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第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
【备选理由】 例1考查直线与圆的综合性问题,更加全面的掌握直线与圆的位置关系的各种题型;例2数据运算量大,逐步培养学生数据运算的核心素养,为接下来的圆锥曲线题目打好基础.
1 [配合探究点一、二使用] (1)(多选题)[2026·陕西榆林质检] 已知A(-4,0),B(4,0),动点C满足|CA|=3|CB|,记C的轨迹为Ω,若过点A的直线与Ω交于P,Q两点,直线BP与Ω的另外一个交点为M,则 ( ABD )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.△PAB的面积的最大值为12
B.Q,M关于x轴对称
C.当∠PMQ=时,|PQ|=2
D.直线AC的斜率的取值范围为
(2)(多选题)[2026·河北衡水质检] 已知点A,B为圆O:x2+y2=26上两动点,且|AB|=4,点P为直线l:x+y+10=0上动点,则 ( ACD )
A.以弦AB为直径的圆与直线l相离
B.∠APB的最大值为
C.·的最小值为8
D.|PA|2+|PB|2的最小值为112
[解析] (1)设C(x,y),由|CA|=3|CB|可得,=3,即(x-5)2+y2=9,所以C的轨迹Ω是以(5,0)为圆心,3为半径的圆,记圆Ω的圆心为S,半径为r.对于A选项,=|AB|r=×8×3=12,选项A正确;对于B选项,如图①,圆Ω关于x轴对称,A(-4,0),B(4,0)在x轴上,直线AP与圆Ω交于P,Q两点,直线BP与圆Ω交于P,M两点,
由题可知|PA|=3|PB|,|MA|=3|MB|,则=,由三角形的角平分线定理逆定理得∠PAB=∠MAB,根据圆的对称性可知,Q,M关于x轴对称,选项B正确;对于C选项,当∠PMQ=时,∠PSQ=,而|SQ|=|SP|=3,则△PSQ为等腰三角形,过S作SD⊥PQ于点D,如图①,则∠PSD=∠PSQ=,则|PD|=3×=,由垂径定理可得|PQ|=2|PD|=3,选项C错误;对于D选项,当直线AC与圆Ω相切时,连接SC,如图②,
可得AC⊥SC,此时|AS|=9,|CS|=3,由勾股定理得|AC|=6,则tan∠CAS===,故此时直线AC的斜率为,根据圆的对称性可知,直线AC的斜率的取值范围为,选项D正确.故选ABD.
(2)对于A,设弦AB的中点为C,连接OC,AO,则OC⊥AB,|AC|=|BC|=|AB|=2,所以|OC|===,所以点C在以O为圆心,为半径的圆上,所以点C到直线l的距离的最小值为-=4,而4>2,所以以弦AB为直径的圆与直线l相离,所以A正确;
对于B,如图,当∠APB最大时,直线AB与直线l平行,且O,C,P三点共线,则△ABP为等腰三角形,此时|CP|=4,|BC|=2,∠APB=2∠CPB,则tan∠CPB===>,所以∠CPB>,所以∠APB>,所以B错误;
对于C,因为=+,=+,所以·=(+)·(+)=+·(+)+·=+2·+||·||cos∠AOB=+2·+||·||(2cos2∠AOC-1),因为|OP|min==5,所以+2·+||·||(2cos2∠AOC-1)≥+2×5×cos π+26×=50-20+26×=8,当OP⊥l,O,C,P三点共线,且C在O,P之间时取等号,所以·的最小值为8,所以C正确;对于D,因为=+,=+,所以=++2·,=++2·,所以+=2+++2·(+)=2+++4·=2+4·+52≥2×+4×5×cos π+52=2×50-40+52=112,当OP⊥l,O,C,P三点共线,且C在O,P之间时取等号,所以|PA|2+|PB|2的最小值为112,所以D正确.故选ACD.
2 [配合探究点一、二使用] (1)在平面直角坐标系中,Q(2,0),过点P(2,4)作直线l与圆O:x2+y2=4交于不同的两点M,N.
①若直线l的斜率为1,求|MN|.
②设直线QM,QN的斜率分别是k1,k2,则k1+k2是否为定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解:①依题意,得直线l:y-4=x-2,即x-y+2=0,
则圆心(0,0)到直线l的距离d==,所以|MN|=2=2.
