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素养导向 解题指引——立体几何
例 [2025· 全国一卷］如图所示的四棱锥
中， 平面， ,
.
（1）证明：平面 平面 .
（2）若，, ,,,, 四点在同一个球
面上，设该球的球心为 .
证明：在平面 上；
求直线与直线 所成的角的余弦值.
［思路分析］
（1）通过证明，再结合 ，
证得 平面 ，即可证得面面垂直.
（2） 方法一：建立空间直角坐标系并表
示出各点的坐标，在平面中，得出的外心 的坐标，进而得
出点在空间中的坐标，计算出可知点与 重合，即可证
明结论；
方法二：找到的外心，求出 ，
可得到外心到，，， 的距离相等，
得出外心即为，，， 所在球的球心，
即可证明结论.
方法一：写出直线和 的方向向量，即可求出所成角的余弦值.
方法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线于 ，连
接，，利用勾股定理求出的长，进而得出 的长，在
中由余弦定理求出，即可得到直线与直线 所成
角的余弦值.
解：
［得分秘籍］
求解立体几何问题的策略:
（1）证明线面位置关系的问题,若条件易于求解,则直接应用几何法进
行证明,否则建立空间直角坐标系,应用空间向量进行位置关系的判断;
（2）求角的问题一般用空间向量求解,要明确应用空间向量求解线线
角、线面角、面面夹角的基本方法;
（3）求解动点问题一般可将其坐标用参数表示,即可根据条件,得到
关于参数的方程（组），进而求解;
（4）求解探索性问题一般用先猜（观察）后证的方法或者直接肯定
结论是正确的,进而求出所需条件;
（5）应用空间向量求解立体几何问题时,要注意求解法向量的准确性,
以及运用相关公式的准确性.

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