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第37讲 空间点、直线、平面之间的
位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,
抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解4个基本事实和1个定理.
◆ 知识聚焦 ◆
1.基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过_________ _______的三 个点,有且只 有一个平面 A,, 三点不共 线 存在唯一 的平面 ,使 , , 确定平面
的依据
不在一条
直线上
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实 2 如果一条 直线上的 ________ 在一个平 面内,那么 这条直线 在这个平 面内 ①确定直线在平面内的依据;②判定点在平面内的依据;
③判断一个面是否是平面的依据
两个点
续表
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实3 如果两个不重 合的平面有 ______公共 点,那么它们 有且只有 ____________ 的公共直线 ,且 ,且 ①确定两
平面相交
的依据;
②判定点
在直线上
的依据
一个
一条过该点
续表
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实4 平行于同一条 直线的两条直 线______ , 证明空间
中两条直
线平行
平行
续表
2.三个推论（确定平面的依据）
推论1：经过一条直线和____________一点,有且只有一个平面.
推论2：经过两条______直线,有且只有一个平面.
推论3：经过两条______直线,有且只有一个平面.
这条直线外
相交
平行
3.空间中直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
相交
平行
任何
（2）等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两
个角____________.
相等或互补
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与 平面 相交 ___个
平行 ___个
在平面内 ______个
1
0
无数
图形语言 符号语言 公共点
平面与 平面 平行 ___个
相交 ______个
0
无数
续表
常用结论
1.唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的判定定理
平面外一点和平面内一点 的连线与平面内不经过点
的直线是异面直线，如图.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两条直线没有公共点，则这两条直线平行.( )
×
[解析] 若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误.
（2）若点，，，共面，点，，，共面，则，， ，
， 共面.( )
×
[解析] 若点,,,共面,点,,,共面,则,, ,,可能不共面,
比如面与面相交于,, 所在直线,而, 均不在该直线上,
故错误.
（3）已知空间中两个角,,若, 的两边对应平行,且,
则.( )
×
[解析] 由等角定理得,,相等或互补,所以或,故错误.
（4）如图，在长方体 中，已
知点为棱的中点，且 ，，
，则直线与 所成的角为 .( )
×
[解析] 因为，异面直线所成角的取值范围是 ，
所以即为所求，易得 ，故错误.
题组二 教材改编
1.下列几何元素可以确定唯一平面的是( )
A.三个点 B.圆心和圆上两点
C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线
[解析] 对于A,三个不共线的点才能确定唯一平面,故A错误；
对于B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,故B错误；
对于C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,
故C正确；
对于D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,故D错误.
故选C.
√
2.已知，为异面直线， 平面 ， 平面 ， ，
则 ( )
A.与，都相交 B.与， 中至少一条相交
C.与，都不相交 D.至多与， 中的一条相交
[解析] 若与,都不相交,则, ,则,这与, 是异面直线矛盾,
如图①②,可以与, 中的一条相交,另一条不相交,
也可以与两条都相交,但不交于同一点.
综上，与, 中的至少一条相交.
故选B.
√
3.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形
是( )
A.六边形 B.正方形
C.对角线不相等的菱形 D.三角形
[解析] 过正方体中心的平面截正方体所得的截面，
至少与正方体的四个面相交，
所以不可能是三角形.
故选D.
√
4.若直线不平行于平面 ，且 ，则下列结论成立的是( )
A. 内的所有直线与 是异面直线
B. 内不存在与 平行的直线
C. 内存在唯一一条直线与 平行
D. 内的所有直线与 都相交
[解析] 设.对于A, 内过点的直线与 共面,所以A选项错误.
对于D, 内不过点的直线与 异面,所以D选项错误.
对于B,C,假设存在 ,,由于 , ,所以 ,
这与已知矛盾,假设不成立,所以B选项正确，C选项错误.
故选B.
