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(共73张PPT)
第49讲 抛物线
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离______的点
的轨迹叫作抛物线.点叫作抛物线的______,直线 叫作抛物线的
_______.
相等
焦点
准线
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
的几何意义：焦点到准线 的距离 图形
性质 顶点 对称轴 直线 直线 焦点 _ _____ ________ ______ ________
离心率 ___ 准线方程 ________ ______ ________ ______
范围 ， ， ， ，
续表
性质 开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 (其中 ) _ ______ ________ _______
________
通径长
续表
常用结论
抛物线的常用结论：
（1）焦点弦长， 为弦 所在直线的倾
斜角,抛物线的焦点弦中通径（垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫作抛
物线的通径）最短；
（2）以为直径的圆与准线相切，以或为直径的圆与 轴相切.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线都是二次函数的图象.( )
×
[解析] 当抛物线开口向上或向下时，该曲线是二次函数的图象；
当抛物线开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象.故错误.
（2）若直线与抛物线相交，则直线与抛物线有2个公共点.( )
×
[解析] 当直线与抛物线的对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线
相交，且直线与抛物线只有1个公共点，故错误.
（3）直线与抛物线有一个交点，说明直线与抛物线相切.( )
×
[解析] 直线与抛物线 有一个交点，此时直线与抛物线
相交，故错误.
（4）若点到点的距离与到直线 的距离相
等，则动点 的轨迹是抛物线.( )
×
[解析] 因为点在直线 上，所以不符合抛物线的
定义，故错误.
（5）若点在抛物线上，为坐标原点，则线段 的中点
的轨迹是抛物线.( )
√
[解析] 设线段的中点坐标为，则，因为点
在抛物线上，所以，整理得 ，所
以线段 的中点的轨迹是抛物线，故正确.
题组二 教材改编
1.已知抛物线，则抛物线 的焦点到其准线的距离为_ _.
[解析] 抛物线的标准方程为，所以 ，所以焦点到其
准线的距离为 .
2.已知抛物线的方程为 ，则抛物线的准线方程为________.
[解析] 因为抛物线的方程为，所以，即 ，则准
线方程为 .
3.已知是抛物线的焦点，点 在抛物线上，且
，则 ___.
[解析] 抛物线的标准方程为，则焦点为 ，准线方程
为.
因为点在抛物线上，且 ，所以，
则 .
4.已知抛物线 上与焦点距离等于9的点的纵坐标为
，则该抛物线的标准方程为____________________.
或
[解析] 设满足题意的点为，则 ，解
得或，故所求方程为或 .
5.已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、 轴分别相交
于,两个动点，则点 的轨迹方程为__________.
[解析] 因为动圆圆心在轴上移动，且该动圆始终经过点 和
，所以为该动圆的直径.
又因为点 在该动圆上，所以，即 ，
所以点的轨迹方程为 .
探究点一 抛物线的定义及应用
例1（1）[2025·广东佛山模拟]与直线 相切，且与圆
外切的圆的圆心轨迹为( )
A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆
√
[解析] 记与圆外切的圆为圆，设圆 的圆心为
，半径为，圆的圆心为.因为圆 与
圆外切，所以.
设圆圆心到直线 的距离为，则，所以，即
动点到定点 的距离等于到定直线的距离，由抛物线的
定义知，动点 的轨迹为抛物线.故选C.
（2）[2026·黑龙江哈尔滨期末]在抛物线上有一动点 ，当点
到焦点的距离与到点的距离之和最小时，点 的坐标为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得抛物线的焦点为，准线为 .
过点作于点，由抛物线的定义可得 ，所以
.
又点在抛物线内，所以当,, 三点共线时，最小，
此时，则 ，代入抛物线方程得，所以点的
坐标为 .故选C.
√
总结反思
1.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，注意转化思想的
运用.
2.利用抛物线的定义可以解决距离的最大或最小问题，该类问题一般
情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的
距离的转化.
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用
“两点之间线段最短”使问题得解.
