资源简介

(共108张PPT)
第41讲 空间角
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体
会向量方法在研究几何问题中的作用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线,,经过空间任一点 分别作直线
,,我们把直线与所成的____叫作异面直线与 所成的
角（或夹角）.
角
（2）范围：_ _____.
（3）求法：
①几何法：平行四边形平移法；中位线平移法.
②向量法：若异面直线,所成的角为 ，直线与 的方向向量分
别为,，则, .
2.线面角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上
的射影所成的角，叫作这条直线和这个平
面所成的角.
（2）范围：______.
（3）求法：
①几何法：垂线法求线面角（也称直接法），公式法求线面角
（也称等体积法）.
②向量法：如图,直线与平面 相交于点,设直线与平面 所
成的角为 ,直线的方向向量为，平面 的法向量为 ,则
， .
3.二面角的平面角
（1）定义：在二面角 的棱上任取一点，以点 为垂足，
在半平面 和 内分别作______于棱的射线和，则射线 和
构成的 叫作二面角的平面角（如图）.
垂直
（2）范围： .
（3）求法：
①几何法：定义法，三垂线法，垂面法.
②向量法：若平面 , 的法向量分别是和,则平面 与平面
的夹角即向量和的夹角或其补角.设平面 与平面 的夹角为,
则, （如图）.
特别注意：平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二
面角中________的二面角称为平面 与平面 的夹角.
不大于
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知异面直线，的一个方向向量分别为 ，
，则与的夹角为 .( )
√
[解析] 因为，
所以 ，所以，所以与的夹角为 .
（2）已知两个平面的一个法向量分别为, ，
则这两个平面的夹角为 .( )
×
[解析] 由题意可得,,,所以 ,,
又因为两个平面的夹角的取值范围是 ,
所以这两个平面的夹角的大小为 .
（3）已知正三棱柱的所有棱的长都为2，是 的中
点，则直线与平面所成角的正弦值为 .( )
××
[解析] 如图所示,以为坐标原点,以过点 且垂直于平面的
直线为轴,以, 所在直线分别为轴、 轴,建立空间直角坐标系,
因为正三棱柱的所有棱的长都为2，
所以 , ,,，
所以, ,.
设平面的法向量为 ，
则令，则 .
设直线与平面所成的角为 ，
, ，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
（4）在直三棱柱中，， ，
则直线和直线所成的角为 .( )
×
[解析] 以为坐标原点，，， 的方向分别为
，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则,,, ，
,.
设直线和直线所成的角为 , ，
，
,直线和直线所成的角为.
题组二 教材改编
1.已知平面 的一个法向量为，点 在平面
内.若点的坐标为，则直线与平面 所成的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得,则 .
设直线与平面所成的角为,则 ,,
因为,所以 .
故选B.
√
2.如图，在直三棱柱中， ，
，，点为棱 的中点，
点是棱上的一点，且，则直线与
所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，， ，得，
以为坐标原点，，， 所在直线分别为
轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，， ，，
所以，，
，
所以直线与 所成角的余弦值为 .
故选D.
3.如图，在直三棱柱 中，底面是
边长为2的正三角形，侧棱长为1，则平面 与
平面 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 以为坐标原点,以过点 且垂直于平面的
直线为轴,以所在直线为轴,以 所在直线为 轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
由题意得,, ,
√
则，.
设平面 的法向量为 ，
则令 ,则.
易知平面的一个法向量为.
设平面 与平面的夹角为,,
则, ，所以，
所以平面与平面的夹角为 .故选A.
4.已知长为4的线段的两端点分别在直二面角 的两个面
内，且直线与这两个面都成 角，则异面直线与 所成的角
为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得,, ,
不妨设, ,过作于点,
过作 于点,连接,,如图,
显然, ,所以,,
所以 , .
√
因为 ，所以,，则 .
因为 ，
所以 ，
因为是直线的一个方向向量，
所以 ,，
因为 , ，所以,，
所以异面直线 与所成的角为 .
