资源简介 第38讲 直线、平面平行的判定与性质【备选理由】 例1考查利用线面平行的性质定理判断直线与直线的位置关系.例2(1)是与动点有关的线面平行问题;例2(2)是面面平行的判定与性质应用问题.1 [配合探究点二使用] 如图①,在直角三角形ABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EF∥BC,将△AEF沿EF所在直线折起到△PEF的位置,使得二面角P-EF-B的大小为60°,得到如图②所示的四棱锥P-BCFE.设平面PEB与平面PFC的交线为m,请判断m与直线CF的位置关系.解:方法一(寻找交线):如图,在平面EFCB中,延长CF,BE,因为四边形EFCB为梯形,所以CF的延长线与BE的延长线相交,设交点为G,连接PG,因为G∈EB,G∈CF,所以PG 平面PEB,PG 平面PFC,所以PG即为交线m,则PG与CF相交于点G.方法二(反证法):假设直线m与直线CF不相交,因为m 平面PFC,CF 平面PFC,所以CF∥m.又CF 平面PEB,m 平面PEB,所以CF∥平面PEB.又CF 平面EFCB,平面EFCB∩平面PEB=EB,所以CF∥EB,与CF和EB相交矛盾,所以假设不成立,故直线m和直线CF相交.2 [配合探究点二、三使用] (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,且EF=,点P是正方形ABB1A1内(含边界)的动点,若C1P∥平面CD1EF,则点P的轨迹长度为 ( C )A.2 B.3πC. D.π(2)[2026·黑龙江哈尔滨三中期末] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱BB1上,且BB1=4BD,点M为A1C1的中点,点N在棱BB1上,若MN∥平面ADC1,则= ( B )A.2 B.3C.4 D.5[解析] (1)如图所示,取A1B1的中点H,B1B的中点G,连接GH,C1H,C1G,EG,HF,A1B.由正方体的性质得A1B1∥EG,A1B1=EG,且A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,所以EG∥C1D1,且EG=C1D1,所以四边形EGC1D1是平行四边形,则C1G∥D1E,又C1G 平面CD1EF,D1E 平面CD1EF,所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥平面CD1EF.又C1H∩C1G=C1,C1H,C1G 平面C1GH,所以平面C1GH∥平面CD1EF.又因为点P是正方形ABB1A1内(含边界)的动点,C1P∥平面CD1EF,平面C1GH∩正方形ABB1A1=线段GH,所以点P的轨迹为线段GH,由题意可知GH=A1B,EF=A1B,可得GH=EF=,所以点P的轨迹长度为.故选C.(2)如图所示,设P为AA1的中点,连接PM,PN,因为M为A1C1的中点,所以MP∥AC1,又MP 平面ADC1,AC1 平面ADC1,所以MP∥平面ADC1,又因为MN∥平面ADC1,MN∩MP=M,MN,MP 平面MNP,所以平面MNP∥平面ADC1.又平面MNP∩平面ABB1A1=PN,平面ADC1∩平面ABB1A1=AD,所以PN∥AD,又AA1∥BB1,所以四边形ADNP是平行四边形,所以DN=AP=BB1,所以B1N+BD=BB1,又BB1=4BD,所以B1N=BD,所以BN=3B1N,所以=3.故选B.(共87张PPT)第38讲 直线、平面平行的判定与性质课前基础巩固课堂考点探究教师备用习题作业手册答案核查【听】答案核查【作】【课标要求】1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.◆ 知识聚焦 ◆1.直线与平面平行的判定与性质类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用判定 如果平面外___________ ___________________平 行，那么该直线与此平 面平行 ， ，且 证明直线与平面平行一条直线与此平面内的一条直线类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用性质 一条直线与一个平面平 行,如果过该直线的平面 与此平面相交,那么该直 线与__________ ， ， 证明直线与直线平行交线平行续表2.平面与平面平行的判定与性质类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用判定 如果一个平面内的两 条__________与另一 个平面平行，那么这 两个平面平行 , ， , ， 证明平面与平面平行相交直线类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用性质 两个平面平行，如果 另一个平面与这两个 平面相交，那么两条 ______平行 ， ，a//b 证明直线与直线平行续表交线常用结论1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 , ,则 .2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若 , ,则 .3.