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第50讲　直线与圆锥曲线的位置关系
【备选理由】 例1是过焦点的直线与椭圆相交的弦长问题,可适当补充相关结论;例2涉及圆锥曲线的角度问题,要领会有关角度问题的转化方法.
1 [配合探究点二使用] [2026·江西上饶检测] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3,则k= 　.
[解析] 方法一:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵=3,∴由定比分点坐标公式可得y1=-3y2.
∵e=,∴设a=2t,c=t,则b=t,∴椭圆方程为x2+4y2-4t2=0①.
设直线AB的方程为x=sy+t,s=>0,
代入①中消去x,可得(s2+4)y2+2sty-t2=0,Δ=12s2t2+4t2(s2+4)>0,
∴y1+y2=-,y1y2=-,-2y2=-,-3=-,解得s2=,则k=.
方法二:设直线的倾斜角为θ,
由椭圆的第二定义可得若=λ,则|ecos θ|=,
所以cos θ==,则cos θ=.
又sin θ==,所以k=tan θ=.
2 [配合探究点一使用] (1)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,第一象限内的点A在抛物线C上,过点A作l的垂线,垂足为点B,若=2,且点(0,-3)在直线AD上,则直线AD的倾斜角为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.30° B.40°
C.60° D.75°
[解析] 如图,依题意,得p=2,故F(0,1),设A(2t,t2)(t>0),则B(2t,-1).由=2,即(2t,-2)=2(xD,yD-1),解得即D(t,0),则kAD==,解得t=,则kAD=,故直线AD的倾斜角为60°.
故选C.
(2)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,E的一条渐近线方程为y=x,过F1且与x轴垂直的直线与E交于A,B两点,且△ABF2的周长为16.
(1)求E的方程;
(2)过F2作直线l与E交于C,D两点,若=3,求直线l的斜率.
解:(1)将x=-c代入-=1(a>0,b>0),得y=±,
所以|AF1|=|BF1|=,所以|AF2|=|BF2|=+2a,
所以解得所以E的方程为x2-=1.
(2)由(1)知F2(2,0),显然当直线l的斜率不存在或l的斜率为0时,=3不成立,故直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+2(m≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),
由可得(3m2-1)y2+12my+9=0,
则Δ=36m2+36>0,且3m2-1≠0,即m2≠,
y1+y2=-,y1·y2=,
又=3,所以y1=-3y2,所以
由得=-,解得m2=,故=15,
故直线l的斜率为或-.(共87张PPT)
第50讲 直线与圆锥曲线的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与曲线方程联立，消去或,转化为关于或 的方程
或的形式.当 时，
直线与曲线相交,有两个公共点;
直线与曲线相切,有一个公共点;
直线与曲线相离,无公共点.
2.直线与圆锥曲线相交所得弦的长
设直线与曲线的两个交点分别为,.当直线 的斜率
为时,将直线方程与曲线方程联立,消去或,转化为关于
或的方程或的形式.当
时，
当直线的斜率不存在时，_________，当直线的斜率
时， _________.#2.1.2
3.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
（1）根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线方程,消元后得到一
个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,
注意不能忽视对判别式的讨论.
（2）点差法:若直线与圆锥曲线有两个交点,,一般地,首先设出
,,代入圆锥曲线方程,通过作差,构造出关于,
,,的等式,从而建立中点坐标和斜率的关系.
常用结论
1.中点弦
（1）若为椭圆的弦（不垂直于
坐标轴）的中点,为坐标原点，则.
（2）若为双曲线的弦
不平行于坐标轴 的中点,为坐标原点，则
.
（3）若为抛物线的弦不平行于
轴的中点, 则.
2.切线及切点弦
（1）椭圆的切线及切点弦
①在椭圆上一点 处的切线方程为
.
②过椭圆外一点 所引两条切线的切
点弦方程为 .
（2）双曲线的切线及切点弦
①在双曲线上一点 处的切线方程是
.
②过双曲线外一点 所引两条切线的
切点弦方程是 .