5.如图，平面角为锐角的二面角 的棱上有两个点， ，线
段与分别在这个二面角的半平面 与 内，并且都垂直于棱
．若，，，，则平面 与平面
的夹角为__.
[解析] 设平面与平面的夹角为 ，
由，
可得 , ，
所以，
由，得 ，则平面 与平面 的夹角为 .
探究点一 异面直线所成的角
例1（1）[2026·河北定州模拟]如图，在正方体
中，,分别为, 的中点，
则直线和 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：设向量和的夹角为 ，
则直线和夹角的余弦值等于.
连接 ，，，，因为四面体 为正四面体，
所以且,, 两两之间的夹角均为.
以,, }作为一个基底,则,,
所以 ，
又, ，
所以 .
故选C.
方法二：以为坐标原点，分别以,,所在的直线为,, 轴，
建立如图①所示的空间直角坐标系.
设正方体 的棱长为2，
得,,, ，
则, .
设向量和的夹角为 ，
则直线和 夹角的余弦值等于.
可得 .
故选C.
方法三：如图②，连接，易得 ，
则直线和的夹角即为直线和 的夹角.
设正方体的棱长为2,
在 中,易得,, ,
由余弦定理得 .
故选C.
（2）已知三棱柱 的各条棱的长都相等,且
，则异面直线与 所成的角为__.
[解析] 不妨设三棱柱 的各条棱的长均为2，
因为，所以 ，
.
因为，
所以，
即 ，
又 ，
, ，
又异面直线所成角的取值范围为，
所以异面直线与所成的角为 .
总结反思
1.异面直线所成的角问题的求解方法及步骤
①几何法
平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条得到相交直线．
说明：说明对应的角是异面直线所成的角．
计算：根据几何关系，利用余弦定理等知识求解角度．
②向量法
2.应用空间向量求解异面直线所成角时要注意的问题
（1）明确角的范围.两条异面直线所成角的范围是 ,而两个向量
的夹角的范围是 ,故异面直线所成角的余弦值一定非负,两条直线
的方向向量的夹角的余弦值可正、可负、可为零.
（2）计算方法.设异面直线所成的角为 ,因为两条直线的方向向量
,的夹角与 相等或互补,所以, ,可根据此公
式计算求解.#1.2.2
【对点演练1】（1）[2026·江苏南京模拟]在直三棱柱
中，所有棱的长都相等，，，分别是棱，， 的中点，
则异面直线与 所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，因为, ，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
所以（或其补角）为异面直线与 所成的角.
设，则， ，
所以，
连接, ，则，
因为， 平面，所以 平面，
又 平面，所以，
又 ,所以.
在 中，
由余弦定理得 ，
所以异面直线与所成角的余弦值是 .
故选D.
（2）在直三棱柱中，， ，则
与 所成的角为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为原点,所在直线为轴, 所在直线为轴,所在
直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
令,则 ,,, ,
所以, .
设与所成的角为,
则 ,
所以与所成的角为.故选C.
探究点二 直线与平面所成的角
例2 [2026·陕西汉中联考] 如图，已知 是等边
三角形，，， 平
面，点为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
证明：如图，取的中点，连接， ，
平面， 平面 ， 平面 平面 .
为等边三角形，为的中点， .
又平面 平面， 平面 ， 平面 .
点，分别为， 的中点，
，且 .
又，，， ，
四边形是平行四边形， ，
平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：由（1）可知 平面,
平面, 平面, .
又, ,,, 两两垂直.
以为坐标原点,,,所在直线分别为 ,, 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,, ,, .
, , .
设平面的法向量为 ,则即
令,则,, .
设直线与平面所成的角为 ,
则, ,
即直线与平面所成角的正弦值为 .
总结反思
1.直线与平面所成的角问题的求解方法及步骤
（1）几何法
①垂线法求线面角（也称直接法）
作垂直：过直线上一点（不在平面内）作平面的垂线.
