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(共72张PPT)
第51讲 圆锥曲线热点问题
第1课时 求值、最值与范围、证明问题
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
2.根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题.
3.根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数
方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.
4.能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物
线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的
基本关系.
常用结论
1.注意转化思想在圆锥曲线热点问题中的应用.
（1）平行四边形条件的转化
几何性质 代数实现
对边平行 斜率相等，或向量平行
对边相等 长度相等，横（纵）坐标差相等
对角线互相平分 中点重合
（2）圆条件的转化
几何性质 代数实现
点在圆上 点与直径端点向量数量积为零
点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数
点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数
（3）角条件的转化
几何性质 代数实现
锐角、直角、钝角 角的余弦（向量数量积）的符号
倍角、半角、平分角 角平分线性质、定理
等角（相等或相似） 比例线段或斜率
2.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过
椭圆相应的焦点.
3.切点弦方程：过平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的
方程叫作曲线的切点弦方程.二次曲线
外一点 的切点弦方程
为 .
4.若，，， 是圆锥曲线（二次曲线）上顺次的四点,则四点共圆
（常用相交弦定理）的一个充要条件是:直线， 的斜率存在且
不等于零,并有,分别表示和的斜率 .
5.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若两条直线的斜率
之积为定值，两条直线与圆锥曲线的另外一个交点分别为， ，则
直线 过定点.
探究点一 求值问题
圆锥曲线中的求值问题主要涉及直线斜率、弦长、距离、面积、
直线方程及圆锥曲线方程中的参数，考查形式多种多样.
解决求值问题的常用方法有待定系数法、数形结合法、公式法等.
例1 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知点 在双曲线
上，直线交于，两点，直线， 的
斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
解：将点的坐标代入双曲线的方程得，可得 ，
故双曲线的方程为 .
由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为 ，
，，联立直线与双曲线 的方程，可得
，
则，， .
由题知 ，
化简得 ，
则 ，
可得 .
因为直线不过点，所以，所以，即直线 的
斜率为 .
（2）若,求 的面积.
解：方法一：不妨设直线,的倾斜角分别为 , ，
因为，所以 ，
由（1）知，，所以点， 在双曲线的同一支上.
当,均在双曲线左支时， ，所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
此时 与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线左支无交点，不符合
题意，舍去.
当, 均在双曲线右支时，因为，
所以，则 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以直线，直线 .
由可得 ，
因为方程有一个根为2，所以， .
同理可得， ， .
所以直线，，点到直线 的距离
，
故的面积为 .
方法二：设直线的倾斜角为，同方法一可知 只能
在双曲线的右支上，由，可得 ，
由 ，可得 ，
即 ，又，所以， ，
代入直线的方程，可得 ，
由（1）得， .
由，可得 ，
因为， ，
所以 .
总结反思
（1）涉及弦长、距离的计算，一般可以采用弦长公式、点到直线的
距离公式、两点间距离公式等，进而还可以计算三角形面积、四边
形面积.
（2）常见求解面积模型
三角形面积比值 四边形面积
对顶角模型 对角线垂直
三角形面积比值 四边形面积
等角、共角模型 ___________________________________________________ 一般四边形
分割为两个三角形
续表
【对点演练1】 [2026·山东青岛期末] 已知椭圆
过点，且离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
解： 椭圆过点 ，，
又， ，， ，
椭圆的方程为 .
（2）过右焦点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为 ，
设原点为，射线交椭圆于点，已知四边形 为平行四边
形，求直线 的方程．
解：易知，当直线的斜率不存在时，四边形 不为平行
四边形，不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由得 .
设, ，
则, .
设， 四边形 为平行四边形,
，
， .
点在椭圆 上，，解得 ，
直线的方程为或 .
探究点二 最值（范围）问题
求解最值（范围）问题的常用方法
（1）利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
（2）利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问
题的核心是在两个参数之间建立等量关系.
（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式（组）,从而求出参
数的取值范围.#1.3
（4）利用基本不等式求出参数的取值范围.
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,
求其值域,从而确定参数的取值范围.在建立函数的过程中,要根据题目
的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来,同时要注意变量
的取值范围.#1.5
例2 设直线过点，与椭圆交于,两点，点 在点
上方，则 的取值范围为______．
[解析] 由题知，则，故在椭圆外.当直线 的斜率不存在
时，点，为椭圆的短轴端点，此时.
