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第54讲 成对数据的统计分析
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向
量夹角的关系,会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性.
2.了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小
二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会用一元
线性回归模型进行预测.
3.理解列联表的统计意义,了解 列联表独立性检验及其应用.
◆ 知识聚焦 ◆
一、经验回归分析
1.两个变量相关性的判断
（1）相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个
去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
（2）正相关与负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现
______的趋势,则称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一
个变量的相应值呈现______的趋势,则称这两个变量负相关.
增加
减小
（3）线性相关关系：两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点
落在__________附近,则称这两个变量线性相关.
一条直线
（4）样本相关系数
计算：
.
样本相关系数 的性质
①当时,表明成对样本数据________;当 时,表明成对样本数
据________.
②当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越____;当 越接近
0时,成对样本数据的线性相关程度越____.
正相关
负相关
强
弱
2.一元线性回归模型
（1）经验回归方程：利用最小二乘法求得 ,其中
（2）评价回归模型的优劣：
利用残差平方和： ，残差平方和越____，拟合效果越好.
利用残差图：残差点分布在以______为对称轴的带状区域内，该
区域越____，拟合效果越好.
利用决定系数： ，决定系数越____，拟合效
果越好.
小
横轴
窄
大
二、独立性检验
1.分类变量,的 列联表
合计
合计
记,则随机变量 ,读作卡方.
2.独立性检验
（1）定义：利用随机变量____的取值推断两个分类变量和 是否
______的方法称为独立性检验.
（2）独立性检验的基本步骤
①提出零假设分类变量和 相互独立；
②列出分类变量和 的抽样数据列联表；
③利用公式计算随机变量 的值；
独立
④把计算得到的的值与小概率值 相应的临界值表中的临界值
比较.
当 时，就推断不成立，即认为与 不独立，此推断犯错
误的概率不超过 ;
当 时，没有充分证据推断不成立，可以认为 成立，即
认为与 独立.
常用结论
经验回归直线一定过点， ．
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.
( )
√
[解析] 根据相关关系的概念知正确.
（2）独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异.( )
√
[解析] 根据独立性检验的概念知正确.
（3）独立性检验与简单比较两个频率得到的结果是一致的.( )
×
[解析] 相对于简单比较两个频率得到的推断，用 独立性检验得到
的结果更理性、更全面，理论依据更充分.故不正确.
（4）由变量,的样本数据点集合，2， ， ，求得
的经验回归方程为，且 ，现发现两个数据点
和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线 的斜
率为，则去除数据点后的经验回归方程为 .( )
×
[解析] 设去除数据点前变量的样本平均数为,去除数据点后变量 ,
的样本平均数分别为,,经验回归方程为.
将 代入经验回归方程，得.去掉两个数据
点 和后，, ，
又因为去除数据点后的经验回归方程为，
所以 ，解得，
所以去除数据点后的经验回归方程为 .故不正确.
题组二 教材改编
1.在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中,通过对列联表的数据进
行处理,计算得到随机变量 ,则下面说法正确的是( )
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
A.因为随机变量,所以依据小概率值 的独立性检验，
认为“吸烟与患肺癌有关联”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001
B.因为随机变量,所以依据小概率值 的独立性检验，
认为“吸烟与患肺癌有关联”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001
C.因为随机变量,所以依据小概率值 的独立性检验，
认为“吸烟与患肺癌没有关联”,并且这个结论犯错误的概率不超过0.001
D.因为随机变量,所以依据小概率值 的独立性检验，
认为“吸烟与患肺癌没有关联”,并且这个结论犯错误的概率不低于0.001
√
[解析] 由题意知随机变量 ,
所以依据小概率值 的独立性检验，认为“吸烟与患肺癌有
关联”，这个结论犯错误的概率不超过 ，故选A.
2.根据变量和 的成对样本数据，由一元线
性回归模型 得到经验
回归模型 ，对应的残差如图所示，
则模型误差( )
A.满足一元线性回归模型的所有假设
B.只满足一元线性回归模型的 的假设
C.只满足一元线性回归模型的 的假设
D.不满足一元线性回归模型的， 的假设
√
[解析] 根据一元线性回归模型中对随机误差的
假定，残差应是均值为0，方差为 的随机变
量的观测值，
在残差图中显示应均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平
带状区域内.
