资源简介

第2课时　定点、定值、定直线问题
【备选理由】 例1是过焦点的直线与椭圆相交证明定值相关问题;例2是椭圆内部两直线垂直证明定值问题;例3在探究直线过定点的问题时,利用圆锥曲线的对称性确定了定点位于y轴上,求解圆锥曲线时,不要忽视对圆锥曲线对称性的应用;例4为定值、定直线问题,在利用线段长度的比值相等列方程时,可利用向量思想构建关于横坐标的方程或关于纵坐标的方程,避免构建关于线段长的方程增加计算量.
1 [配合探究点二使用] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且∣F1F2∣=4,椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知直线l过点F1,且与椭圆E交于点A,B,求证:+是定值.
解:(1)由|F1F2|=4,得2c=4,即c=2,
又椭圆E的离心率为,所以=,即a=2,所以b==2,
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)证明:设点A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2∈[-2,2],
当直线l的斜率不存在时,x1=x2=-2,|y1|=|y2|==,|AF1|=|BF1|=|y1|=,所以+=.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2).
由消去y得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,
所以Δ=32(k2+1)>0,x1+x2=-,x1x2=.
则|AF1|===(x1+4).同理|BF1|=(x2+4).
所以+=+===.
综上所述,+=,为定值.
2 [配合探究点二使用] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
(1)求C的方程.
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
解:(1)由题设得+=1,=,解得a2=6,b2=3.
所以C的方程为+=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
于是x1+x2=-,x1x2=.①
由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
将①代入上式可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0.
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.
于是MN的方程为y=k-(k≠1).
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).
由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.
又+=1,可得3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点,即Q.
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=|AP|=.
若D与P重合,则|DQ|=|AP|.
综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.
3 [配合探究点一使用] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆C截得线段长为2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知点Q(0,-4),过点Q作关于y轴对称的直线QE,QF,与椭圆C的一个交点分别为E,F,且直线EF与x轴不平行,那么直线EF是否过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
解:(1)由题意得=,则b2=a2-c2=a2-=,
当直线l平行于x轴时,直线l的方程为y=1,由解得
故2=2,解得a2=8,则b2==4,
即椭圆C的方程为+=1.
(2)设E(x1,y1),若直线QE与椭圆仅有一个交点E,由对称性可知,直线QF与椭圆仅有一个交点F,此时EF与x轴平行,不符合题意,故可设直线QE与椭圆的另一个交点为D(x2,y2),
因为直线QE,QF关于y轴对称且直线EF与x轴不平行,所以可得F的坐标为(-x2,y2),
且两直线的斜率均存在,设lQE的方程为y=kx-4,
由消去y得(2k2+1)x2-16kx+24=0,
Δ=256k2-4×24(2k2+1)=32(2k2-3)>0,即k2>,
则x1+x2=,x1x2=,
则lEF的方程为y=(x-x1)+y1,
由对称性可得,若直线EF过定点,则定点必在y轴上,
令x=0,则y=(-x1)+y1==
===2k·-4=2k·-4=3-4=-1,
故直线EF过定点(0,-1).
4 [配合探究点二、三使用] 已知双曲线E:-=1(a>0)的中心为原点O,左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P是直线x=上任意一点,点Q在双曲线E上,且满足·=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;
(3)若点P的纵坐标为1,过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M,N,点H在线段MN上且不与点M,N重合,满足=,证明:点H恒在一条定直线上.
解:(1)由题意得==,可得a=,
故双曲线E的方程为-=1.
(2)证明:设点P的坐标为,点Q的坐标为(x0,y0),易知点F2(3,0),
则=,=(3-x0,-y0),
则·=(3-x0)+(-y)·(-y0)=0,即y=,因此点P的坐标为,,
故直线PQ的斜率kPQ===,直线OQ的斜率kOQ=,
因此kPQ·kOQ=·=.
