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第53讲　统计图表、用样本估计总体
【备选理由】 例1补充列表中的样本数字特征分析;例2补充样本数字特征的应用.
1 [配合探究点一、二使用] (1)(多选题)某社区通过公益讲座来普及社区居民用火、用电、用气安全知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在听讲座前和听讲座后各回答一份用火、用电、用气安全知识问卷,这10位社区居民在听讲座前和听讲座后问卷答题的正确率如下表:
居民 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听讲座前 的正确率 65% 60% 60% 65% 70% 75% 90% 85% 80% 95%
听讲座后 的正确率 90% 85% 80% 75% 80% 90% 100% 95% 85% 100%
下列说法正确的是 ( AC )
A.听讲座后问卷答题的正确率的中位数为87.5%
B.听讲座后问卷答题的正确率的极差大于听讲座前问卷答题的正确率的极差
C.听讲座后问卷答题的正确率的平均数大于听讲座前问卷答题的正确率的平均数
D.听讲座后问卷答题的正确率的标准差大于听讲座前问卷答题的正确率的标准差
(2)(多选题)[2025·江西南昌模拟] 现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛,各进行了10次射击,射击成绩(单位:环)如下表所示:
第n次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9
乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10
依据射击成绩,下列说法中正确的是 ( CD )
A.甲射击成绩的平均数高于乙射击成绩的平均数
B.预计对手平均成绩较差,稳定发挥水平就能获得冠军,则选择乙参加比赛
C.预计对手平均成绩9.2环,则选择乙参加比赛
D.预计对手平均成绩8.8环,则选择甲参加比赛
[解析] (1)对于A,听讲座后问卷答题的正确率按从小到大的顺序排列为:75%,80%,80%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,故听讲座后问卷答题的正确率的中位数为=87.5%,A正确.对于B,听讲座后问卷答题的正确率的极差为25%,听讲座前问卷答题的正确率的极差为35%,B错误.对于C,每位居民听讲座后问卷答题的正确率都有提升,故听讲座后问卷答题的正确率的平均数大于听讲座前问卷答题的正确率的平均数,C正确.对于D,听讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以听讲座前问卷答题的正确率的标准差大于听讲座后问卷答题的正确率的标准差,D错误.故选AC.
(2)对于A,甲射击成绩的平均数为==8.5,乙射击成绩的平均数为==8.6,故A错误;对于B,甲射击成绩的方差为=
=0.85,乙射击成绩的方差为=
=1.64,<,故B错误;对于C,甲射击一次大于9.2环的概率为,乙射击一次大于9.2环的概率为=,故C正确;对于D,甲射击一次大于8.8环的概率为=,乙射击一次大于8.8环的概率为=,故D正确.故选CD.
2 [配合探究点二使用] (1)[2025·山东青岛调研] 气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):
甲地:5个数据的中位数为12,极差为3;
乙地:5个数据的平均数为11,众数为12;
丙地:5个数据的平均数为12,中位数为12;
丁地:5个数据的平均数为11,方差小于1.
则根据上面数据,肯定符合气象意义上进入春季的地区是 ( D )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.甲地 B.乙地
C.丙地 D.丁地
(2)甲、乙、丙、丁四名同学分别记录了5个正整数数据,根据下面四名同学的统计结果,可以判断出所有数据一定都不小于20的同学的人数是 ( C )
甲同学:中位数为22,众数为20;
乙同学:中位数为25,平均数为22;
丙同学:第40百分位数为22,极差为2;
丁同学:有一个数据为30,平均数为24,方差为10.8.
