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第56讲　排列与组合
【备选理由】 例题考查利用组合知识解决问题的能力.
1 [配合探究点二使用] [2026·福建漳州质检] 在平面直角坐标系xOy中,横坐标与纵坐标都是整数的点叫作整点,从整点(x,y)到整点(x+1,y+1)或(x+1,y-1)的有向线段叫作一个T步,从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则从整点M(1,2)到整点N(7,4)的T路的条数为　15　.(结果用数字表示)
[解析] 由题意,从整点(x,y)到整点(x+1,y+1),记为上步,从整点(x,y)到整点(x+1,y-1),记为下步,
不管上步还是下步,在一个T步上横坐标都增加1,
而上步纵坐标增加1,下步纵坐标减少1,
因此整点M(1,2)到整点N(7,4)的T步一共有6个,
其中上步有4个,下步有2个,
因此从整点M(1,2)到整点N(7,4)的T路的条数为=15.
2 [配合探究点二使用] [2026·河北正定中学期末] 如图,一只蚂蚁位于点M处,要去搬运位于点N处的糖块,则由M到N的最短路线有　150　条.
[解析] 如图,由题可知,由M到N的最短路线必经过A点或B点,
由M到A的最短路线有条,由A到N的最短路线有条,
由M到B的最短路线有条,由B到N的最短路线有条,
所以由M到N的最短路线有×+×=10×10+5×10=150(条).(共79张PPT)
第56讲 排列与组合
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公
式、组合数公式.
◆ 知识聚焦 ◆
1.排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从 个不同元素中取 出 个元素 按照____________ 排成一列 排列有序，组合
无序
组合 作为一组 一定的顺序
2.排列数与组合数
名称 定义 计算公式 性质 联系
排列 数 从 个不同元素中取 出 个元素 的所有__________ 的个数，叫作从 个 不同元素中取出 个 元素的排列数，用符 号 表示 _________ ______________ _______ ，，且 （1） ； （2） （1）
；
不同排列
名称 定义 计算公式 性质 联系
组合数 从 个不同元素 中取出 个元 素的所有______ ____的个数，叫 作从 个不同元 素中取出 个元 素的组合数，用 符号 表示 _ ___ ， ，且 （1） ； （2） ； （3） （2）应
用时一般
是先选
（元素）
后排，先
分组后
分配
不同
组合
续表
常用结论
1.解决排列、组合问题的常见策略
（1）特殊元素优先安排．
（2）合理分类与准确分步．
（3）排列、组合混合问题要先选后排．
（4）相邻问题捆绑处理．
（5）不相邻问题插空处理．
（6）定序问题倍缩法处理．#3.1.6
（7）分排问题直排处理．
（8）“小集团”排列问题先整体后局部．
（9）构造模型．
（10）正难则反，等价转化．
2.解决排列与组合问题的四大原则
（1）特殊优先原则；（2）先取后排原则；（3）正难则反原则；
（4）先分组后分配原则．
3.排列数、组合数常用公式
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
（5） .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）将4本不同的书平均分成两份，共有 种方法.( )
×
[解析] 将4本不同的书平均分成两份，共有 种方法,故错误.
（2）将4本不同的书平均分给2个人，共有 种方法.( )
[解析] 从4本不同的书中选2本分给第一个人，有 种方法，
另外2本书分给第二个人，有 种方法，
故将4本不同的书平均分给2个人，共有 种方法，故正确.
√
（3）安排5名志愿者完成,,三项工作，其中项工作需3人，,
两项工作都只需1人，则不同的安排方法共有20种.( )
√
[解析] 项工作需3人，则有（种）安排方法，
， 两项工作都只需1人，则有 （种）安排方法，
所以不同的安排方法共有 （种），故正确.
题组二 教材改编
1.某校文艺部共有4名学生，其中高一、高二年级学生各有2名，从这
4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，
则不同的选择方法共有___种.
4
[解析] 这2名学生来自不同年级的选择方法共有 （种）.
