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第39讲　直线、平面垂直的判定与性质
【备选理由】 例1以翻折问题为背景,结合异面直线所成的角考查线面垂直,面面垂直,综合性较强.例2属于平行、垂直关系的综合问题,并以探索提问的方式呈现,对学生的能力要求较高.例3结合几何体体积最值问题考查线面垂直、面面垂直,综合性较强,能力要求较高.
1 [配合探究点二、三使用] [2026·江苏南京外国语学校期中] 在矩形ABCD中,AB=1,BC=,E是BC边的中点.AE与BD交于点M,将△ABE沿AE所在直线折起,在翻折过程中当AB⊥MD时,异面直线BA和CD所成角的余弦值为 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
[解析] 如图①,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,E是BC边的中点,则BE=,可得=,又∠BAD=∠ABE=90°,所以△ABE∽△DAB,所以∠BAE=∠ADB,则∠BAE+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,故AE⊥MD.
如图②,将△ABE沿AE所在直线折起,点B的对应点设为B',在翻折过程中,当AB'⊥MD时,因为AE⊥MD,AE∩AB'=A,AE,AB' 平面AB'E,所以MD⊥平面AB'E,因为MD 平面AECD,所以平面AB'E⊥平面AECD.因为B'M⊥AE,B'M 平面AB'E,平面AB'E∩平面AECD=AE,所以B'M⊥平面AECD.连接B'B,因为AB∥CD,所以∠B'AB(或其补角)即为异面直线B'A和CD所成角.因为AB·BE=AE·BM,所以BM=,故B'M=,则B'B==,又B'A=AB=1,所以cos∠B'AB===,即所求角的余弦值为,故选D.
2 [配合探究点四使用] [2026·河南郑州十一中期末] 如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是棱PB,DC上的点,且满足==λ.
(1)若λ=1,求证:直线MN∥平面PDA.
(2)是否存在实数λ,使直线MN同时垂直于直线PB和直线DC 如果存在,请求出λ的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)证明:如图,取AP的中点Q,连接QM,QD,
由λ=1,得N是DC的中点,M是PB的中点,则QM∥AB,MQ=AB,
由四边形ABCD是矩形,N是DC的中点,得DN∥AB,DN=AB,
所以DN∥MQ,DN=MQ,所以四边形DNMQ是平行四边形,
则NM∥QD,又NM 平面PDA,QD 平面PDA,
所以直线MN∥平面PDA.
(2)假设存在实数λ,使得MN同时垂直于直线PB和直线DC,由四边形ABCD是矩形,得CD∥AB,
则MN⊥PB,MN⊥AB,又PB∩AB=B,PB,AB 平面ABP,所以MN⊥平面ABP.
由PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,得PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB 平面ABP,
所以BC⊥平面ABP.则MN∥BC.在矩形ABCD的边AB上取点E,使BE=CN,
连接NE,则NE∥BC∥MN,与MN∩NE=N矛盾,则假设不成立,
所以不存在实数λ,使直线MN同时垂直于直线PB和直线DC.
3 [配合探究点二、三使用] (1)[2026·吉林长春期末] 在三棱锥A1-ABC中,A1A=BC,D为BC的中点,且AD⊥BC,A1D⊥BC,△ABC和△A1BC都是面积为的锐角三角形,则当三棱锥A1-ABC的体积取得最大值时,cos∠ADA1= ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)如图,正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直.点P在正方形ABCD内部运动,点Q在矩形ABEF及其内部运动,设AB=4,AF=3,若PA⊥PE,则四面体PAQE体积的最大值为　4　.
