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第48讲　双曲线
【备选理由】 例1考查双曲线的离心率,是考查的热点问题,(1)(2)利用几何法解决双曲线的离心率问题;例2是关于焦点三角形有关的计算,焦点三角形也是双曲线中比较重要的几何图形.
1 [配合探究点一、二、三使用] (1)[2026·广东广州测试] 已知直线l:y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于A,B两点,F是双曲线C的左焦点,且|AB|=2|AF|,则双曲线C的离心率是 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+1 B.+1
C. D.
(2)[2025·湖北武汉期末] 双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作圆D的切线与C的左、右两支分别交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则双曲线C的离心率为 ( A )
A. B.
C. D.
[解析] (1)如图,因为直线l的斜率为,所以∠AOF=60°.
因为|AB|=2|AF|,所以|OA|=|OB|=|OF|=|AF|,所以△AOF为等边三角形,∠AFB=90°,所以|AF|=c,|AB|=2c,|BF|=c.设双曲线C的右焦点为F',连接AF',由对称性可知|AF'|=|BF|=c.由双曲线的定义可得|AF'|-|AF|=2a,即c-c=2a,则==+1.故选B.
(2)如图, 设直线MN与圆D的切点为A,连接DA,作F2B∥DA,交MN于点B,则DA⊥MN.因为|DF1|=c,|DA|=a,所以|AF1|=b,又D为F1F2的中点,所以|BF1|=2b,|BF2|=2a,又cos∠F1NF2=,MN⊥BF2,所以|BN|=a,|NF2|=a.根据双曲线的定义得|NF1|-|NF2|=2a,可得+2b-a=2a,可得2b=3a,所以9a2=4b2=4(c2-a2),则13a2=4c2,故=,所以e==.故选A.
2 [配合探究点一、三使用] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若△AF1F2的周长为10a,则△AF1F2的面积为 ( B )
A.2a2 B.a2
C.30a2 D.15a2
[解析] 由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上,由e==2,得c=2a,∴△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a.又△AF1F2的周长为10a,∴|AF1|+|AF2|=6a.又|AF1|-|AF2|=2a,∴|AF1|=4a,|AF2|=2a.在△AF1F2中,|F1F2|=4a,∴cos ∠F1AF2===.又0<∠F1AF2<π,∴sin∠F1AF2=,∴=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×4a×2a×=a2.(共82张PPT)
第48讲 双曲线
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
知识聚焦
1.双曲线的定义
平面内与两个定点, 的__________________等于非零常数
（小于 ）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的
______,两焦点间的距离叫作双曲线的______.
集合，，其中， 为常数
且， .
距离的差的绝对值
焦点
焦距
（1）当___________时，点 的轨迹是双曲线；
（2）当___________时，点 的轨迹是两条射线；
（3）当___________时，点 不存在.
2. 双曲线的标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为
；
（2）中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为
.
3.双曲线的性质
标准方程
图形
性 质 范围
对称性 对称轴：坐标轴.对称中心：原点 或
或
标准方程
性 质 顶点
渐近线
离心率
续表
标准方程
性 质 实、虚 轴
续表
4. 等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其方程可写作：
.
等轴双曲线 离心率 两条渐近线 相互垂直.
常用结论
双曲线的几个常用结论:
（1）与双曲线 有共同渐近线的双曲线系方
程为 .
（2）离心率 .
（3），分别是双曲线的左、右焦点, 设 为双曲线上任意一点,
在中, 记 , , ，
则， ，
.
（4）若是双曲线右支上一点，， 分别为双曲线的左、
右焦点，则, （“左加右减”）；
, .
（5）,为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于, 两点，
记直线的倾斜角为 ，则，三角形 周
长为， .
课前演练
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面内到两个定点的距离的差等于常数（小于两定点间的距离）
的点的轨迹是双曲线.( )
×
[解析] 平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹才是双曲线，故错误.
