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第42讲　空间距离及立体几何中的探索性问题
【备选理由】 例题(1)补充了利用几何法求异面直线间的距离;例题(2)是利用向量法求解异面直线间的距离问题.
[补充使用] (1)如图为几何体Ω的一个表面展开图,其中Ω的各个面都是边长为1的等边三角形,将Ω放入一个球中,则该球表面积的最小值为　2π　;在Ω中,异面直线AB与DE之间的距离为 　.
(2)如图,在四棱锥P-ABED中,DE∥AB,BE⊥DE,AB=2DE=2PE=2,BE=,PE⊥平面ABED,则异面直线PB与AD之间的距离为 　.
[解析] (1)因为Ω的各个面都是边长为1的等边三角形,
所以几何体Ω是一个正八面体,如图所示,连接AF,CD,AF∩CD=O,连接BE.
可得AO=AF===,BO===,所以AO=CO=FO=DO=BO=EO=.
将Ω放入一个球中,当球恰好为Ω的外接球时该球的表面积最小,
此时球的半径R=,
该球的表面积S=4πR2=4π×=2π.
因为正方形ACFD对角线的交点O平分BE与CD,
所以四边形CBDE为平行四边形,则DE∥CB.
因为CB与AB是平面ABC内的两条相交直线,
所以异面直线AB与DE的距离等于点D到平面ABC的距离.
VB-ACD=×OB×S△ACD=×××1×1=.
设点D到平面ABC的距离为d,
由VD-ABC=VB-ACD,得×d×S△ABC=×d××1×1×=,
解得d=,
故异面直线AB与DE之间的距离为.
(2)以点 E 为坐标原点, ED, EB, EP所在的直线分别为x轴、y轴、 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,,0), B(0,,0), P(0,0,1), D(1,0,0),
所以=(-1,-,0),=(0,,-1),=(1,0,-1).
设向量n=(x,y,z)同时垂直于, ,
则
令y=1,则x=-,z=,所以n=(-,1,) .
所以异面直线PB与 AD间的距离d===.(共86张PPT)
第42讲 空间距离及立体几何中的探
索性问题
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平
行的平面的距离问题.
知识聚焦
①
1.点到直线的距离
如图①,已知直线的单位方向向量为,是直线 上
的定点,是直线外一点,设,则向量 在直
线上的投影向量,在 中,由
勾股定理,得
______ ___________________________.
②
2. 点到平面的距离
如图②,已知平面 的法向量为,是平面 内的
定点,是平面 外一点.过点作平面 的垂线 ,交
平面 于点,则是直线的方向向量,且点 到平
面 的距离就是在直线上的投影向量 的长
度.因此 _ _______________________.
3. 两条平行直线之间的距离
求两条平行直线,之间的距离,可在其中一条直线上任取一点 ,则
两条平行直线间的距离就等于点到直线 的距离.
4. 直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，
用求点到平面的距离的方法求解：
直线与平面 之间的距离，其中, ，是平面
的法向量.
两平行平面 , 之间的距离，其中 , ， 是平
面 ， 的法向量.
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若平面平面,则平面 与平面 间的距离可转化为平面
内某条直线到平面的距离,也可转化为平面内某点到平面 的距
离.( )
√
[解析] 两平行平面间的距离可以用其中一个平面上的点到另一个平面的距离，或其中一个平面上的一条直线到另一个平面的距离来表示，故正确.
（2）若平面 的法向量是，点在平面 内，
则点到平面 的距离为 .( )
√
[解析] 连接，易知，则点到平面 的距离 ，故正确.
（3）在正四棱柱 中，底面边长为1，侧棱长为2,
, 分别是异面直线和上的任意一点，则, 间距离的最小值
为 .( )
√
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，所以，， ，
设且即令 ， 则，，所以 ，
所以异面直线和之间的距离，所以， 间距离的最小值为 ,故正确.
题组二 教材改编
1.在长方体中，，， 为
的中点，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，以为坐标原点，，， 所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，， ，，所以，.
√
设平面 的法向量为 ，则令 ，则.
连接，则，所以点 到平面的距离为 .故选D.
2.若两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ，且两平面
的一个法向量为 ，则两平面间的距离是( )
A.1 B. C. D.
[解析] 依题意，平行平面 ， 间的距离即为点到平面 的距离，因为，所以平行平面 ， 间的距离 .