（3）抛物线的切线及切点弦
①过抛物线上的点 的切线方程是
.
②过抛物线外一点 所引两条切线的切点弦
方程是 .
③过抛物线上的点 的切线方程是
.
④过抛物线外一点 所引两条切线的切点弦
方程是 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线与椭圆 的位置
关系是相交.( )
√
[解析] 直线过点 且斜率存在，所以直线
与椭圆 的位置关系是相交.
（2）若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最
大．( )
√
[解析] 由椭圆的对称性知，若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的
中心时，弦长最大.
（3）若直线与椭圆相切，则 .( )
√
[解析] 由消去，得 ，由题
可得，得 .
题组二 教材改编
1.已知探照灯的轴截面是抛物线 （如图），平行
于轴的光线照射到抛物线上的点 ，反射光线
经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的点，则点
的坐标为_______．
[解析] 因为抛物线的焦点为 ，
所以直线的方程为 .
由 解得或 （舍去），
故点的坐标为 .
2.如图，已知直线和椭圆．若直线
与椭圆有且只有一个公共点，则 的值为_____.
[解析] 由方程组
消去 ，
由，得或 ，此时方程①有两个相等的实数根，即
直线与椭圆 有且只有一个公共点.
得 ①， .
3.若双曲线的弦被点 平分，则此弦所在直线的方程
为______________.
[解析] 设，，由， 在双曲线上，得
两式作差可得 ，
即 .
又弦被点平分，所以
代入①式可得，则，
则直线 的方程为，即 .
4.过点作倾斜角为 的直线与椭圆交于，
两点，则 的值为__.
[解析] 由题可知直线的方程为，
与椭圆方程 联立，消去 得，
整理得.
设, , 则,
则 .
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1（1）直线与椭圆 的位置关系为
( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
[解析] 因为直线过点,，且, 为椭圆
的右顶点和上顶点，所以直线 与
椭圆 相交.故选C.
√
（2）过点作直线，使它与双曲线 只有一个公共点，
这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
[解析] 把代入双曲线方程，得，故点 在双曲
线上，因此过点 且与双曲线的两条渐近线分别平行的直线，
与双曲线有一个交点.
设 ,将其代入双曲线方程可得
，
化简得 ，
√
令 ，
化简得，解得 ，
故过点 的切线与双曲线有唯一的交点.
综上，满足题意的直线共有3条，故选C.
总结反思
研究直线与圆锥曲线位置关系的方法：
（1）研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与圆
锥曲线方程所组成的方程组解的个数.
（2）对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直
线和椭圆有交点.
【对点演练1】（1）（多选题）[2026·重庆模拟] 为坐标原点，直线
过抛物线的焦点，且与交于,
两点，为 的准线，则( )
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D.的面积为
√
√
√
[解析] 对于A，由题意，在直线中，令 ，可得
，所以抛物线的焦点为，则， ，故A正确.
对于B，设，，由
得，则 ，
，故B错误.
对于C， .
设线段的中点为，则.点到准线 的距离
，以为直径的圆的半径.因为 ，所
以以为直径的圆与相切，故C正确.
对于D， 到直线的距离，
则 的面积为，故D正确.
故选 .
（2）（多选题）已知直线与椭圆 ，则
下列结论正确的是( )
A.若与至少有一个公共点，则
B.若与有且仅有两个公共点，则
C.若，则上到 的距离为5的点只有1个
D.若，则上到 的距离为1的点只有3个
√
√
√
[解析] 由消去得 ，则判别式
对于A，令，得 ，故A错误；
对于B，令，得 ，故B正确；
对于C，令直线与椭圆相切，则 ，即，
又直线与 之间的距离，
所以当时，上到 的距离为5的点只有1个，故C正确；
对于D，因为直线与直线 间的距离为1，
直线与直线 间的距离为3，
所以当时，椭圆上到 的距离为1的点有3个，故D正确.
故选 .
