资源简介

(共89张PPT)
第40讲 空间向量及其运算和
空间位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向
量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
4.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与
平行关系.
6.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
◆ 知识聚焦 ◆
1.空间向量及其有关概念
名称 语言描述
共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线_________
_______
直线 的方向 向量 在直线上任取__________,与向量 ______的非零
向量
基底 空间任意三个不共面的向量
共面向量 平行于____________的向量
互相平行
或重合
非零向量
平行
同一个平面
名称 语言描述
共线向量定理 对任意两个空间向量,, 存在实数
,使________
共面向量定理 如果两个向量,不共线,那么向量与向量, 共面
存在唯一的有序实数对,使
续表
名称 语言描述
空间向量基本 定理 定理：如果三个向量,, 不共面,那么对任意一个空
间向量,存在唯一的有序实数组,使得
_____________.
推论：设,,, 是不共面的四点,则对空间任意一
点都存在唯一的有序实数组 ,使
续表
2.两个向量的数量积
（1）___________ 为,的夹角 .
（2） _________,为非零向量 .
（3）____;设,则 .
3.空间向量投影
（1）向量在向量上的投影向量
如图①,在空间,向量向向量投影,先将它们平移到同一个平面 内,
进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,
_ _____________,向量称为向量在向量 上的__________.
,
投影向量
（2）向量在直线上的投影向量
如图②,类似于向量向向量投影,可以将向量向直线 投影.
（3）向量在平面上的投影向量
如图③,向量向平面 投影,分别由向量的起点和终点作平面
的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量_____称为向量在平面
上的投影向量.
4.向量的坐标运算
设,
向量和 ________________________
向量差 ________________________
数量积 __________________
共线 _________________________,
垂直 ______________________
,,
模
夹角公式 ,
距离公式:已知,,则
__________________________________.
续表
5.直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与
直线____________，则称此向量为直线 的方向向量.
（2）平面的法向量：直线 ，取直线的方向向量，则向量
叫作平面 的法向量.
平行或重合
6.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线， 的方向向量 分别为，
直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为
平面 ， 的法向量 分别为，
常用结论
1.已知为线段的中点,若,,则点 的坐标为
.
2.在空间中,为平面，，外一点，,,, 四点共面的充要条件
是（其中 ）.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，，则, 是钝角
.( )
×
[解析] 当时，,可能等于 ,也可能是
钝角.
（2）若，，，四点共面，则空间中任意一点 满足
.( )
×
[解析] .
（3）若,在直线上，则直线 的一个方向向量为
.( )
√
[解析] ,在直线上,
的一个方向向量为,
的共线向量也为直线 的一个方向向量.
（4）若,,构成空间的一个基底，则,, 也构成空间
的一个基底.( )
×
[解析] 因为，所以，， 这三
个向量共面，故这三个向量不能构成空间的一个基底.
题组二 教材改编
1.若，，三点共线，则
( )
A. B. C.4 D.0
[解析] 因为，，
所以 ，解得（舍，否则点，重合）或
， ，
所以 .故选A.
√
2.如图所示，在平行六面体中，为与
的交点，若,，，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得， .故选D.
√
3.已知直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量
为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 若 ，则，所以，即 ，
解得 .故选A.
√
4.已知向量,,，若,,, 四
点共面，则在 上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,,,四点共面，所以存在实数, ，使得
，即，
则, , ,则，
所以在 上的投影向量的模为 .故选B.
√
5.如图，线段，在平面 内，， ，且
，，，则， 两点间的距离为______________.
[解析] 因为 ，, 平面 ，
所以,，
所以 , ,
又，所以 ，
根据向量的线性运算可得，，
则
，
所以 .
探究点一 空间向量的线性运算
例1（1）[2025·重庆南开中学模拟]如图，在正四棱锥
中，为棱的中点，设, ,
，则用,,表示 为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可得 .故选C.
√
（2）[2025·江苏无锡联考]如图，在三棱柱
中，为的中点，若 ,
,，则 可表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题得 .故选D.
√
总结反思
空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主,具体求解
过程中要注重结合图形,依据三角形法则、平行四边形法则合理运算.