√
3.已知直线过定点，且直线的一个方向向量为 ，
则点到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接，由题意得 ，所以.
因为直线 的一个方向向量为，所以，所以 , .
设直线与直线所成的角为 ，则,，所以，所以点 到直线的距离 .故选A.
探究点一 点到直线、点到平面的距离
例1（1）[2026·上海复旦大学附中期末]已知空间中三点 ，
，，则点到直线 的距离为( )
A.2 B. C. D.3
[解析] 根据题意可知,,所以 , 则点到直线的距离 .
故选B.
√
（2）[2025·江苏常州质检]如图，在棱长为3的正方
体中，点是棱 上的一点，且
，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，，， 所在的直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，， ，所以，.
设平面 的法向量为，所以 令，解得，，所以.
连接 ，可得，所以点到平面 的距离 .故选B.
总结反思
1.求解点到直线 的距离问题的常用方法
（1）两点间距离法.在直线上找点 ,使之满足
确定点 的坐标,进而通过两点间距离公式求解
即可得到答案.
（2）勾股定理法.求向量在向量上投影向量的长度,则其与
和所求距离是直角三角形三条边的长,进而利用勾股定理即可得到答案.
2.求解点到平面 的距离问题的常用方法
（1）空间向量法.平面的一个法向量为,则所求距离 .
（2）等体积法.（其中为点到平面 的
距离）,若其体积可求,可求，则 可求.
【对点演练1】（1）[2025·广东江门模拟]在棱长为2的正方体
中，为的中点，则点到直线 的距离为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，以为原点，,, 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
连接,则,,,所以 , ,所以点到直线 的距离
,故选B.
（2）[2026·湖南长沙长郡中学期中]如图，在棱长为4
的正方体中，,,分别是棱 ，
,的中点，过作平面 ，使得 ，则
点到平面 的距离是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，连接，则,,, , ，, , .
设平面 的法向量为， , ，, ，则令，得 ，，则， 点到平面 的距离 .故选D.
探究点二 直线与平面、平行平面间的距离
例2 如图，在四棱锥中，底面 为直角
梯形，，， ，
平面，， .
求直线到平面 的距离.
解：以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
底面为直角梯形，， ， ， ，解得 ，
则，，，， ，显然平面 ， 直线到平面的距离即为点到平面 的距离.
设平面的法向量为 ，
则取，得 .
， 点到平面 的距离 .
总结反思
求解直线与平面、平面与平面之间的距离问题时，将线面距离和面
面距离转化为点到平面的距离进行求解,即在直线或平面上找一个点,
应用点到平面的距离问题的求解方法求解该点到平面的距离即可.
【对点演练2】（1）已知正方体的棱长为2， ，
，，分别是棱，，，的中点，则平面 与
平面 之间的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为坐标原点，，， 的方向分别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，所以，，.
由题意知，平面 平面,所以平面与平面之间的距离等于点 到平面的距离.
设平面的法向量为 ，则
取，得 ，所以点到平面 的距离，则平面 与平面之间的距离是 .故选B.
（2）在棱长为1的正方体中，为的中点，
为的中点，则直线到平面 的距离为_ __.
[解析] 以为坐标原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,, ，所以,，故 .
又 平面， 平面，所以 平面，故直线到平面的距离等于 到平面的距离.
设平面的法向量为 ，又，所以 即取，则.
连接 ，又，所以到平面 的距离为 .
探究点三 立体几何中的探索性问题
例3 如图，在四棱锥中，平面 平面 ，
，，，为棱 的中点.
（1）证明：平面 .
证明：如图①，取的中点，连接, .
为棱的中点，, .
,,, ， 四边形是平行四边形， .
又 平面, 平面, 平面 .
（2）若,，在棱上是否存在点，使得点 到平面
的距离是？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由.
解：,, , , .
平面 平面，平面 平面, 平面 ， 平面 .
又 平面, .
又,,, 两两垂直.
以点为坐标原点，,,所在直线分别为, , 轴建立空间直角坐标系，如图②，
则,,,, ，为棱的中点， ，则,.
设平面的法向量为 ，则令，则, ，所以 .
假设在棱上存在点，使得点到平面 的距离是 .
设,，则,连接 ，则 .
， 点到平面的距离是 ，解得 .