②依题意,直线l的斜率存在且不为零,设M(x1,y1),N(x2,y2),l:y-4=k(x-2),
由得(1+k2)x2-4k(k-2)x+4k2-16k+12=0,
则x1+x2=,x1x2=,
所以k1+k2=+=+=2k++
=2k+=2k+=2k-(2k+1)=-1,
所以k1+k2是定值,该定值为-1.
(2)[2026·江苏锡山测试] 如图,已知过点A(-1,0)的直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,直线n:x+3y+6=0.
①当|PQ|=2时,求直线l的方程.
②设T为直线n上的动点,过T作圆C的两条切线TG,TH,切点分别为G,H,求四边形TGCH面积的最小值.
③是否存在直线l,使得向量+与共线 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:①方法一:设弦PQ的中点为M,
当直线l的斜率不存在时,|CM|=1,|PQ|=2=2,故x=-1符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.
∵|PQ|=2,∴|CM|==1,则由|CM|==1,解得k=,
此时直线l的方程为4x-3y+4=0.
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
方法二:易知直线l的斜率不为零,设直线l的方程为x=my-1,即x-my+1=0.
∵|PQ|=2,∴|CM|==1,则由=1,解得m=0或m=,
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
②方法一:因为TG,TH为圆C的两条切线,所以S四边形TGCH=2S△TGC=2·|TG|·|CG|=2|TG|.
又|TG|=,所以求|TG|的最小值即为求|CT|的最小值,|CT|的最小值为点C到直线n的距离d==,所以|TG|min=,
故四边形TGCH面积的最小值为.
方法二:
因为TG,TH为圆C的两条切线,所以S四边形TGCH=2S△TGC=2·|TG|·|CG|=2|TG|.
设点T的坐标为(x,y),则|TG|===,
所以当y=-时,|TG|min=,
故四边形TGCH面积的最小值为.
③易知直线l的斜率不为零,设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由可得(m2+1)y2-(2m+6)y+6=0,
所以y1+y2=,所以x1+x2=m-2=,
则+=(x1+x2,y1+y2)=.
又A(-1,0),C(0,3),所以=(1,3).
若向量+与共线,则=3×,
可得2m+6=18m-6,解得m=,
当m=时,Δ=-4××6>0,
所以存在直线l,使得向量+与共线,
直线l的方程为x=y-1,即4x-3y+4=0.(共109张PPT)
第46讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
知识聚焦
1.直线与圆的位置关系
设圆的半径为，圆心到直线的距离为 ，则直线与圆的位
置关系可用下表表示：
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 ___0 ___0 ___0
几何观点 ___ ___ ___
<
=
>
>
=
<
2.圆与圆的位置关系
设圆，的半径分别为，，两圆圆心间的距离为 ，则
两圆的位置关系可用下表表示：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量的 关系 _________ _______ ___ __________ __________ _______ ______ __________
公切线 条数 4 3 2 1 0
续表
3. 直线被圆截得的弦长
（1）几何法：弦心距、半径和弦长 的一半构成直角三角形，
则 .
（2）代数法：设直线与圆 相
交于点，，联立直线与圆的方程，消去，得关于 的一元二次
方程，根据根与系数的关系，得到， ，则
.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论
（1）过圆上一点 的圆的切线方程为
.
（2）过圆上一点 的圆的切线方程
为 .
（3）过圆外一点 作圆的两条切线,
则两切点所在直线的方程为 .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时公共弦的方程
设圆 ，圆
，若两圆相交，则有一条公共
弦，该公共弦所在直线的方程可由 得到，即
.
（2）两个圆系方程
①过直线与圆 交点的圆
系方程为 ；
②过圆 和圆
交点的圆系方程为 ，
其中不含圆的方程，所以注意检验圆 的方程是否满足题意，
以防丢解.
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在圆中最长的弦是直径.( )
√
[解析] 任意两条不过圆心的弦，和直径 组成直角三角形，直径 为斜边，肯定比任一直角边（即弦）长.
（2）“”是“直线与圆 相交”的必要不
充分条件. ( )
×
[解析] 当时，直线与圆 相交；
反之，当直线与圆相交时， ，则.
所以“”是“直线与圆 相交”的充分不必要条件.
（3）若两个圆的方程所组成的方程组没有实数解，则两圆外离.( )
×
[解析] 若两个圆的方程所组成的方程组没有实数解，则两圆外离或内含.
（4）若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
×
[解析] 若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆可能内含、内切或相交.