√
探究点一 平面的基本事实与推论的应用
例1（1）[2026·湖南长沙期中]如图， ，
, ， ，且,, ，直线
，过,,三点的平面记作 ，则
与 的交线必经过( )
A.点 B.点
C.点但不过点 D.点和点
[解析] 直线，，
与 的交线必经过点和点 ，故选D.
√
（2）如图，在空间四边形中，, 分别
是,的中点，,分别在, 上，且
．
（i）求证：,,, 四点共面；
证明：在中，,分别为, 的中点， .
在中， ，， ，
,,, 四点共面.
（ii）设与交于点，求证：,, 三点
共线．
解： ，， ，
平面， 平面 ，
又平面 平面 ，
直线，,, 三点共线.
总结反思
1.证明点或线共面问题的常用方法:首先由所给条件中的部分线
（或点）确定一个平面,然后再证其余的线（或点）在这个平面内.
2.证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他
直线经过该点.
3.证明点共线问题的常用方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点
都在这条直线上.
【对点演练1】（1）[2025·四川成都质检]空间四点，，， 共面
但不共线，那么这四点中( )
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
[解析] 若，则，共面，
但，，， 任何三点都不共线，故排除A，C.
若直线与直线外一点在同一平面内，且 ，，三点在直线 上，
则可能有三点共线，故排除D.
故选B.
√
（2）[2026·广东广州模拟] 如图，矩形 和矩形
所在平面互相垂直，， ，
动点，分别在长方形对角线和 上移动，
且.当为何值时，
直线 与直线 相交？
解：连接，若直线与直线相交，
则， ，，四点共面，记为平面 ，
因为 ， ，所以 ，
显然 ，所以平面 平面，
因为 平面， ，所以，
又因为，所以，则为 的中点，
所以 ，
因此当时，直线与直线 相交.
探究点二 空间点、直线、平面的位置关系
题型1 空间点、直线、平面位置关系的判断
例2 已知直线平面 ，点 ，那么过点且平行于直线 的
直线( )
A.有且只有1条，且在平面 内 B.有且只有1条，不在平面 内
C.有无数条，不都在平面 内 D.有无数条，都在平面 内
√
[解析] 由题设知，故存在唯一的平面 ，使得 , ，
设，因为平面 ， ，所以，
而 ，故存在一条直线与平行，
假设还有另一条直线，则，
而 ,，矛盾，故假设不成立，
故过点且平行于直线 的直线有且只有1条，且在平面 内，
故选A.
题型2 空间直线位置关系的判断
例3 （多选题）[2025·四川绵阳期中]如图，在正方体
中，，分别为棱, 的中点，
则以下四个结论中正确的有( )
A.直线与是相交直线 B.直线与 是异面直线
C.与平行 D.直线与 共面
√
√
[解析] 对于A，,,三点在平面内，点 不在直线上，
点不在平面 内，可得直线与是异面直线，故A错误；
对于B，易知, , 三点在平面内,不在直线上,
点 不在平面内,可得直线与 是异面直线,故B正确；
对于C，取的中点，连接,，如图，
因为为 的中点,
所以,,
所以四边形 是平行四边形,
所以，，
则与 不平行，故C错误；
对于D，连接,,，因为，分别为棱, 的中点，
所以，由正方体的性质可知 ，所以，
则,,,四点共面，所以直线与 共面，故D正确.故选 .
总结反思
1.空间点、直线、平面位置关系的判断常用的方法:
（1）基本事实的应用，将实际问题与基本事实进行联系应用.
（2）应用长方体或其他简单几何体,将问题具体化.
（3）反证法，利用点、直线、平面位置关系种数的有限性，分情况
讨论确定.