因为点Q(x0,y0)在双曲线E上,所以-=1,所以=,
于是有kPQ·kOQ===
===,为定值.
(3)证明:依题意,直线l的斜率k存在,P,设直线l的方程为y-1=k,
由
消去y得9(4-5k2)x2+30(5k2-3k)x-25(5k2-6k+9)=0,
设直线l与双曲线E的右支交于不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2),
则Δ=900+900(4-5k2)(5k2-6k+9)=-3600(4k2+6k-9)>0①,
且
设点H(x,y),由=,得=,
整理得6x1x2-(3x+5)(x1+x2)+10x=0,
将②③代入上式得-+10x=0,
整理得(3x-5)k-4x+15=0④,
因为点H在直线l上,所以y-1=k⑤,
联立④⑤消去k得4x-3y-12=0,所以点H恒在定直线4x-3y-12=0上.(共67张PPT)
第51讲 圆锥曲线热点问题
第2课时 定点、定值、定直线问题
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
探究点一 定点问题
1.常用的处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ）.
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到
有关与, 的等式.
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论 的
值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与, 的等式进行变形，直
至易于找到, .
常见的变形方向如下：
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的项归在一组，变形为
“”的形式，从而, 只需满足让括号内的部分为零即可;
②若等式为含的分式，则, 的取值一方面可以考虑使其分
子为0，从而使分式的值与分母的取值无关；另一方面可以考虑让分
子分母消去有关 的式子使分式变成常数（这两方面本质上可以通过
分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）.
2.与定点问题有关的基本结论
（1）若直线与抛物线交于异于顶点的, 两点，
则（其中为坐标原点） 直线过定点 ；
（2）若直线与抛物线交于异于顶点的, 两点，
则（其中为坐标原点） 直线过定点 ；
（3）设点是抛物线 上一定点，
,是该抛物线上的动点，则 直线 过定点
；#2.3
（4）设点是抛物线上一定点，, 是
该抛物线上的动点，则 直线 过定点
；
（5）过椭圆的左顶点 作两条直线与该
椭圆交于点,，则 直线过点 .#2.5
例1 [2026·广东东源模拟] 已知双曲线 的左顶
点为，离心率为3，,是 上不重合的两点.
（1）求 的标准方程；
解：由题可知，， ，
所以，故的标准方程为 .
（2）若线段的中点为，求直线 的方程；
解：设，，根据题意易得 .
因为点,在双曲线上，所以
两式相减得，即 ，
因为， ，所以 ，
所以直线的方程为 .
经检验，此时直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线 的方程为 .
（3）若不在直线上，证明：直线 过定点.
证明：依题意可设直线的方程为 .
由得 ，
则，， ，
因为 ，所以由（2）知
，
，
因为，所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
整理得，解得或 .
当时，直线的方程为，直线过点 ，
不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为，满足，则直线 过
定点 ，故直线过定点 .
总结反思
解决定点问题的一些技巧与注意事项:
（1）面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点
（或定直线）,然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合,属
于“先猜再证”.
（2）有些题目所求与定点无关,但是在条件中会隐藏定点,且该定点
通常是解题的关键条件,所以当遇到含参数的方程时,要清楚该方程对
应哪一类曲线,从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线
方程中,要能够找到定点,抓住关键条件,例如遇到直线 ,
就应该能够意识到,进而得到该直线过定点
【对点演练1】 已知椭圆的离心率为， 是
直线上一点，点在 上.
（1）求 的方程.
解：由题可得 ，
又，所以, ，
故椭圆的方程为 .
（2）若直线，的斜率之积为，其中为坐标原点， 轴上
是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由.
解：设， ，则， .
因为直线，的斜率之积为 ，
所以，即 .
设，则, .
因为 恒成立，
所以 恒成立，
即 恒成立.
因为，所以 ，
即 恒成立，
即恒成立，
所以 ，故存在定点，使得 恒成立.