而图中的残差与观测时间存在线性关系，说明均值不为0，残差
的方差不是一个常数，所以不满足一元线性回归模型的所有假设.
故选D.
3.以下是标号分别为①②③④的四幅散
点图，它们的样本相关系数分别为, ,
, ，那么样本相关系数的大小关系为
________________（按由小到大的顺序
排列）.
[解析] 根据散点图可知，图①③中的样
本数据正相关，图②④中的样本数据负
相关，,,, .
又图①②中的散点近似在一条直线上，
图①②中的样本数据的线性相关程度
比较强.
图③④中的散点比较分散，故图③④中的样本数据的线性相关程度
比较弱，
则与比较大，与比较小， .
4.某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关
系，在市场上收集到了一部分不同储藏年份的该酒品，并测定了其
芳香度（如下表）.
储藏年份 0 1 4 5 6 8
芳香度 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3
由最小二乘法得到经验回归方程 ，但不小心在检测
后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，则推断该数据为____.
6.1
[解析] 由表格数据知，设被污损的数据为，则 ，
，解得 ，即被污损的数据为6.1.
储藏年份 0 1 4 5 6 8
芳香度 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3
探究点一 成对数据的统计相关性
例1（1）[2026·四川崇州模拟]某市环保部门研究近十年空气质量数
据，得到以下结论：
结论一：浓度与机动车保有量的样本相关系数 ；
结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数
；
结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数 ．
下列说法正确的是( )
A.由结论一可知，机动车保有量的增加是 浓度升高的直接原因
B.由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联
C.结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度正相关，且线性相关性比
结论一更强
D.结论一中接近1，说明 浓度与机动车保有量存在极强的线
性相关关系
√
[解析] 由，可知 浓度与机动车保有量存在极强的线
性相关关系，不能说明机动车保有量的增加是 浓度升高的直接
原因，故A错误，D正确；
因为， ，所以工业能耗与近地面臭氧浓度正相关，
但线性相关性没有结论一的强，故C错误；
由 ，可知绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率负相关，相关性
不是很强，但不能说绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联，故B错
误.故选D.
（2）在如图所示的散点图中，六组数据 去掉
点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是( )
A.样本数据的两变量， 正相关
B.样本相关系数 的绝对值更接近于0
C.残差平方和变大
D.变量与变量 相关性变强
√
[解析] 由题图可知，样本数据的两变量, 负相关，
故A错误；
点 相对其他点，偏离直线较远，故去掉点后，
样本相关系数 的绝对值更接近于1，残差平方和
变小，变量与变量 相关性变强，
故B，C错误，D正确.故选D.
总结反思
对两个变量的相关关系的判断有两种常用方法:
1.根据散点图进行判断,这种方法具有很强的直观性,能够直接得出两
个变量是正相关还是负相关,拟合效果的好坏也可由散点图直接判断.
2.计算样本相关系数,样本相关系数能比较准确地反映两个变量的相
关程度,样本相关系数的绝对值越接近1,两个变量的相关程度就越强.
【对点演练1】（1）根据身高和体重的散点图
（如图所示），下列说法正确的是( )
A.身高越高，体重越重
B.身高越高，体重越轻
C.身高与体重正相关
D.身高与体重负相关
√
[解析] 由于身高比较高的人，其体重可能大，
也可能小，故A，B不正确；
由散点图知，身高和体重有明显的相关性，
且身高增加时，体重也呈现增加趋势，所以
身高与体重正相关，故C正确，D错误.故选C.
（2）已知表示变量与之间的样本相关系数，表示变量与 之
间的样本相关系数，且， ，则( )
A.变量与之间正相关，且与之间的线性相关程度强于与 之间
的线性相关程度
B.变量与之间负相关，且与之间的线性相关程度强于与 之间
的线性相关程度
C.变量与之间负相关，且与之间的线性相关程度弱于与 之间
的线性相关程度
D.变量与之间正相关，且与之间的线性相关程度弱于与 之间
的线性相关程度
√
[解析] 因为，，所以变量与 之间正相关，变
量与之间负相关.
因为 越接近1，两个变量的线性相关程度越强，
所以与之间的线性相关程度弱于与 之间的线性相关程度.故选C.