2.异面直线的判定方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既不平行，也不相交的两条直线
结论 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点
的直线是异面直线
【对点演练2】（1）[2025·辽宁沈阳模拟]已知两个不同的平面 ,
和两条不同的直线,满足 , ，则“ , 平行”是“,
不相交”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当 时，平面 与平面 没有公共点，
若 , ，则直线, 没有公共点，
所以, 不相交，即充分性成立；
如图所示，若,不相交，且 , ，
则平面 与平面 不一定平行，即必要性不成立，
所以“ , 平行”是“， 不相交”的充分不必要条件，
故选B.
（2）若直线，，满足，，异面，则与 ( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
√
[解析] 如图,在正方体 中,
,和是异面直线, ,
故直线,,满足,,异面,
则与 可能相交,不一定是异面直线,故A,D错误；
,和是异面直线,和是异面直线,
故直线,,满足,,异面,则与 可能是异面直线,故B错误；
直线,,满足,,异面,则易知与 不可能是平行直线，
故C正确.
故选C.
探究点三 空间几何体的切割（截面）问题
例4（1）在正方体中，，分别是棱和 上
的点，，，那么正方体中过点，， 的截
面形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
√
[解析] 在正方体 中，
取，，
连接，， ，，， ，如图所示，
因为在正方体中，
，分别是棱和 上的点，
，，所以，且 ，
则四边形为平行四边形，则，，
又因为 ，且，所以四边形为平行四边形，
则， ，所以，，
所以四边形 为平行四边形，
则正方体中过点，，的截面形状为四边形 .故选B.
（2）[2025·福建漳州一中调研]如图，在正方体
中，,,分别是, 的
中点．用过点且平行于平面 的平面去截正方体，
得到的截面图形的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，连接,， ,如图，
则, ，
故四边形为平行四边形，
易知平行四边形 即为过点且平行于平面的截面.
, ,且 平面, 平面,
则 ,故四边形为矩形，
故四边形的面积为 ，故选B.
总结反思
求解几何体的切割（截面）问题,作出截面是解题关键.我们通常可以
利用空间几何公理及推论或对平面延伸找出共线、共面关系，也可
以利用面面平行的性质作出截面在平行平面上的交线.
【对点演练3】（1）[2026·广东茂名模拟]在棱长为6的正方体
中，，，过点,, 的平面
截该正方体所得截面的周长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,取的中点,的中点 ,连接,,,
则五边形为过点,, 的截面,证明如下：
取的中点,上靠近 的三等分点,
连接,,,则 ,
又且,
所以四边形为平行四边形,所以 ,则,
又且，所以四边形 为平行四边形，
所以，则，所以,,,四点共面.
分别取， 靠近，的三等分点，，连接，，，
同理可证 ，，，所以，
所以,,, 四点共面，所以,,,, 五点共面.
因为 ，
，
，
所以截面周长为 .故选B.
（2）（多选题）[2025·江苏无锡一中期末]在正方体
中，点，分别在， 上，且
，，过点， 的平面将正方体
截成两部分，则所得几何体可能是( )
A.三棱锥 B.直三棱柱 C.三棱台 D.四棱柱
√
√
√
[解析] 如图①,连接,,则过, 的
平面可截得三棱锥 ,故A正确；
如图②,过点作,垂足为,
过点 作,垂足为,连接,
则过,的平面 可截得直三棱柱 ,故B正确；
如图③,延长至点,连接,,分别与, 交于点,,连接,
则过,的平面 可截得三棱台 ,故C正确；
将四边形 分成一个三角形和一个五边形，
所以不可能得到四棱柱，故D错误.
故选 .
【备选理由】 例1（1）由四点共面探索点的位置，不同角度考查共
面问题；例1（2）可利用空间向量证明共面问题，拓展了证明点共
面问题的方法.
例1 ［配合探究点一、二使用］
（1）如图，在所有棱的长均为4的正三棱柱
中，为的中点，过 的截面
与棱，分别交于点,, .
试确定点 的位置，并说明理由.
解：如图,设直线分别交线段和线段 的延长线于点,,
连接,,则与棱 的交点即为点 .
由棱柱的性质知，所以, ，
因为,为 的中点，
所以 ，
所以,.