探究点二 定值问题
在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题.常见
定值问题的处理方法有:
（1）直接消参求定值:①确定一个（或两个）变量为核心变量,其余
量均利用条件用核心变量进行表示;②将所求表达式用核心变量进行
表示（有的甚至就是核心变量）,然后进行化简,看能否得到一个常数.
（2）从特殊到一般求定值:①在运算过程中,尽量减少所求表达式中
变量的个数,以便于向定值靠拢;②巧妙利用变量间的关系,例如点的
坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.
例2第2问的解法中除了通性通法还涉及了齐次化，这种解法常用来
探究当直线与曲线存在两个交点时，交点与原点连线的斜率之和或
积的问题.
例2 已知椭圆经过点 ，且离心率为
.
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意知，，，结合，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，
（均异于点），证明：直线与 的斜率之和为2.
证明：方法一：由题意设直线的方程为 ，
代入椭圆方程 ，
可得，
由已知得点 在椭圆外，
设，，，则 ， ，
且，解得 或
.
则直线， 的斜率之和为
即直线与 的斜率之和为2.
方法二：将原坐标系下移一个单位，则直线过点， ,
设直线的方程为 ，
则，即，移动坐标系后椭圆 的方程为
，
将直线 的方程与椭圆方程联立得 ，
即，
因为，所以同除以 ，得，
设， .
因为，，所以 .
总结反思
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：
（1）求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,
代入代数式、化简即可得出定值.
（2）求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离
的表达式,再利用题设条件化简、变形求得.
（3）求某线段长度为定值:利用弦长公式等求得线段长度的表达式,
再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.
【对点演练2】 已知椭圆 的焦距为2，且经
过点 .
（1）求椭圆 的方程；
解：因为椭圆的焦距为2，所以 ，
由， ,且 ，解得, ，
所以椭圆的方程为 .
（2）点,是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线 的斜
率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，并求出该定值.
解：设, ，
设直线的方程为，代入 ，
得 ，
则 ，
又，所以 ， .
因为直线的斜率与的斜率互为相反数，所以在上式中以代 ，
可得 ， ，
所以直线 的斜率
，
即直线的斜率为定值，其值为 .
探究点三 定直线
高中数学中，圆锥曲线的定直线问题是高考的核心难点之一，
其本质是：当某个参数（如直线斜率、点的坐标、离心率等）变化
时，满足特定条件的直线始终保持固定性质（如过定点、斜率为定
值、平行于某定直线等）.
解决圆锥曲线定直线问题的关键是“变中找不变”：通过参数表示变
化量，利用代数推导（根与系数的关系、方程恒成立）或几何性质，
锁定直线的固定特征（定点、斜率）.
例3中的计算方法涉及非对称根与系数的关系的处理，主要解决形如
，，或之类中， 的系数不对
等的情况.
例3 [2023· 新课标Ⅱ卷] 已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为 .
（1）求 的方程；
解：设双曲线的方程为 ，由题意得
可得
故双曲线的方程为 .
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与 交于
，两点，在第二象限，直线与交于点，证明：点 在
定直线上.
证明：由（1）得， .
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
则易知， ，
直线的方程为，直线 的方程为
，
由 解得 .
当直线的斜率存在时，设，，直线 的方程
为，
由题意知且 ，直线的方程为，
直线 的方程为 .
联立直线与直线的方程，消去 得 ，
则 ，即
，解得 .
由可得 ，
则 可得
代入①可得 ，
当直线的斜率存在时，点在直线 上.
又点在直线上，故点在定直线 上.
总结反思
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的
问题，这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法有:
（1）设点法:设点的轨迹,通过已知点的轨迹,消去参数，从而得到动
点的轨迹方程;
（2）待定系数法:设出含参数的直线方程，用待定系数法求解出系数;
（3）验证法:通过特殊点的位置求出直线方程,再对一般位置进行验证.
