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第47讲 椭圆
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程
及简单几何性质.
3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
知识聚焦
1.椭圆的定义
平面内与两个定点,的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨
迹叫作______.这两个定点叫作椭圆的______,两焦点间的距离叫作椭
圆的______.
集合，，其中， ，
且， 为常数：
椭圆
焦点
焦距
（1）若______，则集合 为椭圆；
（2）若______，则集合 为线段；
（3）若______，则集合 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 范围 ____________，________ _____________ ____________，________
_____________
对称性 对称轴：________ 对称中心：______
坐标轴
标准方程
性 质 顶点 ________， ______， ________， ______ ________， ______，
________， _____
轴 长轴 的长为____ 短轴 的长为____ 焦点 , ,
续表
标准方程
性 质 焦距 ____ 离心率 ， ______ ， ， 的关系 ________
续表
常用结论
椭圆中几个常用的结论
（1）焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点 或右（上）焦
点的连线叫作椭圆的焦半径，分别记作， .
，，
（“左加右减”）；
②，，
（“下加上减”）；
③焦半径中以长轴的一个端点为端点的焦半径最大或最小，即
, .
（2）焦点三角形：以椭圆上的点与两焦点, 为顶点的
叫作焦点三角形.，， ，
的面积为，则在椭圆 中：
①当，即点的位置为短轴端点时， 最大；
②，当，即点的位置为短轴端点时，
取到最大值，最大值为 ；
③焦点三角形的周长为 ；
④，是曲线的焦点, 设为曲线上任意一点, 在 中, 记
, , ，则
.#3.3.4
（3）焦点弦（过焦点的弦） 焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）
最短，通径长为 .
（4）若,为椭圆的两个焦点,弦过焦点,则的周长为 .
（5）若为椭圆上任一点,为椭圆的一个焦点,则 .
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
×
[解析] 要使“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”，还需要满足这个常数大于两个定点之间的距离，故错误.
（2）方程 不一定表示椭圆.( )
√
[解析] 对于方程，当 时，方程不表示椭圆，故正确.
（3）椭圆中的参数 不能刻画椭圆的扁平程
度，而 能刻画椭圆的扁平程度.( )
×
[解析] 椭圆中的参数， 均能刻画椭圆的扁平程度，故错误.
（4）已知椭圆与点，过点 可作出该
椭圆的一条切线.( )
×
[解析] 因为在椭圆内部，所以过点 作不出该椭圆的切线，故错误.
题组二 教材改编
1.如果椭圆上一点到一个焦点的距离等于6,那么点
到另一个焦点的距离是____， 的周长为____.
14
36
[解析] 根据椭圆的定义得,又,即 , 所以,故.
由， ，得，则，所以 的周长为 .
2.椭圆 的长轴长为___，离心率为_ __，焦点坐标为
__________________.
,
[解析] 椭圆方程可化为，则,, ，所以长轴长为8，离心率为，焦点坐标为， .
3.动点到定点的距离和到定直线 的距离的比值
是常数，则动点 的轨迹方程为___________.
[解析] 设是点到直线的距离，则 ，即，整理得，即 .
4. 直线被椭圆 截得的弦长为_ ____.
[解析] 由得 ，设弦的两个端点的坐标分别为，，所以
故弦长为 .
探究点一 椭圆的定义及其应用
例1（1）与圆外切，同时与圆 内
切的圆的圆心在( )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上
C.抛物线上 D.圆上
[解析] 设动圆的圆心为，半径为，圆 ，圆，则， ，.
又，所以点在以， 为焦点的椭圆上.故选A.
√
（2）[2026·河北石家庄调研]椭圆 的上、下顶点分别
为，，椭圆与的一个交点为，则
的周长为( )
A.4 B. C. D.6
[解析] 由椭圆的上、下顶点分别为， ，可得，.
由椭圆，可得椭圆 的上、下焦点分别为，，长轴长为，则 的周长为 .故选D.
√
总结反思
椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两个定点有关的
轨迹是否为椭圆;二是当在椭圆（两个焦点为， ）上时,利用定
义可求焦点三角形的周长,利用定义和余弦定理可求
（或 ），通过整体代入可求焦点三角形的面积等.
【对点演练1】（1）[2026·安徽芜湖期末]已知, 是椭圆
的两个焦点，点在上，且，则 的
面积为( )
A.3 B.4 C.6 D.10
√
[解析] 由椭圆定义可得 ，故，由题知 .
方法一：因为，所以 ，故 .
方法二：由余弦定理得 ，所以 ，故 .故选C.