探究点二 弦长问题
例2 [2026·黑龙江绥化模拟] 已知椭圆 的左、
右焦点分别为，，是椭圆上一点，且 的周长是
，椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：设椭圆的焦距为，由题意可得
解得，，所以 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）已知为坐标原点，过点的直线与椭圆相交于， 两
点，且，求 .
解：由题意可知直线的斜率存在，设为，所以直线 的方程为
设， ，由消去 得
，
所以， ，由得 .
由，得，满足 ，
所以， ，
所以
.
总结反思
弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立消元建立一元二
次方程，设直线方程也有技巧，不同形式的直线方程直接关系到计
算量的大小.若直线（斜率存在）经过的定点在纵轴上，一般设为斜
截式 便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若
直线（斜率不为0）经过的定点在横轴上，一般设为 减少
运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”.
【对点演练2】 [2025·重庆育才中学模拟] 已知 为抛物线
上一点，点到的焦点的距离为6，到 轴的距离
为5.
（1）求 的方程；
解：设点，因为点到的焦点的距离为6，
到 轴的距离为5，
所以解得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）设的焦点为，过点的直线与交于， 两点，
，求 .
解：由（1）得，抛物线的方程为，
所以 ，
由题可知直线 的斜率不为0，
设直线， ， ，
由消去整理得 ，
所以，， .
因为，所以 ，
由解得 ，
则
.
探究点三 中点弦
例3 [2026·河北廊坊期末]已知椭圆，过点 的直线交
椭圆于，两点，且为线段的中点，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由椭圆，及，得点 在椭圆内.
设,，则
两式相减得，
而,，因此 ，即直线的斜率为，
所以直线的方程为 ，即 .故选A.
总结反思
处理圆锥曲线的中点弦问题常用的方法:
（1）点差法,设出弦的两端点坐标， 后,分别代入圆锥
曲线方程,并将两式相减,式中含有,, 三个未知量,这
样就直接联系了弦中点坐标和弦所在直线的斜率,借助中点坐标公式
即可求得斜率；#1.1.1
（2）根与系数的关系,联立弦所在直线的方程与圆锥曲线的方程，消
去或 ,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
特别要注意的是中点弦问题常用的两种求解方法都有弊端:根与系数
的关系在解题过程中易产生漏解,需关注弦所在直线的斜率;点差法只
是形式变化，无法直接判断交点个数.#1.1.3
【对点演练3】（1）若斜率为1的直线与椭圆交于, 两
点，则弦 的中点坐标可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设,，则
两式相减得.
设弦的中点为，则 ,.
因为直线的斜率为1，所以，
代入 式，整理得 .
将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是点 在椭圆外，
不符合要求.故选A.
（2）[2025·内蒙古包头二模]直线与双曲线交于, 两点，
线段的中点为，则直线 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，因为线段的中点为 ，所以
，.
由可得 ,即，
所以 ，则，所以直线的斜率为1，
所以直线的方程为 ,即 ,经检验符合题意.故选A.
【备选理由】例1是过焦点的直线与椭圆相交的弦长问题，可适当补
充相关结论；
例1 ［配合探究点二使用］[2026·江西上饶检测] 已知椭圆
的离心率为，过右焦点 且斜率为
的直线与相交于，两点，若，则 ____．
[解析] 方法一：如图，设， ，
， 由定比分点坐标公式可得 .
， 设，，则，
椭圆方程为 .
设直线的方程为， ,代入①中消去，
可得 ， ，
，， ， ，
解得，则 ．
方法二：设直线的倾斜角为 ，
由椭圆的第二定义可得若，则 ，
所以，则 .
又 ，所以 ．
【备选理由】例2涉及圆锥曲线的角度问题，要领会有关角度问题的
转化方法.
例2 ［配合探究点一使用］
（1）已知抛物线的焦点到准线 的距离为2，第
一象限内的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为点 ，若
，且点在直线上，则直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，依题意，得，故 ，
设，则.
由 ，即，
解得即 ，
则，解得，
则 ，故直线的倾斜角为 .故选C.