2.某单位安排七位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，
其中甲、乙两人都不安排在10月1日和10月2日，则共有______种不
同的安排方法.
2400
[解析] 先安排甲和乙在10月3日至10月7日，再安排其他人，
所以不同的安排方法共有 （种）.
3.为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒
全部分给这3名同学，每名同学至少分得1个礼盒.若购买的4个礼盒仅
有2个相同，则共有____种分法.（用数字作答）
21
[解析] 将4个礼盒分给3名同学，则其中一人获得2个礼盒，另外两人
每人获得1个礼盒.分两种情况讨论.
第一种情况，2个相同礼盒分给同一人.
第一步,从3名同学中选择1名同学分配2个相同礼盒,有 (种)方法；
第二步,将剩下的2个不同礼盒,分给剩下的2名同学,有(种)方法.
所以共有 （种）分法.
第二种情况，2个相同礼盒不分给同一人.
记4个礼盒分别为,,,，当， 分给同一人或，分给同一人时，
有（种）方法；
当， 分给同一人时，有 （种）方法.
综上，共有 （种）分法.
探究点一 排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.
（1）选5人排成一排；
解：从7人中选5人排列，有 （种）方法.
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
解：分两步完成，先选3人站前排，有 种方法，余下4人站后排，
有种方法，共有 （种）方法.
（3）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
解：方法一（特殊元素优先法）：先排甲，有5种方法，
再排其余6人，有种方法，故共有 （种）方法.
方法二（特殊位置优先法）：从除甲之外的6人中选2人，
安排在最左边和最右边，有种排法，剩余5人全排列，有 种排法，
故共有 （种）方法.
（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
解：方法一（特殊元素优先法）：当甲站最右边时，其他人可全排列，
有 种方法；
当甲不站最左边也不站最右边时，从余下的5个位置任选一个，
有 种方法，
由于乙不站最右边，故乙从剩下的5个位置中任选一个，有种方法，
最后将其余人全排列，有 种方法，共有种方法.
综上，共有 （种）方法.
方法二（间接法）名学生全排列，有 种方法，
其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有 种方法，
甲在最左边且乙在最右边时，有种方法，
故共有 （种）方法.
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解：因为甲、乙、丙的顺序一定，
所以满足条件的站法共有 （种）.
总结反思
解决排列问题的注意点：
（1）有些排列的问题，可以根据机会均等的关系或每个元素出现的
机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.
（2）间接法是解决排列问题的常用方法，即遇到直接解题步骤多,不
易计算时，可以考虑先计算出总的情况种数,然后计算出不满足要求
的情况种数,最后用总的情况种数减去不满足要求的情况种数即得最
后答案.#2.1.2
（3）求解排列问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，则求
解过程简单，容易让人接受，否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”
等错误，因此，可借助分类讨论思想来求解.#2.1.3
【对点演练1】（1）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中
甲不能站在第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同
的站法共有( )
A.48种 B.72种 C.96种 D.144种
[解析] 当乙站在第五道时，甲有3种站法，其余4人进行全排列，
有种站法，则共有 （种）站法；
当乙站在第六道时，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有种站法，
则共有 （种）站法.
所以共有 （种）不同站法.故选D.
√
（2）为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日
常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞
蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目.若要求歌曲和戏
曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列
顺序种数为( )
A.120 B.360 C.180 D.90
√
[解析] 因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，
有 种排列顺序；
歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，
用其余三个元素将5个位置补全，有 种排列顺序.
所以满足题意的排列顺序种数为 .故选A.
探究点二 组合问题
例2（1）某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3
人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法
种数为( )
A.84 B.90 C.96 D.100
√
[解析] 方法一（直接法） 选取的员工中可以有1男2女，
2男1女两类情况，所以不同的选法种数为
.
方法二（间接法） 用从10人中任选3人的方法种数减去选出的3人
全是男生或全是女生的方法种数，
可得不同的选法种数为 .故选C.
