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第57讲　二项式定理
【备选理由】 (1)为杨辉三角问题;(2)为展开式中各项的系数问题,综合性强,能力要求高.
[配合探究点一、二使用] (1)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.如图,数学爱好者对杨辉三角做了?泛的研究,则下列结论不正确的是 ( D )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.++++…++=165
B.第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C.在杨辉三角中,第n行所有数的平方和恰好是第2n行的中间一个数
D.记杨辉三角中第n行的第i个数为ai,则
(2)(多选题)[2026·河北昌黎一中期末] 已知(2x-1)n=an(x+1)n+an-1(x+1)n-1+…+a1(x+1)+a0且n为偶数,则 ( AD )
A.
[解析] (1)对于A,++++…++=++++…++=+++…++=++…++=…=+==165,A中结论正确;对于B,第2025行的第1013个数和第1014个数分别为,,易知=,B中结论正确;对于C,第n行所有数的平方和为++…+=++…+,第2n行的中间一个数是(1+x)2n的展开式中xn的系数,而(1+x)2n=(1+x)n·(x+1)n,又(1+x)n·(x+1)n的展开式中xn的系数为++…+,因此++…+=,C中结论正确;对于D,因为ai=,所以2i-1·=20+21+…+2n=(1+2)n=3n≠3n-1,D中结论不正确.故选D.
(2)对于A,令x=0,则(-1)n=an+an-1+…+a1+a0=ai=1,故A正确;对于B,令x=-1,则(-3)n=a0=3n,故B错误;对于C,令x+1=t,则(2x-1)n=(2t-3)n=antn+an-1tn-1+…+a1t+a0,则ai=·2i·(-3)n-i(i=0,1,2,…,n),因为n为偶数,所以当i为偶数时,ai>0,当i为奇数时,ai<0,则|ai|=-a1+a2-…+an,令t=-1,则(-5)n=an-an-1+…-a1+a0,则|ai|=5n-a0=5n-3n,故C错误;对于D,由ai=·2i·(-3)n-i(i=0,1,2,…,n),得a1=×2×(-3)n-1=-2n·3n-1,故D正确.故选AD.(共92张PPT)
第57讲 二项式定理
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解
决与二项展开式有关的简单问题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.二项式定理
二项式定理 ___________________________________________
二项展开式的通项 ，它表示展开式的第______项
二项式系数 ____
注意点：
（1）项数:展开式共有______项.
（2）幂指数:①字母的幂指数从逐项递减到0,字母 的幂指数从0
逐项递增到 ;
②各项中所有字母的幂指数之和均为 .
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末“等距离”的两个二项式系数相等，即___________
增减性 当时，随 的增加而______，二项式系
数的后半部分，随 的增加而______
二项式 系数最 大值 当 为偶数时，中间的一项_ ___取得最大值
当 为奇数时，中间的两项_ ____与_____相等，且同时取得
最大值
增大
减小
3.各二项式系数的和
（1） ____；
（2） .
常用结论
赋值法的应用
（1）在二项式定理中，令, ，得
.
（2）若 ，则
；
②奇数项系数之和为 ；
③偶数项系数之和为 .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在 的展开式中,二项式系数最大的项是第6项和第7项.
( )
√
[解析] 的展开式共有12项,所以二项式系数最大的项是第6
项和第7项，故正确.
（2）已知的展开式中各项系数的和为256，则 .( )
√
[解析] 令，则 ，故正确.
（3）的展开式的通项中的和 可以互换.
( )
×
[解析] 的展开式的通项中的和 不可以互
换，故错误.
（4）在的展开式中，各二项式系数的和是 .( )
√
[解析] 在的展开式中，各二项式系数的和是 ，故正确.
题组二 教材改编
1.的展开式中 的系数为_____.（用数字作答）
160
[解析] 的展开式的通项为 ，
令,则的展开式中 的系数为 .
2.若的展开式中各项系数的和为1，则实数 的值为___.
2
[解析] 设，则由题意得 ，
解得 .
3.已知的展开式中各二项式系数的和为128，则展开式中
的系数是_____.
672
[解析] 由题意得，则，
则展开式的通项为 ，
令，可得，
所以展开式中 的系数为 .
