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拓展2 与焦点有关的常用结论
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1.焦点三角形
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2.焦半径
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3.焦点弦
答案核查
1.焦点三角形
例1 （多选题）[2026·山东济南模拟]已知椭圆 的
左、右焦点分别为，，是 上任意一点，则( )
A.的离心率为 B. 的周长为12
C.的最小值为3 D. 的最大值为16
√
√
[解析] 椭圆，即，故, ,
.
对于A，，故A错误；
对于B， 的周长为 ，
故B正确；
对于C，的最小值为 ，故C错误；
对于D，，当且仅当
时等号成立，故D正确，故选 .
结论
椭圆、双曲线焦点三角形相关结论#1.2.1
椭圆 双曲线
，是曲线的焦点, 设为曲线上任意一点, 在 中, 记 , , ， 的内切圆圆心为，且圆分别与 的三边相切于点 ，，.设，
椭圆 双曲线
周长
面积 ， ， ,
,
续表
椭圆 双曲线
内切圆 ； ， ，其中 为椭圆的离心率 的内切圆与
轴切于双曲线的顶点;
，
离心率
续表
【对点演练1】 [2026·浙江绍兴期末]设, 分别是双曲线
的左、右焦点，过双曲线上一点 作切
线交轴于点，若 ， ，则该双曲线的
离心率是( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 连接，由双曲线的光学性质可知切线为 的平分
线，则 .
又 ，所以 ，所以 .
在 中，由正弦定理可得，
所以 ，即 ，
所以 ，故选D.
2.焦半径
例2 [2026·江苏常州期中]过抛物线的焦点的直线 交抛物线
于，两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为 ，则
的值为( )
A.3 B.2 C. D.
√
[解析] 方法一：设， ，由题可知
,因为直线的倾斜角为 ，所以 ，
由可得，
解得， ，故 .
方法二：因为, ，
所以 .故选C.
结论
与焦半径有关的常用结论
1.椭圆的焦半径公式
（1）（坐标式）是椭圆上任意一点， ,
； ,
.
（2）与倾斜角有关的焦半径公式
如图①,当是椭圆的左焦点时, 是过焦
点的弦且倾斜角为 ,点在 轴上方,则
, ；#2.2.3.1
当是椭圆的右焦点时, ,
.
注意:正负也可通过弦的长短决定, ,
无需分左右焦点.#2.2.3.3
2.双曲线的焦半径公式
为双曲线上任意一点,则
（1）（坐标式）当焦点在轴上，且， 时，
, ；
当焦点在轴上，且，时， ,
.
（2）如图②,当是双曲线的右焦点时,过焦点 的弦的倾
斜角为 ,交双曲线同一支于,两点,点在 轴上方,则
, ；
当是双曲线的左焦点时,
, .
注意:①正负也可由弦的长短决定，
, ；
②当直线与双曲线交于双支时,代入公式可
得焦半径为负数,故为了统一焦半径公式,最后结果都取正数.
3.抛物线的焦半径公式
焦半径公式（角度形式）如图③，为抛物线
的焦点，过焦点的弦的倾斜角
为 ，点在 轴上方，则
, 为的倾斜角， .
4.设圆锥曲线的焦点在轴上,过点且斜率为的直线交曲线 于
,两点,若,则 ,即
椭圆、双曲线、抛物线均适用,抛物线 .
若焦点在轴上,则 .
【对点演练2】 过椭圆的左焦点作倾斜角为 的直
线与椭圆交于，两点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由，得,, ，
左焦点为，
则过左焦点倾斜角为 的直线 的方程为，
代入，得.
设 ,，则, .
√
又 ，
所以 ，
，
所以 .
方法二： .故选C.
3.焦点弦
例3（1）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为 的直
线交于，两点，则 ( )
A.12 B.6 C. D.
[解析] 因为弦过抛物线的焦点，且倾斜角为 ，
所以 ，故选A.
√
（2）已知双曲线的右焦点为，过 且斜
率为的直线交于,两点，若，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为直线的斜率为，所以直线 的倾斜角
，所以.
又，即 ，所以，所以 .故选B.
√
方法二：设双曲线的右准线为 ，
过，分别作于点，于点 ，
作于点 ，如图所示.
因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为 ，
所以 ， .
由双曲线的第二定义得
.
又 ，所以，所以 .
（3）[2026·福建晋江期中] 已知双曲线
的焦距为10，左、右焦点分别为，，点在上且 轴，
的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则
的取值范围是_ _______.
[解析] 由题意可知,, ，
将点坐标代入双曲线方程得，则 .
又的面积为，所以 ，
得得, ，所以双曲线方程为 .
设，则 ，
则 ，
同理 .
因为，所以 .
结论
与焦点弦有关的常用结论
1.（1）若是椭圆的左焦点,是过焦点 的
弦且倾斜角为 ,则 .
（2）若是双曲线的右焦点,过焦点 的弦
的倾斜角为 ,交双曲线同一支于,两点,则 .
2.如图①,
为抛物线 的焦点弦,设点
,,点在上方，焦点 ,则有
以下结论:
（1） .
（2）; ;
③,, ，
为的倾斜角 ；
④过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
3.过抛物线的顶点 作互相垂直
的两条射线且与抛物线相交,交点分别为,
（如图②）,则直线过定点 ;反之,若过点
的直线与抛物线交于两点 ,
,则必有 .
【对点演练3】 （多选题）[2026·江苏南京调研]已知抛物线
的焦点为，过作一条倾斜角为的直线交于， 两点
在第一象限，与准线垂直，垂足为 ，则( )
A.为等边三角形 B.
C. D.
[解析] 对于A，根据抛物线的定义可得，又 轴，
，所以，所以 为等边三角形，故A正确；
√
√
√
对于B，因为，直线的方程为 ，
代入抛物线方程得 ，整理得
，即 ，所以
， ，根据抛物线的定义得，
，所以，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，由选项A，B可知， ，
所以，故D正确.故选 .
例1 BD 【对点演练1】D
例2 C 【对点演练2】C
例3（1）A （2）B （3） 【对点演练3】ACD

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