探究点二 一元回归模型
题型1 线性回归模型
例2（1）已知变量和满足经验回归方程 ，且
变量和 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是
( )
5 6 9 12
8 7 2.4
A. B.当时，
C.变量和负相关 D.该经验回归直线必过点
√
[解析] 对于A，由表可得， ，
因为经验回归直线必过点 ，
所以，解得 ，故A中说法正确；
对于B，当时， ，故B中说法
正确；
5 6 9 12
8 7 2.4
对于C，因为经验回归方程 中，斜率
，所以变量和 负相关，故C中说法正确；
对于D，该经验回归直线必过点 ，故D中说法错误.故选D.
5 6 9 12
8 7 2.4
（2）将收集到的6组数据对
制作成如图所示的散点图（点旁数据为该点坐标），
由最小二乘法计算得经验回归直线的方程为
，样本相关系数为，决定系数为.
残差分析确定点 对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的5组数据
计算得经验回归直线的方程为 ，样本
相关系数为，决定系数为 .则以下结论中不正确的是( )
A., B.,
C. D.
√
[解析] 从散点图可以看出，两个变量正相关，
故A中结论正确；
易知经验回归直线的斜率是正数，且的斜率
大于 的斜率，故B中结论正确，C中结论正确；
从散点图可以看出，去掉点后，两变量的线性相关程度更强，拟合
的效果更好， 值越大，所以 ，故D中结论错误.故选D.
（3）[2026·安徽蚌埠调研] 下表统计了某部纪录片上映前15天累计
票房到达（单位：亿元）与所用时间 （单位：天）的数据：
①利用表中的数据，计算样本相关系数结果精确到 ，并推断
两个变量的线性相关程度；
样本相关系数 ．
参考数据：,, , ．#1.1.6
累计票房 20 40 60 80 100
用时 4 7 9 10 15
解：由题意得 , ，
又,, ,
所以
,
所以两个变量的线性相关程度很强.
②求关于的经验回归方程系数精确到 ，并预测153天时的累
计票房，判断这种预测方法是否合理．
参考公式：经验回归方程，其中 ,
．
参考数据：,, ,
．#1.1.6
解：由题意得 ，
,
所以所求经验回归方程为 ，
令，得 ，
预测153天时的累计票房为1151.56亿元，远超过实际票房，故该预测
方法不合理.
题型2 非线性回归模型
例3（1）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市
场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年的云计算市场规模数
据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型 （其中为
自然对数的底数）拟合，设 ，得到数据统计表如下：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码 1 2 3 4 5
2 2.4 3 3.6 4
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码 1 2 3 4 5
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程 ，则2026年该科技公司云计算
市场规模的估计值为参考公式： ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知, ,
所以 ,
即经验回归方程为,
当时， ,
所以,即2026年该科技公司云计算市场规模 的估计值为
.故选C.
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码 1 2 3 4 5
2 2.4 3 3.6 4
（2）[2026·河南驻马店模拟] 已知相关变量 和
的散点图如图所示，拟用 ，
（其中 , , ,均为常数， 为自
然对数的底数）两个模型拟合，令 ,
，计算得如下数据：
20 66 770 200 14
460 4.20 3 125 000 0.308 21 500
（i）设和的样本相关系数为，和 的样本
相关系数为 ，请从样本相关系数的角度，选择一
个拟合效果更好的模型；
解：由题意得
，
，
因为 ，所以从样本相关系数的角度分析，
模型 的拟合效果更好.
（ii）根据的选择及表中数据，建立关于 的
经验回归方程．系数精确到
附：样本相关系数 ，
经验回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
解：先建立关于 的经验回归方程.
由，得，即 .
因为 ，
，
所以关于的经验回归方程为 ，
所以，则 .
总结反思
1.一元线性回归分析问题的解题步骤:
（1）求经验回归方程.
①根据散点图判断两变量是否线性相关（已知相关时不必再验证）.
②利用公式,求出参数 .
③利用经验回归直线过点求参数 .
（2）利用经验回归方程进行预测,把经验回归方程看作一次函数,求
函数值作为预测值.
2.非线性回归分析问题的解题方法与常见变换:
（1）解题方法：借助散点图，确定合适的非线性回归模型，再通过
变换，转化为求经验回归方程，最后还原.