又 ，所以 ，
所以，即点在棱上到的距离为 处.
（2）[2026·湖北武汉模拟] 如图所示，在平行六
面体中，底面 是边长为3
的菱形， ,
,, 分别在线段
和上，且， .
证明：,,, 四点共面.
证明：由平行六面体性质可知,,
且, ,
则 ，
又，，所以 ，
所以 ，
则，所以,,, 四点共面.
【备选理由】 例2将截面问题与函数结合起来，属于跨专题综合考
查，加强了知识间的联系.
例2 ［配合探究点三使用］已知正方体 的棱长为
常数，点在线段上（端点除外），过点且垂直于的平面
截正方体所得的截面周长为，若，则关于 的函数图象大
致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，设平面和平面 分别与交于点，，
当点在线段和线段 上时，截面是正三角形，
当点越靠近点 或越靠近点时，截面周长越小，且变化是线性的.
当点 在线段上（不含点， ）时，
截面是六边形，且， ，
则， ，
所以 ,所以 ,
所以六边形 的周长与的周长相等.
综上可知关于 的函数图象大致为选项D中图象.故选D.
例3 ［配合探究点二、三使用］（多选题）[2026·山东潍坊期末]
已知圆柱的高为2，为下底面圆的一条直径， 为上底面
圆上任意一点，球内切于圆柱 ，则( )
A.球的体积为
B.直线， 一定为异面直线
C.直线与圆柱上底面所成的角为
D.平面截球所得截面面积的最小值为
√
√
√
【备选理由】 例3补充旋转体中的点、线、面位置关系的判断及
截面问题.
[解析] 因为圆柱的高为2,且球内切于圆柱 ,
所以球的半径.
对于A,球 的体积 ,故A正确.
对于B,设过,, 的平面截圆柱所得截面为,
当点在截面 内时,直线与直线共面,故B错误.
对于C,因为 垂直于圆柱底面,
所以即为直线 与圆柱下底面所成的角,如图①,
因为,所以 为等腰直角三角形,
所以 ,又圆柱的上、下底面平行,
所以直线与圆柱上底面所成的角为 ,故C正确.
对于D,连接,设过点的圆柱的轴截面为四边形 ,
在平面内过点作,垂足为 ,如图②,
易知,, ,
由勾股定理可得,
因为 ,所以，
所以.
设 到平面的距离为 ，平面截球所得的截面圆的半径为，
因为 平面 ，所以当 平面时，取得最大值 ，
即 ，，
所以平面 截球所得的截面面积的
最小值为,故D正确.
故选 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·黑龙江佳木斯模拟]已知 , 是两个不同的平面，则下列说
法错误的是( )
A.若直线 ，直线 ，则与 为异面直线
B.若,,是平面 内不共线三点， , ，则
C.若, 且 ，则
D.若 且 ，则直线
√
[解析] 对于A，若直线 ，直线 ，
则与 可能平行、相交或异面，故A中说法错误;
对于B，由基本事实及 , ，可得 ，
因为,,不共线，所以确定平面 ，若 ，则平面 ， 重合，
与 , 是两个不同的平面矛盾，故 ，故B中说法正确；
对于C，根据基本事实，如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线，所以 ,故C中说法正确；
对于D，根据基本事实，如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内，所以 ，故D中说法正确.
故选A.
2.已知 为平面，,为两条不同的直线，且 ，则“ ”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若， ，则 或 ，充分性不成立；
若 ， ，则和 相交、平行或异面，必要性不成立.
所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选D.
√
3.在空间四边形的边,,,上分别取点,,, ，若直
线,相交于点 ，则( )
A.点必在直线上 B.点必在直线 上
C.点必在平面内 D.点必在平面 内
[解析] 如图,在平面上,
而在平面 上,且,相交于点,
在平面与平面 的交线上，
是平面与平面的交线，
点 必在直线 上.
故选A.
