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第44讲 两直线的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求
两条平行直线间的距离.
知识聚焦
1.两条直线的位置关系
直线,, ,
的位置关系如下表：
位置关系 , 满足的条件 , 满足的条件
平行 _________________ 且 ，
中至少有一个不为0
垂直 ____________
相交 ________
且
2.两条直线的交点
设, ,则两条直线的
__________就是方程组 的解.
交点坐标
（1）若方程组有唯一解,则两条直线______,此解就是____________;
（2）若方程组无解,则两条直线__________,此时两条直线______,反
之,亦成立.
相交
交点的坐标
无公共点
平行
3.距离公式
点， 之 间的距离
_______________________
点 到直线 的距离 _ __________
（其中是与直线 的方向向量垂直的单
位向量,为直线 上任意一点）
两条平行线 与 间的距离 _ ______
常用结论
（1）若所求直线过点,且与直线 平行,则所
求直线的方程为 ；与直线
平行的直线系方程是
且 .
（2）若所求直线过点,且与直线 垂直,则所
求直线的方程为 ；与直线
垂直的直线系方程是 .#4.2
（3）若直线与 相交，
则方程（其中 ，这个
方程可以表示，但不能表示）表示过和 的交点的直线系方程.
（4）点关于原点的对称点为 .
（5）点关于轴的对称点为，关于 轴的对称点为
.#4.5
（6）点关于直线的对称点为，关于直线 的
对称点为 .
（7）点关于直线的对称点为，关于直线
的对称点为 .
（8）点关于点的对称点为 .
（9）点关于直线的对称点为 ，关于直
线的对称点为 .#4.9
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）点到直线的距离为 .( )
×
[解析] 点到直线的距离 .
（2）已知直线与平行，则 的
值为 或3.( )
×
[解析] 令，解得或.
当 时，两条直线的方程都为 ，即两条直线重合，
故舍去；
当时，两条直线的方程分别为， ，
两条直线平行.故 的值为3.
（3）已知直线， ，
，则“”是“ ”的充要条件.( )
×
[解析] ①当时，因为，所以 ，即
，解得；
②当时，直线, 的方程分别为,，
显然.
综上可知，等价于 或，
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
题组二 教材改编
1.若点与点关于点对称，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则由题意知解得所以点 的坐标
为 .故选B.
√
2.已知,,，则 是______（从锐角、直角、
钝角中选填一个）三角形.
直角
[解析] 因为边所在直线的斜率，边 所在直线的斜率
，且，所以，所以 是直角三角形.
3.点到直线 的距离为___.
2
[解析] 点到直线的距离 .
4.经过直线和 的交点，且与直线
平行的直线的方程是______________.
[解析] 由解得 直线 和
的交点为，
又所求直线与直线 平行， 所求直线的斜率为，
所求直线的方程为，即 .
探究点一 两条直线的位置关系
例1 （多选题）[2025·湖南长沙长郡中学期中]已知直线
, ，则( )
A.若，则
B.若，则且
C.若与坐标轴围成的三角形的面积为1，则
D.当时， 不经过第一象限
√
√
√
[解析] 对于A，当时，，可得或，
故A错误；
对于B，当 时，，且，则，且 ，
故B正确；
对于C，由题可知，在中，当时， ，
当时，，所以 与坐标轴围成的三角形的面积
，解得， 故C正确；
对于D，当时，如图所示，直线
过定点，且斜率为负数，所以 不过第一象限，
故D正确.故选 .
总结反思
（1）掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,对于
斜率都存在且不重合的两条直线（斜率为）和（斜率为 ）,
, .解题时一定要特别注意直线
的斜率不存在的情况.
（2）若直线,直线 ,则
， ，且
或 .
【对点演练1】（1）[2026·四川绵阳模拟]已知直线
与垂直，则实数 的值为( )
A.2 B. C. D.
[解析] 当时，，此时与 不垂直，不满足题意；
当时，因为，所以，解得 .故选A.
√
（2）设，则“直线 与直线
平行”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 因为，所以，解得.
当 时，，，此时, 重合，
不满足题意；
当时，，，此时, 平行，
满足题意.