（2）在双曲线的标准方程中，，的大小关系是 .( )
×
[解析] 在双曲线的标准方程中，，只要求满足， 即可，与 的大小关系不确定，故错误.
（3）过点作直线与双曲线 只有一个公共点，则这
样的直线可作两条.( )
×
[解析] 过点作直线与双曲线 只有一个公共点，这样的直线可作三条，其中两条分别平行于两条渐近线，一条与双曲线相切，故错误.
（4）方程 表示的曲线一定是双曲线.( )
√
[解析] 当,时，方程表示焦点在 轴上的双曲线；当,时，方程表示焦点在 轴上的双曲线.
因此方程 表示的曲线一定是双曲线，故正确.
题组二 教材改编
1.双曲线 的实轴长为___,虚轴长为_____,渐近线方程为
__________,离心率为____.
[解析] 双曲线的标准方程为 ,故其实轴长为8,虚轴长为,渐近线方程为,离心率为 .
2.经过点 ，且对称轴为坐标轴的等轴双曲线的方程为
_ ___________.
[解析] 设所求双曲线的方程为，把点 的坐标代入，得，故所求双曲线的方程为 .
3.双曲线 的渐近线方程为__________.
[解析] 易知双曲线的焦点在轴上，， ，所以， ，所以所求的渐近线方程为
4.已知方程表示双曲线，则实数 的取值范围是______.
[解析] 根据题意得，要使方程 表示双曲线，只需，解得，所以实数的取值范围是 .
探究点一 双曲线的定义及其应用
例1（1）设,为双曲线的两个焦点，点 是双曲线上的
一点，且 ，则 的面积为( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 由可知，,,.
不妨设点 在第一象限，设, ，由定义得
, ，,， 的面积为 故选B.
√
（2）[2026·辽宁抚顺检测] 已知双曲线 的左、右焦点
分别为，，是双曲线上的一点，且，则 ___．
8
[解析] 由双曲线可知，，.
若点 在双曲线的左支上，则，与矛盾，则点 在双曲线 的右支上.
由双曲线的定义可得，又 ，所以 .
总结反思
与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.在“焦点三角形”中，常
利用正弦定理、余弦定理，结合 ，运用平方的方
法，建立与 的联系.注意判断点在双曲线的哪一支上，便
于去掉绝对值.
【对点演练1】（1）已知椭圆 和双曲线
的公共焦点为,，在第一象限内的交点为 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知解得
由椭圆方程，得 ，所以 .故选B.
√
（2）双曲线的左、右焦点分别为,，点 在双
曲线上，过作平分线的垂线，垂足为， 为坐标原点，则
( )
A.9 B.6 C.3 D.1
√
[解析] 若 在双曲线的右支上（如图①），由双曲线的定义可知.
延长交 的延长线于点.
因为为的平分线，且 ，所以，则为的中点，又为 的中点，所以为 的中位线，所以
.
若 在双曲线的左支上（如图②），由双曲线的定义可知.
延长交于点.
因为 为的平分线，且 ，所以，则为的中点，又为 的中点，所以为 的中位线，所以
因为双曲线的方程为，所以，即 ，所以 .故选C.
.
探究点二 双曲线的标准方程
例2（1）已知，为实数，则“”是“ 为双曲线
方程”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 当表示双曲线时，, 均不为0.
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为，此时, ,所以,,所以；若双曲线的焦点在 轴上，则其标准方程为，此时,,所以,,所以 .
当时，若,,则表示焦点在 轴上的双曲线；若,,则表示焦点在 轴上的双曲线.
所以“”是“ 为双曲线方程”的充要条件.故选C.
（2）已知，，为坐标原点，点是圆
上任意一点，点是圆外一点，若， ，
则点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，圆的半径.
如图，延长 交直线于点，连接.
因为 ，且，所以， .
又，所以，且 ，因此 ，所以点在以，为焦点的双曲线上.
设 的方程为，则，所以.