【对点演练1】（1）[2025·湖北武汉二模]在三棱柱 中，
设,,，，分别为，的中点，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 在三棱柱 中，
，故选B.
√
（2）如图，在空间四边形中， ，
，，点在上，且 ，
点为的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 连接，则 ，
所以 .
故选B.
√
探究点二 共线、共面向量定理及其应用
例2（1）设向量,,不共面，已知 ，
,,若,, 三点共线，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 方法一：因为,,三点共线，所以，
则存在实数 ，使得，
由已知得 , ,
故,
由于,, 不共面，故解得
方法二:因为，，三点共线，所以 ，
由已知得, ,
因为,,不共面，所以，解得 .故选C.
（2）在三棱柱中，，， ．若点
满足，且点在平面内，则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 因为，且点 在平
面内，所以，解得 .故选B.
√
（3）已知空间向量,, .若
,,,四点共面，则 _____.
[解析] 因为,,,四点共面，所以,, 共面，
所以存在唯一的实数对，使得，即
所以所以 ，
所以 .
总结反思
1.共线问题的两种形式：
（1）已知{,,}是空间的一个基底,且 ,
,若,则 ;
（2）若,,三点共线,则存在 使 或空间
中任意一点满足,且,是实数 .
2.应用共线（面）向量定理证明点共线（面）的方法比较
三点 共线 空间四点 共面
对空间任一点 ， 对空间任一点 ，
对空间任一点 ， 对空间任一点 ，
【对点演练2】（1）[2025·广东汕头联考]已知空间向量
，，，若，， 共面，则
实数 ( )
A.2 B.3 C.13 D.
[解析] 由空间向量，，共面，得 ，
即，
则 解得 故选D.
√
（2）[2025·湖南娄底期末]已知为空间任意一点，,,, 四点共面，
且任意三点不共线，若，则 的值为( )
A. B. C. D.1
[解析] 因为为空间任意一点，，且， ，
，满足任意三点不共线，但四点共面，所以 ，
解得 .故选C.
√
探究点三 空间向量的数量积及其应用
例3（1）已知向量，，， ，
则在 上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由可得，解得 ，
即，所以.
因此在 上的投影向量为 .
故选A.
√
（2）[2026·广西桂林模拟] 在平行六面体 中，底
面是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且
，求 的长.
解： 如图，连接,设，， ，
依题意得，, ,
,
而 ，
所以
，
所以 .
总结反思
由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和 ，
，与 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，
才能使 计算准确.
【对点演练3】（1）[2025·江苏淮安联考]已知 ,
，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] ,，当时， ，解得
，此时，与的夹角为 ，所以与 的夹角不可
能为 ，
当与 的夹角为锐角时，，
解得，则实数 的取值范围是 .故选D.
√
（2）如图所示，在棱长均为2的平行六面体
中，
，点为
与的交点，则 的长为_____.
[解析] 由题得，
，
，
所以，
所以 .
，
因为 ，
探究点四 利用空间向量证明平行或垂直
例4 [2025·四川绵阳期末] 如图，在四棱锥
中， 底面， ，
，，，点
为棱 的中点．求证：
（1）平面 ；
证明：因为 平面，， 平面，
所以，，
又 ，所以，，两两互相垂直，
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，则，，，
，.
由为棱 的中点，得 .
因为平面， 平面，所以 ，
又，，, 平面，所以 平面 ，
所以向量为平面 的一个法向量，
，因为，所以 ，
又 平面，所以平面 .
（2）平面 平面 .
证明：设平面的法向量为 ，
因为, ，
所以即
不妨令 ，可得 .
设平面的法向量为 ，
因为， ，
所以即
不妨令，可得 .
因为 ，
所以，所以平面 平面 .
总结反思
利用空间向量判断线面位置关系,首先要建立空间直角坐标系,建系需
满足三条直线两两垂直;其次求相应的向量.直线和平面分别对应直线
的方向向量和平面的法向量 ,利用两个向量的位置关系判断线面位
置关系.
【对点演练4】 如图，在四棱锥 中，底面
是矩形，,分别是,的中点， 平
面，且, .