当直线 的斜率存在时，设直线的方程为，，
，不妨设,
联立直线方程与椭圆方程，消去 得 ,
由判别式,可得，则
注意到，令，则 ，
则，，
则 ，即 .
因为,所以,则，则 ，
解得且,结合得.
综上， 的取值范围为 .
例3 [2025·湖南长沙摸底] 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为
轴、轴，且过, 两点．
（1）求 的方程．
解：设的方程为，, ,
由题得解得
所以的方程为 .
（2）直线与交于, 两点．
解：由得 .
，化简得 .
①若，求 的取值范围；
因为，所以，
解得 ，所以的取值范围为 .
②若，求 的取值范围．
解：设,，则, .
，
化简得 ，即 ，
所以 ，
解得 ，所以的取值范围为 .
总结反思
1.解析几何中的常见最值问题有:求线段长度（弦长）最值、求三角
形面积最值、求面积比最值、求线段长度比最值等.常用解题方法是:
（1）代数法,把这些问题利用代数方法表示为某个（些）变量
（如直线的斜率、截距、点的横坐标或纵坐标等）的函数,然后通过
变形,利用函数方法或不等式方法等进行求解;（2）几何法,即通过利
用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行
求解,解题时常用到两点间线段最短、点到直线的垂线段最短等结论.#2.1
2.（1）解决圆锥曲线中的范围问题的基本思想是建立目标函数或不
等关系.
（2）建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，使得这个变量能
够表达要解决的问题；建立不等关系通常利用圆锥曲线的几何特征、
判别式或基本不等式等灵活处理.#2.2.1
【对点演练2】 [2026·湖南益阳期末] 已知椭圆
过点，且椭圆 的短轴长等于焦距．
（1）求椭圆 的方程；
解：将点的坐标代入方程 ，
得 .
又， ，所以， ，
所以椭圆的方程为 .
（2）若直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点，求 面
积取得最大值时直线 的方程．
解：设直线的方程为，点， .
联立直线方程与椭圆的方程得 ，
由，得 ，
， ，
则 .
又点到直线 的距离
,
所以 的面积
，
当且仅当，即 时等号成立，
故当面积取得最大值时，直线的方程为 .
探究点三 证明问题
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如线段或角相等
以及位置关系等.证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,
用代数方法证明.
例4 已知抛物线的焦点为，抛物线 上的点
满足 .
（1）求抛物线 的方程；
解：由，可得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）设点，过作直线交抛物线于， 两点，证明：
是 的平分线.
证明：根据题意，直线的斜率不为0，设其方程为 ，
， ，
由得，
由 ，可得或 ，
由根与系数的关系得， .
则
，
即直线与直线 的倾斜角互补.
又 ，所以是 的平分线.
总结反思
圆锥曲线中的证明问题的常见类型:
（1）位置关系方面:证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线
过定点等.
（2）数量关系方面:存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的
代数运算进行证明,但有时也会用反证法证明.
【对点演练3】 直线与椭圆 相交
于，两点， 是坐标原点．
（1）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求 的长；
解：因为四边形为菱形，所以与 相互垂直平分.
因为，，所以可设，
将 点坐标代入椭圆方程得，得，所以 .
（2）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形 不可能
为菱形．
证明：假设四边形为菱形.
因为点不是的顶点，且 ，所以 .
由消去并整理得 .
设，，
则 ， ，
所以的中点为 .
因为为和的交点，且，，
所以直线 的斜率为 .
因为，所以与不垂直，
所以四边形 不是菱形，与假设矛盾.
所以当点在上且不是的顶点时，四边形 不可能是菱形.
【备选理由】例1是有关圆锥曲线光学性质的问题,可根据学情适当拓展；
例1 ［配合探究点一、三使用］汽车的前灯、探照
灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手
电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物
线绕对称轴旋转一周而成的曲面.这种反光镜（抛物镜
面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面
反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来
证明这个性质.如图所示，抛物线的焦点为 .
（1）求抛物线上一点处的切线的方程，其中
是该切线与 轴的交点.
解：当点在轴上方时，
由 得 ，
，故在点处切线的斜率 ，
所求切线的方程为 ，
由，得直线 .
当点在轴下方时，由得 ，
，故在点处切线的斜率 ，
所求切线的方程为 ，
由，得直线 .
综上，当点在轴上方时，切线 的方程
为；当点在 轴下方时，切
线的方程为 .