又 ，所以，所以的方程为，故.
又点 是圆外一点，所以，即 ，故所求轨迹方程为 .故选B.
总结反思
求双曲线方程的常用方法
（1）定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义,
确定,或,从而求出, ,写出双曲线的方程.
（2）待定系数法:先确定焦点在轴上还是在 轴上,设出标准方程,再
由条件确定, 的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可
将双曲线方程设为,根据条件确定, 即可.
特别地,①与双曲线 共渐近线的双曲线的
方程可设为 ;②与双曲线
共焦点的双曲线的方程可设为
.#1.1.2
【对点演练2】（1）[2026·广东潮州模拟]双曲线
的实轴长是虚轴长的3倍，则 的焦距为( )
A. B.4 C. D.
[解析] 由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得 ，解得，所以的焦距为 .故选C.
√
（2）（多选题）若方程所表示的曲线为 ，则下列说
法正确的是( )
A.若，则曲线的长度为
B.若为双曲线，则或
C.若为椭圆，且焦点在轴上，则
D.若 为椭圆，则焦距为4
√
√
[解析] 对于A，当时，曲线 是圆心在原点，半径为1的圆，曲线长度为 ，A正确；
对于B，若 为双曲线，则 ，解得或，B正确；
对于C，若 为椭圆，且焦点在轴上，则，解得 ，C错误；
对于D，若为椭圆，则焦距为 ，若,则或4，此时 不为椭圆，故D错误.
故选 .
探究点三 双曲线的简单几何性质
题型1 渐近线
例3（1）记为双曲线的右焦点，则 的渐
近线方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由于为双曲线 的右焦点，故，所以，故渐近线方程为 .故选B.
√
（2）已知直线，双曲线，则“直线 与
双曲线无交点”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由题可知，双曲线的渐近线方程为，且 .
若直线与双曲线无交点，只需，则 ，故充分性不成立；
若，则双曲线渐近线方程为，此时直线与双曲线 无交点，故必要性成立.
所以“直线与双曲线无交点”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
题型2 离心率
例4（1）若双曲线与椭圆 有公共
焦点，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得椭圆的焦点为和 ，而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也是和 .
由双曲线方程可得，解得.
又，所以 ，则双曲线的离心率 .故选B.
√
（2）[2026·福建福州质检]已知， 分别为双曲线
的左、右焦点，为双曲线 上的一点，
且，，，则双曲线 的离心率为
( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 由，得.
由， ，不妨令.
由为双曲线上的一点，得 .
又，所以,，所以双曲线的离心率为 .故选B.
总结反思
（1）求双曲线的渐近线方程时，可以先判断焦点的位置，也可以不
判断焦点的位置，把双曲线方程右边的“1”改为“0”就可以得到渐近
线方程.
（2）求双曲线离心率的方法:
①求出,,的值,根据直接求 ;
②列出含有,,的齐次方程（或不等式）,借助消去 ,然
后转化成关于 的方程（或不等式）求解.
建立关于,, 的齐次方程（或不等式）时,要充分利用双曲线的几何
性质、三角形的边长关系等.
【对点演练3】（1）[2026·江苏如皋调研]已知双曲线
的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为
，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的焦距为，则，故 ，所以双曲线的焦点坐标为.
又双曲线 的渐近线方程为，所以焦点 到渐近线的距离，所以，所以双曲线 的渐近线方程为，即 ，故选A.
（2）[2026·福建泉州模拟]已知, 分别为双曲线
的左、右
焦点，直线过与交于,两点，若 ，
，则 的渐近线为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，即 ，可得.
设 ，根据上述条件及双曲线的定义，可知，，.
又因为 ，所以，即，故， ，，.
在 中，由，得 ，得，即，得，故的两条渐近线方程为 .故选A.
（3）已知，分别是双曲线 的左、右
焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，若
，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C.2 D.