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] (1)设甲地5天的日平均气温从低到高依次为a,b,12,c,d,因为极差为3,所以d-a=3,不妨取a=9,b=c=d=12,此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况,故甲地不一定符合气象意义上进入春季的标志;设乙地5天的日平均气温从低到高依次为a,b,12,12,d,其中a,b,d互不相等,因为5个数据的平均数为11,所以a+b+12+12+d=11×5=55,得a+b+d=31,不妨取a=8,b=11,d=12,此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况,故乙地不一定符合气象意义上进入春季的标志;设丙地5天的日平均气温从低到高依次为a,b,12,c,d,由5个数据的平均数为12,得a+b+12+c+d=12×5=60,得a+b+c+d=48,不妨取a=2,b=10,c=13,d=23,此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况,故丙地不一定符合气象意义上进入春季的标志;设丁地5天的日平均气温依次为x1,x2,x3,x4,x5,因为5个数据的平均数为11,所以x1+x2+x3+x4+x5=55,若5个数据的方差s2小于1,则s2=×[++++]<1,则++++<5,因为xi(i=1,2,3,4,5)为正整数,且(8-11)2=9>5,(14-11)2=9>5,所以8(2)甲同学的5个数据的中位数为22,众数为20,则数据中必有20,20,22,余下两个数据都大于22,且不相等,所有数据一定都不小于20;乙同学的5个数据的中位数为25,平均数为22,当5个数据为17,18,25,25,25时,符合题意,但有小于20的数,不满足所有数据一定都不小于20;丙同学的5个数据的第40百分位数为22,极差为2,则5个数据按从小到大的顺序排列后第二和第三个数只可能是22,22或21,23,由极差为2知,所有数据一定都不小于20;丁同学的5个数据中有一个数据为30,平均数为24,设其余4个数据依次为x1,x2,x3,x4,则方差s2=×[36++++]=7.2+×[+++],假设x1,x2,x3,x4中有小于20的数,则s2≥7.2+5=12.2>10.8,不符合题意,假设不成立,因此x1,x2,x3,x4均不小于20,所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁3名同学.故选C.(共110张PPT)
第53讲 统计图表、用样本估计总体
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.能根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描
述,体会合理使用统计图表的重要性.
2.能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）,理
解集中趋势参数的统计含义.
3.能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解
离散程度参数的统计含义.
4.能用样本估计总体的取值规律.
5.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
◆ 知识聚焦 ◆
1.数据的可视化描述
（1）各类统计图的特点
类型 作用
频率分布直方图 主要以面积的形式描述数据落在各个小组的频率
的大小，可以估计总体数据的分布趋势
扇形图 主要用于直观描述各类数据占总数的比例
条形图 主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和
频率，尤其是离散型的数据
折线图 主要用于描述数据随时间的变化趋势
（2）作频率分布直方图的步骤
①求极差（即一组数据中________与________的差）;
②决定______与______;
③将数据______;
④列____________;
⑤画________________.
最大值
最小值
组距
组数
分组
频率分布表
频率分布直方图
2.数据的数字特征
（1）平均数：如果给定的一组数是,, , ,则这组数的平均数
为___________________，简记为 .
（2）中位数：把一组数据按________________________的顺序排列,
处在______位置的一个数据（或两个数据的平均数）.
（3）众数：一组数据中,出现次数______的数据.
从小到大（或从大到小）
中间
最多
（4）众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样 本数据中更多的信息，对样本中 的________更加敏感 任何一个数据的改变都
会引起________的改变.
数据越“离群”，对
_________的影响越大
中位数 不受少数几个______数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响 对________不敏感
极端值
平均数
平均数
极端
极端值
名称 优点 缺点
众数 体现了样本数据的最大________ 众数只能传递数据中很
少的一部分信息，对
________不敏感
续表
集中点
极端值
（5）百分位数
①定义：一般地,一组数据的第 百分位数是这样一个值,它使得这组
数据中至少有的数据____________这个值,且至少有
的数据____________这个值.
小于或等于
大于或等于
②计算一组个数据的第 百分位数的步骤:
第1步,按__________排列原始数据.
第2步,计算 ________.
第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第 百分位数为第__项
数据;若是整数,则第百分位数为第项与第 项数据的________.
从小到大
平均数
③四分位数：第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数.
其中第25百分位数也称为______________或____________等,第75百
分位数也称为第三四分位数或____________等.
第一四分位数
下四分位数
上四分位数
（6）方差和标准差
如果,, ,的平均数为 ,则其方差
，标准差 .
注：方差越大,说明数据的离散程度或波动幅度越大,反之数据的离散
程度或波动幅度越小.其单位是原始数据单位的平方.