三种平行关系的转化：#3.3线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.#3.3.24.如图①，垂直于同一条直线的两个平面平行，符号表示为 ，.#3.45.如图②，两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面,符号表示为 ， .◆ 课前演练 ◆题组一 易错辨析判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）（1）若直线平行于平面 内的无数条直线，则 .( )×[解析] 当直线在平面 内时， 内存在无数条直线与之平行，故错误.（2）若平面平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则.( )×[解析] 若平面平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则或与 异面,故错误.（3）在梯形中,,若 平面 , 平面 ,则直线与平面 内的任意一条直线平行.( )×[解析] 由已知得平面 ，则直线与平面 内的直线平行或异面，故错误.（4）若直线， 平面 ，那么直线平行于平面 内的无数条直线.( )√[解析] 不论直线是否在平面 内，平面 内均存在无数条直线与直线 平行，故正确.题组二 教材改编1.设,是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A.若 ， ，则B.若 ， ，则C.若， ， ，则D.若 ， ，则√[解析] 作出长方体 ，如图所示.对于A，当平面 为平面，为， 为时，显然 ， ，但 ，故A错误；对于B，当平面 为平面，平面 为平面，为时，显然 ， ，但 ，故B错误；对于C，因为 ，所以存在 ，使得，因为 ，所以，因为 ， ，所以 ，故C正确；对于D，当平面 为平面，平面 为平面，为 时，显然 ， ，但 ，故D错误.故选C.2.如图所示，在空间四边形中，， 分别是，的中点，平面，则与 的位置关系是( )A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定[解析] 因为，分别为，的中点，所以,因为 平面,平面 平面, 平面,所以 ,由平行线的传递性可知 .故选A.√3.设，为平面 外的两条直线，且 ，则“”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析] 因为 ，所以存在过直线的平面，使得平面 与平面 相交，令交线为，则.若，则，因为 平面， 平面，所以 ；反之，当 时，与 可能相交，可能平行，也可能是异面直线.所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.√4.（多选题）若平面平面，直线 平面，直线平面，则下列说法中正确的是( )A.B.与 内无数条直线平行C.与 内的任何一条直线都不垂直D.√√[解析] 如图，在长方体 中，令平面 为平面，平面 为平面，直线为，直线为 ，则满足 ， ， ，此时 ，故A，C错误；根据面面平行的性质知与 内无数条直线平行， ，故B，D正确.故选 .探究点一 平行关系的基本问题例1 已知,是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列说法正确的是( )A.若，且 ，则B.若 , ,，则C.若 , , , ，则D.若 , , ，则√[解析] 对于A，若，且 ，则 或, 斜交或或 ，故A错误；对于B，由线面平行的性质可知，若 , ,，则，故B正确；对于C，设 ， , ，,，又 , ，所以 , ，但 不成立，故C错误；对于D，若 , , ，则或, 异面，故D错误.故选B.总结反思1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项.2.结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.【对点演练1】（1）[2026·辽宁鞍山联考]已知, 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，下面说法中正确的是( )A.若, ，则 B.若 , ，则C.若 , ，则 D.若 , ，则[解析] 若, ，则 或 ，故A不正确；若 , ，则 或 与 相交，故B不正确；若 , ，则 或 与 相交，故C不正确；若 , ，则由面面垂直的判定定理可知 ，故D正确.故选D.√（2）[2025·湖南长沙一中期中]已知 ， 表示两个不同的平面，为平面 内的一条直线，则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析] 因为 ，所以若 ，则 ，故充分性成立；若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，故必要性不成立.故选A.