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第45讲 圆的方程
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方
程与一般方程.
知识聚焦
1.圆的定义及方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准 方程 _______________________ 圆心为______，半径为___
一般 方程 _________________________ 圆心为 ，半径为
参数 方程 为参数， 圆心为______, 半径为___
续表
2.点与圆的位置关系
平面上的一点与圆 之间
存在着下列关系：
（1） 在圆外，即_______________________________
_____；
（2） 在圆上，即_______________________________
_____；
（3） 在圆内，即_______________________________
_____.
在
圆外
在
圆上
在
圆内
常用结论
1.常见圆的方程的设法：
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点
过原点
圆心在 轴上
圆心在 轴上
2.以, 为直径的两端点的圆的方程是
.
3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
4.圆心在任一弦的垂直平分线上.
5.圆心到圆上任一点的距离等于半径.
6.平面内到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是圆.
拓展：阿波罗尼斯圆
（1）定义：在平面上给定两点,，设点 在同一平面上且满足
，当且时，点 的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼
斯圆．（当时，点的轨迹是线段 的中垂线）
（2）证明:设,,,由 及两点间距离公
式，可得 ，
化简可得 .#2.7.2.2
当时，方程①为，此时动点的轨迹是线段 的垂直平
分线.
当时，方程①两边都除以 ，得
，化成标准形式为
，所以点的轨迹是圆心为 ，半
径 的圆．#2.7.2.4
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
√
[解析] 只要确定了圆的圆心坐标和圆的半径，即可得到圆的标准方程.
（2）若圆的标准方程是 ，则圆心
为，半径为 .( )
×
[解析] 当时，圆的半径为 .
（3）方程 表示圆.( )
×
[解析] 因为 ，所以方程表示点 ，不表示圆.
（4）若二元二次方程 可以表示圆，则此
圆的圆心为,半径为 .( )
√
[解析] 将 化为圆的标准方程，得，则可知圆的圆心为 ,半径为 .
题组二 教材改编
1.圆 的圆心坐标为______,半径为___.
1
[解析] 由,得 ,所以圆心坐标为 ,半径为1.
2.圆心为 且过原点的圆的标准方程是______________________,
一般方程为_____________________.
[解析] 点为圆心，且圆经过原点， 半径 ， 所求圆的标准方程为 ，则圆的一般方程为 .
3.已知两点和，则以 为直径的圆的标准方程是______
__________________.
[解析] 由题意得所求圆的圆心为线段的中点 ，半径为 ，
所以所求圆的标准方程为 .
4.若坐标原点在圆的内部，则实数 的取值
范围是___________.
，
[解析] 点在圆 的内部，，解得 .
5.已知长为2的线段的两个端点和分别在轴和 轴上滑动，则
线段 的中点的轨迹方程是____________.
[解析] 设线段的中点为，为坐标原点.
若, 不与原点重合，则是直角三角形，且 为直角，则,则点 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，除去与坐标轴的交点后，剩余的四段弧；
若,有一个是原点，则点 的轨迹是点，，，.
综上，线段 的中点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，方程是 .
探究点一 圆的方程
例1（1）[2026·浙江宁波模拟]“关于， 的方程
表示圆”是“ ”的( )
A.必要不充分条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 方程 可化为 ，所以当原方程表示圆时，需满足，则或.
因为 或，所以“关于，的方程 表示圆” 是“ ”的必要不充分条件，故选A.
（2）过，， 三点的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设所求圆的一般方程为，分别将点，， 的坐标代入方程，得 解得所以圆的一般方程为 ，标准方程为 .
故选B.
总结反思
求圆的方程的两种方法：
（1）求解圆心及半径，可直接写出圆的标准方程；
（2）待定系数法，可根据已知条件列方程（组），进而求出待定的
系数，得到圆的一般方程.
【对点演练1】（1）已知,是方程 的两个不等实
数根，则点与圆 的位置关系是( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点 在圆外 D.无法确定
[解析] 因为,是方程 的两个不等实数根，且，所以 则 ，所以点在圆 外.故选C.
√
（2）[2026·湖南永州期末]圆的圆心在轴上，且过 ，
两点，则圆 的标准方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为圆的圆心在轴上，所以可设圆的圆心为 ，半径为，则圆的标准方程为，
因为点，在圆 上，所以 整理得解得所以圆 的标准方程为 .故选D.