常用结论
1.若数据,, ,的平均数为,方差为,则数据
的平均数,方差为.
2.众数、中位数（百分位数）、平均数与频率分布直方图的关系:
（1）众数:最高的小矩形底边中点的横坐标.
（2）中位数:从左侧开始满足小矩形面积和为0.5的横坐标的值;根据
百分位数的定义，求百分位数同样转化为从左侧求小矩形的面积和
满足的条件；
（3）平均数:每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率的积的和.
3.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据
分布的形态有关.
形状 关系
对称 平均数与中位数差不多
右边“拖尾” 平均数大于中位数
左边“拖尾” 平均数小于中位数
平均数总是在“长尾巴”那边 4.频率分布直方图的性质:
（1）纵轴表示 ；
（2）小长方形的面积 频率；
（3）各小长方形的面积的总和等于1；
（4）样本量 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( )
×
[解析] 平均数指的是这组数据的平均水平，中位数指的是这组数据
的中间水平，它们之间没有必然联系，所以该说法错误.
（2）一组数据的平均数、中位数、百分位数、众数都不是原数据的
数.( )
×
[解析] 一组数据的众数一定是原数据的数，所以该说法错误.
（3）已知一组数据的频率分布直方图如图所
示，则中位数和众数都是65.( )
√
[解析] 因为最高的矩形底边中点的横坐标为
65，所以众数为65.
因为 ,
所以中位数位于内.
设中位数为，则 ，解得 ，
所以中位数为65，所以该说法正确.
题组二 教材改编
1.若数据1，2，2，3，4，5，6，6，7，8的中位数为， 分位数
为，则____， ____.
4.5
5.5
[解析] 由题意得，中位数.由，得 分
位数 .
2.如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，
则数据在区间 上的频数是____.
70
[解析] 由频率分布直方图得，数据在区间 上
的频率为 ，
样本容量为100， 数据在区间 上的频数
为 .
3.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人成绩的平均
数和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 8.5 8.8 8.8 8
方差 3.5 3.5 2.1 8.5
则参加运动会的最佳人选应为____.
丙
[解析] 从表格中可以看出乙和丙成绩的平均数较高，故平均成绩最好，
又乙、丙两人之间，丙的方差较小，所以丙发挥得比乙稳定，
故最佳人选应为丙.
探究点一 统计图表及其应用
例1（1）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募志愿者．现从
所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年
人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图①所示，各年龄段志愿者
的性别百分比等高堆积条形图如图②所示，则下列关于样本数据的
分析正确的是( )
A.老年男性志愿者人数为90
B.老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
C.青年女性志愿者人数为72
D.中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
√
[解析] 由题图①可知300名志愿者中，青年人有
（人），中年人有 （人），老年人有
（人）.
对于A,由题图②可知样本中老年男性志愿者人数为 ，
故A错误；
对于B,由题图②可知样本中老年女性志愿者人数为 ，
中年女性志愿者人数为 ，故B错误；
对于C，样本中青年女性志愿者有 （人），故C正确；
对于D，样本中中年男性志愿者人数为，青年男性志
愿者人数为 ，故D错误.故选C.
（2）[2026· 广东江门期中]某保险公司为客户定制了5个险种：甲，
一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，
重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5
个险种参保客户进行抽样调查，得到如图①②③所示的统计图表，
则下列说法中一定错误的是( )
A.丁险种参保人数超过五成
B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C. 周岁人群参保的总费用最少
D.人均参保费用不超过5000元
√
[解析] 对于A，由题图①可知丁险种参保比例为
，超过五成，故A中说法一定正确；
对于B，由题图②可知，41岁以上参保人数占比为 ，
故B中说法一定错误；
对于C，由题图②与图③可知周岁人群参保人数占比为 ，
人均参保费用（单位：元）在 内，而54周岁及以上人群
参保比例虽然为，但人均参保费用为6000元，
所以 周岁人群参保的总费用最少，故C中说法一定正确；
对于D，由题图②与图③可知，人均参保费用约为
（元），不超过
5000元，故D中说法一定正确.故选B.