题组二 教材改编
1.已知点是圆上的一点，则过 的圆的切线方
程是__________________.
[解析] 点是圆 上的一点，，即.
圆的圆心为 ，直线的斜率，直线与过的圆的切线垂直， 过的圆的切线斜率是，过点 的圆的切线方程是，即 .
2.已知直线与圆,则直线 被
圆 截得的弦长为_____.
[解析] 方法一：由消去,得 , 解得,,所以直线与圆 相交,有两个公共点，设这两个公共点分别为,,把, 分别代入,得,,所以直线与圆 的两个交点分别为,,则 .
方法二：圆的圆心为,半径 ,因为圆心到直线的距离,所以直线 被圆截得的弦长为 .
3.圆与圆 的位置关系是______，
这两个圆有___条公切线.
外切
3
[解析] 两圆的方程, 可分别化为,，则两圆圆心分别为, , 半径分别为,.
连接,因为 ,所以两圆外切，这两个圆有3条公切线.
4.已知直线与圆相切，则 的值为
_______.
3或
[解析] 圆的圆心为，半径为 ，由题意知，点到直线的距离 ，整理得，解得或 .
探究点一 直线与圆的位置关系
例1（1）已知直线 与圆
，则直线与圆 的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
[解析] 由题意可得直线过定点 .
因为，所以点 在圆内，则直线与圆 相交.故选C.
√
（2）已知直线,，则“”是“直线
与 相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由直线与相交，得 ，解得.
因为能推出， 不能推出，所以“”是“直线与 相交”的充分不必要条件.故选A.
√
总结反思
判断直线与圆的位置关系的常用方法:
（1）若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用与半径 的大小
关系判断；
（2）若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用
代数法,联立方程后利用判断.
能用几何法求解的,尽量不用代数法.
【对点演练1】（1）若直线 与圆
相离，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：由题知圆的圆心为，半径， 到直线的距离，解得 .
又，所以 .故选B.
√
方法二：由题意，联立消去 ，得
，由题可知,则.
又圆 的半径,所以 .故选B.
（2）[2026·贵州毕节期末]若直线与曲线
恰有两个公共点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由得 ，所以曲线是半圆，圆心为 ，半径为1.
直线经过定点 ，如图，
当直线与半圆相切时， 为切点，
，由图可知，直线与曲线 恰有两个公共点时， .
故选D.
探究点二 圆的弦长与切线问题
题型1 圆的弦长
例2（1）直线被圆 截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 由，即 ，可得圆的圆心为，半径为.
因为圆心到直线 的距离，所以直线经过圆心，所以直线 被圆截得的弦长为圆的直径，即 .故选C.
√
（2）已知点,为圆上两点， ，
点为线段的中点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得圆的圆心为，半径 .
因为点为线段的中点， ，所以 .故选C.
√
总结反思
直线被圆截得的弦长的两种求法
（1）代数法：将直线和圆的方程联立，根据弦长公式求弦长.
（2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 .
【对点演练2】（1）若直线 被圆
截得的弦长为，则 ( )
A. B. C.2 D.
[解析] 因为圆，所以圆心为 ，半径为2.
圆心到直线的距离 .
因为直线被圆截得的弦长为，所以 ，解得 .故选C.
√
（2）若直线 与圆
相交于，两点，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
又，所以在圆 内.
由可得，故圆心为 ，半径为4.
如图，连接，当与垂直时， 最小，
因为 ，所以
由垂径定理得 .故选C.
[解析] 由 可得，令 解得故直线过定点 .
题型2 圆的切线方程
例3（1）过圆外的点作的一条切线，切点为 ，
则 ( )
A. B. C. D.5
[解析] 由题意可知，圆的圆心为，半径 ，所以，故 .故选B.
√
（2）已知圆经过点 ，则圆在
点 处的切线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为圆经过点 ，所以 ，所以 ，则圆的方程为 .
方法一：令此圆的圆心为，则，所以圆在点 处的切线斜率.
又因为切线过点 ，所以切线方程为，整理得 .故选A.
方法二：圆在点 处的切线方程为 ，即 .故选A.
总结反思
求圆的切线方程时常用的两种方法:
（1）代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数或 ,令
一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
（2）几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等
于半径,求出相关参数,解决问题.若点 在圆
上,则过点 的圆的切线方程为
.
【对点演练3】（1）[2025·安徽皖南八校联考]已知过点 与圆
相切的两条直线的夹角为 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 变形为 ，故圆心为，半径为2，所以点 到圆心的距离为，则切线长为，所以 ，则 .故选D.