[解析] (1)因为AD⊥BC,A1D⊥BC,AD∩A1D=D,AD,A1D 平面ADA1,所以BC⊥平面ADA1.过A1作A1M⊥AD,垂足为M,因为 A1M 平面ADA1,BC⊥平面ADA1,所以BC⊥A1M,又AD∩BC=D,AD,BC 平面ABC,所以A1M⊥平面ABC,即A1M为三棱锥A1-ABC的高.记BD=a,∠BAD=θ,0<θ<,则AD=A1D=,AA1=BC=2a.由△ABC的面积为,得×2a×AD=,则=.要使三棱锥A1-ABC的体积最大,只需使A1M最大.在△ADA1中,由余弦定理得cos∠ADA1==1-2tan2θ,则sin∠ADA1==2.所以A1M=A1Dsin∠ADA1=2=2,其中θ∈.令x=tan θ,记f(x)=x-x3(00,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.所以当x=时,f(x)取得最大值,即A1M取得最大值,此时三棱锥A1-ABC的体积最大,所以此时cos∠ADA1=1-2tan2θ=1-2×=,故选A.
(2)连接PB,如图①,
因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE 平面ABEF,且BE⊥AB,
所以BE⊥平面ABCD.又AP 平面ABCD,所以BE⊥AP,
又PE⊥AP,PE∩BE=E,PE,BE 平面PBE,所以AP⊥平面PBE,
又PB 平面PBE,所以AP⊥PB.
又P在正方形ABCD内部,所以点P的轨迹是如图①所示的以线段AB为直径的半圆(不含点A且不含点B).
作PH⊥AB于H,则PH是三棱锥P-AQE的高.
所以当△AQE的面积和PH都取得最大值时,四面体PAQE的体积最大,
此时点Q应该与B或F重合,P为正方形ABCD的中心.
当点Q与点B重合,P为正方形ABCD的中心时,如图②,
此时S△AQE=×3×4=6,PH=2,
所以VP-AQE=S△AQE·PH=×6×2=4;
当点Q与点F重合,P为正方形ABCD的中心时,如图③,
此时S△AQE=×3×4=6,PH=2,
所以VP-AQE=S△AQE·PH=×6×2=4.
综上可知,四面体PAQE体积的最大值为4.(共94张PPT)
第39讲 直线、平面垂直的判定与性质
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、
直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相
关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线与平面 内的______________都垂直，我们
就说直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫作平面 的_____，
平面 叫作直线 的______.
任意一条直线
垂线
垂面
（2）直线与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果一条直线与 一个平面内的 ______________ 垂直，那么该直 线与此平面垂直 证明直
线与平
面垂直
两条相交直线
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
性质 垂直于同一个 ______的两条直 线平行 证明直线与直线平行
续表
平面
2.平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就
说这两个平面互相垂直.
直二面角
（2）平面与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果一个平面过另 一个平面的 ______，那么这两 个平面垂直 证明两个
平面垂直
垂线
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
性质 两个平面垂直, 如果一个平面 内有一直线垂 直于这两个平 面的______， 那么这条直线 与另一个平面 垂直 证明直
线与平
面垂直
交线
续表
常用结论
1.与线面垂直相关的常用结论：
（1）一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则
与另一个平面也垂直;
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这
个平面；
（3）过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;
（4）过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
（5）若两个相交平面同时垂直于一个平面，则它们的交线也垂直于这
个平面.
2.三种垂直关系的转化：
线线垂直线面垂直 面面垂直
3.如图,如果一条直线和一个平面垂直，
那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直.
符号表示为 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一
个平面内的无数条直线.( )
√
[解析] 已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于
另一个平面内与交线垂直的直线，这样的直线有无数条，故正确.
（2）若直线与平面 内的无数条直线都垂直，则 .( )
×
[解析] 若直线与平面 内的无数条相互平行的直线都垂直，
则 不一定成立，故错误.
（3）若 ， ，则 .( )
×
[解析] 若 ， ，则 或 与 相交，故错误.
（4）若空间三条直线，，满足，，则直线与 一定垂
直.( )
√
[解析] ，， ，故正确.
题组二 教材改编
1.已知直线，和平面 ，如果 ，那么“”是“ ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 ，，则 不一定成立，充分性不成立；
若 ， ，则，必要性成立.