√
4.设，，表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，则
下列结论正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若， ，则
C.若， ， ，则
D.若 ， ， ，则
√
[解析] 对于A,因为垂直于同一平面的两个
平面的位置关系不能确定,故A错误；
对于B,若两条直线平行,其中一条直线垂直于一个平面,
则另一条直线也垂直于这个平面,故B正确；
对于C,当,,时,
平面, 的位置关系不能确定,故C错误；
对于D,如图,在正方体中,平面平面,
平面,平面,且 ,
所以当两个平面互相垂直时,
一个平面的垂线与另一个平面的平行线未必平行,故D错误. 故选B.
5.[2025·福建福州联考]如图，平行六面体
中，，分别是， 的
中点，则下列直线中与 异面的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由图可知,与 均在平面内,故A,D不符合题意；
因为 平面,平面,平面 平面,
所以与 不相交,
又,与相交,所以与不平行,
则与 异面,故B符合题意；
连接,因为, ,
所以四边形为平行四边形,则,
又,所以 ,故C不符合题意.
故选B.
6.如图，在棱长为2的正方体中，,,均为顶点，
为所在棱的中点，若平面 ，且,均在平面
内，则平面 截正方体所得图形的面积为( )
A. B.4 C. D.
√
[解析] 如图,取,分别为所在棱的中点,连接 , ,,,
易知四边形 为平行四边形,所以,
又 平面, 平面 ,
所以平面,所以平面即为平面,
平面 截正方体所得图形为平行四边形 .
因为正方体棱长为2,所以, ,
,所以 ,
所以平行四边形为矩形,所以 .
故选C.
7.[2026·河南安阳期末]如图，正方体
的棱长为3，,分别在,
上，且，，过,, 三点的平
面截该正方体，则所截得的截面图形的最长边的边
长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，延长交于点，则 ，
即为上靠近的三等分点，连接，
取 的中点，连接,，则，
所以,,, 四点共面,故梯形即为截面图形,
显然为最长边, .
故选B.
8.已知圆柱的底面半径为1，高为3，， 分别
为该圆柱上、下底面圆周上的动点.若直线 和该圆柱的轴是异面直
线，则线段 长度的取值范围是_________.
[解析] 如图，， 分别为圆柱上、下底面的圆心，
,，
当与重合时线段 的长度取得最小值3，
当与重合时线段 的长度取得最大值，
又与为异面直线，即点 不能与，重合，
所以线段长度的取值范围是 .
9.如图所示，在四面体中作截面，若 与的延长线
交于点，与的延长线交于点 ，
与的延长线交于点 .给出以下结论：
①直线 平面 ；
②点在直线 上；
③，，， 四点共面.
其中正确结论的序号为________.
①②③
[解析] 由题意知，,, ，
从而点，， 平面，
所以直线 平面，故①正确；
同理可得点，， 平面，
从而点，，在平面与平面 的交线上，
即点在直线上，故②正确；
因为 直线，从而点 ，，， 四点共面，故③正确.
故正确结论的序号是①②③.
10.[2026·陕西汉中联考] 如图所示的几何体是由
等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中
,，点为弧的中点，
且, ,,四点共面.
证明：,,, 四点共面.
证明:方法一：连接，如图①，因为 , ，
所以直三棱柱的底面为等腰直角三角形， ，
在半圆上，是弧的中点，
所以 ，所以，
又 ，所以，
所以,,, 四点共面.
方法二：在直三棱柱中，，以 为原点，
建立如图②所示的空间直角坐标系，
因为，设,
所以 , ,,,，
连接，则 , ，
所以，所以，
所以,,, 四点共面.
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是 的
中点，在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A.与 平行
B.