（2）证明： ，并由此说明对于抛
物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射
后的反射光线一定与该镜面的对称轴轴 平行.
解：不妨设点在轴上方，要证 ，即证 .
在直线中，令 ，得，即 ，
， ，
，故 .
设切线与反射光线所成的角为 ，由镜面反射得， ，
， ，
反射光线与 轴平行，
对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经
镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴
轴 平行.
【备选理由】例2的解题过程中出现非对称性根与系数的关系，可根据
学情适当拓展解决思路和方法；
例2 ［配合探究点二使用］[2026·湖北武汉期末] 已知椭圆
的长轴长是短轴长的2倍，焦距为 ，
点，分别为的左、右顶点，点，为 上的两个动点，且分别
位于轴上、下两侧，和的面积分别为， ，记 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意知，，，
又 ,所以， ，所以椭圆的方程为 .
（2）若，求证直线 过定点，并求出该点的坐标；
解：由（1）知，，设直线与轴交点为 ，
设直线的方程为，，，
则 ，，
解得 ，
所以直线过定点，且定点坐标为 .
（3）若，设直线和直线的斜率分别为，，求 的取
值范围．
解：设直线的方程为，， .
由可得 ，
则，，且 .
于是
，
又，所以，即的取值范围是 .
【备选理由】例3根据学情可借助该例题总结归纳常见距离问题的
处理方式.
例3 ［配合探究点三使用］
（1）[2026·广西上进联考] 已知椭圆 的左、
右顶点分别为,，且上顶点与都在直线 上.
①求 的方程；
解：在直线中，令，得 ，即
，则 ；
令，得，即，则 .所以的方程为 .
②若点为上的一个动点，点,，求 的最小值；
解：设，则， ，
因此
，当且仅当 时取等号，
所以的最小值为 .
③若过点的直线交于,两点，点是线段上异于, 的
一点，且，证明： .
证明：当直线的斜率为0时，不妨记, ，
而，由，得 ，
则, ，
因此 .
当直线的斜率不为0时，设,, ，直线
的方程为 ，
由消去得 ，
则，故 ，且
, ，
如图，由，得点在线段 的垂直
平分线上，即 ，
显然，设 ，即
，于是，
由点在直线上，得 ，
则 ，
整理得 ，
于是，因此 ， ，
所以 .
（2）已知双曲线的一个焦点为 ，
点在 上.
①求 的方程；
解：由双曲线的一个焦点为，得 ，
由点在双曲线上，得，解得， ，
所以双曲线的方程为 .
②已知点，，为线段上一点，且直线 交
于，两点，证明： .
证明：设，, ，
则直线的方程为 .
由消去 得
.
由直线交于， 两点，得
解得，且 ，
， .
当时，,在的异侧，在 的同侧；
当时，,在的同侧，在 的异侧.
则总有 .
，
所以 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知抛物线的焦点到准线 的距离为2，点
，过的直线交 于,两点，过,分别作 的垂线，垂足分
别为,，直线，与直线分别交于点, .
（1）求 的方程；
解：由焦点到准线的距离为2，可得，则的方程为 .
（2）记,的纵坐标分别为,，当时，求直线 的
斜率.
解：由（1）知，，
当直线 的斜率为0时，显然不符合题意，
则设直线的方程为，其斜率为.
将直线 的方程与抛物线方程联立，消去得 ，
，由根与系数的关系得 ，，
设，，则， ，
又，所以，，
从而直线 的方程为，直线的方程为 ，
将两直线方程分别与直线的方程联立，得 ，
，则， ，
从而 ，
解得，故直线的斜率为 .
2.已知椭圆的一个顶点为 ，离心率
为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意知，，故，
所以，故椭圆 的方程为 .
（2）不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且 ，
记，的面积分别为，（其中为坐标原点），求
的值.
解：由题意知直线的斜率存在且不为零，设其斜率为，则 的
方程为，
由消去 可得，
故 ，故，.
设的斜率为 ， 同理可得，.
由题意知与 轴不平行，故设的方程为，
所以， 是方程 的两个根，
整理得，
又 ，所以，故，
所以直线恒过定点 ，又,，
所以,，所以 ，即 .
3.[2026·辽宁五校期末] 已知椭圆 的离心率
为，过坐标原点和点的直线与椭圆交于, 两点，且
.