故“”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
√
2.在正方体中，直线，分别在平面 和平
面内，且 ，则下列说法中正确的是( )
A.若垂直于，则垂直于
B.若垂直于，则不垂直于
C.若不垂直于，则垂直于
D.若不垂直于，则不垂直于
√
[解析] 若垂直于,
由平面平面 ,平面平面,
可得 垂直于平面,则平面内的所有直线均与 垂直,
则可能垂直于,也可能不垂直于 ,故A,B错误；
如图所示,若不垂直于,则,为平面 内的两条相交直线,
由题可知,,则 平面,
又 平面,所以 垂直于 ,故C正确,D错误.
故选C.
3.在正方形中，，分别是及 的中
点，是的中点．现在沿，及 把这个正方
形折成一个空间四边形，使，， 三点重合，
重合后的点记为，那么，在空间四边形 中
必有( )
A.所在平面 B. 所在平面
C.所在平面 D. 所在平面
√
[解析] 空间四边形如图所示，
对于A，在正方形 中， ， ，
所以在四面体中，，，
又, 平面，，
所以 平面 ，故A正确；
对于B，假设 平面，结合选项A得 ，显然矛盾，
假设不成立，故B错误；
对于C，因为 平面， 平面，所以 ，
又，,平面，，所以平面 ，
假设 平面，则平面平面 ，显然矛盾，
假设不成立，故C错误；
对于D，因为 平面， 平面，所以，
假设 平面，因为 平面，
所以，, , 平面，
故 ，显然矛盾，假设不成立，故D错误.
故选A.
4.在三棱锥中,点在平面上的射影为点 .若
,则点是的____心;若, ,
,则点是 的____心.
外
垂
[解析] 如图①,连接,,,
在,和 中,
因为,所以,
所以为 的外心.
如图②,连接,,并延长,
分别交,,于点,,.
因为 ,,,,平面,
所以平面 ,
又 平面,所以,
又,,, 平面,所以 平面,
又 平面,所以,所以 为的边上的高.
同理可得,分别为的边, 上的高,所以为 的垂心.
探究点一 垂直关系的基本问题
例1 已知两条不同的直线，，两个不同的平面 ， ，则下列说
法正确的是( )
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ，，则
C.若 ，，则
D.若， ， ，则
√
[解析] 对于A，若 ， ， ，
则， 可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若 ， ， ，
则可能有,也可能有,也可能平面, 相交,故B错误；
对于C，若,,则有可能是,也可能,故C错误；
对于D，根据线面平行的性质定理可知若 ，，，
则 ，故D正确.
故选D.
总结反思
与垂直关系有关的命题真假的判断方法
（1）借助几何图形来说明.
（2）寻找反例，只要存在反例，结论就不正确.
（3）反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行
简单说明.
【对点演练1】（1）设 , 是两个不重合的平面，, 是两条不同
的直线，则下列说法正确的是( )
A.若 , , ，则
B.若 ,,，则
C.若 , , ，则
D.若 , , ，则
√
[解析] 对于A,因为 , ,所以可得 或 ,
当 时,因为 ,所以, 平行,相交或异面,故A错误；
对于B,由,,,得当时不满足,故B错误；
对于C,由 , 可得,又 ,所以 ,故C正确；
对于D,如图,在长方体中,
分别取平面 ,平面为平面,,取直线为,为,
显然满足 , , ,但 与 不垂直,故D错误.
故选C.
（2）[2026·河南周口模拟]设，是两条不同的直线， ， 是两
个不同的平面，若 ， ， ，，则“ ”
是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为，且 ，， ，所以 ，
又 ，所以，故充分性成立；
由，无法推出 ，故必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
√
探究点二 直线与平面垂直的判定与性质
例2 如图，在四棱锥中，底面 为
直角梯形，为等边三角形， ，
，.
求证： .