说明：过斜足与垂足的直线为斜线在平面上的射影，
如图所示，射影与斜线 之间的夹角为线面角.
计算：利用余弦定理等知识求角度.
②等体积法
求距离：求出斜线在平面外的一点 到平面的距离.
利用公式求解：利用三角形的正弦公式求解，公式为 ，其
中 是斜线与平面所成的角，是垂线段的长， 是斜线段的长.
（2）向量法
2.应用空间向量求解线面角时应注意的问题
（1）明确角的范围.线面角 的范围为,直线的方向向量和平面
的法向量 的夹角的范围是 .
（2）计算方法.由 与, 或其补角互余可得, ,注意
求解线面角涉及的是两个不同名的三角函数.
【对点演练2】 如图，在三棱柱中，侧面 为矩
形，平面 平面，， .
（1）证明： 平面 ；
证明：因为侧面为矩形,所以 ,
又平面 平面,
平面 平面,
平面 ,所以 平面 ,
因为 平面,所以 .
因为,,所以 ,所以 ,
因为,, 平面,所以 平面 .
（2）若，求直线与平面 所成角的正弦值.
解：连接 ,如图,由（1）易知,所以,
又, , 所以在 中,由余弦定理可得
,
因为，所以 平面 ，
因为 平面，所以 ，
所以在中， .
由（1）易知,,两两互相垂直.
以 为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,, ,, ,
所以,, .
设平面的法向量为 ,
则
取 ,则 .
设直线与平面所成的角为 ，
则,，
即直线 与平面所成角的正弦值为 .
探究点三 平面与平面的夹角
例3 [2025·江苏镇江期末] 如图，在正四棱柱
中，底面边长为1，，， 分
别为，上的点，且， .
（1）求证：平面 ；
证明：如图,以为坐标原点,,, 所在直线分别
为轴、轴、 轴,建立空间直角坐标系,
则,,,, ,
所以, , .
设平面的法向量为 ,
则
取,则 ，
所以，
所以 ，
又 平面，所以平面 .
（2）求平面与平面 夹角的余弦值.
解：因为 平面，
所以平面 的一个法向量为 .
设平面与平面的夹角为 ，
则 ，
即平面与平面夹角的余弦值为 .
总结反思
1.利用几何法求解二面角问题的一般步骤
作：找出这个二面角的一个平面角.
证：证明这个角是二面角的平面角.
求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小.
2.找二面角的平面角的常用方法
（1）定义法
如图①所示，以二面角的棱上的任意一点 为端点，在两个半平面
内分别作垂直于的射线，，则 为此二面角的平面角.
（2）三垂线法
如图②所示，在平面 内选一点向另一个平面 作垂线 ，垂足
为，再过点向棱作垂线，垂足为，连接，则 就是
二面角的平面角.
（3）垂面法
如图所示，过二面角内一点作 于 ，
作 于，平面交棱于点 ，连接
，，则 就是二面角的平面角.
3.应用空间向量求两平面的夹角时一般遵循的步骤
（1）建立坐标系，原则是方便求两平面的法向量；
（2）求出法向量，通常涉及解线性方程组或利用所得的垂直关系；
（3）计算法向量的数量积和模，代入夹角公式，计算得到两法向量
的夹角 的值；
（4）判断两平面的夹角，如不为钝角，则两平面的夹角为 ，否
则夹角为.
【对点演练3】 如图，在四棱锥中，底面 是菱形，
，分别为，的中点， 平面，且 .
（1）证明：平面 ；
证明：如图①，取的中点，连接, ，
因为为的中点，所以且
又且，所以， ，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
又 平面, 平面 ，所以平面 .
（2）若与平面所成的角是，求二面角 的余弦值.
解：取的中点,连接,取的中点,连接, ,
则且,
由 平面,得 平面 ,
则与平面所成的角为,
所以 ,所以 .
在菱形中,,则,所以 ,则 .