在中，，则 .
综上可知，存在满足题意的点，且 .
总结反思
利用空间向量巧解探索性问题的策略
（1）空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行
复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；
（2）解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存
在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题.
所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.
【对点演练3】 [2026·河北承德期中] 如图，四边形 为梯形，
，，四边形为矩形，且 平面 ，
，为 的中点.
（1）证明：平面 .
证明：因为 平面，, 平面 ，所以，，又，所以,, 两两垂直，
以为原点，直线,,分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，， ，所以，， .
设平面的法向量为 ，则令 ，得 ，于是 ，即，又 平面，所以 平面 .
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线 与平
面所成角的正弦值为？若存在，求出 的长；若不存在，
说明理由.
解：假设在线段（不含端点）上存在一点 ，使得直线与平面所成角的正弦值为 .
设， ，又
，所以，由（1）知 ， ，设平面的法向量为 ，则令 ，得 .
设直线与平面所成的角为 ，则 , ，整理得 ，又，所以 ，所以存在满足题意的点 ，此时 .
【备选理由】例题（1）补充了利用几何法求异面直线间的距离；例
题（2）是利用向量法求解异面直线间的距离问题.
例 ［补充使用］
（1）如图为几何体 的一个表面展开图，其中
的各个面都是边长为1的等边三角形，将 放入一
个球中，则该球表面积的最小值为____；在 中，
异面直线与 之间的距离为_ __.
[解析] 因为 的各个面都是边长为1的等边三角形，所以几何体 是一个正八面体，如图所示，连接，， ，连接BE.
可得 ， ，所以 .
将 放入一个球中，当球恰好为 的外接球时该球的表面积最小，此时球的半径 ，该球的表面积 .
因为正方形对角线的交点平分与 ，所以四边形为平行四边形，则 .
因为与是平面 内的两条相交直线，所以异面直线与的距离等于点到平面 的距离.
.
设点到平面的距离为 ，由 ，得 ，解得 ，故异面直线与之间的距离为 .
（2）如图，在四棱锥中，， ，
，， 平面 ，则异面直线
与 之间的距离为_ ____.
[解析] 以点为坐标原点，，， 所在的直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，所以，， .
设向量同时垂直于， ，则令，则， ，所以 .
所以异面直线与 间的距离 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知，直线过原点且一个方向向量为 ，
则到 的距离为( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 由题意，取直线上一点，则，所以到 的距离 .故选C.
2.[2026·江苏宿迁模拟]若平面 过点 且该平面的一个法向量
为，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，且平面 的一个法向量为，所以点到平面 的距离 .故选A.
√
3.[2025·四川眉山调研]如图，在棱长为2的正方体
中，，分别为棱， 的
中点，则点到直线 的距离为( )
A.6 B.4 C.2 D.1
√
[解析] 如图，以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，则，， ，所以，，所以点 到直线 的距离为 .故选D.
4.如图，在直三棱柱中， 是等
边三角形，，，则点到直线
的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，的中点，连接 ，，易知，，两两垂直，以 为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以 , ,，所以 , ，
所以在 上的投影向量的长度为，故点到直线 的距离为 .故选C.
5.如图，在四面体中，, ,
, ,
，则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以为原点，,,的方向分别作为 轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则,,, ，所以，, .
设平面 的法向量为，则 即
取，则，所以点 到平面的距离 .故选A.
6.[2026·黑龙江哈尔滨模拟]已知四棱锥 中，,
, ，则该四棱锥的高为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设平面的法向量为，则 即取，得，所以点到平面 的距离，即四棱锥的高为 .故选D.
7.[2026·山东滨州期末]在直四棱柱中，底面
是正方形，，，点在棱上，若直线 到平面
的距离为，则 的值为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 由题意知，该几何体为长方体，以 为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则, , ，设 .
√
因为， 平面， 平面
，所以平面，故直线 到平面的距离等于到平面的距离.
, ，，设平面 的法向量为，
则由 可得取，则，故 到平面的距离，可得 ，故 ，故选C.
8.[2025·福建厦门一模] 已知平面 的一个法向量为 ，且
点在 内，则点到 的距离为____.
[解析] 由题意知，则点到平面 的距离为 .
9.如图，已知正方体的棱长为1，为棱 的中点，
则点到平面 的距离为_ __.