证明：如图所示，取的中点，连接, ，
因为,，所以且 ，
所以四边形是平行四边形，则 ，
因为，所以 ，
又为等边三角形，所以 ，
因为,,平面，所以 平面 ，
因为 平面，所以 .
总结反思
1.证明线面垂直的关键是证明“直线垂直于平面内的两条相交直线”,
而证明线线垂直可以应用线面垂直的性质,若题中给出数据,则也可以
应用勾股定理证明线线垂直.
2.线面垂直的性质主要用于证明线线垂直,即面的垂线垂直于面内任
一直线.
【对点演练2】 如图， 平面，底面 为矩形，
于点，于点 ．
（1）求证： 平面 ；
证明： 四边形为矩形， ，
平面,平面， ，
又,，平面， 平面，
又 平面， ，
又,,,平面，平面 .
（2）设平面交于点，求证： .
解： 平面, 平面 ,,
又,,, 平面 ,平面,
平面 ,
四边形为矩形, ,
平面,平面,,
, 平面,,平面,
又 平面 ,
,, 平面 ,
平面, 平面, .
探究点三 平面与平面垂直的判定与性质
例3 [2026·辽宁辽阳期末] 如图，在正三棱柱
中，,分别为,的中点，
, .
（1）证明： ；
证明：因为三棱柱 为正三棱柱，
所以平面 平面 .
因为为正三角形,为的中点,所以 ,
又平面 平面， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面，所以 .
（2）证明：平面平面 .
解：因为,,,分别为, 的中点,
所以, ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又,,平面, ,
所以 平面 ,
又平面 ,所以平面平面 .
总结反思
1.若条件中已知面面垂直,则通常会应用面面垂直证明线面垂直,即一
个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
2.证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直,则所有经过平面垂线
的平面都与已知平面垂直.
【对点演练3】 在四边形中，, ,
, ，如图①.将延 所在直线折起，
使平面 平面，构成三棱锥 ，如图②，则在三棱
锥 中，下列结论不正确的是( )
A. B.
C.平面 平面 D.平面 平面
√
[解析] 对于B，在四边形中，
因为, ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
在翻折过程中，未发生变化，
故在三棱锥 中，，故B中结论正确；
对于A，由B选项知 ，又因为平面平面，
平面，平面 平面，所以平面，
因为 平面 ，所以，故A中结论正确；
对于C，由选项A知， 平面 ，
因为 平面，所以平面 平面 ，故C中结论正确;
对于D，过点作，垂足为，
因为平面平面 ,平面,平面平面,
所以平面 ,
显然平面，所以平面与平面 不垂直，
故D中结论不正确.
故选D.
探究点四 平行、垂直关系的综合问题
例4 [2025·河北秦皇岛期末] 如图，在正三棱柱中，
为的中点， ， .
（1）证明： ；
证明：因为为正三角形,为 的中点,所以,
因为 平面,平面 ,所以,
因为 平面, 平面,,
所以 平面 ,
又 平面,所以 .
（2）证明：平面 ；
解：连接，与交于点，
则为 的中点，连接.
因为为的中点，所以为 的中位线，
则 .
又 平面， 平面，
所以 平面 .
（3）证明： 平面 .
解：易得，， ，
则 ，所以.
由（1）可知 平面 ，
又 平面，所以 .
因为 平面, 平面,,
所以 平面 .
总结反思
平行和垂直可以互为“桥梁”,可由线线平行证明线线垂直或线面垂直,
也可由线面垂直证明线线平行.
【对点演练4】 [2025·四川成都模拟] 在如图所示的
多面体中，平面 平面 ，
平面， 是正三角形，
四边形是菱形，， .
求证：平面 .
证明：取的中点，连接，，
因为 是正三角形，所以,且 ，
因为平面 平面， 平面，
平面 平面 ，
所以 平面，
又因为 平面，所以 ，
又因为，所以四边形是平行四边形，所以 ，
又因为 平面， 平面，所以平面 .