所以等价于，所以“直线 与
直线平行”能推出“”，“ ”不能
推出“直线与直线 平行”，
所以“直线与直线 平行”是
“ ”的充分不必要条件，故选A.
探究点二 两条直线的交点与距离问题
例2（1）[2026·云南昆明模拟]若两平行直线 与
之间的距离是1，则 ( )
A.或11 B. 或16 C.1或11 D.1或16
[解析] 因为直线与 平行，所以
，解得，则直线，即 .
又与之间的距离是1，所以，解得或 .
所以或 .故选C.
√
（2）已知四边形的顶点,,,的坐标分别为, ,
,，则四边形 的面积为( )
A.24 B. C.12 D.6
[解析] 由,，可得，同理可得 ，
则，所以四边形为平行四边形.
由， ，可得直线的方程为，则点到
直线 的距离.
又 ，所以 .故选C.
√
总结反思
（1）点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线
方程应为一般式.
（2）运用两平行直线间的距离公式 的前提是两直线方程
中, 的系数对应相等.
【对点演练2】（1）已知点，点在直线 上运动，
当线段最短时，点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 当线段最短时，直线与直线 垂直，此时点
为直线与直线的交点.
因为直线 与直线垂直，所以，则直线的方
程为 .
由得所以 .故选A.
√
（2）[2026·湖北随州期中] 已知点，则过点 且与原点的距
离为2的直线 的方程为________________________.
或
[解析] ①当的斜率不存在时，的方程为，此时原点到直线 的
距离为，满足题意.
②当的斜率存在时，设斜率为 ，则，即
，由点到直线的距离公式得，解得，
所以.
故所求 的方程为或 .
探究点三 对称问题
题型1 点关于点对称
例3 已知直线的斜率存在，且被直线 和
截得的线段的中点为，则直线 的一般式
方程为______________．
[解析] 设直线的斜率为，因为直线过点 ，所以直线的方程为，即 .
由可得；
由可得 .
由题意可知 是截得的线段的中点，所以，可得，则直线 的方程为，即 .
总结反思
求点关于点的对称点的问题，主要依据是线段 的中点
来求解.
设,对称中心为，则关于 的对称点为
.
题型2 点关于线对称
例4 [2025·广东深圳联考] 已知的顶点的坐标为，边
所在直线的方程为，边上的中线 所在直线的方程
为 ．
（1）求边 所在直线的方程；
解：由得 .
设点，则 ，解得 即 ，，故直线的方程为，即 .
（2）求点关于直线的对称点 的坐标．
解：设，则的中点坐标为， ，
解得故 .
总结反思
设点关于直线的对称点为 .
（1）当直线的斜率不存在时，设直线,则
（2）当直线的斜率为0时，设直线,则
（3）当直线的斜率存在且不为0时，设 ，由
可求出 .
题型3 线关于线对称
例5 已知直线，则直线 关于
直线的对称直线 的方程为___________________.
[解析] 在直线上取一点，不妨取，则关于直线 的对
称点必在上.
设 ，则 解得 即.
设与的交点为，则由 得即.
又经过点，所以由两点式得直线 的方程为，
即
总结反思
（1）求直线的对称直线，本质上是求点的对称点的问题，取已知直
线上两个不同的点，那么这两个点关于对称轴对称的点一定在对称
直线上；
（2）求两条直线的对称轴：①若两条直线互相平行，则对称轴为与
两条直线平行且等距的直线；②若两条直线不平行，则对称轴为两
条相交直线的角平分线.
题型4 对称问题的应用
例6 （多选题）“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下
某处出发，先到河边饮马再回军营，怎样走才能使总路程最短的问
题.在平面直角坐标系中，设将军的出发点为 ，军营所在位置
为，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发
点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则
( )
A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B.将军在河边饮马的地点的坐标为
C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D.“将军饮马”走过的总路程为
√
√
[解析] 由题可知,在直线 的同侧，
设点关于直线的对称点为 ，
如图所示，
则 解得 即 .
对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线，又，
所以直线 的方程为 ，即 ，故A错
误；
对于B，设将军在河边饮马的地点为，则 为直
线与直线 的交点，联
立两直线方程解得 ，故B正确；
对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为直线，
又 ，所以直线的方程为 ，
即，故C错误；
对于D，总路程为 ，所以“将军饮马”的总路程为 ，
故D正确.故选 .