[解析] 以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,, ，所以,, .
设平面的法向量为 ，则令 ，则.
所以点到平面 的距离 .
10.如图，在棱长为1的正方体中，为 的中
点，为 的中点.
（1）求点到直线 的距离；
解：以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,, , .
可得,与 同向的单位向量, ，所以 .
所以点到直线的距离为 .
（2）求直线到直线 的距离；
解：因为, ,所以，即 , 所以点到直线的距离即为直线到直线 的距离.
连接，可得与 同向的单位向量, ，则, , 所以直线到直线的距离为 .
（3）求点到平面 的距离；
解：,, .
设平面的法向量为 ，则 令，得,，则 .
所以点到平面 的距离为 .
（4）求直线到平面 的距离.
解：因为, 平面， 平面，所以平面 ，所以直线到平面的距离等于到平面 的距离.
，由（3）得平面 的一个法向量为 ，所以到平面的距离为 ，所以直线到平面的距离为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·河南信阳质检]在空间直角坐标系中，若一条直线经过点
，且以向量 为方向向量，则这条直
线可以用方程来表示.已知直线 的方程为
，则到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 直线的方程可化为，所以直线 过点
，一个方向向量为，与 同向的单位向量，令，则， ，所以点到直线的距离 ，故选D.
12.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,
的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动
弹子， 分别在正方形对角线和上移动，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在正方形中， ，因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，又四边形是正方形，所以直线, , 两两垂直.
以点为原点，直线,,分别为, , 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则, ,, ，所以, ,.
设与, 都垂直的向量，则令 ，得，所以 的最小值为 .故选B.
13.[2026·广东深圳模拟] 在长方体 中，
,，点为侧面 内的一个动点，且满足
平面，则的最小值为_____，此时点到直线 的距
离为_ ____.
[解析] 连接，，因为且 ，所以四边形为平行四边形，则 .
因为 平面, 平面，所以 平面.
同理平面 .
,, 平面 ，
所以平面平面.
又 平面， 平面，
所以 平面.
又因为 平面，平面 平面 ，所以点的轨迹为线段.
当 取最小值时，，又，所以此时 为 的中点，则.
以 为原点，,,的方向分别为,， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易知,,,则 , .
取, ，则,，所以点到直线 的距离为 .
14.如图，四棱锥的底面是正方形， 平面
，.已知，分别为，的中点，平面 与
棱交于点 .
（1）求证： 平面 .
证明：因为 平面， 平面，所以 .
因为四边形为正方形，所以 ，又，, 平面 ，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
因为为的中点，，所以 .
又，, 平面 ，所以 平面 .
（2）求平面与平面 的夹角的余弦值.
解：由（1）得 平面，又 平面 ，所以 .
因为 平面， 平面 ，所以 ，因为四边形为正方形，所以 ，又, 平面， ，所以 平面，因为 平面，所以 .
因为为的中点，，所以 .
又，, 平面 ，所以 平面，因为 平面 ，所以 .
因为，所以 平面.
又 平面 ，所以，故 .
由（1）得 平面，又 平面 ，所以，故.
又 ，所以，所以 .
由题知 ，， ，所以，故 .
以为原点，，，所在直线分别为， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，所以， .
设平面的法向量为 ，则令，则 ， ，所以 .
易知平面的一个法向量为 .
设平面与平面的夹角为 ，则, ，所以平面与平面的夹角的余弦值为 .
（3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面 的距离为
？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：因为，，所以 .
假设线段上存在点 满足题意，设， ，则，所以 ，所以 .
由（2）知平面的一个法向量为 ，所以点到平面 的距离，解得或 ，所以点的坐标为或 .
综上可知，存在满足题意的点，且点 的坐标为 或 .
【知识聚焦】1. 2.
【课前演练】题组一（1）√ （2）√ （3）√
题组二 1.D 2.B 3.A
课堂考点探究 例1（1）B （2）B 对点演练1（1）B （2）D
例2 对点演练2（1）B （2）
例3（1）略 （2） 存在满足题意的点，且
对点演练3（1）略 （2） 存在满足题意的点，此时
夯实基础
1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8. 9.
10. （1） （2） （4） <
综合提升
11.D 12.B 13.
14.（1）略 （2）
（3）存在满足题意的点，且点的坐标为或

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