C.直线，， 中，任意两条都是异面直线
D.过，， 三点的平面截该正方体所得截面的面
积为
√
√
√
[解析] 还原正方体，如图①，
对于A，连接，由， ，得，故A错误；
对于B，连接 ，由，得 ，故B正确；
对于C，由，，得,, 两两异面，故C正确；
对于D,取的中点,连接,,, ,如图②,
由,分别为, 的中点,
得,
所以四边形 为菱形,即,,,共面,
故菱形为所求截面,
连接 ,易知, ,
所以截面面积为，故D正确.
故选 .
12.（多选题）[2026·山东青岛调研]如图，四边形 是边长为2的
正方形，，，，都垂直于底面 ，且
，点在线段上，平面 交
线段于点 ，则( )
A.，，， 四点共面
B.该几何体的体积为6
C.过四点，，，四点的外接球表面积为
D.截面四边形 的周长的最小值为8
√
√
[解析] 对于A,如图①,取的中点,
取 上靠近的三等分点为,连接,, ,
易知四边形为平行四边形,
四边形 为平行四边形,所以, ,
则,所以,,, 四点共面,故A正确；
对于B,由对称性知,此几何体的体积是底面为边长为2的正方形,
高为4的长方体体积的一半,所以该几何体的体积 ,
故B错误；
对于C,如图②，过点，，， 构造正方体 ，
所以过四点，，， 四点的外接球的直径为
正方体的体对角线，
所以（其中 为外接球的半径）,则,
所以所求外接球的表面积为 ,故C正确；
对于D,由题意得,平面平面,
平面 平面,平面 平面,
所以, 同理可得,
所以四边形 为平行四边形,
其周长,将面沿所在直线
翻折到与面 共面与在的两侧,
当,, 三点共线时,最小,最小值为5,
所以周长 的最小值为10,故D错误.
故选 .
13.[2025·云南曲靖期末] 在棱长为12的正方体 中，
，分别为，上的点，且满足， ，平面
与正方体各表面的交线所围成的多边形的形状为________，该
多边形的周长为__________.
五边形
[解析] 如图，连接，，，
过点在平面 内作，
分别交，的延长线于点，，
连接， ，分别交，于点，，连接，，
所以五边形 为平面 与正方体各表面的交线所围成的多边形.
过点作，过点作 ，所以 ，
由正方体，知 ，
因为, ,所以,
所以为上靠近 的三等分点,为上
靠近的三等分点,所以 ,
因为,所以根据勾股定理可得.
因为, 为面对角线,所以,
又因为,所以 为等腰直角三角形,
所以 ,同理.
又因为， ，
所以，所以与 相似，
因为，
所以 ，所以.
同理与 相似，所以，所以 ，
所以根据勾股定理可得， ，
所以五边形 的周长为 .
14.如图所示，在棱长为2的正方体 中，
,分别是棱, 上的点（异于端点），且.
证明：与相交且交点在直线 上.
证明：连接，因为，所以 ，，
所以，
因为, 分别是棱,上异于端点的点，所以 ，
故四边形为梯形，故与 相交，记.
因为， 平面 ,
， 平面，
平面 平面 ，
所以，即与的交点在直线 上.
【知识聚焦】1.不在一条直线上 两个点 一个 一条过该点 平行
2.这条直线外 相交 平行
3.（1）相交 平行 任何 （2）相等或互补 4.1 0 无数 0 无数
【课前演练】题组一 （1）× （2）× （3）× （4）×
题组二1.C 2.B 3.D 4.B
课堂考点探究
例1（1）D （2）（i）证明略 （ii） 证明略 对点演练1（1）B （2）
例2 A 例3 BD 对点演练2（1）B （2）C
例4（1）B （2）B 对点演练3（1）B （2）ABC
教师备用习题
例1（1）点在棱上到的距离为处.理由略 （2）证明略
例2 D 例3 ACD
夯实基础
1.A 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.B
8. 9.①②③
10.证明略
综合提升
11.BCD 12.AC 13.五边形
14.证明略第37讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
【备选理由】 例1(1)由四点共面探索点的位置,不同角度考查共面问题;例1(2)可利用空间向量证明共面问题,拓展了证明点共面问题的方法. 例2 将截面问题与函数结合起来,属于跨专题综合考查,加强了知识间的联系. 例3补充旋转体中的点、线、面位置关系的判断及截面问题.
