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素养导向 解题指引——圆锥曲线
例 [2025·全国一卷］已知椭圆 的离心率为
，下顶点为,右顶点为， .
（1）求 的标准方程.
（2）已知动点不在轴上，点在射线 上，且满足
.
求的坐标（用, 表示）；
设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线 的斜
率的3倍，求 的最大值.
［思路分析］
（1）根据题意列出,,的关系式,解方程求出,, ,即可得到椭圆的
标准方程；
（2）设 ,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出
或者利用数乘向量求出；
根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去与 轴相交的两点），
再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出.
解：
［得分秘籍］
高考数学中圆锥曲线的得分关键在于对基础知识的掌握、运算能力
的培养以及数学思想方法的运用.我们要①注重圆锥曲线的定义、标
准方程、几何性质等基础知识，理解每个概念的内涵和外延，能够
熟练运用相关公式进行计算；②圆锥曲线问题往往涉及大量的代数
运算，如联立方程、化简求值等，要加强运算能力的培养，掌握正
确的运算方法和技巧，提高运算的准确性和速度；③注重数学思想
方法的渗透，数学思想方法是数学的灵魂，要注重数形结合、
函数与方程、分类讨论等数学思想方法的渗透；④加强综合应用能
力的训练：圆锥曲线问题常常与向量、直线方程等知识相结合，
具有较强的综合性.所以我们需要能够将不同的知识板块进行整合，
灵活运用所学知识解决实际问题.我们可以通过模拟考试、综合练习
等方式，提高综合应用能力和应试能力.

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