总结反思
扇形图、条形图、折线图的关注点
1.扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
2.条形图的长度表示各类别频数的多少，宽度是固定的类别，与频率
分布直方图不同.
3.折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，
因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的变化趋势.
【对点演练1】（1）如图是某年中国的10
个城市地铁运营里程（单位：公里）及运
营线路条数的统计图，则下列说法正确的
是( )
A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516
C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12
√
[解析] 对于A，这10个城市中北京的地铁运营
线路条数最多，而运营里程最长的是上海，故
A错误；
对于B，这10个城市地铁运营里程的中位数是 ，故B
错误；
对于C，这10个城市地铁运营线路条数的平均数为
，故C正确；
对于D，这10个城市地铁运营线路条数的极差
是 ，故D错误.故选C.
（2）（多选题）[2026·湖北随州期末]某中学组织三个年级的学生进
行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生人数分布的扇形图
（如图①）和前200名学生中高一年级学生排名分布的频率条形图
（如图②），则下列说法正确的是( )
A.成绩在前200名的学生中，高一年级学生人数比高二年级学生人数
多30
B.成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数不超过一半
C.成绩在第 名的学生中，高三年级学生最多有32人
D.成绩在第 名的学生中，高二年级学生人数比高一年级学
生人数多
√
√
√
[解析] 由题图①知，成绩在前200名的学生中，高一年级学生人数比
高二年级学生人数多 ，A正确；
由题图②知在前200名学生中高一年级学生名次在前100名和后100名
的人数相等，因此成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数
为，B正确；
成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数为
，故成绩在第 名的学生中，高三年级学生最多有32人，
C正确；
成绩在第 名的学生中，高一年级学生人数为
，故成绩在第 名的学生中，高二年级学生最多有23人，
因此成绩在第 名的学生中，高二年级学生人数比高一年级学
生人数少，D错误.故选 .
探究点二 样本的数字特征的求解与应用
例2（1）数据40，40，20，18，16，16，14，12的下四分位数为
( )
A.13 B.13.5 C.15 D.15.5
[解析] 将这组数据按从小到大的顺序排列为12，14，16，16，18，
20，40，40，
因为 ，所以这组数据的下四分位数为 ，故选C.
√
（2）[2026·福建龙岩质检]某学校为了调查高一年级学生期中物理考试成绩
的情况，随机选取了100名学生的物理成绩，绘制了如图所示的频率分布直
方图，则下列说法正确的是( )
A.这100名学生物理成绩平均数的估计值为70（注：同一
组数据用该组区间的中点值作为代表）
B.这100名学生物理成绩的第60百分位数的估计值为71
C.这100名学生物理成绩众数的估计值为75
D.随机选取的这100名学生中只有25名学生物
理成绩不低于80分
√
[解析] 对于A，估计这100名学生物理成绩的平均数为
，所以A错误；
对于B，因为前三个矩形的面积为 ，
前四个矩形的面积为 ，
所以这100名学生物理成绩的第60百分位数位于内，
设为，则 ，所以B错误；
对于C，由题图可估计这100名学生物理成绩的众数
为 ，所以C正确；
对于D，由题图可得这100名学生物理成绩位于
内的频率为 ，
则 ，
所以随机选取的这100名学生中只有30名学生物理成绩不低于80分，
所以D错误.故选C.
总结反思
通过均值、中位数、众数等数字特征能反应数据的集中趋势，而方
差、标准差、极差等数字特征则反应了数据的离散程度，通过对数
字特征的分析，可以初步判断数据的集中趋势和离散程度.
【对点演练2】（1）[2026·山东青岛质检]某校为了解学生每个月在
图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，
并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容
量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．若将两个样
本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的( )
A.平均数为5.5 B.平均数为6.5 C.方差为12.5 D.方差为13.5
√
[解析] 设图书管理员甲抽取的数据的平均数和方差分别为， ；
图书管理员乙抽取的数据的平均数和方差分别为， ，
则新样本数据的平均数为 ，新样本数据的方差为
.故选D.