1 [配合探究点一、二使用] (1)如图,在所有棱的长均为4的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为B1C1的中点,过AD的截面与棱BB1,A1C1分别交于点E,F,BE=EB1.
试确定点F的位置,并说明理由.
(2)[2026·湖北武汉模拟] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的菱形,AA1=4,∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°,E,F分别在线段B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
证明:A,E,C1,F四点共面.
解: (1)如图,设直线DE分别交线段CB和线段CC1的延长线于点P,Q,连接AQ,AP,则AQ与棱A1C1的交点即为点F.
由棱柱的性质知B1C1∥BC,所以=,=,
因为BE=EB1,D为B1C1的中点,所以BP=·B1D=××4=1,
所以PC=5,==.又A1C1∥AC,所以==,
所以C1F=AC=,即点F在棱A1C1上到C1的距离为处.
(2)证明:由平行六面体性质可知
BB1∥DD1,AB∥D1C1,且BB1=DD1,AB=D1C1,则=,
又BE=BB1,DF=DD1,所以=,
所以=+=+=,
则∥,所以A,E,C1,F四点共面.
2 [配合探究点三使用] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为常数,点P在线段AC1上(端点除外),过点P且垂直于AC1的平面α截正方体所得的截面周长为y,若AP=x,则y关于x的函数图象大致为 ( D )
A　　B
C　　D
[解析] 如图所示,设平面A1BD和平面CB1D1分别与AC1交于点Q,R,当点P在线段AQ和线段C1R上时,截面是正三角形,当点P越靠近点A或越靠近点C1时,截面周长越小,且变化是线性的.当点P在线段QR上(不含点Q,R)时,截面是六边形EFGHMN,且EF∥A1B,NE∥B1D1,则=,=,所以+=+=1,所以EF+NE=A1B,所以六边形EFGHMN的周长与△A1BD的周长相等.综上可知y关于x的函数图象大致为选项D中图象.故选D.
3 [配合探究点二、三使用] (多选题)[2026·山东潍坊期末] 已知圆柱O1O2的高为2,EF为下底面圆O1的一条直径,D为上底面圆O2上任意一点,球O内切于圆柱O1O2,则 ( ACD )
A.球O的体积为
B.直线OD,EF一定为异面直线
C.直线OE与圆柱上底面所成的角为
D.平面DEF截球O所得截面面积的最小值为
[解析] 因为圆柱O1O2的高为2,且球O内切于圆柱O1O2,所以球O的半径R=O1O2=1.对于A,球O的体积V=πR3=π,故A正确.对于B,设过O,E,F的平面截圆柱O1O2所得截面为α,当点D在截面α内时,直线OD与直线EF共面,故B错误.对于C,因为OO1垂直于圆柱底面,所以∠OEO1即为直线OE与圆柱下底面所成的角,如图①,
因为OO1=O1E=1,所以△OO1E为等腰直角三角形,所以∠OEO1=,又圆柱的上、下底面平行,所以直线OE与圆柱上底面所成的角为,故C正确.对于D,连接DO1,设过点D的圆柱的轴截面为四边形ABCD,在平面ABCD内过点O作OG⊥DO1,垂足为G,如图②,
易知O1O2⊥CD,O1O2=2,O2D=1,由勾股定理可得O1D==,因为△OGO1∽△DO2O1,所以=,所以OG===.设O到平面DEF的距离为d,平面DEF截球所得的截面圆的半径为r,因为O1D 平面DEF,所以当OG⊥平面DEF时,d取得最大值OG,即d≤OG=,所以r=≥=,所以平面DEF截球所得的截面面积的最小值为π×=π,故D正确.故选ACD.

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