探究点二 与圆有关的最值问题
题型1 借助几何性质求最值
例2 （多选题）已知圆，点是圆 上
的动点，则( )
A.的最大值为 B. 的最大值为3
C.的最小值为 D.的最大值为
√
√
[解析] 方法一：由圆 得，则圆心,半径 ，因为点是圆上的动点，所以 .
对于A，令，则 ，故问题转化为直线与圆有公共点时，求直线在轴上的截距 的最大值.
显然，当直线与圆 相切时，截距取得最大值或最小值，所以 ，解得或，所以截距的最大值为，故 的最大值为 ,故A正确.
对于B，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，所以 ，即的最大值为，故B错误.
对于C， 可看作是点到圆上的点的距离 的平方，如图，因为，所以 ，故 ，故C错误.
对于D，将看作是点与圆 上的点的连线的斜率，则直线的方程为 ，即 ，由题意可知，圆心到直线的距离 ，则 ，解得，故的最大值为，即 的最大值为，故D正确. 故选 .
方法二：由圆 得，则圆心为,半径 ，因为点是圆 上的动点，所以设 为参数 .
对于A， ，因为，所以，故 的最大值为 ，故A正确；
对于 B, ，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，将 看作是点与圆上的点的连线的斜率，则直线 的方程为，即 ，由题意可知，圆心到直线的距离 ，则 ， 解得，故的最大值为，即 的最大值为，故D正确.
故选 .
总结反思
1.借助几何性质求最值的三种情况:
①形如 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
②形如 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
③形如 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题.
2.也可根据三角函数的有界性，利用圆的参数方程求解有关圆的最值
问题.
题型2 建立函数关系式求最值
例3 [2025·河北唐山质检] 已知圆的两条弦, 互相
垂直，且交于点，则 的最大值为______．
[解析] 由题可知，圆心，半径，，设圆心 到弦的距离为，则到弦的距离为 ，所以
，，则 ，当且仅当
，即时取等号，所以 的最大值为 .
总结反思
建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标式子
对应的函数关系式，然后根据关系式的特征选用适当的方法求最值，
利用不等式求最值是比较常用的.
题型3 利用对称性求最值
例4 已知点是坐标原点，点是圆 上的
动点，点在直线上，则当 取到最小值时，
( )
A.7 B.6 C.5 D.4
√
[解析] 设点关于直线对称的点为 ，则解得，即 .
由题意可知，圆的圆心为，半径 ，则，当且仅当点 在线段 上时，等号成立.
又因为，当且仅当,, 三点共线时，等号成立.
综上所述，当且仅当,时， 取得最小值6，此时 .故选D.
总结反思
求解形如且与圆 有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）
“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两条线段之和，一
般要通过对称性解决.
【对点演练2】（1）[2026·湖南长沙模拟]已知动点 在直线
上，点是坐标原点，点 是圆
上的动点，则 的最大值为
( )
A.2 B. C.3 D.4
√
[解析] 由题意知 ，因此
设点关于直线 的对称点为 ，则解得即 ，因此，当且仅当点,, 共线，且点在线段上时取等号，所以 ，则 .故选C.
（2）（多选题）[2026·广东深圳模拟]已知圆
，则下列说法正确的是( )
A.的最大值为3 B. 的最大值为7
C.的最大值为 D.的最大值为
[解析] 方程 可化为 ，设， ， .
对于A，，当 时， 取得最大值3，故A正确；
√
√
√
对于B，，当 时，取得最大值9，故B错误；
对于C，设，则 ，易知圆心，半径为，则圆心到直线 的距离小于或等于半径，即，所以 ，得，所以的最大值为 ，故C正确；
对于D，可以看作是圆上某点 到原点的距离的平方，可得 ，故D正确.
故选 .
（3）[2025·江苏南京师大附中期中] 已知点， ，点
满足 ．
①求点的轨迹 的方程；
解：设，则 ，即 ，即 ，故点的轨迹方程为 .
②过点作直线与直线，交曲线 于，，， 四点，
且，求四边形 面积的最大值与最小值.
解：如图，设点到的距离为，点到 的距离为 ，则 .
因为，所以 ，所以
因为，所以，则 ，所以，所以四边形 面积的最大值为14，最小值为 .
探究点三 与圆有关的轨迹问题
例5（1）[2026·山东泰安模拟]已知点在圆 上运
动，为坐标原点，则线段 的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设线段的中点为,，可得 则，
因为点在圆 上运动，所以 ，即，所以线段 的中点的轨迹方程为 .故选A.