（2）[2026·南京外国语学校期中]20个不加区别的小球放入编号为1，
2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不
同的放法种数为( )
A.120 B.240 C.300 D.360
[解析] 先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，
此时每个盒子至少还需放入1个球，将剩下的17个球排成一排，
不含两边有16个空隙，插入2块隔板分为三堆，分别放入三个盒中即可，
共有 （种）方法.故选A.
√
总结反思
解决组合问题的注意点:
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含有”，则先将这些
元素取出,再由另外元素补足;若“不含有”，则先将这些元素剔除,再从
剩下的元素中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都
可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.
（3）成双成对的元素一般是先取双再取单.
【对点演练2】（1）[2026·广东汕头质检]以正方体的顶点为顶点的
三棱锥的个数是( )
A.70 B.66 C.62 D.58
[解析] 正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有 （种）方法，
若所选的4个点共面，则有12种方法，
所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 .故选D.
√
（2）由数字0，1，2组成的五位数中，满足“0恰好出现两次”或“1恰
好出现两次”的所有五位数的个数为( )
A.86 B.104 C.128 D.130
√
[解析] ①“0恰好出现两次”：万位不能为0，
因此两个0的位置只能从剩下的4个位置中选择，有 （种）方法，
剩下的3个位置由1或2填充，每个位置有2种选择，共 （种）方法，
则“0恰好出现两次”的五位数有 （个）.
②“1恰好出现两次”：万位为1时，从剩下的4个位置中选择1个位置放1，
有 （种）方法，
剩下的三个位置由0或2填充，每个位置有2种选择，共（种）方法，
共有 （个）五位数；
万位不为1时，从剩下的4个位置中选择2个位置放1，有 （种）方法，
则万位放2，剩下的两个位置由0或2填充，每个位置有2种选择，
有（种）方法，共有 （个）五位数.
所以“1恰好出现两次”的五位数有 （个）.
③“0恰好出现两次”且“1恰好出现两次”:先安排2个0,有 （种）方法，
再从剩下的3个位置中选择2个放1，有 （种）方法，
最后一个位置放2，则共有 （个）五位数.
综上，“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为
.故选A.
探究点三 排列与组合的综合应用
题型1 相邻、相间及特殊元素（位置）问题
例3（1）[2025·重庆南开中学质检]由1，2，3，4，5，6，7，8组成
一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且
满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数的个数为( )
A.432 B.257 C.216 D.504
√
[解析] 第一步，排1，5，7三个数，有 （种）不同的排法；
第二步，排2，6，8三个数，有 （种）不同的排法；
第三步，将3和4作为一个整体插入，有 （种）不同的排法.
根据分步乘法计数原理可知，
组成的不同的八位数共有 （个）.故选D.
（2）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙
在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共
同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有( )
A.8种 B.10种 C.12种 D.14种
[解析] 因为甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，
且乙、丙不在同一关卡，
所以先从除甲之外的四人中选两人负责最后一关，
有 （种）方法，
然后再将剩余两人分配到第二、三关，有（种）方法，
所以满足条件的参赛方案有 （种）.故选B.
√
题型2 定序问题
例4 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下
层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调
整方法的种数是( )
A.8400 B.11 760 C.13 440 D.20 160
√
[解析] 首先从下层8件商品中抽取3件,有 （种）方法，
再将取出的3件商品放入上层，由于上层原有商品保持相对顺序不变，
可以使用定序问题中的倍缩法，有 （种）方法.
根据分步乘法计数原理可知共有 （种）方法.故选B.
题型3 相同元素分配问题
例5 有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3，从中任取4张，可排出不同
的四位数的个数为____.
38
[解析] 根据题意，分3种情况讨论：
①取出的4张卡片中有且只有2张数字相同，则相同的数字为1或2，
若相同的数字为1，则另外2张卡片上的数字为2，3，
有 （个）四位数；
若相同的数字为2，则另外2张卡片上的数字为1，3，
有 （个）四位数.共有 （个）四位数.
②取出的4张卡片为2张1和2张2，则有 （个）四位数.
③取出的4张卡片中有3张数字相同，则相同的数字为1，
此时有 （个）四位数.