可得直线,,两两垂直,以点 为原点,直线,,
分别为,, 轴,建立如图②所示的空间直角坐标系,
则,,,, ,
所以,, .
由 平面,得平面的一个法向量为 .
设平面的法向量为,则
令,得,, .
设二面角的平面角为 ，
由图②知 为锐角，
因此, ，
即二面角的余弦值为 .
【备选理由】例1以探究的方式考查空间角.
例1 ［配合探究点一、二、三使用］
（1）如图，在三棱锥中， ，平面
平面，，，，
分别是，的中点，记平面与平面 的交线
为直线 .
①求证：直线 平面 ；
证明：因为,分别是, 的中点,所以 .
又 平面, 平面 ,所以平面.
又 平面,平面 平面,所以 .
因为,平面 平面 ,
平面 平面, 平面 ,
所以 平面,则 平面 .
②若直线上存在一点（与在直线的同侧），且直线 与直线
所成的角为，求平面与平面 夹角的余弦值.
解：以为坐标原点,所在直线为轴, 所在直线为轴,
过且垂直于平面的直线为 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意得,,, ,0,,,2, ,
所以,0,,.
设 ,则 .
依题意可得， ，则 .
又与在直线的同侧，所以，
则 ，于是， .
设平面的法向量为 ，
则即
取 ，可得 .
设平面的法向量为 ，
则取 ，得 .
因为， ，
所以平面与平面夹角的余弦值为 .
（2）如图,在三棱柱 中,侧面 底面,
是边长为 的正三角形,,
与平面 所成的角为 .
①证明： 平面 .
证明：取的中点，连接 ，CD.
因为为正三角形，所以 .
因为平面 平面，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
所以即为与平面 所成的角，则.
因为，所以，
又 ，，所以，
则，即 .
因为平面 平面，
平面 平面， 平面 ，
所以 平面 .
②若点为的中点，点为棱 上的一点，
且满足，是否存在 使得平面 与平
面夹角的余弦值为？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.
解：由①可得，且 ，
连接,由题可知,所以, ,
所以,,两两垂直.
以 为原点,,,所在直线分别为轴、轴、 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,, ,,,,0,,0, .
由题知,
则 , ,
所以 ,,
,, , .
设平面的法向量为 ,
平面的法向量为 ,
则 即
令 ,可得 ,,则 ；
同理即
令,可得, ,则,,1 .
所以, ，即，
解得或 ，均满足 ，
所以存在或，使得平面与平面 夹角的余弦值为 .
例2 ［配合探究点三使用］
（1）设，是曲线 上关于坐标原点对称的两点，将平面
直角坐标系沿轴折起，使得两部分所成二面角的大小为 ，则
的最小值为( )
A.2 B. C. D.4
√
【备选理由】例2（1）与函数相结合，例2（2）与三角函数结合考查
二面角中的距离问题.
[解析] 在平面直角坐标系中,设,, ,,过作轴于点,过作轴于点 ,则,,, .
折叠后, .
因为,所以,
当且仅当 时,等号成立,所以的最小值为 .
故选C.
（2）［2026·福建福州一中质检］如图①,将绘有函数
部分图象的纸片沿 轴折起，
得到平面角为的二面角，示意图如图②，此时， 之间的距离为
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 过,分别作轴的垂线,垂足分别为,,过, 分别作轴、轴
的垂线,两垂线相交于点 ,连接,,则, .
由余弦定理得.
因为轴,轴 ,,, 平面,
所以轴 平面 ,
又轴,所以 平面,
因为 平面 ,所以.
因为的周期,所以 .
由勾股定理得，解得（负值舍去）.
由题中图知， 的图象过点，，且0在单调递减区间内，
所以 ，即.
因为 ，0在单调递减区间内，所以 .
故选C.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知点，，， ，则异面直线
与 的夹角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，.
设异面直线 与的夹角为 ，，
则 , ，得 .
故选C.