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用
“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
3.利用抛物线的定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其
中的应用.#1.3
【对点演练1】（1）[2026·河北保定模拟]已知抛物线
的焦点为，点,,在抛物线上，为 的重
心，且，则 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 由题可知，设,, ，由抛物线
定义知
又为的重心，所以 ，所以,
即 ，故选B.
√
（2）设抛物线的焦点为,，点在上，则
的周长的最小值为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
[解析] 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 的周长为
.
因为, ，所以 ，所以
，
要使周长最小，需使最小，当且仅当,,三点共线时，
取得最小值7，
所以 的周长的最小值为12.故选C.
√
探究点二 抛物线的标准方程
例2（1）已知抛物线上一点 到其焦点的距离为4，
则 ( )
A.3 B. C.6 D.
[解析] 点在抛物线上，
抛物线开口向右，.
又点到抛物线焦点的距离为4， ，
.故选C.
√
（2）[2026·河南南阳期中]已知为坐标原点， 为抛物线
的焦点，点在上，且 ，则
的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线的定义，得，
又 ，，所以，即，
又点在 上，所以，结合，解得，
所以的方程为 .故选B.
√
总结反思
求抛物线标准方程的方法
①直接法：直接利用题中已知条件确定参数 .
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数 .
当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线的方程为
或 .
注意：参数 的几何意义是焦点到准线的距离，可以利用它的几何意
义来解决问题.
【对点演练2】（1）已知抛物线的焦点为 ，准
线为，过上一点作的垂线，垂足为，若 的平分线
经过与轴的交点，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 抛物线的焦点为 ，
设准线与轴交于点，依题意得 .
又，所以.
又 ，所以，
所以 ，所以，则四边形为正方形.
又，所以 ，解得 .故选D.
（2）已知抛物线，过的焦点的直线交于,
两点，交的准线于，且,，则 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记的准线与轴的交点为，过, 分别作准
线的垂线，垂足分别为,.
因为 ，所以，即，
由于 ，所以 .
由可知，所以 ，
由,得，则 ，
所以的方程为 .故选C.
探究点三 抛物线的几何性质
例3（1）已知，是抛物线上的两点，且线段 的中
点的横坐标为7，则 的最大值是( )
A.34 B.29 C.26 D.17
[解析] 由抛物线，可得，焦点为 .
设，，因为线段 的中点的横坐标为7，
所以，
连接， ，则，
所以当弦过焦点 时 取得最大值26.故选C.
√
（2）[2025·海南海口期末]已知抛物线 的焦点
到准线距离为2，直线过抛物线的焦点，交于， 两点，且
，点关于原点的对称点为，则 ( )
A. B. C.2 D.1
√
[解析] 由题知，故抛物线，设， ，
则，且， ，所以
.
又，所以 ，
所以 .故选D.
总结反思
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出
抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想.
【对点演练3】（1）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两
个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的边长是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设原点为，等边三角形的另外两个顶点分别为， ，由对
称性可知点，关于轴对称，不妨设点在第一象限，则直线
的倾斜角为，直线的方程为，
由 可得，解得或即点 ，
同理点，则，因此该等边三角形的边长为 .
故选D.
（2）[2025·河北衡水质检]已知为抛物线 上
一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线
与的倾斜角互补，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为是抛物线上一点，所以 ，
得，所以抛物线方程为.
设， ，由题易知直线、直线、直线 的斜率均
存在，则，，
由题意可知 ，可得，
所以 ，所以直线的斜率为 .故选C.
【备选理由】例1考查抛物线的通径，这也是抛物线的一个很重要的
性质；
例1 ［补充使用］已知抛物线的焦点为，准线与 轴的
交点为，且是抛物线上的点.若轴，则以线段 为直径
的圆截直线 所得的弦长为( )
A.2 B. C.1 D.
√
[解析] 由题知，，，，
轴，，根据抛物线对称性，不妨取 ，
则直线，即，
易知线段 的中点为原点，原点到直线的距离，
以线段 为直径的圆截直线所得的弦长为 .