（1）证明：平面 ；
证明：因为 平面，， 平面
，所以，，
又 ，所以，,两两垂直，
故以为原点，,, 所在直线分别为轴、轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,, ,
，所以，
易知为平面 的一个法向量，
因为，所以，即 ，
因为 平面，所以平面 .
（2）证明： .
证明：由（1）得， ,
，
因为 ，
所以，即 .
【备选理由】例1（1）是空间四个点共面的条件与基本不等式结合
求最值；例1（2）考查空间中的三点共线，考法新颖.
例1 ［配合探究点二使用］
（1）[2026·江苏镇江模拟]已知,,, 为空间中的四个点，其中任
意三个点不共线，且，若, ,
,四点共面，不在该平面上，则 的最小值为( )
A.4 B.5 C. D.9
√
[解析] 因为,,,四点共面， 不在该平面上，
,所以 ，即
，所以 ，
因为，当且仅当，且，即 ,
时，等号成立，所以 ，
故选C.
（2）[2026·上海财经大学附中期中]已知正方体
的棱长为2，点 是上底面
（正方形）的中心，点 是正方体棱上
的点，以点为坐标原点，分别以，，
所在的直线为轴、轴、 轴建立如图所示的空间
A. B. C. D.
直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点 所在的棱
可以是( )
√
[解析] 由题意得, ，则，
设 ，则
， ,
因为是平面 的一个法向量，所以
即.
对于A，若在上，则,, ，不符合题意，所以不在
上，所以A错误.
对于B，若在 上，则, ,，符合
题意，所以可以在 上，所以B正确.
对于C，若在上，则 ,, ，
不符合题意，所以不在 上，所以C错误.
对于D，若在上，则, ,，
不符合题意，所以不在 上，所以D错误.故选B.
【备选理由】例2利用空间向量数量积求最值，可以与平面向量数量积
求最值问题进行类比.
例2 ［配合探究点三使用］已知，， 是长方体
表面上任意三点，且，， ，
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，由极化恒等式得， .
因为，，是长方体 表面上任意三点，所以当
，位于体对角线的两个端点时， 的值最大，最大值为56，此
时为长方体的中心，
则当位于长方形（或长方形 ）的中心时，的值
最小，最小值为1，所以的最小值为 .
故选B.
【备选理由】例3补充利用空间直角坐标系解决立体几何探索类题目.
例3 ［配合探究点四使用］如图，在五面体
中， 平面， ，
，， ，
，,分别为,的中点，连接, ,
，， .
（1）求证： 平面 .
解：证明：因为 平面, 平面
，所以 .
又因为,，, 平面
，所以 平面 .
又 平面，所以 .
因为,为的中点，所以 .
因为,，所以 .
又因为,分别为,的中点，所以 .
又，所以，则,,, 四点共面.
又, 平面, 平面 ，所以 平面 .
（2）棱上是否存在点，使得平面 ？
若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
解：因为 平面，所以 ,
.
又，所以,, 两两垂直.
以为原点，,,所在直线分别为轴、
轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
于是，,, ,
，，
则 ，，，
.
假设棱上存在满足题意的点，且，
，
则 .
设平面的法向量为 ，
则即
令 ，则 .
令，则 ，
解得 ，此时，
又 平面，所以此时 平面 .
所以棱上存在点，使得平面 ，
此时 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.在空间直角坐标系中，已知点，，点 满足
，则点 的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则， ，
因为，所以解得则 .故选A.
√
2.已知空间向量，，若 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得，解得，，
则 .故选D.
√
3.已知向量，，则在 上的投影向量为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 向量在向量上的投影向量为 .
故选A.
√
4.已知直线经过点与点，向量 是
直线的一个方向向量，则 ( )
A. B. C.2 D.3
[解析] 由点,点，可得 ，
因为是直线的一个方向向量，所以存在实数 ，使得
，则解得 故选C.
√
5.[2025·四川泸州期末]在四面体中，,, ，
且,，则 等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为,，所以，点为 的中点，
所以 .
故选B.