（2）常见非线性回归方程的变换：
令 ；
令 ；
令 ；
（令 ）；
，其中
【对点演练2】（1）[2026·福建莆田质检]下列说法正确的是( )
A.经验回归直线必过点
B.当样本相关系数 时，两个变量负相关
C.甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和 ，则模型乙的拟
合效果更好
D.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则经验回归方程的预
报精确度越高
√
[解析] 选项A，经验回归直线必过点 ，所以选项A正确；
选项B，当样本相关系数 时，说明两个变量正相关，所以选项
B错误；
选项C，模型的决定系数 越大，说明残差平方和越小，拟合效果
越好,因为 ,所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误；
选项D，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预
报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此经验回归方程的预报
精确度就越差，所以选项D错误.故选A.
（2）（多选题）[2026·江苏南通质
检]为研究某种树的树高和胸径的
关系，某人随机测量了10棵该品种
的树，得到该品种树的胸径 单位：和树高单位： 的
数据，已知其中一组数据为 ，且
，求得经验回归方程
为 ，并绘制了如图所示的残差图，则下列说法正确的是
( )
A.由残差图可判定该品种树的树高
与胸径的关系符合上述经验回归模型
B.该品种树的平均树高约为
C.数据对应的残差为
D.删除一组数据 后，重新
求得的经验回归直线的斜率变小
√
√
√
[解析] 对于A，由残差图可知，残
差分布比较均匀，且集中在 轴附
近，所以由残差图可判定该品种树
的树高与胸径的关系符合上述经验回归模型，选项 A正确；
对于B，已知 ，则 ，将
代入经验回归方程 中，可得
，
所以该品种树的平均树高 约为 ，选项B正确；
对于C，当 时，
，
残差为 ，选项C正确；
对于D，删除数据后，因为38.4大于 ，且23.7小于38.4对应的预测值 ，
所以删除该点后，重新求得的经验回归直线的斜率变大，选项D错误.
故选 .
（3）[2026·河北邯郸模拟] 2016年至
2025年某果园每年的投资金额
（单位：万元）与年利润增量
（单位：万元）的散点图如图所示．由图中样本点的分布，可以认为样
本点集中在曲线的附近，令，则 ，且
， ，， .#5
①根据所给的统计量，求关于 的经
验回归方程；
解：由， ，
可得， ，
，
则 ，
所以，
因为 ，
所以关于 的经验回归方程为 .
②预测投资金额为20万元时的年利润增量．（结果保留两位小数）
附：在经验回归方程中，， .
参考数据：， ．
解：当 时，
，
故预测投资金额为20万元时的年利润增量为42.75万元.
探究点三 独立性检验
例4（1）根据分类变量与的观测数据，计算得到 ，依
据小概率值 的独立性检验，则( )
A.变量与 不独立
B.变量与 独立
C.变量与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D.变量与 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
[解析] 因为 ，所以没有充分证据拒绝原假
设，因此我们认为变量与 是独立的，故选B.
√
（2）某科技公司新开发了一款人工智能应用软件，为了测试青年人和中
年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中年、青年用户中随机调查
了300人，得到如下 列联表：
单位：人
组别 应用体验是否良好 合计
是 否 青年用户
中年用户 150
合计 300
①求, 的值；
解：由已知得青年用户的人数为 ,
则解得
②补全列联表，并依据小概率值的 独立性检验，分
析用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好是否有关联.
附：， ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
组别 应用体验是否良好 合计
是 否 青年用户
中年用户 150
合计 300
解： 列联表如下：
单位：人
组别 应用体验是否良好 合计
是 否 青年用户 120 30 150
中年用户 60 90 150
合计 180 120 300
零假设为 这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在
差异，
由题意可知
.
根据小概率值的独立性检验，推断 不成立,
所以认为用户的年龄段与对该软件的
应用体验是否良好有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
总结反思
独立性检验的一般步骤：
第一步，提出零假设两个分类变量和 没有关联；
第二步，根据列联表和公式计算 的值；
第三步，查对临界值表，作出判断.
【对点演练3】（1）[2026·江苏镇江模拟]某医疗研究所为了检验某
项运动对预防感冒的作用，把500名每天进行该项运动的人与另外
500名未进行该项运动的人一年中的感冒记录作比较，利用 列
联表计算得 .