故选B.
【备选理由】例2、例3是抛物线与圆结合探求最值问题.
例2 ［补充使用］已知为抛物线上的动点，， 为圆
上的两个不同点，若恰为圆 的一条直径，则
的最小值为___；若，均与圆相切，则 的最小
值为__.
3
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
设，则， ，
时取等号 ，
所以 .
当为圆的一条直径时，， ，
所以 ，
当且仅当点的坐标为 时等号成立，
所以 的最小值为3.
当，均与圆相切时， ，
设 ，则 ，
所以
，
因为函数在上单调递增， ，
所以当，即点的坐标为时， 取得最小值，最
小值为 .
例3 ［配合探究点一、二、三使用］在平面直角坐标系 中，抛
物线的焦点为，点是抛物线 上的一点，并且
____.
①点 的横坐标是3，它到焦点的距离是5；
②点到点的距离比它到直线 的距离大1；
③抛物线的准线与圆 相切.
从条件①②③中选择一个填在上面的横线上，解答下列问题.
（1）求抛物线 的标准方程；
解：选择①. 抛物线， 其准线方程为 ，
由题意知，， 抛物线方程为 .
选择②.设动点，动点到点的距离比它到直线
的距离大1，即动点到点的距离等于它到直线 的距离，
，
等式两边平方，得 ，
化简可得 .
选择③.抛物线的准线方程为 ，
圆的圆心为，半径为1，直线与圆 相切，
则 ，
，， 抛物线的方程为 .
（2）过点作直线 的垂线，垂足
为，求 的最小值.
解： 抛物线的方程为，，抛物线 的准线方程为
.
方程可化为 ，
过定点 .
设，线段的中点为，则 .
，为垂足， ，
，即点的轨迹为以为圆心， 为半径的
圆（不包含， ）.
过点作准线的垂线，垂足为 （如图），
则 ，
，
当且仅当，，三点共线且在， 之间时，等
号成立.
过点作准线的垂线，垂足为 （如图），
则，当且仅当，， 三点共线时，等号成立，
，当且仅当，，，四点共线且在，
之间时，等号成立，的最小值为 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·陕西汉中联考]已知为抛物线的焦点，点在 上，
且，则点到 轴的距离为( )
A.3 B. C.4 D.5
[解析] 因为为抛物线的焦点，所以.设 ，
因为，所以，故到 轴的距离为3.故选A.
√
2.设抛物线的焦点为，点在上，过作 的准
线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 如图，对于，令，得 ，
所以,则，
故抛物线 ，抛物线的准线方程为，
故，则 ，
代入得，所以 .故选B.
√
3.[2026·福建福州质检]已知抛物线的焦点为 ，
准线为，直线与交于点.若，则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 由抛物线，得准线， .
因为直线与准线交于点，所以 ，
则，解得 .故选C.
√
4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，
是坐标原点，若的面积为，则 ( )
A.2 B.3 C. D.4
[解析] 由，得，即，故抛物线的方程为 .
设，则的面积为 ，
得.
将代入，得 ，
由焦半径公式得 .故选D.
√
5.过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于, 两点，若线
段的中点的纵坐标为1，则 ( )
A.12 B. C. D.
√
[解析] 设,，则则 .
因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则.
又直线 过的焦点，所以直线的方程为，
则线段 的中点的横坐标为，则 ，
故 .故选C.
6.已知点满足,，则 的最小
值为( )
A.2 B. C. D.4
√
[解析] 因为表示点到点的距离， 表
示点到直线的距离， ，所以点
到点的距离等于点到直线 的距离.
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为.
设 ，则
，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为 .故选C.
7.设抛物线的焦点为，过抛物线上点 作其准线的垂线，垂
足为，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，抛物线的焦点为 ，
准线方程为.
如图，设为准线与 轴的交点，过点作轴，
垂足为，则 ，
√
因为 ，且 ，
所以 ， ，
则 .
因为，所以 ，
可得 ，
则 ，所以 .故选A.