综上，共可排出 （个）四位数.
题型4 分组分配问题
例6 （多选题）[2026·四川崇州模拟]将6本不同的书分给甲、乙、丙
三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是( )
A.若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案
B.若每人分得2本，则有90种方案
C.若三人分得的书本数互不相同，则有360种方案
D.共有450种分配方案
√
√
√
[解析] 对于A,若甲1本,乙2本,丙3本,则有 （种）方案，
故A正确.
对于B，若每人2本，则有 （种）方案，故B正确.
对于C，若三人分得的书本数互不相同，
即三人分得的书本数分别为1，2，3，
则有 （种）方案，故C正确.
对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90；
第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360；
第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为.
故共有 （种）方案，故D错误.故选 .
总结反思
1.相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法，定序问题采用倍缩
法，这些方法是解决有限制条件的排列与组合问题的常用方法.
2.对于分组与分配问题要注意以下几点
（1）要先分组再分配.
（2）分组时若不涉及分配，则要考虑是否存在重复的分组方式.
【对点演练3】（1）为4个类节目和2个 类节目编排节目单，则前
3个节目有 类节目的不同排列方式有( )
A.144种 B.432种 C.576种 D.720种
[解析] 前3个节目有类节目分为有1个类节目和有2个 类节目两种
情况，则不同排列方式共有 （种）.故选C.
√
（2）2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备拍一张
“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班
同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有( )
A.16种 B.32种 C.48种 D.64种
√
[解析] 先将舍长、副舍长排到中间的2个位置上,有 （种）排法，
再从两侧各选1个位置，安排两位不相邻的1班同学，
有 （种）排法，
最后把两位不相邻的2班同学安排到余下的2个位置上，
有（种）排法.所以共有 （种）不同的站法.故选B.
（3）[2025·南京模拟]书架上有6本不同的书，再往书架上放另外3本
不同的书，要求不改变原来书架上6本书的相对顺序，则不同的放法
有( )
A.504种 B.84种 C.1008种 D.168种
[解析] 根据定序问题采用倍缩法可得，
共有 （种）不同的放法.故选A.
√
（4）[2025·上海华东师大附中期中] 有10个评优指标分到3个不同的
班级.若每班至少分配到1个指标，则不同分配方法共有____种.
36
[解析] 10个评优指标没有差别，把它们排成一排，之间形成9个空隙，
在9个空隙中选2个插入隔板，把评优指标分成3份，
对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分配方法，
则有 （种）分配方法.
（5）包含甲在内的6名优秀大学毕业生到6个乡镇（包含 乡镇）承担
农业科技推广等任务，若每个乡镇至少有1名大学毕业生，且每名大
学毕业生只去1个乡镇，则甲同学不到 乡镇的分配方案有_____种．
600
[解析] 第一步,安排甲同学,因为甲同学不去乡镇,所以有 种方法；
第二步，安排剩下的5名同学去5个不同的乡镇，有 种方法.
由分步乘法计数原理可知，共有 （种）分配方案.
【备选理由】例题考查利用组合知识解决问题的能力.
例1 ［配合探究点二使用］[2026·福建漳州质检] 在平面直角坐标系
中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫作整点，从整点 到整
点或的有向线段叫作一个步，从整点
到整点的一条路是指由若干个步组成的起点为、终点为 的有
向折线.则从整点到整点的 路的条数为____.
（结果用数字表示）
15
[解析] 由题意，从整点到整点 ，记为上步，
从整点到整点 ，记为下步，
不管上步还是下步，在一个 步上横坐标都增加1，
而上步纵坐标增加1，下步纵坐标减少1，
因此整点到整点的 步一共有6个，
其中上步有4个，下步有2个，
因此从整点到整点的路的条数为 .
例2 ［配合探究点二使用］[2026·河北正定中学期末] 如图，一只蚂
蚁位于点处，要去搬运位于点处的糖块，则由到 的最短路线
有_____条．
150
【备选理由】例题考查利用组合知识解决问题的能力.
