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知识网络
第43讲 直线的倾斜角与斜率、直线
的方程
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的
过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式
（点斜式、两点式及一般式）.
知识聚焦
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角的定义：在平面直角坐标系中,当直线与 轴相交
时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角 叫
作直线的倾斜角.特别地,当直线与 轴平行或重合时,我们规定它的
倾斜角为___.
（2）范围：倾斜角 的取值范围是______________，即 .
（3）直线的斜率的定义：一条直线的倾斜角 的________
叫作这条直线的斜率,该直线的斜率 ______.
（4）过两点的直线的斜率公式：过两点 ,
的直线的斜率公式为 _ _____.
正切值
2.直线的方向向量与法向量
（1）直线方向向量的几种形式
条件 直线 的方向向量的表示
,是直线 上两个不 同的点 ________________
直线的斜率为 ______
（2）直线的方向向量与斜率的关系
一般地,已知为直线 的一个方向向量,则
①当时,直线 的斜率不存在,倾斜角为____;
②当时,直线的斜率_ _,倾斜角 满足 __.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 __________________ 不含直线
斜截式 ___________ 不含垂直于 轴的直线
两点式 _ ____________ 不含直线 和
直线
截距式 __________ 不含垂直于坐标轴和过原点
的直线
一般式 ________________________ _______________ 平面内所有直线都适用
常用结论
1.直线的倾斜角 和斜率 之间的对应关系
0 1 不存在
记忆：直线的斜率的绝对值越大，直线越“陡”.
2.特殊位置的直线方程
（1）经过点且平行于轴的直线方程为 ;
（2）经过点且平行于轴的直线方程为 ;
（3）过原点且斜率为的直线方程为 .
3.直线的一个方向向量为 .
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何直线都可以用 表示.( )
×
[解析] 与坐标轴垂直或过原点的直线的方程不可以用截距式表示.
（2）方程与 表示的意义相同.( )
×
[解析] 方程中，与 表示的意义不同.
（3）经过 的任意直线的方程都可以表示为
.( )
×
[解析] 当直线的斜率存在时，其方程可表示为 ；
当直线的斜率不存在时，其方程不能表示为点斜式，可表示为 .
（4）直线在轴上的截距是直线与 轴的交点到原点的距离.( )
×
[解析] 直线在轴上的截距是直线与 轴交点的纵坐标，而不是交
点到原点的距离.
题组二 教材改编
1.直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线的倾斜角为 ，则 ，因为直
线的斜率，所以 .故选A.
√
2.已知直线经过点与,则直线的斜率 _____,倾
斜角 ______,一个方向向量为_______________________.
（答案不唯一）
[解析] 由题意知直线的斜率,即 ,则倾
斜角 ,直线的一个方向向量为 .
3.已知,,三点在同一条直线上,则 ___.
5
[解析] 因为,,，， 三点在同
一条直线上，所以,解得 .
4.直线 恒过点_________.
[解析] 由,得 ,所以该直线恒
过点 .
探究点一 直线的倾斜角和斜率
例1（1）过点和点 的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知直线的斜率，设直线 的倾斜角
为 ，，则,所以 .故选B.
√
（2）已知点，，若直线过点且与线段
相交，则直线的斜率 的取值范围是( )
A.或 B.或
C. D.
√
[解析] 如图所示，依题意得 ,
，要使直线过点 且与线段
相交，则需满足或 ，故选A.
总结反思
（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率 的取值
范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函
数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角 的取值范围.
（2）注意倾斜角的取值范围是 ,若直线的斜率不存在,则直线的
倾斜角为,此时直线垂直于 轴.
（3）每条直线都有倾斜角，但不一定都存在斜率.
【对点演练1】（1）[2026· 江西南昌期末］已知直线， 的斜率分
别为，，倾斜角分别为，，则“”是“ ”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为， ，
所以，.
取，，满足 ，可求得，，
此时，所以“”不是“ ” 的充分条件；
取，，满足，但, ，
此时，所以“”不是“ ”的必要条件.
