到,, 的距离也是10，
所以 是皮球的球心，且皮球的半径为 .故选B.
【备选理由】例1考查与外接球有关的最值问题；
例1 ［配合探究点一使用］
（1）[2026·重庆西南大学附属中学质检]已知正三棱锥的高为 ，且
各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大
值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 示意图如图，设为底面三角形 的中心，
连接，
则为正三棱锥 的高，且.
设外接球的球心为，外接球半径为 ，连接， .
由题意得，，解得，
该三棱锥为正三棱锥， ,
，
.
令，则 ，
由 ，可得或（舍去），
则当，时，，当 ，时，
，
在， 上单调递增，在， 上单调递减，
， 三棱锥体积的最大值为 .故选B.
（2）四棱锥 的所有顶点都在同一个球面上，
，， ，则其外接球
的表面积为_____；过的中点作直线与球 相交的最短弦的长为
___.
6
[解析] 如图，记四边形的外接圆的圆心为，
连接 ，因为 ，
所以 平面 .
记四棱锥的外接球的球心为，连接，
则 平面 ，
所以四棱锥的外接球的球心在直线 上，
设 ，易知四边形的外接圆就是 的
外接圆，设外接圆的半径为 ，
因为， ，
所以 为等边三角形，
由正弦定理得，故 .
连接，因为 平面， 平面，所以 ，
所以 ， ，
又,，所以 ，
因为球心在线段 的垂直平分线上，所以
，
所以四棱锥的外接球的半径 ，表面积
为 .
设的中点为，连接，，易知，， 三点共线，
因为为等边三角形， ，所以，
又 ，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以 ，
所以
，
所以过的中点与球 相交的最短弦的长为
.
【备选理由】例2补充特殊的内切球问题；
例2 ［配合探究点二使用］[2026·山西运城期末]有一个圆锥形封闭
容器，其轴截面是边长为 的正三角形，向容器内放入一个半径
为2的小球后，再放入一个球，则球 的表面积与容器表面积
之比的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 边长为的正三角形的内切圆半径 ，
所以该圆锥的内切球半径为2，所以球 是圆锥的内切球.
要使球 的表面积与容器表面积之比最大，需使球
的半径最大，所以球与球 、圆锥都相切，
其轴截面如图所示，
可得，
所以球 的表面积为，
又圆锥表面积为 ，所以球 的表面积与
容器表面积之比的最大值为 .故选A.
【备选理由】例3考查特殊几何体的棱切球.
例3 ［配合探究点三使用］（多选题）我们把所有棱的长都相等的
正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的球称
为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1，则下列说法中
正确的有( )
A.正方体的棱切球的半径为
B.正四面体的棱切球的表面积为
C.等长正六棱柱的棱切球的体积为
D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面
积之和为
√
√
√
[解析] 正方体的棱切球的直径为正方体的面对角
线长，所以正方体的棱切球的半径为面对角线长
的一半，即为 ，选项A错误；
如图①，四面体是棱长为1的正四面体，
把正四面体 放到正方体中，则正方体的棱长
即为正四面体的棱切球的直径，
所以正四面体的棱切球的半径为，所以正四面体的棱切球的表面积
为 ，选项B正确；
如图②，等长正六棱柱的棱切球的直径等于 ，
即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球
的体积为 ，选项C正确；
由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆，
则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ，
每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即 ，
所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为 ，
所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为
，选项D正确.故选 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·广东深圳期末]在四棱锥中， 平面 ，底
面为正方形，，则四棱锥 的外接球的表
面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，将四棱锥 补成正方体，易知
正方体的体对角线长为 ，
则四棱锥的外接球为正方体的外接球，
外接球半径为 ，
所以四棱锥的外接球的表面积为 .
故选A.
2.已知某圆柱的高为 ，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在
以为球心的球面上，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为圆柱的上、下底面圆周均在以 为球心的球面上，
所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，且 与底面圆心的
连线垂直于底面.