（2）过圆外一点 任意引一条割线交圆于
，两点，则弦的中点 的轨迹是__________________________
__________________________．
以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧
[解析] 如图所示，设弦的中点的坐标为 ，连接，由 ，
，可得，即 ，得.
又， ，所以 ，即
.
因此点的轨迹是以为圆心、 为半径，且位于圆 内的一段圆弧.
总结反思
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程;
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程;
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程;
（4）代入法：找到要求点的坐标与已知点的坐标的关系,将要求点的
坐标代入已知点坐标满足的关系式.
【对点演练3】（1）方程 所表示的图形是
( )
A.一个圆 B.一个半圆 C.两个圆 D.两个半圆
[解析] 由题意知，故或.
当 时，方程为，平方可得 ，此时方程表示圆心为，半径为1的圆的右半部分；当 时，方程为，平方可得 ，此时方程表示圆心为 ，半径为1的圆的左半部分.
故选D.
√
（2）已知圆上一定点，点为圆内一点， ,
为圆上的动点．
①求线段 中点的轨迹方程；
解：设线段的中点的坐标为，的坐标为 ，则由题意得
又在圆 上，，化简得 ，故线段中点的轨迹方程为 .
②若 ，求线段 中点的轨迹方程．
解：设的中点为 ，在中， ，设为坐标原点，连接，则 ， ， ，化简得 ，故线段中点的轨迹方程为 .
【备选理由】例1是利用圆的几何意义解决含绝对值的最值问题.
例1 ［配合探究点二使用］[2025·浙江宁波期末]实数, 满足
，则 的最小值为( )
A.3 B.7 C. D.
√
[解析] 由可得，则点 在圆心为，半径为的圆上.
易知 表示圆上的点到直线距离的倍，可得圆心 到直线的距离，所以 的最小值为 .故选A.
例 2［配合探究点三使用］
（1）若,为曲线上任意两点，则, 两点间
距离的最大值为_____．
[解析] 由题意可得曲线关于轴、 轴、原点对称.
当,时，曲线方程为 ，曲线所在圆的圆心为 ;
当,时，曲线方程为 ，曲线所在圆的圆心为 ；
【备选理由】例2是有关圆的新定义问题，考查学生的知识迁移能力.
当,时，曲线方程为 ，曲线所在圆的圆心为 ；
当,时，曲线方程为 ，曲线所在圆的圆心为 .
当时，或；当时，或 .
在平面直角坐标系中作出曲线，如图所示.
由图可知，曲线上任意两点距离的最大值为 .
（2）生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，也具有数学的对
称、和谐、简洁美.已知曲线 ，下面是关于曲线
的四个结论：
①曲线 关于原点中心对称；
②曲线上点的横坐标的取值范围是 ；
③曲线上的点到坐标原点 的距离的最小值为2；
④若直线与曲线无交点，则实数 的取值范围是
,, .
其中所有正确结论的序号是________.
①③④
[解析] 对于①，在曲线上任取一点 ，则点关于原点的对称点为 ，因为，所以点 在曲线 上，所以曲线 关于原点对称，①正确.
对于②，由，可得 ，解得或 ，所以曲线上点的横坐标的取值范围是 ，②错误.
对于③，在曲线上任取一点 ，则，可得 ，则 ，所以 ，故 ，所以曲线上的点到坐标原点 的距离的最小值为2，③正确.
对于④，在曲线上任取一点，则点 关于轴的对称点为 ，因为，所以点在曲线 上，所以曲线关于轴对称.
同理可知，曲线也关于 轴对称.
当，时，曲线的方程可化为 ，整理得，此时 ，根据以上分析作出曲线 ，如图所示，
当直线与圆 相切时，可得，解得 ，由图可知，若直线与曲线 无交点，则实数的取值范围是 ,, ，④正确.
故填①③④.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2025·重庆一中期末]若方程 表示
圆，且圆心位于第四象限，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 方程 可变形为 ，由题意知解得 ，则实数的取值范围是 .故选C.
√
2.圆心在直线上，且经过点， 的圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可设所求圆的方程为，因为该圆过点 ，，所以解得 ，所以该圆的方程为 .故选A.
√
3.[2025·安徽宣城模拟]已知点，在直线 上运动，
且，点在圆上，则 面积的最大
值为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] 圆的圆心为，半径 ，则圆心到直线的距离，则点到直线 的距离的最大值为，则面积的最大值为 .故选A.