√探究点二 直线与平面平行的判定与性质题型1 直线与平面平行的判定例2 如图所示，在四面体中， 平面，是的中点，是的中点，点 在线段上，且 .求证：平面 .证明：方法一：如图，取的中点，连接 ，是的中点，且 ，在上取靠近点的四等分点，则，连接， ，，，且 ,,且 ，四边形 为平行四边形，,又 平面， 平面，平面 .方法二：如图，连接并延长交于点，连接 ，在中，过点作，交于点，是 的中点， ，又是的中点，，则,在 中，， ，又 平面, 平面 ，平面 .方法三：如图，连接并延长交的延长线于点 ，连接，取的中点，连接，是 的中点， ，，是的中点，易知，故 ，即是的中点.又是 的中点，，又 平面 , 平面，平面 .题型2 直线与平面平行的性质例3 [2025·江苏镇江一中期中] 如图，四棱锥的底面为梯形， ,设平面 平面，证明： .证明：在四棱锥中，， 平面，平面，所以平面，又平面 平面， 平面，所以 .总结反思1.证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,即证明线线平行,一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.2.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，如：必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.3.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时候需要作辅助平面来确定交线.【对点演练2】（1）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为 的中点，在上，且，平面 ，则 的值为( )A.1 B. C.2 D.3√[解析] 如图，连接，与交于点，连接 .因为为的中点，所以 ，由四边形是平行四边形，可得 ，则，所以，所以 .又 平面, 平面，平面 平面 ，所以，所以 .故选D.（2）如图，在正方体中，， 分别为，的中点，点,分别在线段， 上，且，则在,, 这三点中任取两点确定的直线中，与平面 平行的条数为___．1[解析] 如图，取的中点,的中点，连接 ，，，，易知且 ，又且，所以且 ，则四边形为平行四边形，所以，又 平面， 平面，所以平面.连接，假设平面， 平面，平面 平面，则 ，矛盾，假设不成立，故不与平面平行.过点作交于点，连接 ，，因为，所以，假设 平面， 平面，平面平面，故，又 ，所以四边形是平行四边形，但 ，矛盾，假设不成立，故不与平面平行.故在,, 这三点中任取两点确定的直线中，与平面 平行的有1条.探究点三 平面与平面平行的判定与性质例4 [2025·湖南娄底期末] 如图，在三棱柱中，为边上（异于， 两点）的动点，平面与边交于点 .请判断四边形 的形状，并说明理由.解：在三棱柱中， ，又 平面， 平面 ，所以平面，又平面 平面，平面 ，所以,又平面平面 ，平面 平面，平面 平面 ，所以，所以四边形 为平行四边形.总结反思证明面面平行可以通过线面平行来证明.利用面面平行的性质可以证明线面平行或线线平行,证明线线平行即证明第三个平面与两个平行平面的交线平行;证明线面平行是较为重要的一个应用,即两平面平行,则一个平面里任一直线都平行于另一个平面.【对点演练3】 [2026·湖南长沙雅礼中学期中] 如图，在圆锥中，是底面的直径，且 ，已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，.证明：平面平面 .证明：在中，根据中位线性质可得 ，因为平面,平面,所以 平面,因为 ，底面圆的半径是1，所以，又，所以，连接 ，易知，所以为等边三角形，故，则 且，所以四边形是平行四边形，所以，因为 平面， 平面 ，所以平面，又，， 平面 ，所以平面平面 .探究点四 平行关系的综合应用例5 [2026·广东肇庆调研] 如图，在四棱锥中， 底面，平面 ，，，， 分别为棱，上的点，且，若平面 ，求的值.解：取的中点，连接，，则 .因为平面， 平面，平面 平面，所以，即 ，又，所以四边形 为平行四边形，所以，又 平面， 平面，所以平面 ，又平面，，,平面 ，所以平面平面，又 平面，所以平面 .又平面 平面， 平面 ，所以，又为的中点，所以为的中位线，则 为的中点，即 .总结反思1.解决有关平行的综合问题时,要明确证明线面平行、线线平行、面面平行可以有哪些途径,进而根据已知条件,进行合理求解.2.解决探索性问题时,一般都是先假设存在,进而根据条件本着这个问题“该怎么做就怎么做”的思路进行求解.【对点演练4】 如图，在直三棱柱 中，, ，且平面平面 ，求实数 , 的值.解：连接交于点，则为 的中点，连接 ，因为平面平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以.所以为的中点，所以 .因为平面平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以，又 ，所以四边形 为平行四边形，所以，所以，故 .【备选理由】例1考查利用线面平行的性质定理判断直线与直线的位置关系.