2.在空间直角坐标系中，已知向量是平面 的一个
法向量，且，则直线与平面 所成角的正弦值
是 ( )
A. B. C. D.
[解析] 直线与平面所成角的正弦值为
, .
故选B.
√
3.[2026·福建福州质检]在正三棱柱中， ，则
直线与平面 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设该正三棱柱的棱长均为1，以为原点，
过 且垂直于平面的直线为轴，直线为轴，直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则,, ,
所以,
易知平面 的一个法向量为.
设直线与平面 所成的角为 ，，
则 , .
故选A.
4.在正三棱柱中，，则异面直线与
所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 在正三棱柱中，，
则 （或其补角）为异面直线与所成的角.
连接 ，设，
在中， ,
， ，
则由余弦定理得 .故选D.
√
5.[2025·山西太原质检]已知正四棱台 的体积为，
，，则与平面 所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该棱台的高为,则 ,解得,
如图,连接,,交于点,过作 ,垂足为,连接, ,
由正四棱台的性质可得 平面 ,
所以,是与平面 所成的角.
√
在正四棱台中, ,,
则, ,所以 ,
则.
在 中, .
在 中, .
故选A.
6.[2026·北京海淀区期末]在正四棱锥中， ，二面角
的大小为 ，则该四棱锥的体积为( )
A.4 B.2 C. D.
√
[解析] 如图，连接,，相交于点 ，连接，
则为正方形 的中心， 底面，
取的中点，连接 , ，则,， ，
故为二面角的平面角，所以 ，
故，所以该四棱锥的体积为 .
故选D.
7.（多选题）在三棱锥中，,, ,
，则( )
A.
B.向量与夹角的余弦值为
C.向量是平面 的一个法向量
D.与平面所成角的正弦值为
√
√
√
[解析] , ，
，故 A正确；
,,， ,
，, ，故B错误；
,
，
是平面 的一个法向量，故C正确；
,与平面 所成角的正弦值为
,，故D正确.
故选 .
8.圆锥的底面积为 ，母线与底面所成的角为 ，且 ，
则该圆锥的体积为___.
[解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的底面积为 ，所以 ，可得，
又因为母线与底面所成的角为 ，且，
所以，解得 ，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积为 .
9.已知四面体的各个面都是边长为2的正三角形，,分别是
和的中点，则异面直线与 所成的角等于____.
[解析] 如图，取的中点，连接，， ，.
易知， （或其补角）为异面直线与所成的角.
棱长为2， ，
又为中点，
，，
由中位线的性质可得, ,,
是以 为直角顶点的等腰直角三角形，故.
10.[2026·重庆江北区期末] 如图，在四棱锥
中， 底面,四边形 为矩
形，，点在棱 上，且直线
与所成的角为 .
（1）证明：点为棱 的中点；
证明：以为原点,,,的方向分别
为,, 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则, ,
所以,,, ，
可得, ，
设 ，
则 ， ，
由题意可得 , ,
整理可得，解得，所以点为棱 的中点.
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：由（1）可得, , ，
设平面的法向量为 ，则
令，得，则
设直线与平面所成的角为 ，
则, ，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
◆ 综合提升 ◆
11.如图，将菱形纸片沿对角线 折成直
二面角，,分别为,的中点，是 的
中点，，则折后二面角
的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知平面 平面 ，
如图，连接,，
因为四边形是菱形， 是的中点，
所以, ，折起后以上垂直关系不变，
又平面 平面, 平面，所以 平面，
又 平面 ，所以，从而,，两两垂直.
以为原点，, , 所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
令,则, ,,
所以 ,.
设平面 的法向量为,则 得
取,则 ,,可得.
易知平面 的一个法向量为,
则 , .
由图知,二面角 的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为 .故选A.
12.（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，点
是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱 的
中点，则以下说法正确的是( )
A.三棱锥 的体积是定值
B.存在点，使得与所成的角为
C.直线与平面 所成角的正弦值的取值
范围为
D.若，则点的轨迹的长度为
√
√
√
[解析] 对于A,
,是定值,A正确.