例1 ［配合探究点二、三使用］[2026·江苏南京外国语学校期中]在
矩形中，,,是边的中点．与交于点 ，
将沿所在直线折起，在翻折过程中当 时，异面直
线和 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例1以翻折问题为背景，结合异面直线所成的角考查线
面垂直，面面垂直，综合性较强.
[解析] 如图①，在矩形中，,,是 边的中点，
则，可得，
又 ，
所以，所以 ，
则 ，故 .
如图②，将沿所在直线折起，点的对应点设为 ，
在翻折过程中，当时，
因为,,, 平面,所以平面,
因为 平面 ，所以平面 平面.
因为, 平面，平面 平面，
所以 平面.
连接，因为 ，
所以（或其补角）即为异面直线和 所成角.
因为，所以，
，则，
又 ，所以，
即所求角的余弦值为 ，故选D.
例2 ［配合探究点四使用］[2026·河南郑州十一中期末]
如图，已知四边形是矩形， 平面，
，分别是棱， 上的点，且满足 .
（1）若，求证：直线平面 .
【备选理由】例2属于平行、垂直关系的综合问题，并以探索提问的
方式呈现，对学生的能力要求较高.
证明：如图，取的中点，连接， ，
由，得是的中点，是 的中点，
则， ，
由四边形是矩形，是 的中点，
得, ,所以,,
所以四边形 是平行四边形，则，
又 平面， 平面 ，所以直线平面 .
（2）是否存在实数 ，使直线同时垂直于直线和直线 ？
如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由.
解：假设存在实数 ，使得同时
垂直于直线 和直线，
由四边形是矩形，得 ，
则，，
又，, 平面，所以 平面 .
由 平面， 平面，得，
又 ,,,平面 , 所以平面.
则.
在矩形的边 上取点，使 ，连接，
则，与 矛盾，则假设不成立，
所以不存在实数 ，使直线同时垂直于直线 和直线 .
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3结合几何体体积最值问题考查线面垂直、面面垂直，
综合性较强，能力要求较高.
例3 ［配合探究点二、三使用］
（1）[2026·吉林长春期末]在三棱锥中，， 为
的中点，且，，和 都是面积为
的锐角三角形，则当三棱锥 的体积取得最大值时，
( )
[解析] 因为,,,, 平面,
所以 平面.
过作，垂足为 ，
因为 平面， 平面，所以 ，
又，, 平面，所以 平面，
即 为三棱锥的高.
记， ， ，
则，.
由的面积为 ，得，则.
要使三棱锥 的体积最大，只需使最大.
在 中，由余弦定理得 ，
.
，
其中,.
令 ，记 ，则，
令,得或 （舍），
则当,时，,当,时，,
所以在, 上单调递增，在,上单调递减.
所以当时， 取得最大值，即取得最大值，
此时三棱锥 的体积最大，
所以此时 ，故选A.
（2）如图，正方形和矩形 所在的平面互
相垂直.点在正方形内部运动，点 在矩形
及其内部运动，设, ，若
，则四面体 体积的最大值为___.
4
[解析] 连接 ,如图①,因为平面 平面,
平面 平面, 平面,且 ,
所以 平面.
又 平面 ,所以 ,
又,,, 平面,
所以 平面 ,
又 平面,所以 .
又在正方形内部，所以点 的轨迹是如图①所示
的以线段为直径的半圆（不含点且不含点 ）.
作于，则是三棱锥 的高.
所以当的面积和 都取得最大值时，
四面体 的体积最大，
此时点应该与或重合，为正方形 的中心.
当点与点重合,为正方形 的中心时,如图②,
此时， ，
所以 ；
当点与点重合,为正方形 的中心时,如图③,
此时， ，
所以 .
综上可知，四面体 体积的最大值为4.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·河北张家口质检]已知 是一个平面，, 是两条不同的直
线， , ,，则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 ，由 ，得；
若,则与 可能垂直、可能相交也可能平行,还有可能平面.
故是 的充分不必要条件.
故选A.