例1 ［配合探究点二使用］如图①，在直角三角形 中，，点，分别在线段，上，且 ，将沿所在直线折起到的位置，使得二面角的大小为 ，得到如图②所示的四棱锥 .设平面与平面的交线为，请判断与直线 的位置关系.解：方法一（寻找交线）如图，在平面中，延长， ，因为四边形为梯形，所以的延长线与 的延长线相交，设交点为，连接 ，因为，，所以 平面，平面 ，所以即为交线，则与相交于点 .方法二（反证法）假设直线与直线不相交，因为 平面， 平面，所以 .又 平面， 平面，所以平面 .又 平面，平面 平面，所以 ，与和 相交矛盾，所以假设不成立，故直线和直线 相交.【备选理由】例2（1）是与动点有关的线面平行问题；例2（2）是面面平行的判定与性质应用问题.例2 ［配合探究点二、三使用］（1）如图所示，在正方体中， ，分别为，的中点，且，点 是正方形内（含边界）的动点，若平面 ，则点 的轨迹长度为( )A. B. C. D.√[解析] 如图所示，取的中点，的中点 ，连接,,,,, .由正方体的性质得， ，且，，所以 ，且，所以四边形是平行四边形，则，又 平面， 平面，所以平面 .同理可得平面.又,, 平面 ,所以平面平面.又因为点是正方形 内（含边界）的动点，平面，平面正方形线段 ，所以点的轨迹为线段，由题意可知 ,，可得，所以点 的轨迹长度为 .故选C.（2）[2026·黑龙江哈尔滨三中期末]在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱 上，若平面，则 ( )A.2 B.3 C.4 D.5√[解析] 如图所示，设为的中点，连接，，因为为 的中点，所以，又 平面， 平面 ，所以平面，又因为平面 ，，, 平面，所以平面 平面.又平面 平面，平面平面，所以，又，所以四边形 是平行四边形，所以，所以 ，又，所以，所以，所以 .故选B.作业手册◆ 夯实基础 ◆1.[2026·湖南怀化三中质检]已知直线,和平面 ， ,且 ，则下列说法正确的是( )A.若 ，则 B.若 ，则C.若 ，则 D.若， ，则√[解析] 对于A， ， ，则, 平行或异面，故错误；对于B， ， ，则 或 ，故错误；对于C， ， ，则,可能平行、相交、异面，故错误；对于D， ，则平面 中必存在一条直线，因为，所以，又 ， ，所以 ，故正确.故选D.2.在四棱锥中，“”是“平面 ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析] 由， 平面， 平面，得 平面.由平面， 平面，平面 平面，得.故“”是“平面 ”的充要条件.故选C.√3.如图，在正方体中，, 分别是,的中点，则直线与平面 的位置关系是( )A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.无法确定√[解析] 连接交于点，连接,, ，如图，因为,分别是, 的中点，所以，即 ，且，即 ，则四边形为平行四边形，故，由 平面, 平面，得平面 .故选B.4.[2026·辽宁沈阳二中模拟]在四棱锥中，， 分别是线段，上的点，，则下列条件可以确定平面 的是( )A. B.C.平面 D.，[解析] 连接，设点是对角线上一点，满足 ，连接，，则,又 平面， 平面 ，所以平面，所以要使平面，需使平面平面 ，即需使.√对于A，在四边形中，由 ，，可得 ，故A正确.对于B，因为，所以.因为与 不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，所以得不到 ，故B错误.对于C，因为平面， 平面，平面 平面，所以 ，结合B项分析，可得C错误.对于D，结合B项分析，由，不能得到 ，所以得不到 ，故D错误.故选A.5.[2026·黑龙江绥化期末]在正三棱锥中，平面 分别与，，，交于点，，，，其中，分别是，的中点.如果直线平面，那么四边形 是( )A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形√[解析] 取的中点，连接， ，如图.因为是正三角形，所以 .又几何体是正三棱锥，所以，则 ，又， 平面，，所以 平面，因为 平面，所以 .因为平面， 平面，平面 平面 ，所以，同理.又，分别为，的中点，所以， 分别为，的中点，则，且, ，即且，所以四边形为平行四边形.又 ，，，所以，所以四边形 为矩形.故选C.6.如图，为平行四边形 所在平面外一点，为的中点，为上一点，当 平面时， ( )A. B. C. D.√[解析] 连接交于点，连接 ，如图.因为平面， 平面，平面 平面，所以， .又，为的中点，所以，所以 .故选D.7.如图，在四棱锥中，底面四边形 的两组对边均不平行.给出下列说法：①在平面内不存在直线与 平行；②在平面内存在无数多条直线与平面 平行；③平面与平面的交线与底面 不平行.其中正确说法的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3√[解析] 对于①，假设平面内存在直线与 平行，又 平面， 平面，所以 平面，又平面 平面，所以 ，与题干矛盾，假设不成立，即在平面 内不存在直线与平行，故①正确；对于②，设平面 平面，则 平面，所以在平面内存在无数条直线与直线 平行，这无数条直线也与平面 平行，故②正确；对于③，假设交线平面，又 平面，平面 平面 ，所以，同理可得，则 ，与题干矛盾，假设不成立，即平面与平面的交线与底面 不平行，故③正确.