以为坐标原点,, , 所在直线分别为,, 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,则,
设 ,则.
对于B,,
设与 所成的角为,则 ,
因为, ,所以,
可得 ,而 ,
所以不存在满足题意的点,B错误.
对于C,平面 的一个法向量为,
设直线与平面 所成的角为,
则,
因为 ,,所以 ,
故 ,
可得 , ,
则 ,即的取值范围为 ,C正确.
对于D,,则,由 ,
可得 ,
化简可得,
在平面内,令 ,得,令,得,
则点 的轨迹的长度为,D正确.故选 .
13.如图,在正三棱柱中,,
且 与所成角的大小为,则 的值为_ __.
[解析] 如图,分别取,的中点, ,连接,,
易知平面,,平面 ,
所以,,
因为 为正三角形,所以,
所以,,两两垂直.
以 为原点,,,所在直线分别为轴、轴、 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
令 ,则,
于是得, ,,,
所以 ,,
,
所以 , ,
可得 .
14.如图,四边形是正方形, 平面,
,,
,, 分别为,, 的中点.
（1）求证：平面 .
证明：因为平面,,所以平面 ,
又因为四边形是正方形,
所以,所以,, 两两垂直.
以点为坐标原点,,,所在直线分别为 , , 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设 ,
则,,,, , ，
因为,,分别为,,的中点，
所以,, ，
所以， .
易知平面的一个法向量为 ，
因为，所以 ，
又 平面，所以平面 .
（2）求平面与平面 夹角的大小.
解：设为平面 的法向量，
则
解得，令，得 .
由（1）得， .
设为平面 的法向量，
则
令，得 .
因为 ,
所以平面与平面夹角的大小为 .
（3）在棱上是否存在一点,使直线与直线 所成的角为 ？
若存在,求出点 的位置；若不存在,说明理由.
解：假设在棱上存在一点,
使直线 与直线所成的角为.
依题意可设,其中 .
由,得 ,
则 ,
因为直线与直线所成的角为, ,
所以,则 ,可得 .
所以在棱上存在一点,为 的中点,
使直线与直线所成的角为.
【知识聚焦】1.（1）角 （2） 2. 3.垂直 不大于
【课前演练】题组一 （1）√ （2）× （3）× （4）×
题组二 1.B 2.D 3.A 4.B 5.
课堂考点探究 例1（1）C （2） 对点演练1（1）D （2）C
例2（1）证明略（2） 对点演练2（1）证明略 （2）
例3（1）证明略（2） 对点演练3（1）证明略 <（2）m>
教师备用习题
例1（1）①证明略 ② （2）①证明略② 存在,或
例2（1）C （2）C
夯实基础
1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.D 7.ACD 8. 9.
10.（1）证明略 （2）
综合提升
11.A 12.ACD 13.
14.（1）证明略 （2）
（3）存在 ，为的中点.理由略第41讲　空间角
【备选理由】 例1以探究的方式考查空间角;例2(1)与函数相结合,例2(2)与三角函数结合考查二面角中的距离问题.
1 [配合探究点一、二、三使用] (1)如图,在三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
①求证:直线l⊥平面PAC;
②若直线l上存在一点Q(与B在直线AC的同侧),且直线PQ与直线EF所成的角为,求平面PBQ与平面AEF夹角的余弦值.
(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,△ABB1是边长为2的正三角形,AC=,B1C与平面ABC所成的角为45°.
①证明:AC⊥平面ABB1A1.
②若点E为BC的中点,点P为棱CC1上的一点,且满足λ=,是否存在λ使得平面ABP与平面AEB1夹角的余弦值为 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)①证明:因为E,F分别是PC,PB的中点,所以BC∥EF.
又EF 平面AEF,BC 平面AEF,
所以BC∥平面AEF.又BC 平面ABC,平面AEF∩平面ABC=l,所以BC∥l.