4.在的展开式中，含 的项的系
数是_____.
[解析] 含的项的系数为 .
探究点一 展开式的通项问题
例1（1）（多选题）在 的展开式中，下列说法正确的是
( )
A.常数项为 B.常数项为 C.有理项有3项 D.有理项有4项
√
√
[解析] 的展开式的通项为
，
，1，2， ，6，
令，得 ，
所以展开式的常数项为，故A正确，B错误；
当 ，2，4，6时， 为有理项，所以展开式中有理项有4项，
故C错误，D正确. 故选 .
（2） 的值为___．
0
[解析] .
总结反思
本类题考查的核心是的展开式的通项 .求解
此类问题可以分两步完成:
（1）根据给出的条件（特定项）和通项,建立方程来确定指数或其他
参数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件,即为正整数, 为
非负整数,且 ）;
（2）根据所求的指数或其他参数求解所求的项.
【对点演练1】（1）[2025·重庆八中模拟] 的展开式中的常
数项是，则 ( )
A. B. C.2 D.3
[解析] 的展开式的通项为
，
令，得 ，所以，解得 .故选C.
√
（2）[2026·黑龙江绥化模拟] 的展开式中 的系数是____.
10
[解析] 的展开式的通项为
,,1,2,3,4,5，
由 得，所以展开式中的系数为 .
探究点二 二项式系数与各项的系数问题
题型1 二项式系数
例2（1） 的展开式中二项式系数的和为64，则展
开式中的常数项为( )
A.60 B. C.15 D.
√
[解析] 由题可知，解得 ，
则展开式的通项为，
令,解得 ,
所以展开式中的常数项为 .故选A.
（2）[2026·云南昭通模拟]已知 的展开式中，第2项和第6项
的二项式系数相等，则展开式中 的系数为( )
A.60 B. C.448 D.
[解析] 展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，
， ，
则展开式的通项是，
令，得， 展开式中的系数为 .故选A.
√
题型2 展开式中各项系数的和
例3（1）（多选题）[2026·深圳外国语学校模拟]已知
，则下列结论正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 在展开式中，令 ，得
，
即 ，可得，故选项A正确.
的展开式的通项为，
令 ，可得 ，
故选项B错误.
令，则 ，
即 ，
所以,
又 ，所以 ，故选项C错误.
对 两边同时求导，
得,
令 ，则 ,
即 ，
所以，故选项D正确.故选 .
（2）（多选题）[2026·广东潮州期末]设
，则( )
A.
B.
C.
D.当时， 除以8的余数是7
√
√
[解析] 对于A,令 ,可得 ，
故A正确；
对于B，的展开式的通项为，
令 ，可得，
令 ，可得，故 ，
故B错误；
对于C，令，可得，
令 ，可得，所以 ，
故C正确；
对于D，当 时，
,
所以 除以8的余数是1，故D错误.故选 .
题型3 展开式中各项系数的最值
例4 已知 的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的
绝对值最大的项是( )
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
√
[解析] 由题意知， 的展开式的通项为
,
因为展开式中第9项是常数项，所以，解得，
故展开式中第 项系数的绝对值为.
设展开式中第 项系数的绝对值最大，
则有所以 ，
又因为，所以 ，则第8项系数的绝对值最大.故选C.
总结反思
1.二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，求法上也
有较大差异.二项展开式中二项式系数最大的项可由二项式系数的性
质求得，当为偶数时，中间的一项的二项式系数最大，当 为奇数
时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值.系数最大的项不
一定在中间，需要利用二项展开式的通项，根据系数值的增减性具
体讨论而定.
2.对于,当, 的系数均为1时,某项的二项式系数与系
数相等.#1.2
3.二项展开式中各项系数的最值的求法:
当各项的系数均为正数时,求二项展开式中项的系数的最大值,不妨令
第项的系数最大,则满足 进而解不等
式组即可.
注意:当各项的系数均为负数时,可以求解对应的系数的最小值.#1.3.2
【对点演练2】（1）[2025·江苏镇江模拟]若
，，则 ( )
A. B.31 C. D.32
[解析] 令，得，即，
令 ，得 ，
即，所以 .
故选B.
