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(共54张PPT)
微专题9 空间动态问题
微点一
微点二
微点三
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
微点一 空间位置关系的判断
例1 如图，在棱长为2的正方体
中，为的中点，动点沿着线段从点 移动
到点 ，则下列结论中正确的是( )
A.直线与直线 为异面直线
B. 恒为钝角
C.三棱锥 的体积越来越大
D.
√
[解析] 对于A，易知，所以直线 与直线 为共面直线，A错误；
对于B，由正方体的性质可知，所以当与重合时， 为锐角，B错误；
对于C，因为， 平面， 平面，所以平面，又 ，所以到平面的距离为定值，又三角形 的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，错误；
对于D，因为 平面， 平面，所以，又 ，，所以 平面，因为 平面 ，所以 ，D正确.故选D.
总结反思
1.有关线面平行的动点问题，往往转化为面面平行问题，动点的运动
轨迹为与题干中对应平面平行的平面与题干中所给运动轨迹的交线.
2.有关线线垂直的动点问题往往转化为线面垂直问题，动点的轨迹通
常位于与题干中所给定直线垂直的平面上.
【对点演练1】 （多选题）如图，边长为1的正方形 所在平面
与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在对角线 和
上移动，且 ，则下列结论中正确的有
( )
A.当时，与 相交
B.始终与平面 平行
C.异面直线与所成的角为
D.当时，的值最小，最小值为
√
√
[解析] 以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,, .
因为，所以 ,
.
当时， , ，所以 , ,.
假设与 相交，则，，共面，则存在实数， 使得，则 该方程组无解，所以假设不成立，与 不相交，故A错误.
平面的一个法向量为 , ，所以 ，又 平面，所以始终与平面 平行，故B正确.
, ，设异面直线与 所成的角为 ，所以 ，所以异面直线与所成的角为 ，故C错误.
，所以当 时，的值最小，最小值为，故D正确.故选 .
微点二 轨迹问题
例2 如图，在棱长为2的正方体
中，为棱的中点， 为正方体表面上的动点，且
.设动点的轨迹与点组成曲线 ，则
( )
A.是平行四边形，且周长为
B.是平行四边形，且周长为
C.是等腰梯形，且周长为
D.是等腰梯形，且周长为
√
[解析] 如图，分别取,的中点,，连接 ，，，，，， ，则，则，，，四点共面.
若 为面上的动点，由正方体
的性 质易得，平面 平面，且平面 平面，要使，只需，此时 的轨迹为线段（不包含点）.
若为面 上的动点，由正方体的性质易得，平面 平面 ，且平面 平面，要使 ，只需，由，分别是， 的中点，易得，故此时的轨迹为线段 （不包含点）.
所以曲线为过点，， 的平面与正方体各表面的交线，即梯形 .
因为正方体的棱长为2，所以， , .
所以曲线 为等腰梯形，且周长为 .故选D.
总结反思
求解立体几何中的动点轨迹问题的常用方法
①几何法.根据图形特征,应用定义确定相应轨迹.
②坐标法.建立空间直角坐标系,根据几何关系找到或计算出动点所满
足的数量关系,结合各种曲线的定义和特征进行判断.
【对点演练2】 如图，在四棱锥 中，
平面，底面 为正方形，
，点,分别为,的中点，点 为
内的一个动点（包括边界），若 平面
，则点 的轨迹的长度为_ __.
[解析] 由题意知，,,两两垂直，以 为原点，,,所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，记的中点为 ，连接.
因为四边形为正方形，为 的中点，所以，且，所以四边形 为平行四边形，所以.
又 平面， 平面，所以平面 .
记点的轨迹与交于点，连接，，由题知平面.
因为 , 平面，，所以平面平面 ，所以线段即为点的轨迹.
因为,,,, ,
，所以,, , .
设，则 .
设为平面 的法向量，则令 得.
因为，所以 ，解得，则.
又 ，所以 ，所以 .
微点三 最值、范围问题
例3 （多选题）[2025·浙江宁波期末]如图，圆锥 的底面直径为
，，， 为底面圆上的动点，则( )
A.当直线与所成的角为 时，直线 与
所成的角为
B.当直线与所成的角为 时，直线 与
所成的角为
C.直线与所成角的最小值为
D.直线与所成角的最大值为
√
√
[解析] 对于A，B，过分别作直线， 平行于,，分别交,于点,，连接, ，如图，则为直线与 所成的角，即， 且为直线,所成的角.
易知 平面 ， 平面，又 平面， 平面，所以 ，.
设，则, , .
在中， ,, ，所以 ，故A错误，B正确.
对于C，D，易知直线与所成角的最小值为直线 与底面所成的角，为 ，同时直线 与所成角的最大值为直线与 所成的角，为 ，故D错误，C正确.
故选 .
总结反思
立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题的常用解题思路
（1）直观判断：判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大
（小）值；
（2）有关线线角最值问题可根据平面外一条直线与平面形成的线面
角，是这条直线与平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）
来求解；
（3）函数思想：通过建系或引入变量，把待求的量转化为函数关系
式，从而利用代数方法求解.
【对点演练3】 将边长为的正方形沿对角线 折起，使
点到达的位置，连接，得到三棱锥,是线段 上的
动点，，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，连接, ，则.
以为原点，, 所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则,， , ，所以, , ,,.
设 ， , ，则 ，故.
因为 ，所以，所以
因为，所以 ，所以 ，所以，即 的取值范围是 .故选B.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·上海复旦中学期中]如图所示，在正方体
中，点为线段 上的动点，则
下列直线中，始终与直线 异面的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由正方体的性质易知，当为的中点时， 为的中点，因为，所以,,, 共面，则此时，都在平面 内，故A不符题意；
连接，因为，所以,,, 共面，易知
平面， 平面， 平面， ，所以与异面，故B符合题意；
连接，，易知 , ，则四边形是平行四边形，当与重合时 ，故C不符合题意；
当与重合时，显然与 相交，故D不符合题意.故选B.