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为 ,
,的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与 交于
，两点，且 的周长为16.
（i）求 的方程；
解：将代入，得 ，
所以，所以 ，
所以解得 所以的方程为 .
（ii）过作直线与交于，两点，若，求直线 的斜率.
解：由（i）知，显然当直线的斜率不存在或 的斜率为0
时，不成立，故直线的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为,， ，
由可得 ，
则，且，
即 ，, ，
又，所以，所以
由得，解得，故 ，
故直线的斜率为或 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·浙江杭州模拟]已知直线与椭圆 有公共点，
则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据椭圆方程的特点，可得且 ，可排除B，C；
直线过点，当时，点 在椭圆内部，所以直
线与椭圆 必有公共点，排除A.故选D.
√
2.已知点，，若直线上存在点 满足
，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以 在双曲线的右支
上，且，，
故双曲线右支的方程为 ，其渐近线方程为，
由题知直线 与双曲线右支有公共点，所以 .故选D.
√
3.已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点 在双
曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是 ，则直
线 的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设直线，的斜率分别为，，由题可得 ，
，
设，则，即 ，
所以，所以 .
又，所以 .故选A.
4. 湖南张家界联考］在平面直角坐标系 中，已知拋物线
的焦点为，准线为直线，过点的直线
与交于，两点，则 面积的最小值为( )
A.18 B.16 C.12 D.8
√
[解析] 依题意得，，解得，则抛物线 的方程为
，焦点.
设点,，直线 的方程为，
由消去得，
则 ,， ，
因此
，当且仅当时取等号，
所以 面积的最小值为8.故选D.
5.已知椭圆的离心率为，过点 的直线
与椭圆交于，两点，且满足，则直线 的方程为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，，即，可得 ，
过的直线与椭圆交于,且满足，则为线段
的中点，所以，，
又 ，，所以 ，
即，所以 ，
故直线的方程为，即 .故选C.
6.设直线与双曲线
相交于，两点，若线段的中点坐标是，且 ，
则 ( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 将代入直线方程 中，得
，又，所以， .
设，，由消去 得
，则 ，
因此，整理得，则，所以 .
故选D.
7.[2025·福建莆田调研]已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的
直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则 的周长的最
小值为( )
A.8 B. C.10 D.
√
[解析] 由题可得，，则 ，
设椭圆的右焦点为，连接，，
则， （其中为原点），
可知四边形 为平行四边形，则，
可得 的周长为
，当， 为短轴的端点时，取得最小值，
最小值为，
所以 的周长为 .故选C.
8.（多选题）抛物线的焦点为 ，直线
过点且与抛物线交于,两点，其中点 在第一象
限，则下列说法正确的是( )
A.
B.当时，
C.若点的坐标为，则 周长的最小值为8
D.当时，
√
√
√
[解析] 对于A，直线与轴的交点为，所以 的坐
标为，所以,即 ，所以A选项正确；
对于B，当时，由得,则 ,
,故 ，所以B选项错误；
对于C，因为，，所以，过点 作准线的垂线，
垂足为，则三角形 的周长为
，当且仅当点在点，
之间时等号成立，所以C选项正确；
对于D，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，
垂足为 ，设，则,， ，
根据三角形相似得，所以 ，
所以直线 的倾斜角为 ，则，所以D选项正确.故选 .
9.[2026·云南昆明模拟] 已知 为原点，椭圆
与直线交于, 两点，线段
的中点为，若直线的斜率为，则椭圆 的离心率为_ __.
[解析] 设,,则且 ，
故，则 ,
故，即 ，因此离心率 .
10.[2026·陕西师大附中模拟] 已知抛物线 的焦点
为，过点的直线与抛物线交于， 两点.
（1）求抛物线 的方程；
解： 抛物线的焦点为，，即，
抛物线 的方程为 .
（2）当点为线段的中点时，求直线 的方程；
解：设,，显然直线的斜率存在. 设 的方程为
，
由消去，整理得 ，
则,,
点是线段 的中点，，解得
直线 的方程为，即 .