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
则推断“这种运动能起到预防感冒的作用”犯错误的概率不大于( )
A.0.025 B.0.05 C.0.95 D.0.975
√
[解析] 由题意知 ，所以对照题中的附表可推断
“这种运动能起到预防感冒的作用”犯错误的概率不大于0.05.故选B.
（2）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地
区29 000名学生中随机抽取580人，得到其日均体育锻炼时长
（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示：
学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
①该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为
多少？
解：抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为
.
设该地区29 000名学生中有 人的日均体育锻炼时长不小于1小时，
则 ，解得 .
故该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为
12 500.
②估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长（同一组数据用该组区
间的中点值代表，精确到0.1小时）.
学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
解：依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为 .
所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时.
③依据小概率值 的独立性检验，分析学业成绩是否优秀与
日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时是否有关联？
附：， ．
解：对数据重新组合，得到 列联表如下：
单位：人
学业成绩 日均体育锻炼时长/小时 合计
其他 优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
零假设为 学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于
2小时无关联.经计算可得
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时
有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.
【备选理由】例题中 综合性强，让学生更加全面地掌握成对
数据的统计分析问题.
例 ［配合探究点二、三使用］（1）（多选题）下列说法中正确的
是( )
A.经验回归直线恒过点 ，且至少过一个样本点
B.用决定系数来刻画回归效果时， 越接近1，说明模型的拟合效果越好
C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D.基于小概率值 的检验规则是：当 时，我们就推断 不
成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
√
√
[解析] 对于A，经验回归直线恒过点 ，但不一定会
过样本点，故A错误；
对于B，用决定系数来刻画回归效果时， 越接近1，说明模型的
拟合效果越好，故B正确；
对于C，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数
据的波动性不变，故方差不变，则标准差不变，故C错误；
对于D，根据独立性检验可知D正确.故选BD.
（2）（多选题）[2025·山东泰安联考]某企业为了研究物流成本和企
业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本 （单位：万元）和
企业利润（单位：万元）的数据 ，已知其中一
组数据为且 ，根据最小二乘法公式求得经验回
归方程为 ，则下列说法中正确的是( )
A.若企业9月份物流成本预计为85万元，则预测9月份企业利润约为
117.7万元
B.1月到8月企业的月平均利润约为115万元
C.数据 对应的残差为1.8
D.删除一组数据 后，重新求得的经验回归直线的斜率变小
√
√
√
[解析] 对于A，经验回归方程为，则当 时，
，故预测9月份企业利润约为117.7万元，
故A正确；
对于B，由，可得1月到8月的物流成本 的平均值
，设1月到8月企业的月平均利润为 ，且点在经
验回归直线上，
所以 ，即1月到8月企业的月平均利润约为
115万元，故B正确；
对于C，当时，，数据
对应的残差为，故C正确；
对于D，删除数据 后，因为，且 ，
所以删除该点后，重新求得的经验回归直线的斜率变大，故D不正确．
故选ABC.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·天津滨海新区质检]下列说法正确的是( )
A.点 不一定在经验回归直线上
B.残差平方和越小的模型拟合效果越好
C.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
D.若两个变量的线性相关性越强，则样本相关系数 就越接近1
√
[解析] 对于选项A，点 一定在经验回归直线上，故A错误；
对于选项B，残差平方和越小的模型拟合效果越好，故B正确；
对于选项C，经验回归直线在散点图中可能不经过任意一个样本
数据点，故C错误；
对于选项D，如果两个变量的线性相关性越强，则样本相关系数
的绝对值就越接近1，故D错误.故选B.
2.已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：
单价 （元） 40 50 60 70 80 90
（件） 45 39 38 35 30 23
由表中数据，求得经验回归方程为 ，则下列说法错误
的是( )
A.产品的销售量和单价负相关
B.该经验回归直线过点
C.样本点的残差为
D.当单价定为100元时，销售量 估计为21件
√
[解析] 由 ，可知产品的销售量和单价负相关，故选项A中
说法正确；
由表中数据得 ，
，所以该经验回归直线过点 ，故选项B中说法正确；
由，得 ，解得，
所以，
当 时，，所以样本点的残差
为 ，故选项C中说法错误；
当时， ，
所以当单价定为100元时，销售量 估计为21件，故选项D中说法正确.
故选C.