（2）（多选题）[2026·山东潍坊调研]如图是某市
2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）
的折线图，则( )
A.1月至7月全社会用电量逐月增加
B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月全社会用电量的方差大
√
√
[解析] 对于A，由题图知，3月到4月用电量减
少，故A错误；
对于B，用电量的极差为 ，
故B正确；
对于C，数据按从小到大的顺序排列为,,, ,,,
，
又 ，所以这组数据的第75百分位数是第六个数据 ，
故C错误；
对于D，1月至3月用电量的极差为
，
4月至6月用电量的极差为 ，
显然 ，
故对应的1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月全社会用电量的
方差大，故D正确.故选 .
探究点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3 某中学全体学生参加了一场知识竞赛，随机抽取了2000名学生的成绩
进行统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，
绘制出如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A.在被抽取的学生中，成绩在区间 内的学
生有850人
B.直方图中 的值为0.025
C.估计全体学生成绩的 分位数约为95
D.估计全体学生成绩的中位数为85
√
[解析] 由，可得
，B错误；
在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有
（人），A错误；
由题图及样本估计总体可知，全体学生成绩的分位数在区间
内，设为 ，则，可得 ，C正确；
由题图及样本估计总体可知，全体学生成绩的中位数在区间内，
设为 ，则，可得 ，D错误. 故选C.
总结反思
用样本的数字特征估计总体的数字特征常常是以频率分布直方图等
为工具,应用平均数、方差、中位数等进行分析,解决问题时要注意正
确建立统计模型,准确计算各个数字特征.
【对点演练3】 [2026·福建漳州期末]为了帮助高一年级学生更好地
了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场
物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将
数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，
用样本估计总体，则下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图中的 的值为0.15
B.估计该年级物理成绩的众数为80分
（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
C.估计该年级物理成绩的平均数为75分
D.若物理成绩排名前 的学生适合选报物理，则适合选报物理的
学生此次成绩应不低于62分
√
[解析] 对于A，由题可知，
，解得 ，故A
错误；
对于B，由题图及样本估计总体可知，估计该年级
物理成绩的众数是 75，故B错误；
对于C，由题图及样本估计总体可知，估计该年级物理成绩的平均数
是
，故C错误；
对于D，由题得适合选报物理的学生此次的成绩即
为该组数据的 分位数，
因为，，
故该组数据的 分位数位于内，
设其为 ，则，解得 ，故
D正确.故选D.
【备选理由】 例1补充列表中的样本数字特征分析；
例1 ［配合探究点一、二使用］（1）（多选题）某社区通过公益
讲座来普及社区居民用火、用电、用气安全知识．为了解讲座效果，
随机抽取10位社区居民，让他们在听讲座前和听讲座后各回答一份
用火、用电、用气安全知识问卷，这10位社区居民在听讲座前和听
讲座后问卷答题的正确率如下表：
居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听讲座前的正确率
听讲座后的正确率
下列说法正确的是( )
A.听讲座后问卷答题的正确率的中位数为
B.听讲座后问卷答题的正确率的极差大于听讲座前问卷答题的正确率的极差
C.听讲座后问卷答题的正确率的平均数大于听讲座前问卷答题的正确率的
平均数
D.听讲座后问卷答题的正确率的标准差大于听讲座前问卷答题的正确率的
标准差
√
√
[解析] 对于A，听讲座后问卷答题的正确率按从小到大的顺序排列
为：，，，，，，，， ，
，故听讲座后问卷答题的正确率的中位数为 ，
A正确.
对于B，听讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，听讲座前问卷答
题的正确率的极差为 ，B错误.
居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听讲座前的正确率
听讲座后的正确率
对于C，每位居民听讲座后问卷答题的正确率都有提升，故听讲座后
问卷答题的正确率的平均数大于听讲座前问卷答题的正确率的平均数，
C正确.
对于D，听讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以听讲座前问卷答
题的正确率的标准差大于听讲座后问卷答题的正确率的标准差，D错
误.故选AC.