√
（2）与圆 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线
共有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
√
[解析] ①当直线不经过原点时，设直线方程为， .
因为该直线与圆相切，所以 ，化简得，解得或 （舍去）.
此时只有一条直线符合题意，该直线的方程为 .
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆 相切，所以，化简得，解得 .
此时有两条直线符合题意，这两条直线的方程分别为,
综上，共有3条直线符合题意.故选B.
题型3 与圆的切线有关的最值（范围）问题
例4（1）已知圆过点，，，点在直线 上，过
点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形 面积的最
小值为( )
A.3 B. C.4 D.
[解析] 显然过点， 的直线斜率为1，过点 ，的直线斜率为，即以点 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，因此圆的圆心为 ，半径为2，如图.
√
点到直线 的距离
，又点 在直线上，所以.
由过点作圆 的两条切线，切点分别为,，得四边形 的面积
，所以四边形 面积的最小值为4.故选C.
（2）过圆上一点作圆 的两
条切线,，切点为,，当最大时，直线 的斜率为
( )
A. B. C. D.1
[解析] 由题可知，当 最大时，最大.
易知，在直角三角形 中，当最短时， 最大.
而，当且仅当,, 三点共线时
最小，又，，所以直线的斜率为 .故选C.
√
总结反思
与圆的切线有关的线段长度范围（或最值）问题,解题关键是能够把
所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,再利
用求函数取值范围（或最值）的方法求得结果.
【对点演练4】（1）过直线上一动点 ，向圆
引两条切线，，为切点，则圆上的动点 到直线
的距离的最大值等于( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则.
如图，连接， ，则，，则点，在以 为直径的圆上.
以 为直径的圆的方程是，圆 的方程为 ，
√
联立两个圆的方程，可得直线 的方程为，即.
因为 ，所以，代入直线 的方程，得，即 .
当且，即， 时该方程恒成立，所以直线过定点，点到直线 的距离的最大值即为点， 之间的距离加上圆的半径2.
又，所以动点到直线 的距离的最大值为 ，故选B.
（2）已知点是直线上一动点，过点 作圆
的两条切线，切点分别为，，则
的最小值为( )
A.0 B.1 C. D.2
[解析] 圆 的圆心为，半径为1，点到直线 的距离 .
如图所示，连接，，由圆的几何性质可得 ， ，由切线长定理可得，又因为 ，，所以，则 .
√
设 ，则 ，
，，所以 .
由图可知，当时， 取最小值，即 .
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，故当 ，即时， 取得最小值，且最小值为 .故选A.
探究点三 圆与圆的位置关系
例5（1）已知圆 ，圆
，则这两圆的位置关系为( )
A.内含 B.相切 C.相交 D.外离
[解析] 根据题意，化简得圆 ，圆心为，半径，圆，圆心为 ，半径，圆心距 ，所以两圆内含.故选A.
√
（2）圆与圆 的公共弦长为
，则 的值为( )
A.12或4 B.12或 C.16或4 D.16或
[解析] 两圆方程作差可得 ，即公共弦所在直线方程为.
由圆，得圆心 ，半径，点到公共弦所在直线的距离 ，则公共弦长为，则，解得或 .
由圆，整理可得 ，所以，所以或 符合题意.故选B.
√
总结反思
（1）处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的
和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.
（2）若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差
消去， 项得到.
（3）求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距，半弦长 ，半
径 构成直角三角形，利用勾股定理求解.
【对点演练5】（1）[2026·浙江杭州期末]圆 ，
圆，则圆与 ( )
A.相离
B.有3条公切线
C.关于直线 对称
D.公共弦所在直线方程为
√
[解析] 圆的圆心，半径 ，圆的圆心，半径 .
因为，所以圆与圆 相交，有2条公切线，A，B错误；
对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为 ，D错误；
对于C，易得线段的中垂线的斜率为1，且过线段 的中点，则该中垂线方程为，又圆与圆 的半径相等，所以它们关于直线 对称，C正确.故选C.
（2）[2026·浙江名校协作体联考]圆 与圆
的公共弦长为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为，半径 ，联立与 得公共弦所在直线方程为，圆心到直线 的距离，故公共弦长为 ，故选C.