因为圆柱的底面半径,高 ,所以球心到底面的距离 ，
因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径，
所以由勾股定理得，则球 的表面积 .
故选C.
√
3.在直三棱柱中，, ,
，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 在中， ，
即，则外接圆的半径 ，
则直三棱柱外接球的半径为 ，
则外接球的表面积为 .故选B.
√
4.[2026·广东广州模拟]某圆锥的高是底面半径的 倍，此圆锥的内
切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的
表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，设为圆锥顶点， 为圆锥底面的一
条直径，为底面圆心，为内切球球心，球与
切于点，
设圆锥底面半径为，则圆锥的高 ，
√
设圆锥母线长为 ， 由勾股定理可得
.
因为圆锥的内切球半径为1，所以轴截面三角形 的
面积为，解得 ，
则圆锥的高，母线 ，三角形 为等边三角形，
易知圆锥外接球的球心与内切球的球心重合，设外接球半径为 ，
则 ，所以该圆锥外接球的表面积 .
故选B.
5.棱长为2的正四面体的表面上（不含顶点）有动点 ，满足
，则点 的轨迹总长度为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，取,,,,依次为棱,, ,
，的中点，连接，，， ，
因为，所以的轨迹是以为球心，
为直径的球与正四面体各面的交线，
则点 的轨迹由面内的弧，面内的弧，面内的弧 ，
面内的弧构成.
√
弧与弧 的长度相等，因为，，
所以弧 的长度等于；
弧与弧的长度相等，取的中点为 ，连接，
设,在面内的射影分别为点, ，连接，,
易知弧所在圆的圆心为，且为 上靠近点的三等分点，
为弧的中点且为 上靠近点的三等分点，
故，且 ，所以弧的长度等于.
故点 的轨迹总长度为 .故选A.
6.如图①，在平行四边形中，，.沿
所在直线将折起，使点到达点 的位置，得到三棱锥
，如图②，若，则三棱锥 外接球的表面积为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 在 中，，
又 ，，所以，
所以 .
同理可得.
取的中点，连接， ，如图，
则，
所以为三棱锥 外接球的球心，为半径，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .故选C.
7.[2026·吉林通化质检]已知三棱锥的外接球半径为 ，且
外接圆的面积为 ，若三棱锥 体积的最大值为
，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，设的外接圆圆心为,球心为,
连接 ,,,.
设的外接圆半径为，由 ，得 .
下面简单说明圆内接三角形为等边三角形时，面积最大.
√
当边 确定时，要使三角形面积最大，需要点到边的距离最大，
此时 .
同理，当 确定时，要使三角形面积最大，需满足.
所以当为等边三角形时， 的面积最大，此时，
即，所以 的最大面积为.
当三棱锥 的高时，三棱锥的体积最大，
此时 ，
由，可得 ，
所以三棱锥外接球的体积为 .故选D.
8.[2026·河北衡水调研] 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，
侧面积为 ，则圆台的体积为_____；若该圆台的上、下底面圆周
均在球的球面上，则球 的表面积为______.
[解析] 设圆台的母线长为，由题意知 ，解得 ，
又圆台的高 ，所以圆台的体积
.
设球的半径为 ，由，易知球心不在圆台的上、下底面
之间，设球心 到圆台下底面的距离为，则，
解得 ，则，
故球的表面积为 .
9.在三棱锥中， 平面， ，
， ，则该三棱锥外接球的表面积为_____.
[解析] 在中，， ，由余弦定理可
得 .
设 的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，
半径为 ，连接，，，
在 中，由正弦定理可得 ，
解得.
因为 平面 ， 平面，且球心到点,的距离相等，
所以球心 到底面的距离 .
在中， ，
故该三棱锥外接球的表面积为 .
10.如图，三棱锥中， 平面， ，
，球的球心在平面 内，且与三个侧面都相
切，则球 的半径为_ ______.
[解析] 因为 平面， 平面 ，
所以,
又 ，即 ，,
, 平面,所以 平面 ，
因为 平面,所以 .