所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选D.
（2）[2026·河北衡水模拟]已知直线的方程为 ，
则直线 的倾斜角的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 直线的斜率，设该直线的倾斜角为 ，则
，又因为 ，所以 .故选D.
√
探究点二 直线的方程
例2（1）[2025·湖南长沙联考]过点，倾斜角为 的直线方程
为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得直线的斜率为 ，所以直线方程为
，整理得 .故选B.
√
（2）（多选题）直线经过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对
值相等，则直线 的方程可能是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为 ，
即.
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线 的方程为
，由题得或
由得，此时直线的方程为 ，即
；由得此时直线 的方程为
，即.故选 .
总结反思
（1）求直线的方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线的方程,方程中含有待定
的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线的方程.
（2）在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用
条件.特别是对于点斜式、截距式,使用时要注意分类讨论思想的运用
（若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判
断截距是否为零）.
（3）最终将直线的方程写成一般式或斜截式.
【对点演练2】（1）[2025·广东广州期中]直线 与直线
在同一平面直角坐标系内的图象只可
能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，B，的斜率为正数，在 轴上的截距也为正数，故
不可能有的斜率或截距为负数的情况，故A，B错误.
对于C， 的斜率为正数，即,则的截距应为正数，题图中的
与之不符，故C错误；
对于D，的斜率与截距都为正数，则 的截距与斜率应都为正数，
题图中的 与之相符，故D正确.故选D.
（2）已知为直线上的动点，点 满足
，则点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设点，因为，所以 ，将坐
标代入直线方程可得 ，化简可得
.所以点的轨迹方程为 .故选C.
√
（3）[2025·上海大学附中期中] 已知直线过点 ，且它的一个
法向量为 ，则该直线的一般式方程为______________.
[解析] 直线的一个法向量为，则该直线的斜率为 ，
又因为直线过点，所以直线的方程为 ,化简得
到一般式方程为 .
探究点三 直线方程的综合应用
例3 已知直线经过点 .
（1）若不过原点且在两坐标轴上的截距之和为0，求 的方程；
解：由题意知， 的斜率存在且不为0，
设斜率为，则的点斜式方程为 ，
则它在轴、轴上截距分别为和 ，
所以，解得 （此时直线过原点，舍去）或
，
所以的方程为，即 .
（2）设的斜率,与轴、轴的交点分别为和， 为坐标原
点，当的面积最小时，求 的斜截式方程.
解：由（1）知，,， ，
所以 的面积
，
当且仅当，即 时，等号成立，
此时的点斜式方程为 ，
斜截式方程为 .
总结反思
（1）求参数的值或取值范围时，需注意若点在直线上，则点的坐标
适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
（2）求解与直线方程有关的最值问题时,一般先根据题意建立目标函
数,再利用基本不等式（或函数）求解最值.
【对点演练3】（1）（多选题）[2026·福建厦门外国语学校模拟]对
于直线 ，下列说法中正确的是( )
A.直线恒过点
B.当时，直线在 轴上的截距为3
C.若直线不经过第二象限，则的取值范围为
D.坐标原点到直线的距离的最大值为
√
√
[解析] 直线的方程可化为 ，由
得所以直线恒过点 ，故A正确；
当时，直线,令，得，故此时直线
在轴上的截距为，故B错误；
当时，直线 的方程为，此时直线不经过第二象限，
故C错误；
因为直线 过定点，所以坐标原点到直线 的距离的最大值为
，故D正确.故选 .
（2）已知直线过点，且与轴的正半轴、 轴的正半轴分别
交于点，，为坐标原点.是否存在这样的直线 同时满足下列条件？
① 的面积为6；
② 的周长为12.
若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
解：设直线的方程为 ，
因为直线过点，所以 .
由条件①知 ，
所以，或， .
当， 时，
，，， 的周长为12，符合条件②；
当， 时，
，，，的周长为 ，不
符合条件②.