【对点演练3】 [2026·福建福州质检] 已知 为坐标原点，双曲线
经过点， 的左、右焦点分别为
, .
（1）求 的离心率；
解：方法一：依题意得解得所以 的离心率
为 .
方法二：由题可知 ，
，即 ，所以的离心率为 .
（2）一组平行于的直线与相交，证明这些直线被 截得的线段
的中点在同一条直线上.
证明：方法一：由（1）知的方程为 .
直线的斜率，设平行于 的一组直线的方程为
，
直线与交于点,，线段的中点为 .
由 得 ，
则 ，
所以，
因为 , ，
所以，即这些直线被 截得的线段的中点在同一条直线
上.
方法二：由（1）知的方程为
直线的斜率，设平行于的一组直线与 交于点
, ，线段的中点为 .
由两式相减得 ，
显然,，所以 ，
所以，即 ，
即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线 上.
【备选理由】例1是过焦点的直线与椭圆相交证明定值相关问题；
例1 ［配合探究点二使用］已知椭圆 的左、
右焦点分别为，，且，椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
解：由，得，即 ，
又椭圆的离心率为，所以，即 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）已知直线过点，且与椭圆交于点，，求证：
是定值.
证明：设点，，， ，
当直线的斜率不存在时， ，
， ，
所以 ．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ．
由消去得 ,
所以，， ．
则 .
同理 .
所以 ．
综上所述， ，为定值.
【备选理由】例2是椭圆内部两直线垂直证明定值问题；
例2 ［配合探究点二使用］已知椭圆 的离
心率为，且过点 .
（1）求 的方程.
解：由题设得，，解得， .
所以的方程为 .
（2）点，在上，且，， 为垂足.证明：存
在定点，使得 为定值.
证明：设， .
若直线与轴不垂直，设直线的方程为 ，
代入得 .
于是，
由知 ，
故 ,
可得.
将①代入上式可得
.
整理得 .
因为不在直线上，所以 ，
故, .
于是的方程为 .
所以直线过点, .
若直线与轴垂直，可得 .
由得 .
又，可得.解得（舍去）， .
此时直线过点， .
令为的中点，即, .
若与不重合，则由题设知是 的斜边，
故 .
若与重合，则 .
综上，存在点，，使得 为定值.
【备选理由】例3在探究直线过定点的问题时，利用圆锥曲线的
对称性确定了定点位于 轴上，求解圆锥曲线时，不要忽视对圆锥
曲线对称性的应用；
例3 ［配合探究点一使用］已知椭圆 的离
心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线 平
行于轴时，直线被椭圆截得线段长为 .
（1）求椭圆 的方程.
解：由题意得，则 ，
当直线平行于轴时，直线的方程为，
由 解得
故，解得，则 ，
即椭圆的方程为 .
（2）已知点，过点作关于轴对称的直线， ，与椭
圆的一个交点分别为，，且直线与轴不平行，那么直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
解：设，若直线与椭圆仅有一个交点 ，由对称性可知，
直线与椭圆仅有一个交点，此时与 轴平行，不符合题意，
故可设直线与椭圆的另一个交点为 ，
因为直线，关于轴对称且直线与轴不平行，
所以可得 的坐标为 ，且两直线的斜率均存在，
设的方程为 ，
由消去得 ，
，即 ，
则， ，
则的方程为 ，
由对称性可得，若直线过定点，则定点必在 轴上，
令，则
，
故直线过定点 .
【备选理由】例4为定值、定直线问题，在利用线段长度的比值相等
列方程时，可利用向量思想构建关于横坐标的方程或关于纵坐标的
方程，避免构建关于线段长的方程增加计算量.
例4 ［配合探究点二、三使用］已知双曲线 的
中心为原点，左、右焦点分别为，，离心率为，点 是直线
上任意一点，点在双曲线上，且满足 .
（1）求实数 的值；
解：由题意得，可得 ，
故双曲线的方程为 .