（2）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段 的
中垂线与椭圆交于,两点，则 的周长为( )
A.8 B.12 C.16 D.24
[解析] 如图，由椭圆方程可知， ，，所以 ，所以为等边三角形，因此线段的中垂线过 .
结合椭圆的定义，可得 的周长为
.
故选C.
√
探究点二 椭圆的标准方程
例2（1）已知椭圆的离心率为 ，且过点
，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得解得 故椭圆方程为 ，故选A.
√
（2）[2025·广西南宁二模]已知, 分别是椭圆
的左、右顶点，若直线为椭圆 的
半焦距上存在点，使得是顶角为 的等腰三角形，且
的面积为，则椭圆 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取直线与轴的交点为，由题意可知 , 则 ，，则 .
又，所以，则 .
由于，则，故, ，则，故椭圆方程为 故选B.
总结反思
根据条件求椭圆方程的主要方法
（1）定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
（2）待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的, .当不知
焦点在哪一条坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为
,不必考虑焦点位置,用待定系数
法求出, 的值即可.
【对点演练2】（1）[2026·湖南名校联合体联考]已知曲线
，设，曲线是焦点在 轴上的椭圆，
则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 曲线是焦点在轴上的椭圆的充要条件是 解得.
当时，成立，所以是 的充分条件，反之，当时，不一定成立，所以是 的充分不必要条件.
故选A.
（2）已知椭圆的左、右焦点分别为, ，
左、右顶点分别为,，过的直线交于,两点（异于点 ,
），的周长为，且直线与的斜率之积为 ，则
椭圆 的标准方程为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由的周长为，结合椭圆的定义得 ，解得，所以，.
设，则 ，可得 ，则 ，解得，所以椭圆的方程为 .故选A.
探究点三 椭圆的简单几何性质
题型1 求椭圆的离心率的值或范围
例3（1）若椭圆的离心率为，则
( )
A.3 B.2 C. D.
[解析] 依题意，，即，则椭圆的焦点在 轴上，因此，所以 .故选C.
√
（2）[2025·山东青岛期末]已知椭圆 的左
焦点为，焦距为，圆与椭圆 有四个交点，其
中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆
的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，取椭圆的右焦点为，因为 为等边三角形，所以由椭圆的对称性可得.
由圆方程易知为圆 的直径，所以，所以 , .
由椭圆的定义可得 ,所以椭圆的离心率 故选C.
总结反思
求椭圆离心率的值或取值范围的方法
（1）直接求出，，利用离心率公式 求解.
（2）由与的关系求离心率，即利用变形公式 求解.
（3）构造，的齐次式，可以不求出，的具体值得出与 的关系，
从而求得 的值或范围.
【对点演练3】（1）[2026·云南昆明检测]已知椭圆 和椭
圆有相同的离心率，则 ( )
A. B. C.或4 D. 或4
[解析] 易知椭圆的离心率为 .
对于椭圆，当其焦点在轴上时，它的离心率为 ，解得；当其焦点在轴上时，它的离心率为 ，解得.
所以或 .故选D.
√
（2）已知椭圆的左、右焦点分别为, ，点
在该椭圆上，若满足为直角三角形的点 共有8个，则该椭
圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，取椭圆上顶点为 .
满足 的点有2个（点， ），满足 的点有2个（点， ），因为使为直角三角形的点 有8个，所
以 ,则 ，为坐标原点，即 ，所以 ，则，则，则 ，可得.
又椭圆的离心率，所以 .故选A.
题型2 与椭圆有关的范围（最值）问题
例4（1）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为
椭圆 上任意一点，则下列说法错误的是( )
A.的周长为6 B.面积的最大值为
C.的取值范围为 D.的最小值为
√
[解析] 椭圆中，， .
对于A，的周长为，A中说法正确；
对于B，点 到直线的距离的最大值为，则 面积的最大值为，B中说法正确；
对于C， 解得，C中说法正确；
对于D，由 ，得 ，D中说法错误.故选D.
（2）已知是椭圆的左焦点，为上一点， ，
则 的最小值为( )
A. B. C.4 D.
√
[解析] 设椭圆的右焦点为，易知， .
由，得，且,故 在椭圆的内部.
根据椭圆的定义可得 ，所以 ，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以的最小值为 ，故选D.
总结反思
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法:
（1）数形结合，利用相关量的几何意义,以及椭圆的性质求解;
（2）利用函数,尤其是二次函数求解;
（3）利用不等式,尤其是基本不等式求解.
特别注意：求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行
分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要厘清它们
之间的关系.