所以存在直线同时满足条件①②，且直线的方程为 ，
即 .
【备选理由】例1以充分条件、必要条件的判断为背景借助三角函数
考查直线的倾斜角与斜率的关系，综合性较强.
例1 ［配合探究点一使用］[2025·北京理工大学附中期中]已知直线
，的斜率分别为，，倾斜角分别为， ，则
“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由题意知，两直线的斜率均存在，所以,,, .
取,，则 ，但
，即充分性不成立；
取, ，则 ，但
，即必要性不成立.
综上，“”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选D.
例2 ［配合探究点三使用］
（1）已知函数的图象过定点，点 在直
线上且,，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，的图象过定点，则 ，
所以 ，
当且仅当,时等号成立，所以 的最小值为
.故选A.
√
【备选理由】例2将直线方程与基本不等式结合求最值.
（2）已知点为直线 上位于第一象限内的动点，
则下列结论正确的是( )
A.的最小值为2 B. 的最小值为2
C.的最小值为 D.的最小值为
√
[解析] 由题知，即，且, .
对于A，，当且仅当，即,
时取等号，所以，即 的最大值为2，故A错误；
对于B，，又,，所以 ,
所以 ，故B错误；
对于C， ，当,时取等号，所以的最小值为 ，故C正确；
对于D，
，当且仅当,且，即,
时取等号，所以的最小值为 ，故D错误.故选C.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线的倾斜角为 ，由题意得直线的斜率
，所以 ，故选B.
√
2.如图所示，直线,,的斜率分别为,, ，则
下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题中图得，直线的倾斜角为钝角，所以；
直线与 的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，
所以 .
所以 .故选C.
√
3.若直线的一个方向向量为，则直线 的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的一个方向向量为，所以直线 的斜
率，所以直线的倾斜角为 .故选A.
√
4.[2026·安徽江南十校联考]已知是直线 的一个方向
向量，且，则实数 的值为( )
A. B. C.2 D.
[解析] 因为直线的斜率 ，所以直线的一个方向
向量为，又，所以，解得 .故选A.
√
5.直线经过直线 在第一象限上的点，则直线
的倾斜角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线与轴交于点，与轴交于点 ，直
线恒过点，所以，所以 .故选A.
√
6.设函数，则曲线在点 处的切线
方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，所以曲线 在点
处的切线斜率 ，则所求切线方程为
，即 .故选D.
√
7.（多选题）[2025·河南周口模拟]若直线
不经过第四象限，则实数 的取值可能为( )
A. B. C.3 D.4
√
√
[解析] 直线的方程可化为 ，由
解得则直线过定点 ，该点在第二象限.
因为直线 不经过第四象限，所
以直线的斜率可能不存在，也可能存在且大于或等于0.
当 时，直线的斜率不存在；当的斜率存在且大于或等于0时，
，解得.
综上可知，实数的取值范围为 ，结合选项可知，的取值可能
为，3.故选 .
8.[2026·吉林实验中学期末] 直线， 的倾斜
角的取值范围为______________.
[解析] 设直线的倾斜角为 ，斜率为 ，由题意得
，可得 的取值范围为 .
9.[2026·福建莆田联考] 已知，，若点 在线段
上，则 的取值范围是_________.
[解析] 设，则 ，
，
如图， 点是线段 上的任意一点，
，且 ，
的取值范围是 .
10.已知直线, .
（1）求恒过的定点 的坐标；
解：由, 可得
，
由解得所以直线恒过点 .
（2）若经过点，求直线 的方程.
解：因为经过点，所以，解得 ,
所以直线的方程为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·湖南邵阳期中]在平面直角坐标系 中，曲线
的周长为( )
A.12 B.14 C.16 D.20
[解析] 曲线等价于或 或
或
√
表示以和为端点的线段，其长度为 ；
表示以和 为端点的线段，其长度为
；
表示以和 为端点的线段，其长度为
；
表示以和 为端点的线段，其长度为
.