√
探究点四 隐圆问题
例6（1）在平面直角坐标系中，已知点， ，
则到直线 的距离的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.3
[解析] 因为，所以点在圆 上，该圆的圆心为点，半径，圆心到直线 的距离，因此到直线 的距离的最大值为 .故选D.
√
（2）已知为直线上的动点,过点 作圆
的两条切线,,切点分别为, ,则当
最小时,直线 的方程为________________.
[解析] 圆的圆心为,半径 , 因为，，所以,,,四点在以 为直径的圆上,且 , 所以 .
又,所以取最小值时, 也取最小值.
易知当直线时, 取得最小值, 此时取得最小值,且直线的方程为 .
由解得 即 , 则以为直径的圆的方程为 ,
将两圆方程与 作差,得,即直线的方程为 .
总结反思
隐圆问题常见类型：
1.利用圆的定义 为大于0的定值，为动点，为定点
确定隐形圆；
2.利用关系式 ，其中 为定值,,是定点，是动点 确
定隐形圆；
3.转化为阿波罗尼斯圆（为定点，动点满足,其中 ，
且 ）；
4.已知点，则点 在
上.
【对点演练6】（1）[2025·江苏南京联考]已知点， ，
若圆上存在点，使得 ，则正
实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为 ，半径为2.
由题意得点在以线段为直径的圆上.
，， 以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为
圆 上存在点，使得 ， 两圆有交点，又为正数， ，，即的取值范围是 .故选A.
（2）[2026·河北廊坊期末]已知点，在圆 上，
点在直线 上，点为线段的中点，若，
则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得圆的标准方程为 ，其圆心为，半径.
又 ,所以由垂径定理可得，故点在以为圆心， 为半径的圆上.
因为点到直线的距离，所以 的最小值为 ，故选B.
【备选理由】例1考查直线与圆的综合性问题，更加全面的掌握直线
与圆的位置关系的各种题型.
例1 ［配合探究点一、二使用］
（1）（多选题）[2026·陕西榆林质检]已知，，动点
满足，记的轨迹为 ，若过点的直线与 交于，
两点，直线与 的另外一个交点为 ，则( )
A. 的面积的最大值为12
B.，关于 轴对称
C.当时，
D.直线的斜率的取值范围为，
√
√
√
[解析] 设，由 可得， ，即 ，所以的轨迹 是以 为圆心，3为半径的圆，记圆 的圆心为 ，半径为 ．
对于A选项， ，选项A正确；
对于B选项，如图①，圆 关于轴对称，，在 轴上，直线与圆 交于，两点，直线与圆 交于， 两点，
由题可知， ，则 ，由三角形的角平分线定理逆定理得，根据圆的对称性可知，， 关于 轴对称，选项B正确；
对于C选项，当 时，，而，则 为等腰三角形，过作于点，如图①，则 ，则 ，由垂径定理可得，选项C错误；
对于D选项，当直线与圆 相切时，连接 ，如图②，可得，此时， ，由勾股定理得 ，则，故此时直线 的斜率为 ，根据圆对称性可知，直线的斜率的取值范围为 ， ，选项D正确．故选ABD.
（2）（多选题）[2026·河北衡水质检]已知点， 为圆
上两动点，且，点 为直线
上动点，则( )
A.以弦为直径的圆与直线 相离
B.的最大值为
C. 的最小值为8
D. 的最小值为112
√
√
√
[解析] 对于A，设弦的中点为，连接，，则 ， ，所以，所以点在以 为圆心，为半径的圆上，所以点到直线的距离的最小值为 ，而，所以以弦为直径的圆与直线 相离，所以A正确；
对于B，如图，当最大时，直线与直线 平行，且，，三点共线，则 为等腰三角形，此时， ， ，则
，所以，所以 ，所以B错误；
对于C，因为， ，
所以
，因为 ，所以 ， 当，，，三点共线，且在， 之间时取等号，所以 的最小值为8，所以C正确；
对于D，因为 ， ，所以 ，
，所以
，当，，，三点共线，且在， 之间时取等号，所以 的最小值为112，所以D正确.故选ACD.
例2 ［配合探究点一、二使用］
（1）在平面直角坐标系中，，过点作直线 与圆
交于不同的两点， ．
①若直线的斜率为1，求 .
解：依题意，得直线，即 ，则圆心到直线的距离 ，所以 ．
【备选理由】例2数据运算量大，逐步培养学生数据运算的核心素养，为接下来的圆锥曲线题目打好基础.