居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
听讲座前的正确率
听讲座后的正确率
（2）（多选题）[2025·江西南昌模拟]现从甲、乙两名射击运动员中
选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩
（单位：环）如下表所示：
第 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9
乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10
依据射击成绩，下列说法中正确的是( )
A.甲射击成绩的平均数高于乙射击成绩的平均数
B.预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙
参加比赛
C.预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛
D.预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛
√
√
第 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9
乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10
[解析] 对于A，甲射击成绩的平均数为 ，
乙射击成绩的平均数为 ，故A错误；
对于B，甲射击成绩的方差为
，乙射击成绩的方差为
， ，故B错误；
第 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9
乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10
对于C，甲射击一次大于9.2环的概率为 ，乙射击一次大于9.2环的
概率为 ，故C正确；
对于D，甲射击一次大于8.8环的概率为，乙射击一次大于8.8
环的概率为 ，故D正确.故选CD.
第 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9
乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10
【备选理由】 例2补充样本数字特征的应用.
例2 ［配合探究点二使用］ （1）［[2025·山东青岛调研]］气象意义上进
入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏
度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据
都是正整数） 甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；乙地：5个数据的
平均数为11，众数为12；丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；丁地：
5个数据的平均数为11，方差小于1.则根据上面数据，肯定符合气象意义上
进入春季的地区是( )
A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地
√
[解析] 设甲地5天的日平均气温从低到高依次为，，12，， ，
因为极差为3，所以，不妨取， ，此
时存在日平均气温低于10摄氏度的情况，故甲地不一定符合气象意
义上进入春季的标志；
设乙地5天的日平均气温从低到高依次为， ，12，12，，其中，
， 互不相等，
因为5个数据的平均数为11，所以，
得 ，不妨取，， ，此时存在日平均
气温低于10摄氏度的情况，
故乙地不一定符合气象意义上进入春季的标志；
设丙地5天的日平均气温从低到高依次为，，12，， ，
由5个数据的平均数为12，得，
得 ，不妨取，，， ，
此时存在日平均气温低于10摄氏度的情况，故丙地不一定符合气象
意义上进入春季的标志；
设丁地5天的日平均气温依次为，，，， ，因为5个数据
的平均数为11，所以，
若5个数据的方差 小于1，则
，
则 ，
因为为正整数，且 ，
，所以 ，
当时，，，， 任何一个都不可能为9，10，12，13，
若，则不满足 ，
所以 ，故丁地符合气象意义上进入春季
的标志，故选D.
（2）甲、乙、丙、丁四名同学分别记录了5个正整数数据，根据下
面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同
学的人数是( )
甲同学：中位数为22，众数为20；
乙同学：中位数为25，平均数为22；
丙同学：第40百分位数为22，极差为2；
丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8.
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，
20，22，余下两个数据都大于22，且不相等，所有数据一定都不小
于20；
乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，
25，25，25时，符合题意，但有小于20的数，不满足所有数据一定
都不小于20；
丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据按从小
到大的顺序排列后第二和第三个数只可能是22，22或21，23，
由极差为2知，所有数据一定都不小于20；
丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为，，，，
则方差 ，
假设，，，中有小于20的数，则 ，
不符合题意，假设不成立，因此，，， 均不小于20，
所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁3名同学.故选C.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.下表为某平台向公众征集的某部热门电影的评分结果，根据表格信
息我们可以估计其得分的 分位数约为( )
评分/分 1 2 3 4 5
人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 48.0
A.3.98 B.4.03 C.5 D.4.38
√
[解析] 因为 ，
，
所以 分位数为5.故选C.
评分/分 1 2 3 4 5
人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 48.0
2.某市移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积
分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目
中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只
需要知道这19位同学的预赛积分的( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.极差
√
[解析] 所得积分按从大到小的顺序排列后，因为这19位同学的积分
的中位数是这组数据的第10个数据，
所以知道中位数即可判断是否在前10名.故选C.
3.小李是一名健身运动爱好者，如图所示
的统计图记录了他过去一个月（30天）每
天花在健身运动上的时间（单位：分钟），
记这组数据的众数为，中位数为 ，平
均数为 ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可得，众数 ，处在
中间位置的两个数据为50，60，
所以中位数 ，
平均数
，
所以 .故选D.