（3）求 的最小值.
解：由抛物线的定义可知, ，
.
由（2）知, ,
,
，
, 当时，取得最小值 .
◆ 综合提升 ◆
11.已知点在椭圆上，点在圆 上，
，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 ，
由题知圆的圆心为，半径.
因为 ，所以，
所以
要求的最大值，即求的最大值.
设过点， 的直线交圆于点，点在，之间，
因为 ，当且仅当,,三点共线时等号成立，
所以 的最大值为.
又，所以 的最大值为
.故选B.
12.（多选题）[2025·全国二卷]双曲线 的
左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以 为直
径的圆与的一条渐近线交于，两点，且 ，则
( )
A.
B.
C.的离心率为
D.当时，四边形的面积为
√
√
√
[解析] 不妨设渐近线方程为，在第一象限，
在第三象限.
对于A，由双曲线的对称性可得四边形 为
平行四边形，则，故A正确.
对于B，方法一：因为在以 为直径的圆上，所以且
为原点，设 ，则得
故，由A得 ，
所以，即 ，故B错误.
方法二：因为为原点 ，在双
曲线中，，所以，
又因为以为直径的圆与 的一条渐近线交于
，两点，所以，
过点作 轴，垂足为，则，
所以点与 重合，则轴，
在中，由，得 ，
即 ，故B错误.
方法三：因为为原点，
，所以，
在 中由余弦定理知，
,
即,则 ，
因为，所以 ，
所以为直角三角形，
又，所以 ，故B错误.
对于C，方法一：因为 ，
所以，
由B可知 , ，
故 ，
即，则离心率 ，故C正确.
方法二：因为，所以 ，
则 ，
故C正确.
对于D，当时，由C可知 ，
则，，故四边形 的面积为
，故D正确.故选 .
13.已知过点的直线与抛物线交于， 两点，过点
，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则 的最小值为
_ ___.
[解析] 设，，且在第一象限，不妨设 ，则
由，得，则，
所以抛物线在点 处的切线斜率，
则抛物线在点 处的切线方程为,即.
同理可得抛物线在点 处的切线方程为 .
由 解得即 .
又因为直线的斜率，所以直线 的方
程为，即 .
将点的坐标代入直线的方程得 ，
设点的坐标为，则①式可整理为 ，
即 ，所以点 的轨迹为一条直线，
所以的最小值为点到直线 的距离，
即 .
14.已知双曲线的离心率为 ，右焦点到
双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点，在双曲线 上，线段
的中点为 .
（1）求双曲线 的方程；
解：不妨取的一条渐近线的方程为，即 ，
所以.
又，,所以 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）证明：直线的斜率 为定值；
证明：设，，则 两式相减并整理得
,
因为线段的中点为，所以
所以，
因为，所以 ，所以直线的斜率 为定值2.
（3）若为坐标原点，的面积为,求直线 的方程.
解：设直线的方程为，由消去 得
，
因为 ，所以 ，
则， .
故 ，
则点到直线的距离 ，
所以 ，
整理得，解得舍去，则 ，
又因为，所以直线 的方程为
.
【知识聚焦】2.
【课前演练】题组一（1）√ （2）√ （3）√ 题组二1. 2.
3. 4.
课堂考点探究
例1（1）C （2）C 【对点演练1】（1）ACD （2）BCD
例2（1）椭圆的方程为. （2）.
【对点演练2】（1）抛物线的方程为.（2）.
例3A 【对点演练3】（1）A （2）A
教师备用习题
例1 例2（1）C （2）（i）的方程为.
（ii）故直线的斜率为或.
夯实基础
1.D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.C 8.ACD 9.
10.（1） 抛物线的方程为. （2）直线的方程为.
（3） 取得最小值.
综合提升
11.B 12.ACD 13.
14.（1）双曲线的方程为. （2）证明略.
（3）所以直线的方程为.

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