3.有下列四组成对数据：，，， ，
；，，，，；， ，
，，；，，， ，
.其中样本相关系数最小的是
( )
A.① B.② C.③ D.④
√
[解析] 对于①，数据均在 上，故该组数据的样本相关系
数为1；
对于②，可看出其数据的两个变量正相关，故样本相关系数大于0；
对于③，数据均在 上，故该组数据的样本相关系数为 ；
对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数的图象上，故
，
事实上， ，其中
，，
故 ，
故样本相关系数 .
综上，样本相关系数最小的是③.故选C.
4.[2026·山东潍坊模拟]已知变量与 的一组数据如表所示，根据数
据得到关于的经验回归方程为 .
2 3 4 5
若，则 ( )
A.6.8 B.7.8 C.8.8 D.9.8
√
[解析] 由题意可得，设，则变量与 的一组
数据如下：
2 3 4 5
2 3 5 6
由表中数据可得，，故点在直线 上，
故，故，则.
当 ，即时，，解得 ，
故选D.
5.已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于 的经
验回归方程为，由它计算出成对样本数据 对应
的残差为，则 ( )
A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48
[解析] 因为关于的经验回归方程为，所以当
时，，
又因为 ，所以 .故选B.
√
6.[2025·福建厦门质检]为考察药物对治疗疾病 的效果，在两个不
同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到
如下 列联表：
（单位：只）
药物 疾病 合计
未患病 患病 未服用 28 22 50
服用 34 16 50
合计 62 38 100
计算得到 .假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单
元格的数据都为上表对应单元格数据的5倍，则根据小概率值 的独
立性检验，下列说法正确的是( )
附：， .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
A.当时，种群一中药物对预防疾病 有效，该推断犯错误
的概率不超过
B.当时，种群一中药物对预防疾病 有效，该推断犯错误
的概率不超过
C.当时，种群二中药物对预防疾病 有效，该推断犯错误
的概率不超过
D.当时，种群二中药物对预防疾病 有效，该推断犯错误
的概率不超过
√
[解析] 对于A,B，因为，所以当 时，无
法推断种群一中药物对预防疾病 有效，故A,B错误；
对于C,由，将各项数据变为原来的5倍，
则
，
所以当时，种群二中药物对预防疾病 有效，该推断犯错
误的概率不超过，故C正确；
对于D,因为 ，
所以当时，无法推断种群二中药物对预防疾病 有效，
故D错误.故选C.
7.（多选题）[2025·四川绵阳模拟]某类商品在今年1至5月的销量
（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）
月份 1 2 3 4 5
月销量 2.4 4 5 5.5
若变量与之间存在线性相关关系，且关于 的经验回归方程为
，则下列说法正确的是( )
A. B.残差绝对值最大为0.19
C.样本相关系数 D.当每增加1时， 增加0.81
√
√
[解析] 由题意知， ，代入方程得
，所以，解得 ，故
A正确；
1月份的残差为 ，2月份的残差为
，
月份的残差为 ，
4月份的残差为 ，
5月份的残差为，
所以残差绝对值最大为， 故B正确；
由表格可知变量与正相关，则，故C不正确；
当 每增加1时，不一定增加，故D不正确.故选 .
8.（多选题）随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千
家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔
记本”）也非常流行.某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是
否与性别有关，随机抽取了50人调查研究，调查数据如下表所示.
单位：人
性别 喜好情况 合计
喜欢“台式机” 喜欢“笔记本” 男性 18 9 27
女性 8 15 23
合计 26 24 50
由上述数据给出下列结论，其中正确的是( )
A.没有充分证据证明“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关
B.依据小概率值 的独立性检验，认为“台式机”与“笔记本”的
受欢迎程度与性别有关
C.依据小概率值 的独立性检验，认为“台式机”与“笔记本”的
受欢迎程度与性别无关
D.依据小概率值 的独立性检验，认为“台式机”与“笔记本”的
受欢迎程度与性别无关
√
√
[解析] 由表中数据可得 ，
因为，
所以依据小概率值， 的独立性检验，认为“台式机”
与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关，
依据小概率值 的独立性检验，认为“台式机”与“笔记本”的
受欢迎程度与性别无关.故选 .