√
2.设,,表示不同的直线， , , 表示不同的平面，则下列说法
中正确的是( )
A.若 , ，则
B.若，且 ，则
C.若 , , ，则
D.若, , ，则
√
[解析] 对于A,若,,则与 可能会相交或平行,故A错误；
对于B,若,且 ,则根据线面垂直的性质可知,故B正确；
对于C,若,,,则, 可能平行、相交或异面,故C错误；
对于D,若,,,则与 可能相交或平行,故D错误.
故选B.
3.如图，在正方体中，与 垂
直的平面是( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
√
[解析] 如图，连接，，
由正方形 得，
又 平面， 平面，
所以 ，
因为， 平面，
平面，所以 平面 .
其他选项均不符合题意，故选B.
4.在正四棱锥中，，，分别是棱，， 的中
点，是底面 的中心，则( )
A.平面 B. 平面
C.平面 D. 平面
√
[解析] 如图,连接, ,在正四棱锥中,,
设 ,连接,
在中,由,分别是边, 的中点,
得,是线段 的中点,
因为为的中点,所以,
又平面,平面 ,所以平面,故C正确,D错误；
由平面, 平面,得,与相交但不垂直,
因为,且 ,,平面,所以与 相交不垂直,
故A,B错误.故选C.
5.[2026·浙江慈溪期末]已知正四面体的棱长为2,点是 的
中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点
的轨迹长度为( )
A.4 B. C. D.
√
[解析] 如图,连接,,因为, ,所以,,
又,, 平面,所以平面 ,
因为点始终保持,且 在正四面体表面运动,
所以的轨迹为平面 与正四面体表面的交线,
即的三边.
易知为等腰三角形,
其中为底边,长为2, 和为腰,长均为,
因此点的轨迹长度为 .故选D.
6.如图所示,在三棱锥中，平面 平
面,, ，则( )
A. 平面
B.平面
C.与平面 相交但不垂直
D.平面 平面
√
[解析] 对于A,B,因为 平面, 平面,
所以 平面 ,故A,B错误；
对于C,D,因为,,所以 ,
因为平面 平面,
平面 平面, 平面,
所以 平面,
又 平面 ,所以平面 平面 ,故C错误,D正确.
故选D.
7.（多选题）如图，在正方体 中，，，分别
为所在棱的中点， 为下底面的中心，则( )
A.平面 平面
B.
C.
D.平面
√
√
√
[解析] 如图①，连接，平面 即为平面，
由正方体性质可得， 平面，
因为 平面，所以 ，
又，， 平面 ，
所以 平面，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
故A正确.
如图②，取的中点，连接，，
易得， 平面，
因为 平面，所以 ，
又，， 平面，
所以 平面 ，
又 平面，所以 ，故B正确；
如图③，易得，则判断，即判断 ，
又，所以是以为直角的直角三角形，
则与 不垂直，即与 不垂直，故C错误；
连接，易知，，所以，
又 平面, 平面,
所以平面,D正确.
故选 .
8.如图，在直四棱柱 中，当底面
满足条件_______________________ 时，有
.（只需填写一种正确条件即可）
（答案不唯一）
[解析] 连接，， ，
根据直四棱柱可得,
且 ,所以四边形是矩形,
所以 ,同理可证.
当时,可得 ,
因为 平面, 平面,所以 ,
又,, 平面,所以 平面,
因为 平面,所以,所以当 时满足题意.
9.在三棱锥中，三条侧棱，则顶点 在平面
内的射影是 的______.（填“内心”“外心”“重心”“垂心”）
外心
[解析] 如图，顶点在底面内的射影为 ，
则 平面，连接，， ，
，，在平面 内，
，， ，
，，都是直角三角形，
，，和三个三角形全等，
， 为 的外心.
10.[2026·广东广州质检] 如图，在四棱锥中，底面
为矩形，，，为等边三角形，平面 平面
，为的中点.
证明：平面 平面 .