8.抛物线 的准线方程为________.
[解析] 抛物线的标准方程为，所以的准线方程为 .
9.[2026·北京通州区期末] 已知抛物线的焦点为，点,
在上，若，则线段 的中点的横坐标为___.
3
[解析] 设， ，根据抛物线定义可得
，
可得，所以线段 的中点的横坐标为3.
10.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平
面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口
曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，
为底面圆的直径，为 的中点，某
同学用平行于母线且过点 的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物
线.若该圆锥的高，底面半径 ，则该抛物线的焦点到准线
的距离为_____.
[解析] 因为 为底面圆的直径，，
，所以 ，
则，
所以 ，则, 都是等腰直角三角形.
因为是的中点，是 的中点，
所以， .
因为截面平行于母线且过母线 的中点，所以 在此截面内.
根据对称性可知抛物线的对称轴为 ，焦点在 上.
在截面内，以为原点，所在直线为 轴，
过点且与垂直的直线为 轴，建立平面直角坐
标系，如图，
设抛物线与底面交点为 ，
则, ，
设抛物线方程为，将点 的坐标代入得
，解得 ，
故该抛物线的焦点到准线的距离为 .
◆ 综合提升 ◆
11.[2026·四川成都模拟]如图，设抛物线
的焦点为，过轴上一点作直线
交于，两点，若， ，则
( )
A.4 B.3 C. D.
√
[解析] 抛物线的焦点为 ，
准线方程为 .如图，
过作准线的垂线，垂足为，交轴于 ，
根据抛物线定义，得 ，
所以.
过作准线的垂线，垂足为，交轴于 ，根据抛物线定义，
得，所以 ，
所以，所以 .故选B.
12.（多选题）已知抛物线的焦点为，为 轴上
一点，且，线段与抛物线相交于点， ，则下
列结论正确的有( )
A.直线的方程为
B.以线段为直径的圆与 轴相切
C.
D.， 为坐标原点
√
√
√
[解析] 抛物线的焦点，准线 ，
.
对于C，如图，因为，所以 为线段的
中点，，
过点 作准线的垂线，垂足为，垂线与轴交于点 ，
则，由抛物线的定义可知， ，
解得，故C正确；
对于D，在 中，
，得 ，故D正确；
对于A，，
则直线 的斜率为，
又,所以直线 的方程为，
即 或，故A错误；
对于B，取线段 的中点，过作轴于点 ，
则 ，
所以，即线段的中点到 轴的距离
等于，则以线段为直径的圆与 轴相切，
故B正确.故选 .
13.已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点， 是
曲线上一动点，则 的最小值
为___.
5
[解析] 曲线 ，
即 为圆，
设其圆心为，则 .
抛物线的准线 ，如图，
过点作，垂足为 ，则 ，
所以 .
由图知当,,,四点共线且点在, 之间时，
最小，最小值为点到直线 的距离.
设到直线的距离为，则，
则 的最小值为，
所以 的最小值为5.
14.已知点为抛物线上一点，过点 作圆
的两条切线，切点分别为，，则 的
最小值为___.
[解析] 圆的圆心的坐标为 ，半径为1.
连接，，，因为，为圆的切线，切点分别为, ，
所以，，， ，
所以 ，
所以， .
设 ，则 .
当时，，此时 最大.
又，函数在 上单调递增，
所以当，即时， 最大，
此时最大， 最小，
则 .
【知识聚焦】1.相等 焦点 准线 2.

【课前演练】题组一（1）× （2）× （3）× （4）× （5）√
题组二 1. 2. 3. 4.或 5.
课堂考点探究
例1（1）C （2）C 【对点演练1】（1）B （2）C 例2（1）C （2）B
【对点演练2】（1）D （2）C 例3（1）C （2）D
【对点演练3】（1）D （2）C
教师备用习题
例1 B 例2 3 例3（1） 抛物线方程为.
（2） 的最小值为.
夯实基础
1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8. 9. 3 10.