√
6.[2026·江苏南通期末]已知,,三点不共线，点在平面 外，
点满足，则当点,,,共面时，实数
( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得，
所以 ，
当点,,,共面时，可得，解得 .故选A.
√
7.[2026·四川宜宾期末]如图所示，在平行六面体
中， ,
，则
的值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 因为
，，
所以
.故选A.
8.已知，，且，则 _____.
[解析] 因为，，且 ，
所以，解得，
所以 ，
所以 ，
则 .
9.在正四面体中，点是 的中心，若
，则 _ _.
[解析] 如图，在正四面体中，连接 并延
长，交于点，连接 ，
则， ，
于是
，
所以,,，故 .
10.如图，在直三棱柱中， ,
，棱，,分别为, 的中点.
（1）求 ；
解：以点为坐标原点，，，的方向分别为
轴，轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ，
，，，可得 ，
所以，即 .
证明：由（1）可得， ，
，
则 ，，
所以， ，
因为，, 平面，
所以 平面 ，
所以是平面 的一个法向量.
（2）求证：是平面 的一个法向量.
◆ 综合提升 ◆
11.如图，在棱长为2的正方体 中，
为棱的中点，点在底面正方形 内
（包含边界）运动，满足，则点 的轨
迹长度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为原点，，， 所在直线分别
为轴，轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，则,，
设,, ，
则, ，
由，得 ，整理得
，所以点的轨迹是以点 为圆心，1为半
径的圆，此圆在正方形内部，
所以点的轨迹长度为 .故选C.
12.如图，在三棱锥中，点 为底面三角形
的重心，点是线段的中点，过点 的平面
分别交，，于点，，，若 ，
，，则 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
√
[解析] 由题意可知，
因为,,,四点共面，所以存在实数, ，使，
所以 ，
,
所以
，
所以
所以 .故选B.
13.（多选题）[2025·山东潍坊二模]在正方体 中，
，分别为棱， 的中点，则( )
A.与异面 B.平面
C. D. 平面
[解析] 以点为坐标原点，，， 所在直
线分别为轴,轴, 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，则， ，
，，， ，.
√
√
对于A选项，因为 平面，平面，
， 平面，所以 与异面，A正确；
对于B选项， ，
易知平面的一个法向量为 ，则
，所以与平面 不平行，B错误；
对于C选项， ，所以，故 ，
C正确；
对于D选项， ，所以，
所以， 不垂直，故与平面不垂直，D错误.故选 .
14.如图，在四棱锥中， 平面, ,
，，为 的中点.
（1）求证：平面 平面 .
解：证明：因为 平面,, 平面
，所以，，
又 ，所以，，两两垂直，
以为原点，， ，所在直线分别为，， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则, ，
则 ，,,, ,
所以 ， ，.
设平面 的法向量为 ，
则即
令，则，，所以 ，
可得,所以 平面，
又 平面，所以平面 平面 .
（2）试问在棱上是否存在点，使？
若存在，指出点 位置，若不存在说明理由.
解：由（1）知，假设在棱 上存在满
足题意的点，且, ，
则
，
又 ，所以 ，
解得，所以不存在满足题意的点 .
【知识聚焦】1.互相平行或重合 非零向量 平行 同一个平面
2.（1） （2） （3） 3. （1）, 投影向量
（3） 4.
,,
5.平行或重合
【课前演练】 题组一（1）× （2）× （3）√ （4）×
题组二 1.A 2.D 3.A 4.B 5.
课堂考点探究
例1（1）C （2）D 【对点演练1】（1）B （2）B 例2（1）C （2）B （3）
【对点演练2】（1）D （2）C 例3（1）A （2）. 【对点演练3】（1）D （2）
例4（1）证明略. （2） 证明略. 【对点演练4】（1）证明略. （2） 证明略.
教师备用习题
例1（1）C （2）B 例2 B 例3（1）证明略.
（2）所以棱上存在点，使得平面，此时.
夯实基础
1.A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.A 7.A 8. 9.
10.（1） .（2）证明略.