所以曲线 的周长为 .故选D.
12.[2025·吉林长春东北师大附中期末]已知动点到定点 ,
的距离之和为4，直线与动点 的轨迹有交
点，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知，点的轨迹为线段，直线 过
定点,可得, .
由题意知，直线与线段相交，所以或 ，故选C.
√
13.（多选题） 河南焦作模拟］已知直线经过点 ，
，则下列结论中正确的是( )
A.直线的斜率是
B.直线的倾斜角是
C.直线的方向向量与向量 平行
D.直线的法向量与向量 平行
√
√
[解析] 对于A，由题意知，直线的斜率是 ，故A正确；
对于B，直线的倾斜角 满足 ，但不一定有 ，
故B错误 ；
对于C，直线的一个方向向量为 ，因为
，所以直线的方向向量与向量 不平行，故C错误；
对于D，直线的一个法向量为 ，因为
，所以直线的法向量与向量 平行，故D正确.故选 .
14.（多选题）[2026·河北承德模拟]已知 为等边三角形，直线
，的斜率分别为0， ，则( )
A.直线的斜率为
B.边上的高所在直线的斜率为
C.边上的高所在直线的倾斜角为
D.边上的高所在直线的倾斜角为
√
√
√
[解析] 依题意，不妨将三角形的顶点 放到坐
标原点，在 轴正半轴上（如图所示），则
，所以直线 的斜率为
，故A正确；
因为 边 上的高所在直线也是的平分线，所以 边上
的高所在直线的斜率为，故B正确；
边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确；
边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误.故选 .
【知识聚焦】
1.（1） （2） （3）正切值 （4）
2.（1） （2）① ②
3.

【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）× （4）×
题组二 1.A 2. （答案不唯一） 3.5 4.
课堂考点探究
例1（1）B （2）A 对点演练1（1）D （2）D 例2（1）B （2）ACD
对点演练2（1）D （2）C （3） 例3（1）
（2） 对点演练3（1）AD
（2） 所以存在直线同时满足条件①②，且直线的方程为
夯实基础
1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.D 7.BC 8. 9.
10.（1） （2）
综合提升
11.D 12.C 13.AD 14.ABC第八单元　解析几何
知识网络
第43讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【备选理由】 例1以充分条件、必要条件的判断为背景借助三角函数考查直线的倾斜角与斜率的关系,综合性较强;例2将直线方程与基本不等式结合求最值.
1 [配合探究点一使用] [2025·北京理工大学附中期中] 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则“cos(α1-α2)<0”是“k1k2<0”的 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 由题意知,两直线的斜率均存在,所以α1,α2∈∪.取α1=,α2=0,则cos(α1-α2)=cos<0,但k1k2=tantan 0=0,即充分性不成立;取α1=,α2=,则k1k2=tantan=-3<0,但cos(α1-α2)=cos=>0,即必要性不成立.综上,“cos(α1-α2)<0”是“k1k2<0”的既不充分也不必要条件.故选D.
2 [配合探究点三使用] (1)已知函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象过定点M,点M在直线mx+ny=1上且m,n>0,则+的最小值为 ( A )
A.3+2 B.4+2
C.3+ D.4+
(2)已知点P(a,b)为直线x+2y-4=0上位于第一象限内的动点,则下列结论正确的是 ( C )
A.ab的最小值为2
B.a+b的最小值为2
C.a2+b2的最小值为
D.的最小值为
[解析] (1)由题知,f(x)=ax-1的图象过定点M(1,1),则m+n=1,所以+=(m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当m=-1,n=2-时等号成立,所以+的最小值为3+2.故选A.
(2)由题知a+2b-4=0,即a+2b=4,且a>0,b>0.对于A,a+2b=4≥2,当且仅当a=2b=2,即a=2,b=1时取等号,所以ab≤2,即ab的最大值为2,故A错误;对于B,a+b=a+2b-b=4-b,又a>0,b>0,所以0

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