√
4.已知为圆上的动点，点满足，记
的轨迹为，则 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，因为，所以，又 在圆上，所以，即 的方程为 .故选C.
√
5.[2026·福建三明质检]已知点是坐标原点，点 是圆
上的动点，当动点在直线 上
运动时， 的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
[解析] 圆的圆心为 ，半径为1，如图所示.
设原点关于直线的对称点为 ，可得解得即点 .
由对称性可得 ，所以 ，当且仅当，分别为线段与圆、直线 的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立，故 的最小值为6.故选B.
6.[2026·江苏南京模拟]若两直线与 的交点
在圆的内部，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 联立与，得， ，则两直线交点的坐标为 .
因为两直线的交点在圆的内部，所以，得 ，故实数的取值范围是 .故选B.
√
7.已知点满足，点，则 的最大值为
( )
A.3 B. C. D.6
[解析] 由 变形得 ，所以点 的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆的上半部分，包含点与.
如图所示，当与点重合时 最大，此时 .故选C.
√
8.[2026·江苏扬州期末] 某圆形拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨
度是，拱高是，每隔 需要一根支柱支撑，则支柱
的长度约为_____.（精确到.参考数据： ）
0.65
[解析] 以为坐标原点，线段 所在直线为轴，线段 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，易知点，，的坐标分别为,, .
设圆拱所在圆的方程是，因为点 ，，在所求的圆上，所以解得故圆拱所在圆的方程是.
将点 的横坐标 代入上述方程，解得 （负值舍去），即支柱 的长度约为 .
9.若直线与相交于点 ，
点，则 的最大值为_______.
[解析] 因为直线 与分别恒过定点 , ，且两条直线垂直，所以点的轨迹是以 为直径的圆（不含原点），如图.
设的中点为，则,即 ，又，所以圆 ，所以 ，经检验符合题意.
10.在平面直角坐标系中，圆的圆心在轴上，且过点
与点 .
（1）求圆 的方程；
解：设，圆的方程为， 圆 过， ，，，解得， ， 圆的方程为 .
（2）设，点为圆上的动点，求证： 为定值.
证明：设，则， ， .
， ， ，为定值.
◆ 综合提升 ◆
11.已知圆上一点关于轴的对称点为， 是
圆上异于，的任意一点，若,分别交轴于点, ，则
( )
A. B.2 C. D.4
√
[解析] 由题意知，设 ，则,则， ，可得， ，故 .故选B.
12.（多选题）[2026·江苏镇江模拟]已知点 在圆
上，点， ，则( )
A.存在点，使得 B.的最大值为
C.存在点，使得 D.
[解析] 圆的标准方程为 ，则圆心，半径.
又，所以.
因为点 在圆上，所以 ，所以存在点，使得，故A正确.
√
√
因为，所以点在圆外.
又，所以点在圆内，所以当与圆 相切时，取得最大值，易得此时，所以 ，故B错误.
设，若，则 ，则 ，则 ，又点在圆上，所以 一定成立，故D正确，C错误.
故选 .
13.（多选题）已知曲线 ，则以下说法正确的
是( )
A.点 在曲线内部
B.曲线关于原点对称
C.曲线与坐标轴围成图形的面积为
D.曲线的周长是
√
√
[解析] 对于选项A，当时， ，即，因为 ，所以，故 或，因为，所以点 在曲线外部，故A错误.
对于选项B，将换成，换成，曲线 的方程不变，故曲线 关于原点对称，故B正确.
对于选项C，将换成，方程不变，故曲线关于 轴对称，设曲线在第一象限与坐标轴围成图形的面积为 ，则曲线与坐标轴围成 图形的面积为，
当, 时，方程，即 ，设圆的圆心为，则 ，易知半径 ，如图， 当时，得或，故弦长 ，又，所以 ，故，则 ，故 ，故C正确.
对于选项D，结合选项C的分析可知曲线的周长为 ，故D错误. 故选 .
14.古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲
线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定
点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称
为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和 ，且该平面内的
点满足 .
（1）求点 的轨迹方程；
解：设点的坐标为，因为，且，，，，，，，， ， 所以 ，所以
，所以 ，所以，即 ，所以点的轨迹方程为 .
（2）若点的轨迹关于直线 对称，
求 的最小值.
解：因为点的轨迹关于直线 对称，所以圆心在此直线上，即 ，
所以 ，当且仅当，，即， 时，等号成立.