【对点演练4】（1）[2025·河北辛集四模]已知,是椭圆 的两个
焦点，点在上，且 的最大值是它的最小值的2倍，则
椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，所以 ，所以当，即为椭圆的上或下顶点时， 取得最大值.
因为，所以当，即 为椭圆的左或右顶点时，取得最小值 .
因为的最大值是它的最小值的2倍，所以 ，所以，所以, ，所以椭圆的离心率 .故选A.
（2）[2026·江苏徐州期末]已知椭圆的左焦点为 ，点
在上，点在圆上，则 的最
小值为( )
A.3 B.4 C.9 D.11
√
[解析] 由椭圆，得, , ， .
由得 ，所以圆心，半径.
如图，连接， ，设分别与椭圆、圆交于点, ，则，当且仅当, , , 四点共线时取等号,又 ,所以 ，所以 的最小值为3.故选A.
【备选理由】例1是离心率问题，离心率是考查的热点问题，特别是
根据数形结合的方法求解离心率问题.
例1 ［配合探究点一、二、三使用］
（1）已知点是椭圆上的一点，， 分
别是的左、右焦点，且 ，点在 的平分线
上，为原点，，，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，延长交 于 ，如图所示.
由题意知，为的中点，所以点 为的中点.
又，点在 的平分线上，所以，所以 是等腰三角形，所以 ，则，所以 .
又，所以
在 中，由余弦定理得，即 ，即 ，化简得，又 ，所以，所以，即 .故选B.
（2）［2026·山东青岛联考］已知椭圆 的
左、右焦点分别为，，上顶点为，过作的垂线与 在第
一象限内交于点，且．设椭圆的离心率为 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，设与交于点 .
由，可设，则 ，，其中 .
由椭圆的定义，得，从而 .
又因为，所以.
在 中，设，则， 为锐角，所以 ，即.
由余弦定理，得 ，即，解得 .
故选C.
例2 ［配合探究点二、三使用］已知椭圆
过点，其中一个焦点在直线 上，直线
与椭圆相交于不同的两点， .
（1）求椭圆 的方程；
解：由焦点在直线上，令，解得 .
因为椭圆过点，所以 ，所以，所以椭圆的方程为 .
【备选理由】例2是利用方程组设而不求的思路解决面积最值问题.
（2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数 的值．
解：如图，当 时，直线，设， ，由消去 可得 ，
由，得 ，由根与系数的关系可得， ，
点到直线的距离 ， ，
则 的面积 ，
当且仅当，即 时，等号成立，所以的值为 .
例3 ［配合探究点一、二使用］在平面直角坐标系中，已知，
，直线与相交于点 ，且两直线的斜率之积为 ．
（1）设点的轨迹为 ，求曲线 的方程；
解：设交点，则根据直线与的斜率之积为 可得，，整理得，则 .
由于直线与的斜率一定存在，则 ，所以点的轨迹 的方程为 .
【备选理由】例3是第三定义及中点弦问题、定直线问题的综合性考查.
（2）设一组斜率为的平行直线与 均有两个交点，证明这些直线
被 截得的线段的中点在同一条直线上．
证明：设斜率为的直线与曲线 相交于点， ，将直线方程与椭圆方程 联立，可得，即 ，所以 ， ，
设线段的中点为，则 ， ，从而有，即这些平行直线的中点一定在直线 上.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·江苏南京三模]已知曲线，从 上任意
一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点 的轨迹方
程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设点，,则，因为为 的中点，所以，即，
又在圆 上，所以，即，故点 的轨迹方程为 .故选A.
2.如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面夹角为 的平
面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是( )
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
√
[解析] 设椭圆的长半轴长为 ，椭圆的短半轴长为，半焦距为，由题图可知 ，，，又 ， ，
椭圆的长轴长为 ，椭圆的离心率为，椭圆的方程可以为 ，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ，故A，C，D中说法正确，B中说法错误.故选B.
3.已知，分别为椭圆的左、右焦点，
为上的一点，且，，，则 的短轴
长为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得所以所以的短轴长为 .故选B.
√
4.[2026·河北秦皇岛三模]若点在椭圆 的内部，则
实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由点在椭圆的内部，可得 ，且，,解得或，所以实数 的取值范围为 ，故选B.
√
5.[2025·山东德州模拟]已知椭圆 的左、右
焦点分别为,，以为圆心的圆经过点，且与 轴正半轴交于点
，若线段的中点在上，则 的离心率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设，连接 ，由题知圆的半径为，且 ，得为等边三角形，则.
设线段 的中点为，连接，则 .
因为点在上，所以 ，则 ，故，即的离心率为 .故选A.