②设直线，的斜率分别是，，则 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：依题意，直线的斜率存在且不为零，设， ， ，由 得 ，则，，
，所以是定值，该定值为 ．
（2）[2026·江苏锡山测试] 如图，已知过点
的直线与圆 相交于
，两点，直线 ．
①当时，求直线 的方程.
解：方法一：设弦的中点为 ，当直线的斜率不存在时， ，，故 符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线 的方程为，即 .
， ，则由，解得 ，此时直线的方程为 .
故直线的方程为或 .
方法二：易知直线的斜率不为零，设直线 的方程为，即 .
， ，则由，解得或 ，故直线的方程为或 .
②设为直线上的动点，过作圆 的两条切线
，，切点分别为，，求四边形 面积
的最小值.
解：方法一：因为，为圆 的两条切线，所以 .
又，所以求的最小值即为求的最小值， 的最小值为点到直线 的距离，所以 ，故四边形面积的最小值为 .
方法二：因为，为圆 的两条切线，所以 .
设点的坐标为 ，则
所以当时， ，故四边形面积的最小值为 .
，
③是否存在直线，使得向量与 共线？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
解：易知直线的斜率不为零，设直线 的方程为，， ，由 可得 ，所以，所以 ，则， .
又，，所以 .
若向量与共线，则 ，可得，解得 ，当时， ，所以存在直线，使得向量与 共线，直线的方程为，即 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若圆 ，圆
，则圆与圆 的公共弦所在直线的
方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 两圆方程相减，化简得，即圆与圆 的公共弦所在直线的方程为 .故选B.
√
2.已知圆的方程是，则圆中过点
的最短弦所在直线的方程是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 圆的圆心为 ，圆心与点 连线所在直线的斜率 .
因为，所以点 在圆内，所以当过点的弦与过点 的直径垂直时,弦长最短，所以最短弦所在的直线斜率满足，所以
由点斜式方程得，最短弦所在直线的方程为，整理得 .故选B.
3.若圆上总存在到原点的距离为 的点,则实
数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由圆上总存在到原点的距离为 的点, 知圆与圆 有交点,又两圆的半径分别为,,圆心距为, , ,解得或， 实数 的取值范围是 .
√
4.[2026·湖北武汉调研]已知直线 ，圆
，则“点在圆外”是“直线与圆 相交”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由点在圆外，得，则圆心到直线 的距离，因此直线与圆相交，即“点在圆 外”是 “直线与圆相交”的充分条件.
由直线与圆相交，得圆心到直线 的距离，则，因此点在圆 外，即 “点在圆外”是“直线与圆相交”的必要条件.
所以“点 在圆外”是“直线与圆 相交”的充要条件.故选C.
5.[2026·山东青岛调研]已知圆 与圆
恰有3条公切线，则 的最大值是( )
A. B.4 C.2 D.
[解析] 由题意可知，圆的半径，圆心；圆 的半径，圆心 .
因为两圆恰有3条公切线，所以两圆外切，则，可得 ，由基本不等式可得，当且仅当即 或时，等号成立，可得，故的最大值为 .故选A.
√
6.已知实数,满足，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为实数,满足，所以点 在圆上，圆心，半径.
设 ，则点在直线上，所以直线与圆 有公共点，则圆心到直线的距离，即，解得 ，则的取值范围为 .故选A.
√
7.[2025·安徽亳州期末]若当动点在圆上运动时， 的取值范
围为，则圆心 ( )
A.一定在直线上 B.一定在直线 上
C.一定在直线上 D.一定在直线 上
√
[解析] 如图所示，， 为坐标原点，
因为的取值范围为，所以直线 的倾斜角的取值范围是 .
由题意可知，直线，为圆 的两条切线，即直线，为圆的两条切线，由图可知，直线 的斜率为负数.
设圆心 ，则，且 ，整理可得
，即，可得 .
因为，所以，因此圆心 一定在直线 上.故选C.
8.（多选题）已知圆 ，直线
，则下列结论正确的是
( )
A.直线与圆 不可能相切
B.当时，圆上恰有三个点到直线 的距离等于1
C.恰有三条直线与圆和圆 都相切
D.直线与直线 垂直
√
√
√
[解析] 对于A项，由 ,可得，解方程组可得 所以直线过定点，圆的圆心为 ，半径，则，所以点 在圆内，所以直线与圆 一定相交，不可能相切，故A正确；
对于B项，当时，直线化为，此时圆心 到直线的距离，因此圆 上只有两个点到直线的距离等于1，故B错误；
对于C项， 可 化为，其圆心为，半径 ，因为，所以两圆外切，故恰有三条直线与圆 和圆 都相切，故C正确；
对于D项，因为 ，所以直线与直线 垂直，故D正确.故选 .