9.[2026·江苏镇江期末] 已知, 的取值如下表：
0 1 3 4
4 4.5 5.5 6
从散点图分析，与线性相关，且经验回归方程为 ，则
___.
4
[解析] 由表中数据计算得 ，
，
又经验回归直线 过点，所以，
解得 .
10.[2026·重庆七校联盟联考] 某景区自从实行门票打折、推出特色美
食、不断提高服务质量等措施后，旅游人数明显增加.下表是该景区改
进措施后，前5个月的旅游人数（单位：十万）与第 个月的数据.
1 2 3 4 5
2 3 5 7 8
（1）已知可用经验回归模型拟合与的关系，请建立关于 的经
验回归方程 ，并预测第8个月的旅游人数.
解：由已知得， ,
，，
则 ，故 ，
所以，当时， ，故预测第8个月的旅游人
数为130万人.
（2）为了解景区游客性别与满意度的关系，随机抽查了200名游客，
得到如下的列联表：
单位：人
性别 是否满意 合计
是 否 男 100 ____ 150
女 ____ 30 ____
合计 _____ ____ _____
请填写上表，并依据小概率值 的独立性检验判断能否认为
游客是否满意与性别有关.
50
20
50
120
80
200
参考公式：,， ，
其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解： 补全列联表如下：
单位：人
性别 是否满意 合计
是 否 男 100 50 150
女 20 30 50
合计 120 80 200
零假设为游客是否满意与性别无关，计算可得
，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为游客是否满意与性别有关.
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）[2025·云南昆明质检]已知由样本数据
组成的一个样本，得到的经验回归方程为且，去除两
个异常数据和 后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，
则( )
A.变量， 正相关
B.去除异常数据后，新的一组数据的平均数
C.去除异常数据后，新的一组数据的经验回归方程为
D.去除异常数据后，随着值的增加， 的值增加速度变小
√
√
[解析] A选项，因为，所以变量， 正相关，所以A正确；
B选项，因为，所以去除两个异常数据和 后，得到
新数据的平均数，所以B错误；
C选项，将 代入中，得，故去除两个异常
数据 和后， ，
因为得到的新的一组数据的经验回归直线的斜率为3，
所以 ，所以去除异常数据后的经验回归
方程为 ，所以C正确；
D选项，因为经验回归直线的斜率为正数，
所以变量， 正相关，且去除异常数据后，斜率由1.5增大到3，
故 的值增加的速度变大，所以D错误.故选 .
12.（多选题）[2026·陕西西安模拟]下列说法正确的是( )
A.在经验回归方程中，若样本相关系数 越大，则两个变量的线性相
关程度越强
B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到 ，根据
小概率值的独立性检验，可判断与 有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.05
D.样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有 件样品，其方差
为，则由甲、乙组成的总样本的方差为
√
√
[解析] 对于A，样本相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相
关程度越强，反之两个变量的线性相关程度越弱，故A错误；
对于B，数据1,3,4,5,7,9,11,16是按从小到大的顺序排列的，由
，得这组数据的第75百分位数为第6项数据与第7项数据的平均数，
即为，故B正确；
对于C，因为 ，所以依据小概率值的独立
性检验判断分类变量与 有关联，此推 断犯错误的概率不大于 ，
故C正确；
对于D，设样本甲的平均数为，样本乙的平均数为，甲、乙组成
的总样本的平均数为 ，
所以甲、乙组成的总样本的方差为
，故D错误.故选 .
13.（多选题）某中学为更好地开展素质教育，现对选修外出研学课
程是否和性别有关联进行调查，其中被调查的男生和女生人数相同，
且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的 ，女生中选修外
出研学课程的人数占女生总人数的.若依据小概率值 的独立
性检验认为选修外出研学课程与性别有关联，依据小概率值
的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关联，则调
查的男生可能有( )
附：
0.05 0.01
3.841 6.635
，其中 .
A.150人 B.220人 C.300人 D.350人
√
√
[解析] 设男生和女生人数均为，根据题意可得 列联
表如下：
单位：人
是否选修外出研 学课程 性别 合计
男生 女生 是
否
合计
零假设为选修外出研学课程与性别无关联，
则 ，
依据小概率值 的独立性检验认为选修外出研学课程与性
别有关联，依据小概率值 的独立性检验认为选修外出研学课
程与性别无关联，
，解得，
则 , .故选 .