6.如图，椭圆的左、右焦点分别为 ,
，过点,分别作弦,.若 ，则
的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，设点关于原点的对称点为 ，由椭圆 的对称性，得点在椭圆上，连接，， .
由,互相平分，得四边形 为平行四边形，则且.
又 且，所以点与点重合，因此.
由椭圆性质知过椭圆焦点的最短弦长为通径 ，最长弦长为实轴长，椭圆 的通径长为，实轴长为，由知，线段 与椭圆长轴不重合，所以 .故选C.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为, ，长
轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆 上，则下列说法错误
的是( )
A.椭圆的离心率的取值范围是
B.当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C.存在点使得
D. 的最小值为1
√
[解析] 由题意得，则，又点在椭圆 外，所以，解得，所以椭圆的离心率 ，即椭圆的离心率的取值范围是，故A中说法错误；
当 时，，，此时的取值范围是 ，即 ，故B中说法正确；
设椭圆的上顶点为 ，，，则 ，所以存在点使得 ，故C中说法正确；
，当且仅当时，等号成立，又 ，所以 ，故D中说法正确.故选A.
8.椭圆的焦距为4，则 ___.
8
[解析] 当时，椭圆的焦距为，得 ，不符合题意；
当时，椭圆的焦距为，得 ，符合题意.
综上， .
9.[2025·江西南昌期末] 已知椭圆 上有一异
于顶点的点,,分别是椭圆的左、右顶点，且两直线, 的斜
率的乘积为，则椭圆的离心率 为_ __.
[解析] 由题意可知，，设， ，则，则 ，于是 ，所以 ，所以 .
10.[2025·全国二卷] 已知椭圆的离心率为 ，
长轴长为4.
（1）求 的方程.
解：由题意知，故,又，故 ，所以，所以椭圆的方程为 .
（2）过点的直线交于,两点，为坐标原点.若 的
面积为，求 .
解：①当 的斜率不存在时，不满足题意，舍去.
②当的斜率存在时，设的方程为,, .
由得 ，其判别式 , 由，解得或 ，故, （两根同号）.
方法一： ，
点到直线的距离 ，所以 ，解得 , 故 .
方法二：设 ，则
,
解得,故 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·山西太原联考]椭圆的左、右焦点分别为, ，
点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段 的中点，
则 的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.4
√
[解析] 如图，由题意得， ，，则，记点 ，连接，,则，即为线段 的中点，连接，
因为为线段 的中点，所以在 中，， ，则，所以动点的轨迹为以为中心，， 为焦点的椭圆，其焦距为，长轴长为 ，短半轴长为，可得 的最小值为2.故选B.
12.在平面直角坐标系中，, 分别为椭圆
的左、右焦点，过点作轴的垂线交 于
,两点，连接并延长交于另一点，且, ，则
的长轴长为( )
A.7或10 B.6 C.7或9 D.10
√
[解析] 连接 ，如图，依题意，，椭圆的长半轴长为 ，则, ，.
在 中，，在 中，
，则，整理得 .
因为，所以，解得 或.
当时，, , ，不满足题意；当 时，,, ，满足题意.
所以 的长轴长为10.故选D.
13.（多选题）已知椭圆的右焦点为 ，左、右顶点分
别为，，直线与椭圆相交于， 两点，则
( )
A.椭圆 的焦距为2
B. 为定值
C.当以，，， 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边
形的面积为
D.直线和的斜率的乘积为
√
√
√
[解析] 对于A，由, ，得，可得椭圆 的焦距为2，故A正确；
对于B，如图，设椭圆 的左焦点为，连接 ，
由椭圆的对称性可知 ，故B正确；
对于C，由题意得，且，又因为四边形 为平行四边形，所以，设点的坐标为 ，代入椭圆方程中，得，解得，即的坐标为 ，则平行四边形的面积为 ，故C错误；
对于D，由题易知，设点, 的坐标分别为 ,，代入椭圆方程得 ，则 ，故D正确.故选 .
14.已知,分别是椭圆的左、右焦点，,, 为椭圆上三
个不同的点，直线的方程为，且 的平分线经过点
，设,内切圆的半径分别为,，则 ___.
5
[解析] 设点在 的上方，如图，由题意可知，，，由直线 的方程为，知直线过右焦点 ，则 , , .
由 , 得 .
又， ，所以 ，所以 ，所以，所以直线 的方程为，即 .
令，得，故直线经过点 .
由得 ，所以，得 ，所以 ，所以 .