故的最小值为 .
【知识聚焦】1.
2.（1）在圆外
（2）在圆上
（3）在圆内
【课前演练】题组一（1）√ （2）× （3）× （4）√
题组二 1. 1 2.
3. 4.， 5.
课堂考点探究
例1（1）A （2）B 对点演练1（1）C （2）D 例2 AD 例3
例4 D 对点演练2（1）C （2）ACD （3）①
② 四边形面积的最大值为14，最小值为
例5（1）A （2）以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧
对点演练3（1）D （2）①
②
夯实基础
1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.0.65 9.
10.（1）（2）略
综合提升
11.B 12.AD 13.BC
14.（1） >（2） 第45讲　圆的方程
【备选理由】 例1是利用圆的几何意义解决含绝对值的最值问题;
例2是有关圆的新定义问题,考查学生的知识迁移能力.
1 [配合探究点二使用] [2025·浙江宁波期末] 实数x,y满足x2+y2=2x-2y,则|x-y+3|的最小值为 ( A )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.7
C.- D.3+
[解析] 由x2+y2=2x-2y可得(x-1)2+(y+1)2=2,则点(x,y)在圆心为(1,-1),半径为的圆上.易知|x-y+3|表示圆上的点到直线x-y+3=0距离的倍,可得圆心(1,-1)到直线x-y+3=0的距离d==,所以|x-y+3|的最小值为=3.故选A.
2 [配合探究点三使用] (1)若A,B为曲线x2+y2=2|x|+2|y|上任意两点,则A,B两点间距离的最大值为　4　.
(2)生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美,也具有数学的对称、和谐、简洁美.已知曲线C:4-|x|=,下面是关于曲线C的四个结论:
①曲线C关于原点中心对称;
②曲线C上点的横坐标的取值范围是[-4,4];
③曲线C上的点到坐标原点O的距离的最小值为2;
④若直线y=kx与曲线C无交点,则实数k的取值范围是∪.
其中所有正确结论的序号是　①③④　.
[解析] (1)由题意可得曲线关于x轴、y轴、原点对称.
当x≥0,y≥0时,曲线方程为(x-1)2+(y-1)2=2,曲线所在圆的圆心为C1(1,1);
当x≥0,y<0时,曲线方程为(x-1)2+(y+1)2=2,曲线所在圆的圆心为C2(1,-1);
当x<0,y≥0时,曲线方程为(x+1)2+(y-1)2=2,曲线所在圆的圆心为C3(-1,1);
当x<0,y<0时,曲线方程为(x+1)2+(y+1)2=2,曲线所在圆的圆心为C4(-1,-1).
当x=0时,y=0或±2;当y=0时,x=0或±2.
在平面直角坐标系中作出曲线,如图所示.
由图可知,曲线上任意两点距离的最大值为|C1C4|+2r=+2×=4.
(2)对于①,在曲线C:4-|x|=上任取一点P(x,y),则点P关于原点的对称点为Q(-x,-y),
因为4-|-x|=4-|x|==,所以点Q在曲线C上,
所以曲线C关于原点对称,①正确.
对于②,由4-|x|=∈[0,2],可得2≤|x|≤4,解得-4≤x≤-2或2≤x≤4,
所以曲线C上点的横坐标的取值范围是[-4,-2]∪[2,4],②错误.
对于③,在曲线C:4-|x|=上任取一点P(x,y),
则4-|x|=,可得4-y2=(4-|x|)2,则y2=4-(4-|x|)2=-x2+8|x|-12,
所以|OP|2=x2+y2=x2-x2+8|x|-12=8|x|-12∈[4,20],故2≤|OP|≤2,
所以曲线C上的点到坐标原点O的距离的最小值为2,③正确.
对于④,在曲线C:4-|x|=上任取一点P(x,y),则点P关于x轴的对称点为M(x,-y),
因为4-|x|==,所以点M在曲线C上,
所以曲线C关于x轴对称.同理可知,曲线C也关于y轴对称.
当x≥0,y≥0时,曲线C的方程可化为4-x=,
整理得(x-4)2+y2=4,此时2≤x≤4,根据以上分析作出曲线C,如图所示,
当直线y=kx与圆(x-4)2+y2=4相切时,可得
=2,解得k=±,
由图可知,若直线y=kx与曲线C无交点,则实数k的取值范围是∪,④正确.
故填①③④.

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