（1）求椭圆 的方程；
解：由椭圆的离心率为 ，
得，则，椭圆的方程可化为 ，
直线的斜率，则直线的方程为 ，
由椭圆的对称性，不妨设点,,，
由 解得
因此 ，解得,
故，所以椭圆的方程为 .
（2）直线与交于,两点,在轴的同侧，,分别是椭圆
的左、右焦点，当时，求四边形 面积的最大值.
解：如图，延长交于点 ，由（1）知
,，
设,， 的方程为 ，
由消去 得 ，
则
设与之间的距离为，四边形的
面积为 ，由及椭圆的对称性知，点
与点 关于原点对称，
则 ，
连接 又 ，当且仅当，即 时，等号成立，所以四边形 面积的最大值为2.
◆ 综合提升 ◆
4.已知抛物线的焦点为，且抛物线 经过点
，直线与抛物线交于,两点， 为坐标原点.
（1）求拋物线 的标准方程；
解：因为抛物线经过点，所以，解得 ,
所以抛物线的标准方程为 .
（2）若直线过定点，求 面积的取值范围；
解：依题意，直线与抛物线有2个交点,,所以直线 的斜率不为0，
设直线的方程为,由整理得 ,
由,得，设， ，则 ,.
所以
，当且仅当 时，等号成立，
故面积的取值范围是 .
（3）若，求直线 的方程.
解：由题意得抛物线的焦点为.由，可知直线 过焦
点且斜率不为0，设直线的方程为 ，
由得， ,
于是， .
由可知，，代入上式可得， ，
所以，解得 ，
所以直线的方程为或 .
课堂考点探究
例1（1） 直线的斜率为.（2） 的面积为.
【对点演练1】（1）的方程为.（2） 直线的方程为或.
例2 例3（1） 的方程为.（2）①的取值范围为. ② 的取值范围为.
【对点演练2】（1）椭圆的方程为.（2） 的方程为.
例4（1）抛物线的方程为.（2）证明略. 【对点演练3】（1）.（2）证明略.
教师备用习题
例1（1）切线的方程为.（2）证明略.
例2（1）椭圆的方程为.（2） 定点坐标为.（3）的取值范围是.
例3（1）①的方程为.②的最小值为.③证明略.
（2）①双曲线的方程为.②证明略..
夯实基础
1.（1） 的方程为. （2）直线的斜率为.
2.（1）椭圆的方程为. （2） .
3.（1） 所以椭圆的方程为.
（2） 所以四边形面积的最大值为2.
综合提升
4.（1）抛物线的标准方程为.
（2）面积的取值范围是.
（3）所以直线的方程为或.第51讲　圆锥曲线热点问题
第1课时　求值、最值与范围、证明问题
【备选理由】 例1是有关圆锥曲线光学性质的问题,可根据学情适当拓展;例2的解题过程中出现非对称性根与系数的关系,可根据学情适当拓展解决思路和方法;例3根据学情可借助该例题总结归纳常见距离问题的处理方式.
1 [配合探究点一、三使用] 汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒,它们的反光镜都是采用旋转抛物面,即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面.这种反光镜(抛物镜面)有一个很好的光学特性:把光源放在抛物线的焦点处,经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质.如图所示,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).
(1)求抛物线上一点P(x1,y1)(x1≠0)处的切线PQ的方程,其中Q是该切线与x轴的交点.
(2)证明:∠FPQ=∠FQP,并由此说明对于抛物镜面来说,从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴(x轴)平行.
解:(1)当点P(x1,y1)在x轴上方时,由y2=4x得y=2,
∴y'=,故在点P处切线的斜率k=,
∴所求切线的方程为y-y1=(x-x1),
由y1=2,得直线PQ:y=+.
当点P(x1,y1)在x轴下方时,由y2=4x得y=-2,
∴y'=-,故在点P处切线的斜率k=-,
∴所求切线的方程为y-y1=-(x-x1),
由y1=-2,得直线PQ:y=--.
综上,当点P(x1,y1)在x轴上方时,切线PQ的方程为y=+;当点P(x1,y1)在x轴下方时,切线PQ的方程为y=--.
(2)不妨设点P在x轴上方,要证∠FPQ=∠FQP,即证|FP|=|FQ|.
在直线PQ:y=+中,令y=0,得x=-x1,即Q(-x1,0),
∴|FQ|=1+x1,|FP|====x1+1,
∴|FP|=|FQ|,故∠FPQ=∠FQP.