综合提升
11. B 12. BCD 13. 5 14. 第49讲　抛物线
【备选理由】 例1考查抛物线的通径,这也是抛物线的一个很重要的性质;例2、例3是抛物线与圆结合探求最值问题.
1 [补充使用] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,且M是抛物线C上的点.若MF⊥x轴,则以线段AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为 ( B )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B. C.1 D.
[解析] 由题知,F(1,0),l:x=-1,A(-1,0),∵MF⊥x轴,∴M(1,±2),根据抛物线对称性,不妨取M(1,2),则直线AM:y-0=(x+1),即x-y+1=0,易知线段AF的中点为原点O,原点O到直线AM的距离d=,∴以线段AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2=.故选B.
2 [补充使用] 已知P为抛物线E:x2=4y上的动点,A,B为圆C:x2+(y-2)2=1上的两个不同点,若AB恰为圆C的一条直径,则·的最小值为　3　;若PA,PB均与圆C相切,则·的最小值为 　.
[解析] 圆x2+(y-2)2=1的圆心为C(0,2),半径r=1,
设P(m,n),则m2=4n,n≥0,=m2+(n-2)2=4n+(n-2)2=n2+4≥4(n=0时取等号),
所以||≥2.
当AB为圆C的一条直径时,=-,==1,
所以·=(+)·(+)=-=|PC|2-1≥4-1=3,
当且仅当点P的坐标为(0,0)时等号成立,
所以·的最小值为3.
当PA,PB均与圆C相切时,||=||=,
设∠APC=θ,则sin θ=,
所以·=||||cos 2θ=(1-2sin2θ)=(-1)=+-3,
因为函数y=x+在[4,+∞)上单调递增,≥4,
所以当||=2,即点P的坐标为(0,0)时,·取得最小值,最小值为.
3 [配合探究点一、二、三使用] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线C上的一点,并且　　.
①点P的横坐标是3,它到焦点的距离是5;
②点P到点F(2,0)的距离比它到直线l:x=-1的距离大1;
③抛物线C的准线与圆M:(x+1)2+y2=1相切.
从条件①②③中选择一个填在上面的横线上,解答下列问题.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过点F作直线(a-2)x+y-4a+6=0(a≠1)的垂线,垂足为Q,求|PF|+|PQ|的最小值.
解:(1)选择①.∵抛物线y2=2px(p>0),∴其准线方程为x=-,
由题意知3+=5,∴p=4,∴抛物线方程为y2=8x.
选择②.设动点P(x,y),动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=-1的距离大1,
即动点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离,
∴=|x+2|,等式两边平方,得(x-2)2+y2=(x+2)2,化简可得y2=8x.
选择③.抛物线C:y2=2px的准线方程为x=-,
圆M的圆心为M(-1,0),半径为1,直线x=-与圆M相切,则=1,
∵p≠0,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)∵抛物线C的方程为y2=8x,∴F(2,0),抛物线C的准线方程为x=-2.
∵方程(a-2)x+y-4a+6=0可化为a(x-4)-2x+y+6=0,
∴(a-2)x+y-4a+6=0过定点B(4,2).
设Q(x,y),线段FB的中点为A,则A(3,1).
∵FQ⊥BQ,Q为垂足,∴|QA|=|FB|=,
∴(x-3)2+(y-1)2=2,即点Q的轨迹为以A为圆心,为半径的圆(不包含B,F).
过点P作准线x=-2的垂线,垂足为P1(如图),则|PP1|=|PF|,∴|PF|+|PQ|=|PP1|+|PQ|≥|PP1|+|PA|-,
当且仅当A,P,Q三点共线且Q在A,P之间时,等号成立.
过点A作准线x=-2的垂线,垂足为A1(如图),
则|PP1|+|PA|≥|AA1|=5,当且仅当A1,P,A三点共线时,等号成立,∴|PF|+|PQ|≥5-,
当且仅当A1,P,Q,A四点共线且Q在P,A之间时,等号成立,∴|PF|+|PQ|的最小值为5-.

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