综合提升
11.C 12.B 13.AC
14.（1）证明略. （2）不存在满足题意的点，理由略.第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系
【备选理由】 例1(1)是空间四个点共面的条件与基本不等式结合求最值;例1(2)考查空间中的三点共线,考法新颖.例2利用空间向量数量积求最值,可以与平面向量数量积求最值问题进行类比.例3补充利用空间直角坐标系解决立体几何探索类题目.
1 [配合探究点二使用] (1)[2026·江苏镇江模拟] 已知M,A,B,C为空间中的四个点,其中任意三个点不共线,且=x+y-(x>0,y>0),若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则+的最小值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.5 C. D.9
(2)[2026·上海财经大学附中期中] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是上底面(正方形A1B1C1D1)的中心,点F是正方体棱上的点,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,若平面BEF的一个法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱可以是 ( B )
A.AD B.CD
C.CC1 D.DD1
[解析] (1)因为M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,=x+y-(x>0,y>0),所以x+y-1=1,即x+y=2,所以+=(x+y)=,因为+≥2=4,当且仅当=,且x+y=2,即x=,y=时,等号成立,所以+=≥(5+4)=,故选C.
(2)由题意得B(2,0,0),E(1,1,2),则=(-1,1,2),设F(x,y,z)(0≤x,y,z≤2),则=(x-2,y,z),=(x-1,y-1,z-2),因为n=(8,2,3)是平面BEF的一个法向量,所以即8x+2y+3z-16=0.对于A,若F在AD上,则x=0,z=0,y=8,不符合题意,所以F不在AD上,所以A错误.对于B,若F在CD上,则y=2,z=0,x=,符合题意,所以F可以在CD上,所以B正确.对于C,若F在CC1上,则x=2,y=2,z=-,不符合题意,所以F不在CC1上,所以C错误.对于D,若F在DD1上,则x=0,y=2,z=4,不符合题意,所以F不在DD1上,所以D错误.故选B.
2 [配合探究点三使用] 已知P,Q,R是长方体ABCD-A1B1C1D1表面上任意三点,且AB=6,AD=4,AA1=2,则·的最小值为 ( B )
A.-14 B.-13
C.-10 D.-5
[解析] 取QR的中点M,由极化恒等式得,·=-.因为P,Q,R是长方体ABCD-A1B1C1D1表面上任意三点,所以当Q,R位于体对角线的两个端点时,的值最大,最大值为56,此时M为长方体的中心,则当P位于长方形ABCD(或长方形A1B1C1D1)的中心时,的值最小,最小值为1,所以·的最小值为-13.故选B.
3 [配合探究点四使用] 如图,在五面体ABCDPQ中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD,AD=CD=DP=4,AB=3,E,G分别为BQ,AP的中点,连接DG,EG,CE,CP,ED.
(1)求证:AP⊥平面DCE.
(2)棱BC上是否存在点M,使得CP∥平面DGM 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PD⊥CD.
又因为CD⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD.
又AP 平面PAD,所以CD⊥AP.
因为AD=DP,G为AP的中点,所以AP⊥DG.
因为PQ∥CD,AB∥CD,所以PQ∥AB.
又因为E,G分别为BQ,AP的中点,所以EG∥AB.
又CD∥AB,所以EG∥CD,则C,D,G,E四点共面.
又CD∩DG=D,DG 平面DCE,CD 平面DCE,
所以AP⊥平面DCE.
(2)因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC.
又AD⊥CD,所以DA,DC,DP两两垂直.
以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
于是D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,3,0),C(0,4,0),P(0,0,4),G(2,0,2),则=(4,3,0),=(-4,1,0),=(2,0,2),=(0,-4,4).
假设棱BC上存在满足题意的点M,且=λ,λ∈[0,1],
则=+=+λ=(4-4λ,3+λ,0).
设平面DGM的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=3+λ,则n=(3+λ,4λ-4,-3-λ).
令n·=0,则-4(4λ-4)+4(-3-λ)=0,解得λ=,
此时n⊥,又CP 平面DGM,所以此时CP∥平面DGM.
所以棱BC上存在点M,使得CP∥平面DGM,此时=.

展开更多......

收起↑