总结反思
（1）利用对称性解决线段和差的最值问题的主要方法是将线段的和
差转化为两点间的距离,从而得到最大（或最小）值;
（2）光线的入射与反射问题是对称性的典型问题,常用对称性来求入
射与反射光线所在直线的方程、经过的点的坐标及光线经过的路程等.
【对点演练3】（1）已知不同的两点与 关于
点对称，则 ( )
A. B.14 C. D.5
[解析] 因为点与关于点 对称，所以
即解得所以 故
选C.
√
（2）若点和点关于直线 对称，
则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由题意知，的中点为，即 ，由点
在直线上，可得，解得 ，则直线
，斜率为.
又直线与直线 垂直，所以，解得 .故选A.
√
（3）[2025·江苏苏州模拟]直线 关于直线
对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由解得则交点为 .
取直线上一点，
设点关于直线 的对称点为，
√
则由，且线段的中点在直线 上，
得解得
故所求直线过点，，
所以所求直线方程为 ，即 .故选B.
（4）[2026·广东深圳期末]已知直线 与直线
关于直线对称，则 的值为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意得，直线，又与关于对称， 直线,
与直线间的距离相等，,的方程可分别化为 ，
，，解得 .故选C.
√
（5）已知点在直线上，点, ，则
的最小值为_______.
[解析] 如图，设关于直线 的对称
点为，则 解得
则，于是 ，
结合图形知，当,,三点共线（即点位于图中 点处）时，
取得最小值，最小值为 ，
即的最小值为 .
【备选理由】例1综合考查两直线的交点问题与垂直问题.
例1 ［配合探究点一、二使用］
（1）在平面直角坐标系为坐标原点 中，不过原点的两直线
，的交点为 ，过点
向直线，引垂线，垂足分别为，，则四边形 面积的
最大值为( )
A.3 B. C.5 D.
√
[解析] 将直线的方程变形得 ，
由得则直线过定点 .
同理可知，直线过定点 .
所以直线和直线的交点的坐标为.
易知直线 ，如图所示，则四边形为矩形，且
.
设，，则，所以矩形 的面积
，当且仅当 即
时，等号成立，因此四边形面积的最大值为 .故选D.
（2）[2025·广东实验中学期中]若点既是, 连
线的中点，又是直线与
的交点，则线段 的垂直平分线的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 将与 相减，可得
，把 代入上式，可得
，所以，所以线段 的
垂直平分线的方程是，即 .故选C.
√
【备选理由】例2考查曲线上的点与直线上的点距离的最小值问题，综合性较强.
例2 ［配合探究点二使用］，分别为曲线 与直线
上的点，则 的最小值为_ ___.
[解析] 设，则，
令可得 .
所以当时，， 单调递减；
当时，， 单调递增.
所以恒成立，则 恒成立，
则曲线在直线 上方，
则当曲线在点处的切线与直线平行，且
与直线垂直时 最小，
将求导得，由，得 ，则此时
.
此时点到直线的距离即为 的最小值，
所以 .
例3 ［配合探究点三使用］已知直线，点 .
（1）求点关于直线的对称点 的坐标;
解：设，由题可知
解得 所以, .
【备选理由】例3补充了直线关于点对称的问题.
（2）求直线关于点的对称直线 的方程.
解：设为 上任意一点，
则关于点的对称点为 ，
因为在直线上，所以 ，整理得
，则直线的方程为 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若直线与直线 平行，则
( )
A.1 B. C.3 D.
[解析] 因为 ，所以
，所以 或.
当时，,,与 重合，不符合题意；
当时，， ，与平行，
符合题意.
综上， .故选B.
√
2.[2026·安徽宿州模拟]将直线绕点 顺时针旋转
得到直线，则 的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知，直线与垂直，直线的斜率为，所以 的
斜率为5.
又因为过点，所以直线的方程为 ，
即 .故选D.
√
3.[2025·江苏宿迁期末]已知直线过直线 与直线
的交点，且与直线平行，则直线 的方
程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 易求得直线与直线的交点为 ，
又因为与直线平行，所以可设直线 的方程为
，
将代入直线 的方程得，
所以，所以直线 的方程为 .故选A.