因为 平面， ， ，
所以, ，
则， ,
, ，
故三棱锥的侧面积为，底面积为18，
设球 的半径为 ，则 ，
则 .
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）已知棱长为1的正方体 的棱切球
（与正方体的各条棱都相切）为球，点 为球面上的动点，则下列
说法正确的是( )
A.球的表面积为
B.球在正方体外部的体积大于
C.球内接圆柱的侧面积的最大值为
D.若点 在正方体外部（含正方体表面）运动，则
√
√
√
[解析] 如图所示.对于A，正方体的棱切球球的半径
，则球 的表面积为 ，故A正确；
对于B，设球、正方体的体积分别为,，则球 在正方体
外部的体积 ，故B正确；
对于C，球的半径，设圆柱的高为 ， ,
则圆柱底面圆半径 ，
所以圆柱的侧面积 ，
当时取得最大值，且最大值为 ，故C错误；
对于D，取的中点，可知 在球面上，可得
，
所以
，
因为点在球 上且在正方体外部（含正方体表面）运动，
所以（当为直径时， ），
所以.故D正确.故选 .
12.如图，直三棱柱 的侧棱长为2，
,，点在上底面
（包含边界）上运动，若三棱锥 外接球的
表面积为 ，则动点 的轨迹的长度为_____.
[解析] 由 为等腰直角三角形，，
得的外接圆的圆心为 的中点，且，
设的中点为，连接 （如图），
则， 平面 ，
设三棱锥外接球的球心为 ，外接球的半径
为，由 ，得 ，
由球的性质得球心在上，连接，，，
设 ,，于是 ，
解得，又，解得 ，
而点到等腰直角三角形 的两直角边的距离都是，
所以动点的轨迹是以为圆心， 为半径的半圆弧，
所以动点的轨迹长度为 .
13. 已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的
正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为 ，
底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为 ，则
其内切球的表面积为_ ________.
[解析] 设上面正四棱锥为 ，下面正四棱锥为
，底面是边长为2的正方形，连接 ,,
设，连接，则过点 ，如图，
易知， ，
在中， ，根据勾股定理得
，
，
正四棱锥 的侧面积
.
在 中，， ，
根据勾股定理得 ，
，
正四棱锥 的侧面积 .
组合体的体积
，
组合体的表面积 .
设组合体的内切球半径为，
利用可得 ，，
组合体内切球的表面积 .
14.某个圆锥形容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为
的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥形容器内壁
的总面积为____.
[解析] 设小球的半径为，则小球的表面积为，
可得.
在圆锥形容器侧面内壁，小球接触到的区域围成一个
圆台的侧面，如图①中阴影部分所示.
如图②，设圆锥的轴截面为等边三角形，小球与，
两边相切时，球心位置为，切点分别为，，当小
球与， 相切时，球心位置为，切点分别为，，
当小球与， 相切时，球心位置为，切点分别为，
，连接，，，，， .
由题意得, ，
所以，
又 ,都是等边三角形，
所以, ，
所以圆台的上、下底面圆的半径分别为
, ，母线长 ，
因此圆台的侧面积为 .
在圆锥形容器底面内壁，小球接触到的区域是一个圆，圆的半径为
，所以圆的面积为 .
所以在圆锥形容器内壁上，小球能接触到的区域的总面积为
.
课堂考点探究
例1 A 例2 A 例3 D
【对点演练1】（1）B （2）D （3）C
例4 D 【对点演练2】A
例5 【对点演练3】B
教师备用习题
例1（1）B （2） 6 例2 A 例3 BCD
夯实基础
1.A 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.D
8. 9. 10.
综合提升
11.ABD 12. 13. 14.第2课时　与球有关的切接问题
【备选理由】 例1考查与外接球有关的最值问题; 例2补充特殊的内切球问题;例3考查特殊几何体的棱切球.