[解析] 如图，由题可知，由到 的最短路线必经过点或 点，
由到的最短路线有条，由到 的最短路线有 条，
由到的最短路线有条，由到的最短路线有 条，
所以由到的最短路线有
（条）.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·北京顺义区模拟]甲、乙、丙、丁四人排成一列，且甲、乙
均不在第一个位置，则不同的排法种数为( )
A.6 B.12 C.24 D.36
[解析] 先安排第一个位置，有2种排法，再安排后面的3个位置，
有 种排法，根据分步乘法计数原理，共有 （种）排法.故选B.
√
2.用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中 ,2,3，则满足条
件的三位数的个数是( )
A.15 B.18 C.19 D.27
[解析] 当三个不同数字各出现一次时，有 （个）三位数；
当有一个数字出现两次时，出现两次的数字只能是2,3，
则有 （个）三位数；
当有一个数字出现三次时，出现三次的数字只能是3，则有1个三位数.
综上所述，满足条件的三位数共有 （个）.故选C.
√
3.在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，
则可以作的平面个数为( )
A.56 B.70 C.210 D.336
[解析] 由题意知，不可能出现3点共线的情况，
所以共可以作 （个）平面.故选A.
√
4.现有9个三好学生的名额分给4个班级，若每个班级至少1个名额，
则不同的分配方法有( )
A.504种 B.126种 C.84种 D.56种
[解析] 利用隔板法，将9个名额分给4个班级，每个班级至少1个名额，
则有 （种）分配方法.故选D.
√
5.某班选派6名同学到学校的,, 这3个活动场地做志愿者工作，每
个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同
学人数互不相同，则不同的选派方法种数为( )
A.90 B.360 C.450 D.990
[解析] 先将6名同学分为人数互不相同的3组，
有 （种）方法，
然后将这3组同学分配到3个场地，有 （种）方法，
由分步乘法计数原理可知，不同的选派方法种数为 .故选B.
√
6.现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，
每组都需分配到2人，那么不同的分组方法种数为( )
A.10 B.20 C.60 D.120
√
[解析] 登山运动员中不熟悉道路的有6人，平均分为两组有 种方法；
熟悉道路的有4人，平均分为两组有 种方法.
根据题意可得，将10人平均分为两组，
每组有3名不熟悉道路的运动员和2名熟悉道路的运动员，
所以不同的分组方法有 （种）.故选C.
7.[2026·江西上饶期末] 是自然对数的底数，被称为自然常数或者欧
拉数.最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉
证明其为无理数，其值大约为 .小明是个数学迷，他在
设置手机的数字密码时，打算将自然常数 的前6位数字2，7，1，8，
2，8进行排列得到一个六位数密码，则小明可以设置的密码个数为
( )
A.240 B.180 C.120 D.72
√
[解析] 方法一：数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8，
故可组成的六位数密码有 （个）.
方法二：数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8，
故先选出两个位置放2，有种方法；
再从剩下的4个位置中选出两个位置放8，有 种方法；
剩下的全排列，有 种方法.
故可组成的六位数密码有 （个）.故选B.
8.现有三堆木箱，5个黑色，3个白色，2个灰
色，如图所示，工人随机将其一个个地搬上
车，则不同的搬法有______种.
2520
[解析] 由题可知完成任务共需搬运10次，
只需在10次中选择3次搬运白色木箱，剩余7次中选择2次搬运灰色木箱，
剩余5次搬运黑色木箱即可，故不同的搬法有 （种）.
9.如图，在某个城市中，与两地之间有整齐的道路网，则从 地
到 地的距离最近的走法共有____种.
15
[解析] 从地到 地的最近走法为横向的道路走且仅走四段，
纵向的道路走且仅走两段，
于是，原问题等价于求四个“横”字，两个“纵”字排成一列的方法种数.
因为是相同元素的排列，所以只需从六个位置中任取四个填“横”，
剩余两个填“纵”，共有 （种）方法.