（2）证明：直线与直线 的斜率之积是定值；
证明：设点的坐标为,，点的坐标为，易知点 ，
则,， ，
则，即 ，因此点
的坐标为, ，
故直线的斜率，直线 的斜
率 ，
因此 .
因为点在双曲线上，所以，所以 ，
于是有
，为定值.
（3）若点的纵坐标为1，过点作动直线 与双曲线右支交于不同的
两点，，点在线段上且不与点，重合，满足 ，
证明：点 恒在一条定直线上.
证明：依题意，直线的斜率存在，,,设直线 的方程为
，
由 消去得
，
设直线与双曲线的右支交于不同的两点， ，
则
,
且
设点，由，得 ，
整理得 ，
将②③代入上式得 ，
整理得 ，
因为点在直线上，所以 ，
联立④⑤消去得，
所以点 恒在定直线 上.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.已知椭圆的离心率为 ，且经过点
，直线与交于，两点，直线， 的斜率之和为1.
（1）求椭圆 的方程；
解：依题意有所以 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）证明：直线 过定点.
证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，
联立消去得 ，
则，即 ，
设，，则， .
因为直线， 的斜率之和为1，所以
，
所以，即 ，
所以直线的方程为，即 ，所以直线
过定点 .
2.[2025·内蒙古包头质检] 已知抛物线 的焦点为
，过点的直线交抛物线于，两点，在 处的切线与在
处的切线交于点 .
（1）求抛物线 的方程；
解：由题意得，，解得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）证明：点 在定直线上.
证明：设,，，直线 的方程为.
由，求导得，则在 处的切线方程为
，即，
因为直线 过点，所以.
同理，在处的切线过点 ，则.
显然点,在直线 上，即直线与
是同一条直线，因此, ，
则，所以点在定直线 上.
3.[2026·广东湛江期末] 已知和 为椭圆
上两点.
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意得解得
所以椭圆 的方程为 .
（2）若点在椭圆上，,分别是椭圆 的左、右焦点，且
，求 的面积；
解：由题可知,.
在 中，由余弦定理得
,
则 ,即 ,
所以，
故 的面积是 .
（3）过点的直线与椭圆交于,两点，证明：
为定值.
证明：当直线的斜率为0时， .
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为, ,
.
联立得 ，
此时,, .
则
.
综上， 为定值.
◆ 综合提升 ◆
4.[2025·云南昆明一中模拟] 已知双曲线
的左、右焦点分别为,，左、右顶点分别为， ，
且双曲线经过点 .
（1）求双曲线 的方程；
解：由题意知， ，
由双曲线的定义得 ，
所以,所以 ，所以双曲线的方程为 .
（2）动点在圆上，动点在双曲线上，设直线 ，
的斜率分别为,，若，，三点共线，试探索, 之间的
关系.
解：设，则，即 ，
由题意知，则 .
因为， ，所以 .
因为，，三点共线，所以，
由得 ，即 .
课堂考点探究
例1（1）的标准方程为.（2） 则直线的方程为.（3）证明略.
【对点演练1】（1）椭圆的方程为.（2）存在定点，使得恒成立.
例2（1）椭圆的方程为. （2）证明略.
【对点演练2】（1）椭圆的方程为.（2）证明略，该定值为.
例3（1）的方程为.（2）证明略.【对点演练3】（1）的离心率为.（2）证明略.
教师备用习题
例1（1）椭圆的方程为．（2）证明略.
例2（1）的方程为.（2）证明略.
例3（1） 椭圆的方程为.（2） 直线过定点.
例4（1）.（2）证明略. （3）证明略.
夯实基础
1.（1）椭圆的方程为.（2）证明略.
2.（1）抛物线的方程为.（2）证明略.
3.（1）椭圆的方程为.（2） 的面积是. （3）证明略.
综合提升
4.（1）双曲线的方程为.（2）.

展开更多......

收起↑