4.[2026·贵州六校联盟联考]某校的数学教师共有20人，他们的年龄
分布如表所示：
年龄/岁 62 50 43 32 30 28 25
人数 2 3 3 5 2 4 1
则下列说法正确的是( )
A.29是这20人年龄的上四分位数 B.29是这20人年龄的下四分位数
C.31是这20人年龄的中位数 D.这20人年龄的众数是50
√
[解析] 对于A，上四分位数即分位数，因为 ，所
以这20人年龄的上四分位数为按从小到大的顺序排列后的第15个数
和第16个数的平均数，为 ，故A错误；
对于B，下四分位数即分位数，因为 ，所以这20人
年龄的下四分位数为按从小到大的顺序排列后的第5个数和第6个数
的平均数，为，故B正确；
年龄/岁 62 50 43 32 30 28 25
人数 2 3 3 5 2 4 1
对于C，这20人年龄的中位数是 ，故C错误；
对于D，这20人年龄的众数是32，故D错误.故选B.
年龄/岁 62 50 43 32 30 28 25
人数 2 3 3 5 2 4 1
5.随着春节申遗成功，世界对中国文化的理
解和认同进一步加深，某学校为了解学生
对春节习俗的认知情况，随机抽取了100名
学生进行了测试，将他们的成绩适当分组
后，画出的频率分布直方图如图所示，则
下列数据一定不位于区间 内的是（注：每组数据用该区间的中
点值代表） ( )
A.众数 B.第70百分位数 C.中位数 D.平均数
√
[解析] 对于A，由题图知，这组数据的众数为
，A不符合题意；
对于B，C，易知
，
设这组数据的中位数、第70百分位数分别为, ，
因为， ，
，
所以 , ，解得, ，B符合题意，C不符合题意；对于D，设这组数据的平均数为，
则 ，D不符合题意.故选B.
6.[2025· 广东湛江模拟]一组数据1，3，7，9， 的中位数不
小于平均数，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为这组数据的平均数为 ，所以这组
数据的中位数只可能是或7.若这组数据的中位数是 ，
则，即 ；
若这组数据的中位数是7，则，即.
综上所述，的取值范围为 .
√
7.[2025·山东济南模拟]一组样本数据中1，2，3，4出现的频率分别
为,,,，且.设这组数据的平均数为 ，
中位数为.下列条件一定能使得 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：设样本数据的总个数为, .
对于A，, ，A不符合题意；
对于B，, ，B不符合题意；
对于C，, ，C符合题意；
对于D，, ，D不符合题意.
故选C.
方法二：由图可知，当频率分布直方图呈现“右拖尾”时平均数大于
中位数，只有选项C中给出频率呈现“右拖尾”，故选C.
8.[2026·江苏南通期末]已知互不相等的数据,,,,, 的平均数
为，方差为，数据,,,,的方差为，则, 的大小关系
为( )
A. B. C. D.无法判断
√
[解析] 由 ，得
，所以，，，， 的平均数
，且,,,,, 互不相等.
易知
，
，
所以 .故选C.
9.[2026·浙江宁波期末] 已知数据,,, , 的平均数为3，方差
为1，则数据，，， ， 的平均数与
方差的和为____.
19
[解析] 方法一：设数据，，， ，的平均数为 ，方差为
，
设，的平均数为，方差为，
则
，
，
所以 .
方法二：设数据,,， ，的平均数为，方差为 ,
设数据,,， ，的平均数为 ，
方差为,
则 ，
.
故平均数与方差的和为19.
10.某社区组织了以“奔向幸福， 毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，
初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按
团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优
秀，下表是两队各队员的比赛成绩.
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲队 103 102 98 100 97 500
乙队 97 99 100 96 108 500
根据以上信息，回答下列问题：
（1）分别计算甲、乙两队的优秀率.
解：甲队的优秀率为 ，
乙队的优秀率为 .
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲队 103 102 98 100 97 500
乙队 97 99 100 96 108 500
（2）分别计算甲、乙两队比赛数据的中位数.