故选D.8.已知直四棱柱 的底面为梯形，,,，若平面，则 ( )A. B. C. D.√[解析] 因为四棱柱为直四棱柱， ，所以平面平面，又平面 平面 ，平面 平面，所以 ，又，所以，故 ，故，又， ，所以，则，故 ，则 ，故选C.9.在棱长为2的正方体中，，分别是棱 ，的中点，过顶点且与平面平行的平面记为 ，则 截该正方体所得截面的面积为__.[解析] 如图，设,分别是棱, 的中点，连接,,,, ，则，因为 平面 ， 平面，所以平面 .又因为,，所以 ,，可得四边形 为平行四边形，则，又 平面， 平面，所以平面，又 , , 平面，所以平面 平面，则平面 截该正方体所得截面为 ，因为,，所以 的面积为 .10.[2026·陕西汉中期末] 由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为与 的交点.（1）求证：平面 ；证明：取的中点，连接, ，如图，则易知,，所以四边形 为平行四边形，所以.因为 平面 ， 平面，所以平面 .（2）求证：平面平面 .解：因为， 平面，平面，所以平面 .由（1）知，平面.因为,, 平面，所以平面平面 .◆ 综合提升 ◆11.[2025·浙江宁波期末]如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点， 为棱的中点，点在侧面 上运动（含边界），若平面，则点 的轨迹长度为( )A. B. C.2 D.1√[解析] 取,的中点分别为,，连接 ,，，， ，如图，在正方形中，因为,分别为， 的中点，所以且 ，由正方体可得且 ，所以，，故四边形 为平行四边形，则，又 平面， 平面，所以 平面.因为，，，分别为，，，的中点，所以.又 平面， 平面，所以 平面.因为, , 平面 ，所以平面平面，而平面 平面，结合平面，得点 的轨迹为线段，其长度为 ，故选A.12.（多选题）[2026·江西南昌模拟]在下列底面为平行四边形的四棱锥中，,,,,是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面 的有( )A. B. C. D.√√[解析] 对于A，如图①，设为 的中点，底面为平行四边形，连接, ，设交于点，连接，则 ,，又,,所以 ,，则四边形 为平行四边形，故，假设平面，因为 平面， 平面，平面 平面 ，所以，在平面内过点有两条直线和 平行，这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误.对于B，如图②，设为 的中点，底面为平行四边形，连接, ，则,，又， ,所以,，所以四边形 为平行四边形，故，而 平面， 平面，所以平面 ，故B正确.对于C，如图③，设为的中点，底面为平行四边形，连接, ， 则,，又， ，所以,，则四边形 为平行四边形，故，又 平面， 平面，所以平面 ，故C正确.对于D，如图④，设底面为平行四边形，连接, 交于点，,交于点 ，则为的中点，连接,，因为为的中点，所以 .假设平面，因为 平面，平面 ，平面 平面，所以 ，在平面内过点有两条直线和 平行，这是不可能的，因此与平面 不平行，故D错误.故选 .13.如图，正方体的棱长为3，点在上，点 在上，且，平面，则 的长为_____.[解析] 如图，作交于点，作交于点，连接 .因为,所以,所以,,, 四点共面.因为平面，平面 平面，所以，所以四边形 为平行四边形，所以.因为, ,,所以，又 ,所以.因为,,所以 ,故 .14.[2025·四川成都期末] 如图，在三棱柱中，，分别为线段，上的点，，， .（1）求证：平面 .解：证明：因为，，所以 ，故，在三棱柱中，，所以 ，因为 平面， 平面，所以 平面 .（2）在线段上是否存在一点，使平面平面 ？请说明理由.解：如图，线段上存在点 ，满足时，即可使平面平面 ，理由如下：因为，所以，则 ，因为 平面， 平面，所以平面 ，由（1）得，因为 平面， 平面 ，所以平面，又,, 平面 ，所以平面平面 .【知识聚焦】1.一条直线与此平面内的一条直线 交线平行 2.相交直线 交线【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）× （4）√题组二1.C 2.A 3.A 4.BD课堂考点探究例1 B 【对点演练1】（1）D （2）A 例2 证明略. 例3证明略.【对点演练2】（1）D （2）1 例4 四边形为平行四边形，理由略.【对点演练3】证明略. 例5 . 【对点演练4】 .教师备用习题例1直线和直线相交. 例2（1）C （2）B夯实基础1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.10.（1）证明略. （2） 证明略.综合提升11.A 12.BC 13.14.（1）证明略.（2）线段上存在点，满足时，可使平面平面，理由略. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 04-第38讲 直线、平面平行的判定与性质.pptx 第38讲 直线、平面平行的判定与性质.docx
资源列表