14.某部门在一次培训学习后，对同一工作小组中的5名员工采取如下
考核制度：
①在本季度末，从部门中另抽120人，每人1票，对这5名员工进行投票；
②在本季度末，统计这5名员工本季度创造的营销收入.
记员工本季度创造的营销收入为（单位：千元），所得票数为 ，
现将5人的情况用数对表示：,,, ,
关于的样本相关系数为，部门规定：若 ，则认
为本次统计数据异常.
（1）证明：本次统计数据异常；
证明：由已知得
，
故该工作小组本次统计数据异常.
（2）经查验，本季度创造的营销收入最少的员工的数据存在异常，将其
剔除后，求关于 的经验回归方程.（系数精确到个位数）
附：对于一组数据,, , ，经验回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
,；样本相关系数 .
参考数据：,, ,，
,, .#2.4
解：将本季度创造的营销收入最少，即营销收入为75千元的员工数
据剔除，剔除数据后的, .
代入计算得 ，
， .
设剔除异常数据后，关于的经验回归方程为 ，
则 ，
所以 ，
故所求经验回归方程为 .
知识聚焦
1.（2）增加 减小 （3）一条直线 （4）①正相关 负相关 ②强 弱 2.小
横轴 窄 大 2. 独立
课前演练
（1）√ （2）√ （3）× （4）× 1.A 2.D 3. 4.6.1
课堂考点探究
例1（1）D （2）D 【对点演练1】（1）C （2）C 例2（1）D （2）D
（3）①, 两个变量的线性相关程度很强;
②所求经验回归方程为，预测153天时的累计票房为1151.56亿元，
远超过实际票房，故该预测方法不合理.
例3（1）C （2）（i）从样本相关系数的角度分析，模型的拟合效
果更好.（ii） .
【对点演练2】（1）A （2）ABC （3）①关于的经验回归方程为
.②预测投资金额为20万元时的年利润增量为42.75万元.
例4（1）B （2）① ②列联表如下：
单位：人
组别 应用体验是否良好 合计
是 否 青年用户 120 30 150
中年用户 60 90 150
合计 180 120 300
认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关联，此推断犯错误的概
率不大于0.001.
【对点演练3】（1）B （2）①该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长
不小于1小时的人数约为12 500. ②该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时.
③认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关联，该推
断犯错误的概不超过0.05.
教师备用习题
例（1）BD （2）ABC
夯实基础
1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.C 7.AB 8.BD 9.4
10.（1），预测第8个月的旅游人数为130万人.
（2）50 20 50 120 80 200 认为游客是否满意与性别有关.
综合提升
11.AC 12.BC 13.BC
14.（1）证明：略
（2）所求经验回归方程为.第54讲　成对数据的统计分析
【备选理由】 例题中(1)(2)综合性强,让学生更加全面地掌握成对数据的统计分析问题.
[配合探究点二、三使用] (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( BD )
A.经验回归直线=x+恒过点(,),且至少过一个样本点
B.用决定系数R2来刻画回归效果时,R2越接近1,说明模型的拟合效果越好
C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后,标准差变大
D.基于小概率值α的检验规则是:当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α
(2)(多选题)[2025·山东泰安联考] 某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系,记录了1月到8月的物流成本x(单位:万元)和企业利润y(单位:万元)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),已知其中一组数据为(80,106)且xi=672,根据最小二乘法公式求得经验回归方程为=2.7x-111.8,则下列说法中正确的是 ( ABC )
A.若企业9月份物流成本预计为85万元,则预测9月份企业利润约为117.7万元
B.1月到8月企业的月平均利润约为115万元
C.数据(80,106)对应的残差为1.8
D.删除一组数据(80,106)后,重新求得的经验回归直线的斜率变小
[解析] (1)对于A,经验回归直线=x+恒过点(,),但不一定会过样本点,故A错误;对于B,用决定系数R2来刻画回归效果时,R2越接近1,说明模型的拟合效果越好,故B正确;对于C,将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,数据的波动性不变,故方差不变,则标准差不变,故C错误;对于D,根据独立性检验可知D正确.故选BD.
(2)对于A,经验回归方程为=2.7x-111.8,则当x=85时,=2.7×85-111.8=117.7,故预测9月份企业利润约为117.7万元,故A正确;

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