1 [配合探究点一使用] (1)[2026·重庆西南大学附属中学质检] 已知正三棱锥的高为h,且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π ,则三棱锥体积的最大值是 ( B )
A. B.
C. D.
(2)四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一个球面上,AB=AD=6,∠BAD=,PA=PB=PC=PD=4,则其外接球的表面积为　64π　;过BD的中点作直线与球O相交的最短弦的长为　6　.
[解析] (1)示意图如图,设H为底面三角形ABC的中心,连接PH,则PH为正三棱锥P-ABC的高,且PH=h.设外接球的球心为O,外接球半径为R,连接OC,HC.
由题意得,V球=πR3=,解得R=2,∵该三棱锥为正三棱锥,∴HC=×BC,∴BC=HC=·=·=· ,∴VP-ABC=××BC2·h=(-h3+4h2)(00,当x∈时,f'(h)<0,∴f(h)在上单调递增,在上单调递减, ∴f(h)max=f= ,∴三棱锥体积的最大值为×=.故选B.
(2)如图,记四边形ABCD的外接圆的圆心为O1,连接PO1,因为PA=PB=PC=PD=4,
所以PO1⊥平面ABCD.
记四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O,连接OO1,则OO1⊥平面ABCD,
所以四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在直线PO1上,
设OO1=x,
易知四边形ABCD的外接圆就是△ABD的外接圆,设外接圆的半径为r,
因为AB=AD=6,∠BAD=,
所以△ABD为等边三角形,由正弦定理得2r==4,故r=2.
连接AO1,因为PO1⊥平面ABCD,AO1 平面ABCD,所以PO1⊥AO1,
所以PO1==2,sin∠APO1===,
又∠APO1∈,所以∠APO1=,
因为球心O在线段PA的垂直平分线上,所以OP==4,
所以四棱锥P-ABCD的外接球的半径R=4,表面积为4×π×42=64π.
设BD的中点为E,连接O1E,OE,易知A,E,O1三点共线,因为△ABD为等边三角形,AB=6,所以AE=3,又O1A=r=2,
所以O1E=AE-AO1=.
因为OO1⊥平面ABCD,O1E 平面ABCD,
所以OO1⊥O1E,所以OE====,
所以过BD的中点与球O相交的最短弦的长为2=2=6.
2 [配合探究点二使用] [2026·山西运城期末] 有一个圆锥形封闭容器,其轴截面是边长为4的正三角形,向容器内放入一个半径为2的小球O1后,再放入一个球O2,则球O2的表面积与容器表面积之比的最大值为 ( A )
A. B.
C. D.
[解析] 边长为4的正三角形的内切圆半径r1=×4×=2,所以该圆锥的内切球半径为2,所以球O1是圆锥的内切球.
要使球O2的表面积与容器表面积之比最大,需使球O2的半径r2最大,所以球O2与球O1、圆锥都相切,其轴截面如图所示,可得r2=×=,所以球O2的表面积为4π=,又圆锥表面积为12π+4×2π=36π,所以球O2的表面积与容器表面积之比的最大值为.故选A.
3 [配合探究点三使用] (多选题)我们把所有棱的长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”,而与其所有棱都相切的球称为棱切球,设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1,则下列说法中正确的有 ( BCD )
A.正方体的棱切球的半径为
B.正四面体的棱切球的表面积为
C.等长正六棱柱的棱切球的体积为
D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为
[解析] 正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线长,所以正方体的棱切球的半径为面对角线长的一半,即为,选项A错误;如图①,四面体ABCD是棱长为1的正四面体,把正四面体ABCD放到正方体中,则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径,所以正四面体的棱切球的半径为,所以正四面体的棱切球的表面积为,选项B正确;
如图②,等长正六棱柱的棱切球的直径等于AB,即直径为2,半径为1,所以等长正六棱柱的棱切球的体积为,选项C正确;
由棱切球的定义可知,棱切球被每一个面所截,截面为该面的内切圆,
则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为π×= ,
每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的,即,所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为4×π×=,所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为+=,选项D正确.故选BCD.

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