解：将甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为97，98，100，
102，103，所以甲队比赛数据的中位数为100；
将乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为96，97，99，100，
108，所以乙队比赛数据的中位数为99.
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲队 103 102 98 100 97 500
乙队 97 99 100 96 108 500
（3）分别计算甲、乙两队比赛数据的方差.
解：甲、乙两队比赛数据的平均数均为 ，
则
.
.
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲队 103 102 98 100 97 500
乙队 97 99 100 96 108 500
（4）根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？请简述理由.
解：综合评定甲队的成绩好，理由如下：
因为甲队的优秀率比乙队的优秀率高；甲队的中位数比乙队的中位
数大；
甲队的方差比乙队的方差小，比较稳定，故综合评定甲队的成绩比
较好.
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲队 103 102 98 100 97 500
乙队 97 99 100 96 108 500
◆ 综合提升 ◆
11.一组数据,,, ,满足 ，若去掉
, 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比( )
A.极差变大 B.平均数变大
C.方差变小 D.第25百分位数变小
√
[解析] 由于，故 ，
， ，， .
对于A，原数据的极差为，去掉,后的极差为
，新数据与原数据相比极差变小，故A错误；
对于B，原数据的平均数为，去掉
, 后的平均数为 ，新数据与原数据
相比平均数不变，故B错误；
对于C，原数据的方差为
，
去掉, 后的方差为
，新数据与原数据相比方差变小，故C正确；
对于D， ，将所有数据按从小到大的顺序排列，第3
个数为第25百分位数，即 ，去掉和后， ，
将所有数据按从小到大的顺序排列，第2个数和第3个数的平均数为第
25百分位数，即 ，
由于，故去掉, 后的数据的第25百分位数变大，
故D错误. 故选C.
12.已知数据,, ,的平均数为，数据,, , 的平均数为
，若数据,, ,与数据,, ,混合后的平均数为 ，则数
据,, ,与数据,, , 混合后的平均数为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设数据,, ,的平均数为，则 ，整理得
，
故数据,, ,与数据,, , 混合后的平均数为
.故选A.
13.[2026·湖南长沙质检] 为完善学校体育教学
模式，提高学生体育与健康素养，现对某校
3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随
机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调
查结果绘制的学生平均每天运动时间（单位：分钟）的频率分布
直方图，将平均每天运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”.
解：由频率分布直方图可知，
，
解得 .
故估计该校学生中“运动爱好者”的人数为
.
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计该
校学生中“运动爱好者”的人数；
（2）在抽取的100名学生中，随机选取了10
名学生的平均每天运动时间（单位：分钟）
,,, , ，已知这10个数的平均数
，方差 ，若剔除其中的20和12
两个数，求剩余8个数的平均数与方差.
解： ，剔除其中的20和12两个数，
剩余8个数的平均数 .
因为
，
所以 ，
故剩余8个数的方差为 .
知识聚焦
1.最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图
2.（1） （2）从小到大（或从大到小） 中间 （3）最
多 （4）极端值 平均数 平均数 极端 极端值 集中点 极端值 （5）①小于
或等于 大于或等于 ②从小到大 平均数 ③第一四分位数 下四分
位数 上四分位数
课前演练
（1）× （2）× （3）√ 1.4.5 5.5 2.70 3.丙
课堂考点探究
例1（1）C （2）B 【对点演练1】（1）C （2）ABC 例2（1）C（2）C
【对点演练2】（1）D （2）BD 例3C 【对点演练3】D
教师备用习题
例1（1）AC （2）CD 例2（1）D （2）C
夯实基础
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.C 9.19
10.（1）甲队的优秀率为，乙队的优秀率为. （2）甲队比赛数据的中位数为100；乙队比赛数据的中位数为99.（3）. . （4）综合评定甲队的成绩好，理由如下：因为甲队的优秀率比乙队的优秀率高；甲队的中位数比乙队的中位数大；甲队的方差比乙队的方差小，比较稳定，故综合评定甲队的成绩比较好.
综合提升
11.C 12.A 13.（1）. 估计该校学生中“运动爱好者”的人数为.
（2）剩余8个数的平均数为.剩余8个数的方差为.

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