因为BC⊥AC,平面PAC∩平面ABC=AC,平面PAC⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以BC⊥平面PAC,则l⊥平面PAC.
②以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意得A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,F,
所以=,=(0,2,0).设Q(2,y,0),则=(1,y,-).
依题意可得|cos<,>|===,则y=±2.
又Q与B在直线AC的同侧,所以y=2,则Q(2,2,0),
于是=(1,2,-),=(2,-2,0).
设平面PBQ的法向量为n=(x0,y0,z0),
则即取x0=1,可得n=(1,1,).
设平面AEF的法向量为m=(a,b,c),
则取c=,得m=(1,0,).
因为|cos|==,
所以平面PBQ与平面AEF夹角的余弦值为.
(2)①证明:取AB的中点D,连接B1D,CD.
因为△ABB1为正三角形,所以B1D⊥AB.
因为平面ABB1A1⊥平面ABC, 平面ABB1A1∩平面ABC=AB,B1D 平面ABB1A1,
所以B1D⊥平面ABC,
所以∠B1CD即为B1C与平面ABC所成的角,则∠B1CD=45°.
因为B1D=3,所以CD=3,又AD=,AC=,所以CD2=AD2+AC2,则AC⊥AD,即AC⊥AB.
因为平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面ABC=AB,AC 平面ABC,
所以AC⊥平面ABB1A1.
②由①可得B1D⊥AC,AC⊥AB且AB⊥B1D,
连接DE,由题可知DE∥AC,所以DE⊥AB,B1D⊥DE,
所以DE,DA,DB1两两垂直.以D为原点,DE,DA,DB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(0,,0),B(0,-,0),B1(0,0,3),C(,,0),E.
由题知=λ(0≤λ≤1),则=λ=λ=(0,λ,3λ),=(,,0),
所以=(,(λ+1),3λ),=(0,,0),=,=(0,-,3).
设平面ABP的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面AEB1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即令z1=2,可得x1=-λ,y1=0,则n1=(-λ,0,2);
同理即令y2=,可得x2=,z2=1,则n2=(,,1).
所以|cos|==,
即81λ2-60λ+4=0,解得λ=或λ=,均满足0<λ<1,
所以存在λ=或,使得平面ABP与平面AEB1夹角的余弦值为.
2 [配合探究点三使用] (1)设A,B是曲线y=x+上关于坐标原点对称的两点,将平面直角坐标系沿x轴折起,使得两部分所成二面角的大小为60°,则的最小值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.2+2
C.2+2 D.4
(2)[2026·福建福州一中质检] 如图①,将绘有函数f(x)=msin(m>0,0<φ<π)部分图象的纸片沿x轴折起,得到平面角为的二面角,示意图如图②,此时A,B之间的距离为,则φ= ( C )
A. B.
C. D.
[解析] (1)在平面直角坐标系中,设A,B(m>0),过A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥x轴于点D,则||=||=+m,||=2m,⊥,⊥.折叠后<,>=60°.因为=++,所以=+++2·+2·+2·=2+4m2-2cos 60°=+4m2=5m2++2≥2+2=2+2,当且仅当m=时,等号成立,所以的最小值为2+2.故选C.
(2)过A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,过A,D分别作y轴、x轴的垂线,两垂线相交于点E,
连接AB,BE,则∠BDE=,BD=DE=m.由余弦定理得BE2=m2+m2-2m2cos =3m2.因为x轴⊥BD,x轴⊥DE,BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE,所以x轴⊥平面BDE,又AE∥x轴,所以AE⊥平面BDE,因为BE 平面BDE,所以AE⊥BE.因为f(x)的周期T==6,所以AE=CD=3.由勾股定理得3m2+9=15,解得m=(负值舍去).由题中图知,f(x)的图象过点,且0在单调递减区间内,所以f(0)=sin φ=,即sin φ=.因为0<φ<π,0在单调递减区间内,所以φ=.故选C.

展开更多......

收起↑