10.[2026·江苏镇江期中] 某数学兴趣小组的六名同学排成一排照相，
其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共
有_____种.（用数字作答）
144
[解析] 六名同学排成一排照相，
其中甲、乙相邻的安排方式有 (种),六名同学排成一排照相，
其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有 （种），
所以六名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，
丙不在队伍两头的安排方式共有 （种）.
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的
五位数中( )
A.奇数有60个 B.能被5整除的有24个
C.1在万位而2不在个位的有18个 D.比12345大的有108个
√
√
[解析] 先选择1个奇数放在个位，再将其他数字进行排列，
可得组成的五位数中奇数有 （个），故A错误；
若能被5整除，则个位为5，共 （个）五位数，故B正确；
数字2的位置有3种选择，
则1在万位而2不在个位的五位数有 （个），故C正确；
由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数共 （个），
其中最小的五位数是12345，故比12345大的有119个，故D错误.故选 .
12.（多选题）[2026·江苏南京联考]下列说法中正确的是( )
A.4个不同的小球，放入3个不同的盒中，共有81种不同的放法
B.4个不同的小球，放入3个不同的盒中，不能有空盒，共有12种不
同的放法
C.6个相同的小球，放入3个不同的盒中，不能有空盒，共有10种不
同的放法
D.6个相同的小球，放入3个不同的盒中，共有28种不同的放法
√
√
√
[解析] 对于A，每个小球都有3种放法，
故共有 （种）不同的放法，故A正确；
对于B，先将4个小球分为三组，每组至少1个小球，有种方法，
再将三组小球放入3个盒子，有 种方法，
故共有 （种）不同的放法，故B不正确；
对于C，相当于在6个小球中间产生的5个空隙中插入2块隔板，
故共有 （种）不同的放法，故C正确；
对于D，相当于找到方程 的非负整数解的组数，
令 ，
则问题相当于找到方程 的正整数解的组数，
相当于在9个小球中间产生的8个空隙中插入2块隔板，
故共有 （种）不同的放法，故D正确. 故选 .
13.[2025·湖南怀化模拟] 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成
一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个1和4
个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这
样的信号有___种.
6
[解析] 分两种情况：第一种情况，4个0全部相邻，
把4个0看成1个元素，共有 （种）信号；
第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，2组不相邻，利用插空法，
共有 （种）信号.综上，满足题意的信号共有6种.
14.川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中
人物内心思想感情的一种浪漫主义手法.王老师获得了川剧演出的7张
连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋
友，每人至少分1张，至多分2张，且这2张票连号，则共有_____种
不同的分法.（用数字作答）
480
[解析] 设这7张连号票的编号依次为 号，
王老师留下的2张连号票的情况有,,,,, ,共6种.
若王老师留下1,2号票，剩下3，4，5，6，7号票，
则先把5张票分成4组，有,5,6,7;3,,6,7;3,4, ,7;3,4,5,.
共4种分法.
再将4组票分给4个人，共有 （种）不同的分法.
同理，若王老师留下6,7号票，也有96种不同的分法.
若王老师留下2,3号票，剩下1，4，5，6，7号票，
则先把5张票分成4组，有1,,6,7;1,4,,7;1,4,5, .
共3种分法.
再将4组票分给4个人，共有 （种）不同的分法.
同理，若王老师留下3,4号票或4,5号票或5,6号票，都各有72种分法.
所以共有 （种）不同的分法.
【知识聚焦】1.一定的顺序 2.不同排列 不同组合
【课前演练】（1）× （2）√ （3）√ 1.4 2.2400 3.21
课堂考点探究
例1（1）种方法 （2）种方法 （4）种方法
（5）（种）站法 【对点演练1】（1）D （2）A
例2（1）C （2）A 【对点演练2】（1）D （2）A
例3（1）D （2）B 例4 B 例5 38 例6 ABC
【对点演练3】（1）C （2）B （3）A （4）36 （5）600
教师备用习题
例1 15 例2 150
夯实基础
B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. 2520
9. 15 10. 144
综合提升
11. BC 12. ACD 13. 6 14. 480

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