√
4.[2026·四川绵阳二诊]若直线 与直线
平行，则这两条直线间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为直线 与直线
平行，所以，所以 ，
所以直线，即 ，所以这两条直
线间的距离 .故选B.
√
5.已知直线 ，动直线
，则下列结论正确的为( )
A.不存在，使得的倾斜角为 B.对任意的，与 都不垂直
C.存在，使得与重合 D.对任意的，与 都有公共点
√
[解析] 当时，直线，此时的倾斜角为 ，故A错误.
由题知，当时，显然与不垂直；当 时，
，当时， ，此时.
则存在使得与垂直，故B错误.
当时，显然 与不重合且有公共点；当时，
，当 时，可得，此方程无解，即不存在，使
得与 平行，此时与 有公共点.故C错误，D正确.故选D.
6.点到直线 的距离的最大
值( )
A.为 B.为2 C.为 D.不存在
√
[解析] 直线 ，即
，令解得
则直线过定点.
当直线 与垂直时，点到直线
的距离最大，最大值为，此时 的
斜率为，则的斜率为2，故，方程无解，即直线
和 不可能垂直，则点到直线的距离小于 ，不存在最大
值.故选D.
7.[2026·宁夏中卫三模]若直线 与直线
平行，则 ( )
A.4 B.1 C.1或 D. 或4
[解析] 依题意得，，得 ，
解得或.
若，则直线 与直线平行，
符合题意；若 ，则直线与直线
平行，符合题意.
综上所述，或 .故选D.
√
8.已知直线，,（其中 ），
当时，直线与直线 的位置关系为( )
A.垂直 B.平行
C.相交 D.以上位置关系都有可能
√
[解析] 直线，,（其中 ），
当时，,在直线 的同侧，所以
，所以，
所以到直线的距离大于到直线 的距离，
所以直线与直线不平行，所以直线与直线 相交，故选C.
9.[2025·安徽合肥期末] 一条光线从点射出，经过直线 反
射后经过点 ，则反射光线所在直线的方程为_____________
________.
[解析] 易求得点关于直线的对称点为 ，
根据题意知，反射光线所在的直线为经过点， 的直线，
由直线的点斜式方程得直线的方程为，
即 .
10.[2026·浙江宁波九校联考] 已知直线
.
（1）若直线垂直于直线，求 的值；
解：因为 ，
所以 ，
解得，故 的值为1.
（2）求证：直线 经过定点；
证明：由 ，
得 ，
令
解得
所以直线恒过定点 .
（3）当时，求点关于直线的对称点 的坐标.
解：因为 ，
所以直线 .
设点关于直线的对称点的坐标为 ，
所以 解得
所以点关于直线的对称点的坐标为 .
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）直线与 的对称轴方程可
以为( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 直线与 的单位方向向量可以分
别取为，，此时对称轴的方向向量可以为 ，
斜率.
又因为直线与 的两条对称轴互相垂直，
所以另一条对称轴的斜率 .
两条对称轴均过直线与的交点 ，
故对称轴的方程为和，
整理后可得 和.故选 .
12.（多选题）已知直线 ，下列说法正确的是
( )
A.直线过定点
B.点到直线的距离的最大值为
C.直线 一定经过第四象限
D.当时，直线关于直线 的对称直线的方程为
√
√
√
[解析] 对于A，直线的方程可化为 ，令
可得所以直线过定点 ，故A正确.
对于B，直线过定点，当时，点到直线 的距
离最大，且最大值为 ，故B正确.
对于C，直线过定点 ，不一定经过第四象限，故C错误.
对于D，当时，直线，设直线 关于直线
的对称直线为，则一定经过直线 和直线
的交点，设为，由可得 所以.
在直线上任取一点，其关于直线 的对称点
一定在上，所以解得
所以，又在直线上，所以直线的方程为 ，
化简可得，故D正确.故选 .
13.[2025·黑龙江哈尔滨三中期中] 边长为1的正三角形 的内心为
，过的直线与边，分别交于点，，则 的最大
值为____.
18
[解析] 如图，以为原点，所在直线为轴，过
且与平行的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则，，，所以直线
的方程为，直线 的方程为 .
由题意可设直线的方程为 ，且.