√
[解析] 由题意可知，,，渐近线方程为 ，，不妨设点在第一象限，则由 得即.
因为 ，所以 ，结合 ，得离心率 .故选A.
【备选理由】例1考查双曲线的离心率，是考查的热点问题，
利用几何法解决双曲线的离心率问题.
例1 ［配合探究点一、二、三使用］
（1）[2026·广东广州测试]已知直线 与双曲线
的左、右两支分别交于,两点， 是双
曲线的左焦点，且，则双曲线 的离心率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，因为直线的斜率为 ，所以 .
因为 ，所以，所以 为等边三角形， ，所以,, .
设双曲线 的右焦点为，连接，由对称性可知 .
由双曲线的定义可得，即，则 .故选B.
（2）[2025·湖北武汉期末]双曲线的左、右焦点分别为，，以
的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与 的左、右两支分别
交于，两点，且，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设直线与圆的切点为，连接，作 ，交于点，则.
因为， ，所以，又为 的中点，所以，，又， ，所以，.
根据双曲线的定义得 ，可得，可得 ，所以，则，故 ，所以 .
故选A.
例2 ［配合探究点一、三使用］已知双曲线
的离心率为2，左、右焦点分别为 ，
，点在双曲线上，若的周长为，则 的面积
为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例2是关于焦点三角形有关的计算，焦点三角形也是双曲线中比较重要的几何图形.
[解析] 由双曲线的对称性不妨设在双曲线的右支上，由 ，得， 的周长为.
又 的周长为，.
又， ，.
在中， ， ．
又 ， ，．
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.若椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 的顶点和
焦点，则双曲线 的标准方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由椭圆可得， ，，且焦点在 轴上，可知椭圆的长轴端点为 ，焦点为，所以双曲线的焦点为 ，顶点为 .
设双曲线的方程为，可得， ，则，所以双曲线的方程为 .故选A.
2.若双曲线的渐近线方程是，则 的离
心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线的渐近线方程是 ，可得，解得，则，所以双曲线 的离心率 .故选C.
√
3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为 的右
支上一点，为线段的中点，为线段 上一点，若
（为坐标原点），则 ( )
A.4 B.2 C.1 D.
√
[解析] 由题可知，如图，连接 ，
由题意可知.
因为 为坐标原点，为线段 的中点，所以，
又 ，所以 .故选C.
4.[2026·广东深圳中学摸底]已知， 分别是双曲线
的左、右焦点，以线段 为边作正三角
形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以正三角形的边长为 .
由题可知，点在轴上，且（ 为坐标原点），所以，所以边的中点为.
因为边 的中点在双曲线上，所以 ，化简得，即 ，解得.
又，所以 .故选C.
5.已知双曲线的离心率为，过右焦点 且
垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设， 到双曲线的同一条
渐近线的距离分别为和，且 ，则双曲线的方程为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，不妨取渐近线，过，， 分别作渐近线的垂线，垂足分别为，， ，
因为， ，所以四边形 是直角梯形.
根据图形的对称性可知是的中点，又 ，所以，又 ，所以 .
由双曲线的离心率为 ，可得，则，解得 ，所以双曲线的方程为 .故选C.
6.已知双曲线的右焦点为，右顶点为 ，
过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点 ，
且点与点不在同一象限，直线与直线（ 为坐标原点）的交
点在双曲线上，若，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
√
[解析] 如图，因为直线与直线（ 为坐标原点）的交点在双曲线上，所以点与点 关于原点对称.
设点为双曲线的左焦点，连接,, ，因为，所以四边形 为平行四边形，
故,，易得 ，则，化简得 ，故离心率 .故选B.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为 ，
，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点,, 为线段
的中点，若，且，则直线的斜率
( )
A. B.或 C. D.或
√
[解析] 设，连接，如图，因为
，所以 .
根据双曲线的定义，可得，即 ，解得，所以，.
又， 为线段的中点，且，所以 ，则，所以 ，则，， .