设切线PQ与反射光线所成的角为∠β,由镜面反射得,∠FPQ=∠β,
∵∠FPQ=∠FQP,∴∠β=∠FQP,
∴反射光线与x轴平行,
∴对于抛物镜面来说,从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴(x轴)平行.
2 [配合探究点二使用] [2026·湖北武汉期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,焦距为2,点A,B分别为C的左、右顶点,点P,Q为C上的两个动点,且分别位于x轴上、下两侧,△APQ和△BPQ的面积分别为S1,S2,记=λ.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若λ=7-4,求证直线PQ过定点,并求出该点的坐标;
(3)若λ>1,设直线AP和直线BQ的斜率分别为k1,k2,求的取值范围.
解:(1)由题意知,2a=2×2b,2c=2,又a2-b2=c2,所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知A(-2,0),B(2,0),设直线PQ与x轴交点为M,
设直线PQ的方程为x=my+x0,P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x0,0),
====λ=7-4,解得x0=-,
所以直线PQ过定点,且定点坐标为(-,0).
(3)设直线PQ的方程为x=my+x0,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由可得(m2+4)y2+2mx0y+-4=0,
则y1+y2=,y1y2=,且y1y2=(y1+y2).
于是=·=·===-=,
又λ>1,所以0<<1,即的取值范围是(0,1).
3 [配合探究点三使用] (1)[2026·广西上进联考] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且上顶点B与A2都在直线x+2y-2=0上.
①求C的方程;
②若点D为C上的一个动点,点E,求|DE|的最小值;
③若过点P(4,0)的直线交C于M,N两点,点G是线段MN上异于M,N的一点,且|GA1|=|GP|,证明:|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
解:①在直线x+2y-2=0中,令x=0,得y=,即B(0,),则b=;
令y=0,得x=2,即A2(2,0),则a=2.
所以C的方程为+=1.
②设D(x0,y0),则=3,-2≤x0≤2,
因此|DE|2=+=-x0++3=+≥,当且仅当x0=2时取等号,
所以|DE|的最小值为.
③证明:当直线MN的斜率为0时,不妨记M(-2,0),N(2,0),而A1(-2,0),由|GA1|=|GP|,得G(1,0),
则|PM|·|GN|=6×1=6,|PN|·|MG|=2×3=6,因此|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
当直线MN的斜率不为0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),G(x3,y3),直线MN的方程为x=my+4,
由消去y得(3m2+4)y2+24my+36=0,
则Δ=(24m)2-144(3m2+4)=144(m2-4)>0,故m2>4,且y1+y2=,y1y2=,
如图,由|GA1|=|PG|,得点G在线段A1P的垂直平分线x=1上,即x3=1,
显然=,设=λ,即(x3-x1,y3-y1)=λ(x2-x3,y2-y3),
于是y3-y1=λ(y2-y3),由点G(1,y3)在直线MN上,得1=my3+4,
则y3=-=-==,整理得y2y3-y1y2=y1y2-y1y3,
于是y3-y1=(y2-y3),因此=λ,=λ==,
所以|PM|·|GN|=|PN|·|MG|.
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点为(5,0),点P(4,3)在C上.
①求C的方程;
②已知点Q(4,-3),A(2,0),B为线段PQ上一点,且直线AB交C于D,E两点,证明:|AD|·|BE|=|AE|·|BD|.
解:①由双曲线C的一个焦点为(5,0),得a2+b2=25,
由点P(4,3)在双曲线C上,得-=1,解得a=4,b=3,
所以双曲线C的方程为-=1.
②证明:设B(4,t),D(x1,y1),E(x2,y2),则直线AB的方程为y=(x-2).
由消去y得(9-2t2)x2+8t2x-16t2-144=0.
由直线AB交C于D,E两点,得
解得-3当|t|<时,D,E在A的异侧,在B的同侧;当<|t|<3时,D,E在A的同侧,在B的异侧.
则总有|AD|·|BE|-|AE|·|BD|=·-·.
·-·=(2-x1,-y1)·(4-x2,t-y2)-(4-x1,t-y1)·(x2-2,y2)
=2x1x2+2y1y2-6(x1+x2)-t(y1+y2)+32
=2x1x2+(x1-2)(x2-2)-6(x1+x2)-(x1+x2-4)+32
=x1x2-(x1+x2)+4t2+32
=-+4t2+32=0,
所以|AD|·|BE|=|AE|·|BD|.

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