9.已知在平面直角坐标系中,, ,直线
上存在动点满足,则实数 的取值范
围为_ ________.
[解析] 设 , 由,可得 , 整理得,即,则点在以为圆心, 为半径的圆上运动.
又在直线上,所以直线 和圆有交点,因此圆心 到直线的距离,解得,即实数 的取值范围是 .
10.已知圆，直线 .
（1）若直线与圆相切，求实数 的值；
解：由圆的一般方程 可得标准方程 ，则，即 .
圆心到直线的距离 ，因为直线与圆相切，所以，解得，满足 .
所以 .
（2）若直线与圆相交于，两点， 为坐标原点，且
，求圆的半径 .
解：由可得 ，则，解得 ，设, ，则, ，则 ，所以，满足 .
所以圆的半径满足，故 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·海南三亚诊断]已知过原点且斜率存在的直线 与圆
交于，两点（ 为圆心），当
的面积最大时，直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设直线的方程为，即.
又圆 的圆心为，半径，所以圆心到直线 的距离，弦长 ，所以.
当 时，最大，此时，整理得 ，解得，所以直线的斜率为 .故选B.
12.（多选题）[2025·山东省实验中学四诊]设动直线
与圆 交于
， 两点，则下列说法正确的有( )
A.直线过定点
B.当取得最大值时，
C. 的最小值为2
D.当最小时，其余弦值为
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径 .
对于选项A，由动直线 ，可得，令可得即直线 过定点，选项A正确；
对于选项B，当取得最大值时，直线 过圆心，则，得 ，选项B正确；
对于选项C，当取得最小值时，直线与直线垂直，又直线 的斜率，所以直线的斜率为，故，此时直线 的方程为，圆心到直线 的距离，所以 ，选项C错误；
对于选项D，当最小时， 最小，结合C选项的推导可得，此时 ，选项D错误.故选 .
13.已知是圆的一条弦， ，是弦
的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点 ，
，使得为钝角，则 的取值范围是_________________.
[解析] 圆的圆心，半径 .
因为为弦的中点，所以 .
又因为 ，所以三角形 为正三角形，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上，点 所在圆的方程为 .
要使得为钝角恒成立，则点所在的圆在以 为直径的圆的内部，而在直线 上，到直线的距离，所以以 为直径的圆的半径，所以，所以 的取值范围是
.
14.已知圆过点，，且圆心在 轴上.
（1）求圆 的周长；
解：由圆心在轴上，设圆的方程为 ，由圆过，，得 解得所以圆的方程为 ，其周长为 .
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线 的
方程；
解：因为直线被圆所截得的弦长为 ，所以圆心到直线的距离为 .
①若直线的斜率不存在，则直线与圆的交点为 ，直线被圆截得的弦长为，故直线 符合题意.
②若直线的斜率存在，则设 ，整理得 ，所以圆心到直线的距离为，解得 ，则直线，即直线 .
综上所述，直线的方程为或 .
（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点， 为坐标
原点，直线，分别与直线相交于，两点，记
的面积为，的面积为，求 的最大值.
解：如图，由题知原点在圆 上，直线过圆心，且与轴不重合，故 .
设直线的斜率为，则直线的斜率为 ，则直线的方程为，直线的方程为 ，
由得 ，解得或 则点的坐标为.
同理，点 的坐标为 .
由题可知， ，故 ，
又因为， ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以的最大值为 .
【知识聚焦】1.< = > > = <
2.
【课前演练】题组一（1）√ （2）× （3）× （4）×
题组二 1. 2. 3.外切 3 4.3或
课堂考点探究
例1（1）C （2）A 对点演练1（1）B （2）D
例2（1）C （2）C 对点演练2（1）C （2）C
例3（1）B （2）A 对点演练3（1）D （2）B
例4（1）C （2）C 对点演练4（1）B （2）A
例5（1）A （2）B 对点演练5（1）C （2）C
例6（1）D （2） 对点演练6（1）A （2）B
夯实基础
1.B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.C 8.ACD 9.
10.（1）（2）
综合提升
11.B 12.AB 13.
14.（1） （2） 或 （3）

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