设直线的倾斜角为 ，则 ，则，所以直线 的斜率 .故选D.
8.（多选题）[2026·福建福州质检]已知曲线 的方程为
，则下列结论正确的是( )
A.当时，曲线 为圆
B.当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C.“”是“曲线为焦点在 轴上的椭圆”的必要条件
D.存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
√
√
√
[解析] 选项A，当时，曲线的方程为 ，此时曲线为圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；
选项B，当 时， 曲线的方程为，可得,，此时双曲线 的渐近线方程为，即，所以B正确；
选项C，当曲线 为焦点在轴上的椭圆时，有解得
，所以“”是“曲线为焦点在 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以C正确；
选项D，当曲线为离心率为 的双曲线时，双曲线为等轴双曲线，即实半轴长与虚半轴长相等，则，解得 ，由选项A知，当时，曲线为圆，所以D错误.故选 .
9.已知双曲线的右焦点为，,是双曲线 右支上的
两点，若，且为的重心，则 的中点坐标为______
__，直线 的方程为________________.
[解析] 由题知，设， ，因为为的重心，所以， ，即， ，所以线段的中点坐标为 .
因为，是双曲线右支上的两点，所以 两式相减并化简得，即直线的斜率为 ，所以直线的方程为，即 .
10.设双曲线的左、右焦点分别为 ，
，左、右顶点分别为，， 为双曲线的一条渐近线上一点，
若，则双曲线 的离心率为_____.
[解析] 由题知，，， ，由，得点在以为直径的圆上，， 为坐标原点.
不妨假设在第一象限，设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为 ，则， ，因为，所以,，则 ，故轴，即 .
因为，所以，又 ，所以，所以 ，所以，所以离心率 .
◆ 综合提升 ◆
11.已知，，是双曲线 上不同的三点，
且点，连线经过坐标原点，若直线，的斜率之积为 ，则该
双曲线的离心率 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，因为点， 的连线经过坐标原点，所以,关于原点对称，则 ，所以.
因为点， 在双曲线上，所以两式相减，得，所以 ，所以 .故选D.
12.[2025·江苏如皋调研]双曲线的右支上一点 在第一
象限，,分别为双曲线的左、右焦点，为 的内心，若
内切圆的半径为1，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 双曲线 的实半轴长，半焦距，焦点 , .
设圆与的三边, , 分别相切于点,,，如图，
又，所以, ，，为坐标原点，则点.
则 .
因为 轴，所以 ，，所以直线 的斜率 .故选D.
13.（多选题）[2026·四川成都模拟]已知 是双曲线
的右焦点，过点向 的一条渐近线引
垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若， 为坐标原
点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.离心率 D.若，则
√
√
√
[解析] 如图， ，，， 点 到两条渐近线的距离相等， ，故A正确；
， ， ， ， ， ，故B正确；
由B知，一条渐近线的斜率为 ，则 ，故C错误；
由C 知， ， ，又， ， ，，， ，故D正确.
故选 .
14.如图，双曲线的中心为坐标原点，， 分
别是双曲线虚轴的上、下端点， 是双曲线的左
顶点，为双曲线的左焦点，直线与 相交
于点.若双曲线的离心率为2，则 的余弦值
是_ __.
[解析] 设双曲线的标准方程为，由离心率 ，知.
又，所以 ，所以，，， ，则， ，
, .
【知识聚焦】1.距离的差的绝对值 焦点 焦距 （1）
（2） （3）
3.或 或

【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）× （4）√
题组二 1. 2. 3. 4.
课堂考点探究
例1（1）B （2）8 对点演练1（1）B （2）C 例2（1）C （2）B
对点演练2（1）C （2）AB 例3（1）B （2）B 例4（1）B （2）B
对点演练3（1）A （2）A （3）A
夯实基础
1.A 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D 8.ABC 9.
10.
综合提升
11.D 12.D 13.ABD 14.

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