【知识聚焦】1.椭圆 焦点 焦距 （1） （2） （3）
2. 坐标轴

【课前演练】题组一（1）× （2）√ （3）× （4）×
题组二 1.14 36 2. , 3. 4.
课堂考点探究
例1（1）A （2）D 对点演练1（1）C （2）C 例2（1）A （2）B
对点演练2（1）A （2）A 例3（1）C （2）C 对点演练3（1）D （2）A
例4（1）D （2）D 对点演练4（1）A （2）A
夯实基础
1.A 2.B 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.8 9.
10.（1） （2）
综合提升
11.B 12.D 13.ABD 14.5第47讲　椭圆
【备选理由】 例1是离心率问题,离心率是考查的热点问题,特别是根据数形结合的方法求解离心率问题;例2是利用方程组设而不求的思路解决面积最值问题;例3是第三定义及中点弦问题、定直线问题的综合性考查.
1 [配合探究点一、二、三使用] (1)已知点M是椭圆C:+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别是C的左、右焦点,且∠F1MF2=60°,点N在∠F1MF2的平分线上,O为原点,ON∥MF1,|ON|=b,则椭圆C的离心率为 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)[2026·山东青岛联考] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过F1作AF2的垂线与C在第一象限内交于点B,且cos∠F1BF2=.设椭圆C的离心率为e,则e2= ( C )
A. B.
C. D.
[解析] (1)设|MF1|=m,|MF2|=n,延长ON交MF2于A,如图所示.
由题意知ON∥MF1,O为F1F2的中点,所以点A为MF2的中点.又∠F1MF2=60°,点N在∠F1MF2的平分线上,所以∠NMA=∠ANM=30°,所以△NAM是等腰三角形,所以|AN|=|MA|=|MF2|=n,则|OA|=|MF1|=m=|ON|+|AN|=b+n,所以m-n=2b.又m+n=2a,所以在△MF1F2中,由余弦定理得+-2|MF1|·|MF2|·cos 60°=|F1F2|2,即m2+n2-mn=4c2,即(a+b)2+(a-b)2-(a+b)(a-b)=4c2,化简得a2+3b2=4c2,又b2=a2-c2,所以4a2=7c2,所以e2==,即e=.故选B.
(2)如图,连接AF1,设AF2与BF1交于点 M. 由cos∠F1BF2=,可设|BM|=3x,则|BF2|=5x,|MF2|=4x,其中x>0.由椭圆的定义,得|BF1|=2a-5x,从而|MF1|=2a-8x.又因为|AF2|=a,所以|AM|=a-4x.在△AF1F2中,设∠F1AF2=θ,则tan θ===2,θ为锐角,所以cos2θ===,即cos θ=.由余弦定理,得=,即1-2e2=,解得e2=. 故选C.
2 [配合探究点二、三使用] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(0,1),其中一个焦点在直线x+y-=0上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若k=-1,O为坐标原点,求△OMN的面积最大时实数m的值.
解:(1)由焦点在直线x+y-=0上,令y=0,解得x=c=.
因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(0,1),所以b=1,所以a2=1+2=3,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)如图,当k=-1时,直线l:y=-x+m(m≠0),设M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y可得4x2-6mx+3m2-3=0,
由Δ=-12m2+48>0,得m∈(-2,0)∪(0,2),
由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,
点O到直线l的距离d=,
|MN|=·=·,
则△OMN的面积S=·d·|MN|=···
==≤··=,
当且仅当m2=4-m2,即m=±时,等号成立,所以m的值为±.
3 [配合探究点一、二使用] 在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(0,-1),直线AP与BP相交于点P,且两直线的斜率之积为-.
(1)设点P的轨迹为Γ,求曲线Γ的方程;
(2)设一组斜率为的平行直线与Γ均有两个交点,证明这些直线被Γ截得的线段的中点在同一条直线上.
解:(1)设交点P(x,y),则根据直线AP与BP的斜率之积为-可得,
·=-,整理得x2+4(y2-1)=0,则+y2=1.
由于直线AP与BP的斜率一定存在,则x≠0,
所以点P的轨迹Γ的方程为+y2=1(x≠0).
(2)证明:设斜率为的直线与曲线Γ相交于点C(x1,y1),D(x2,y2),
将直线方程y=x+m与椭圆方程+y2=1(x≠0)联立,可得
+=1,即x2+2mx+2m2-2=0,
所以x1+x2=-2m,
y1+y2=(x1+x2)+2m=×(-2m)+2m=m,
设线段CD的中点为M(x0,y0),则x0==-m,y0==m,
从而有y0=-x0,即这些平行直线的中点一定在直线y=-x上.

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