2.[2025·山东潍坊一模]如图所示，在棱长为1的正方
体中，点为截面 上的动点，
若，则点 的轨迹长度是( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 如图，连接,, .
由 平面， 平面 ，得，又，,, 平面，所以 平面.
又 平面，所以.
同理.
又,, 平面，所以 平面.
因为， 平面 ，所以 平面，又点为截面上的动点，平面 平面，所以点的轨迹是线段，长度为 .故选B.
3.[2026·湖南长沙模拟]在棱长为2的正方体中，
为线段上的一个动点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 连接，如图①，由正方体的性质可得 是以为直角的等腰直角三角形，故 ；
为直角三角形，且 .
将图①中的绕所在直线翻折至与 共面，如图②，
√
由图②可知，当,,共线时， 取得最小值，此时,，在 中，由余弦定理可知 ，所以的最小值为 .故选B.
4.在棱长为的正方体中，为 上任意一点，
，为上的两个动点，且的长为定值，则点到平面 的
距离( )
A.和点，的位置有关 B.和 的长度有关
C.和点的位置有关 D.等于
√
[解析] 如图，连接，，，在棱长为 的正方体中，,为 上的两个动点，所以平面即为平面.
因为 , 平面， 平面 ，所以平面.
因为为上任意一点，所以点到平面 的距离等于点到平面的距离.
易知 平面， 平面，所以.
又，,, 平面，所以 平面 ，所以点到平面的距离为 ，故A，B，C错误，D正确.故选D.
5.[2025·广东八校联盟质检]如图，在外接球体积为
的正方体中，是棱 上的
动点（不包括端点），过，， 三点的平面将
正方体截为两个部分，且交于点 ，当截得的
较小部分的几何体的体积为时， ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设正方体的棱长为 ，则其外接球的半径为，所以，解得 .
如图，连接，在上取一点，使得 ，连接，，，设 ，由
，可得平面为过，，三点的截面， .
可得 ， ，由题意知，整理得，解得 或（舍），故 .故选B.
6.如图，在棱长为2的正方体
中，为线段的中点，为线段 上的动点，
则直线与直线 所成角的余弦值的最大值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，， .
设，则 ，可得 ，，则 , .
设直线与直线所成的角为 ，则 ，当且仅当 时取等号，则直线与直线 所成角的余弦值的最大值为 .故选D.
7.（多选题）如图，在正方体
中，为线段的中点，为线段 上的动点
（不包括端点），则( )
A.存在点，使得
B.存在点，使得 平面
C.三棱锥 的体积是定值
D.二面角的余弦值为
√
√
[解析] 对于A，连接，假设存在点 ，使得，因为 平面， 平面，所以平面，与 平面 矛盾，故假设不成立，A错误.
对于B，以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则, , ,,，可得 , ， ，所以 ， ，故，.
因为 ，, 平面，所以 平面. 当为的中点时， ，此时 平面 ，故B正确.
对于C，可知,则 ， .设平面的法向量为 ，则 解得，令 得，则 ，所以，
故 与不垂直 ，故平面 不成立， 因为在线段上运动，所以到平面 的距离不是定值， 又 的面积为定值，所以三棱锥 的体积不是定值，故C错误.
对于D，二面角即二面角，连接 ，因为, 为等边三角形，所以，，所以 为所求二面角的平面角.
因为正方体的棱长为2，所以 , 的边长为， ，故.
在 中，由余弦定理可得 ，即二面角的余弦值为，故D正确.故选 .
8.[2026·山东聊城模拟] 如图，在长方体
中，,， ,
, 分别是棱,,的中点，是平面
内的一个动点，若直线与平面 平行，则
的最小值为___.
[解析] 如图，以为原点，分别以,, 的方向为,, 轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,,,, ,设，所以, ,
.
设平面 的法向量为，则得令,可得，，则.
因为直线 与平面平行，所以，得，即 ,因为, ，所以 ，所以当时， 取得最小值，最小值为 .
◆ 综合提升 ◆
9.（多选题）[2025·广东湛江雷州二中期末]已知正方体
外接球的体积为 , 是空间中的一点，则下
列说法正确的是( )
A.若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B.若是棱上的点（不包括点,），则直线与 是异面直线
C.若点在线段上运动，则始终有
D.若点在线段上运动，则三棱锥 的体积为定值
√
√
√
[解析] 设正方体 外接球的半径为，则 ，解得 .
设该正方体的棱长为，则,可得 .
对于A，在平面内，点的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆弧；同理，在平面和平面内，点 的轨迹都是以为圆心，2为半径的圆弧. 故点的轨迹的长度为 ，故A错误.
对于B，因为 平面， 平面， 平面，，所以与 是异面直线，故B正确.
对于C，如图，连接 ，在正方体中，, ，又, 平面, 平面,所以 平面.
因为 平面,所以 ，故C正确.
对于D，在正方体 中，易知平面 ,所以 ，为定值，故D正确. 故选 .
10.如图所示，四边形，都是正方形， ，
.,分别是线段，上的动点，且，则
的最小值是_____.
[解析] 以为坐标原点，， 所在直线分别为，轴，过点与平面垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为， ，所以 ，，，，则 ，.
设，则 ，所以.
因为 ，所以，所以 ，则
，故 .
因为 ，所以
，即的最小值是 .
微点一
例1 D 对点演练1 BD
微点二
例2 D 对点演练2
微点三
例3 BC 对点演练3 B
夯实基础
1.B 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D 7.BD 8.
综合提升
9.BCD 10.

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