由可得 ，
由可得 ，则
, ，故
.
因为，所以当时， 取得最大值，最
大值为18.
14.已知的顶点,边上的中线 所在直线的方程为
,的平分线所在直线的方程为 .
（1）求点的坐标、直线的方程、点 的坐标；
解：由点在直线上，可设点，则的中点
在直线 上，所以，解得，
则点 .
设关于直线的对称点为，则 解得
即 .
显然点在直线上，则直线的斜率 ，
因此直线的方程为，即 .
由解得则点 .
综上可得，直线的方程为，点 的坐标
为 .
（2）求 的面积.
解：由（1）得 ，
点到直线的距离 ，
所以的面积 .
【知识聚焦】1.且 2.交点坐标 （1）相交
交点的坐标 （2）无公共点 平行 3.
【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）×
题组二 1.B 2.直角 3. 2 4.
课堂考点探究
例1 BCD 对点演练（1）A （2）A 例2（1）C （2）C 对点演练2（1）A
（2）或 例3
例4（1）
例5 例6 BD 对点演练3（1）C （2）A （3）B
（4）C （5）
夯实基础
1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.D 7.D 8.C 9.
10.（1）1（2）略 （3）
综合提升
11.AC 12.ABD 13.18
14.（1）点
（2）第44讲　两直线的位置关系
【备选理由】 例1综合考查两直线的交点问题与垂直问题;例2考查曲线上的点与直线上的点距离的最小值问题,综合性较强;例3补充了直线关于点对称的问题.
1 [配合探究点一、二使用] 在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中,不过原点的两直线l1:x-my+2m-1=0,l2:mx+y-m-2=0的交点为P,过点O向直线l1,l2引垂线,垂足分别为M,N,则四边形OMPN面积的最大值为 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B. C.5 D.
(2)[2025·广东实验中学期中] 若点P(3,1)既是A(a1,b1),B(a2,b2)连线的中点,又是直线l1:a1x+b1y-10=0与l2:a2x+b2y-10=0的交点,则线段AB的垂直平分线的方程是 ( C )
A.3x+y-10=0 B.x+3y-6=0
C.x-3y=0 D.3x-y-8=0
[解析] (1)将直线l1的方程变形得x-1+m(2-y)=0,
由得则直线l1过定点(1,2).同理可知,直线l2过定点(1,2).
所以直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1,2).易知直线l1⊥l2,如图所示,则四边形OMPN为矩形,且|OP|==.设|OM|=a,|ON|=b,则a2+b2=5,所以矩形OMPN的面积S=|OM|·|ON|=ab≤=,当且仅当即a=b=时,等号成立,因此四边形OMPN面积的最大值为.故选D.
(2)将a1x+b1y-10=0与a2x+b2y-10=0相减,可得(a1-a2)x+(b1-b2)y=0,把(3,1)代入上式,可得3(a1-a2)+(b1-b2)=0,所以kAB==-3,所以线段AB的垂直平分线的方程是y-1=(x-3),即x-3y=0.故选C.
2 [配合探究点二使用] M,N分别为曲线y=ex+2x与直线y=3x-1上的点,则|MN|的最小值为 　.
[解析] 设f(x)=ex+2x-(3x-1)=ex-x+1,则f'(x)=ex-1,
令f'(x)=0可得x=0.
所以当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)≥f(0)=2恒成立,则f(x)>0恒成立,
则曲线y=ex+2x在直线y=3x-1上方,
则当曲线y=ex+2x在点M处的切线与直线y=3x-1平行,且MN与直线y=3x-1垂直时|MN|最小,
将y=ex+2x求导得y'=ex+2,由ex+2=3,得x=0,则此时M(0,1).
此时点M(0,1)到直线y=3x-1的距离即为|MN|的最小值,
所以|MN|min===.
3 [配合探究点三使用] 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).
(1)求点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)求直线l关于点A(-1,-2)的对称直线l'的方程.
解:(1)设A'(x,y),由题可知解得
所以A'.
(2)设P(m,n)为l'上任意一点,
则P(m,n)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-m,-4-n),
因为P'在直线l上,所以2(-2-m)-3(-4-n)+1=0,整理得2m-3n-9=0,则直线l'的方程为2x-3y-9=0.

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