证明：如图所示，取的中点，连接 ，
因为为等边三角形，所以 ，
因为平面 平面，
平面平面 ,平面,
所以 平面，
因为 平面，所以.
因为底面为矩形，所以 ，
因为,平面,平面,所以 平面,
因为 平面，所以平面 面 .
◆ 综合提升 ◆
11.在正方体中，为底面的中心，为棱
的中点，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，连接，易得 ，
在平面中，与不垂直，
故与 不垂直，
同理与 不垂直，故A错误，D错误.
√
在正方体中，平面， 平面，
所以，假设 ，则,
这与 矛盾，故假设不成立，所以与不垂直，故B错误.
因为 平面 ， 平面，所以，
又 ，，
所以 平面，
又 平面，所以，
即 ，C正确.
故选C.
12.（多选题）[2025·吉林白城调研]如图，
为圆 的直径， ,垂直于
圆所在的平面， 为圆周上不与点,重合
的点，， ，则下列结论
正确的是( )
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面 平面 D.平面 平面
√
√
√
[解析] 由 平面, 平面 ，
得平面 平面，故D正确.
由 平面, 平面,得,
又为圆的直径, 为圆周上不与点,重合的点,
所以 ,
又,,平面,所以平面,
又 平面,所以平面 平面,故C正确.
由 平面, 平面,得,
又,,, 平面 ,所以 平面,
又 平面,所以,
又 ,,, 平面,所以 平面,
又 平面,所以平面 平面 ,故A正确.
对于B,平面 平面, 平面 ,,
假设平面 平面,则必有 平面,
而 平面,则必有 ,
因为 平面, 平面,所以 ,
又, 平面,所以.
因为 垂直于圆所在的平面,,所以 ,
又,所以为的中点.
因为线段是圆 的直径,为圆周上不与点,重合的点, ,
因为,
所以不是 的中点（否则会得到,这与矛盾）,
所以 不成立,即假设不成立,
所以平面平面 的结论不正确,故B错误.
故选 .
13.如图，在棱长为2的正方体
中，是的中点，点为正方形 内（含边界）动点，若
，则 的最小值是____.
[解析] 取,的中点分别为,,连接 , ,,,,,如图,
易知 ,因为,所以,
因为 平面, 平面,所以 ,
因为,, 平面,所以 平面,
因为 平面,所以.
因为 ,,
,
所以 ,故,
所以,故,
因为 平面, 平面 ,所以,
因为,, 平面,所以 平面,
因为 平面,所以,
因为 ,, 平面,所以 平面 ,
当点在线段上时, 平面 ,此时
, ,
,
因为 ,
所以为钝角,则的最小值为 .
14.如图，在四棱锥中， 平面
，， .
（1）求证：平面 平面 .
证明：由题意，
因为 平面 ，且 平面，
所以，
又，， ， 平面，所以 平面.
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）设是上任意一点，证明： .
证明：由（1）得 平面，
因为，所以 平面，
又 平面，所以 .
（3）点为的中点，在棱上是否存在点 ，
使得平面 ？并说明理由.
解：当为的中点时，平面 ，
证明如下，
因为为的中点，为 的中点，所以，
又 平面， 平面 ，所以平面 .
【知识聚焦】1.（1）任意一条直线 垂线 垂面 （2）两条相交直线 平面
2.（1）直二面角 （2）垂线 交线
【课前演练】题组一 （1）√ （2）× （3）× （4）√
题组二1.B 2.C 3.A 4.外 垂
课堂考点探究
例1 D 对点演练1（1）C （2）A 例2 证明略 对点演练2 证明略
例3 证明略 对点演练3 D 例4 证明略 对点演练4 证明略
教师备用习题
例1 D 例2（1）证明略 （2）不存在.理由略 例3（1）A （2）4
夯实基础
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.ABD
8.（答案不唯一） 9.外心
10.证明略
综合提升
11.C 12.ACD 13.
14.（1）证明略 （2）证明略
（3）存在，为的中点

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