√
（2）若 ，
则 ( )
A. B.0 C.1 D.32
[解析] 由题意得 ，
令 ，
可得
，
则 .故选D.
√
（3）（多选题）已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系
数相等，则( )
A. B.展开式中所有项的系数和为1
C.展开式中没有常数项 D. 的系数为14
√
√
√
[解析] 因为展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 ，
解得，故A错误;
令 ，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确;
的展开式的通项为
，
令，得 ，所以展开式中不存在常数项，故C正确;
令，得，所以 ，
所以的系数为14，故D正确.故选 .
（4）[2025·深圳中学质检] 在 的展开式中，仅第6项的二项
式系数最大，则展开式中系数最大的项是______．
[解析] 由 的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，
得展开式中共11项，则，所以 的展开式的通项为
，
设展开式中系数最大的项是，
则 即
解得，
又，所以，则 ，
所以展开式中系数最大的项是 .
探究点三 多项展开式
题型1 几个多项式和的展开式
例5（1）
，
则 的值为( )
A.70 B.126 C.56 D.84
√
[解析] ，两项中不存在项，
的展开式中 的系数为，
的展开式中的系数为， ，
的展开式中的系数为，
所以
.故选B.
（2）[2026·陕西铜川模拟]已知，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为
，
所以
. 故选C.
题型2 几个多项式积的展开式
例6（1）的展开式中 的系数为( )
A. B. C.10 D.30
[解析] 的展开式的通项为 ，
令，得，
令，得 ，
故的展开式中的系数为 .
故选A.
√
（2）[2026·云南师大附中期中]在
的展开式中，含 的项
的系数是6，则 ( )
A. B. C.3 D.6
[解析] 由题可得含 的项为
，所以 ，
解得 .故选B.
√
题型3 三项展开式
例7 的展开式中 项的系数为( )
A.120 B.90 C.60 D.45
[解析] 因为，
所以 的展开式中项的系数为 .故选C.
√
总结反思
1.求几个多项式和的展开式中的特定项只需要先分别求出每一个多项
式中的特定项,再合并即可.
2.几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法:先分
别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产
生的每一种情形,求出相应的特定项进行合并即可.
3.形如, 的式子求其展开式的各
项系数之和时,常采用赋值法,令 即可.
4.求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：
（1）两项看成一项，利用二项式定理展开．
（2）因式分解，转化为两个二项式再求解．
（3）看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．
【对点演练3】（1）已知 的展开式中的常
数项为40，则 等于( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 在的展开式中，
, ，
可知 的展开式中的常数项为
，即 ,
解得或(舍去),又，所以 .故选B.
√
（2）在的展开式中，含
的项的系数是_____.（用数字作答）
[解析] 的展开式中，
含 的项的系数是 .
（3）[2026·福建三明模拟] 的展开式中 的系数是
_____.（用数字作答）
[解析] 的展开式的通项为 ，
令，得.
又 的展开式的通项为，
令 ，解得，
的展开式中含 的项为,
的展开式中含 的项为，
的系数是 .
例 ［配合探究点一、二使用］（1）我国南宋数学家
杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了
二项式系数表．如图，数学爱好者对杨辉三角做了
广泛的研究，则下列结论不正确的是( )
A.
B.第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C.在杨辉三角中，第行所有数的平方和恰好是第 行的中间一个数
D.记杨辉三角中第行的第个数为，则
√
【备选理由】（1）为杨辉三角问题；
[解析] 对于A，
,A中结论正确；
对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为,，
易知，B中结论正确；
对于C，第 行所有数的平方和为
，
第行的中间一个数是 的展开式中 的系数，
而 ，
又的展开式中 的系数为 ，
因此 ，
C中结论正确；
对于D，因为 ，
所以
，
D中结论不正确.故选D.
（2）（多选题）[2026·河北昌黎一中期末]已知
且
为偶数，则( )
A. B.
C. D.
√
√
【备选理由】（2）为展开式中各项的系数问题,综合性强,能力要求高.
[解析] 对于A，令 ，
则 ，故A正确；
对于B，令，则，故B错误；
对于C，令 ，
则 ，
则，
因为为偶数，所以当 为偶数时，，当为奇数时， ，
则，
令 ，则，
则 ，故C错误；
对于D，由 ，
得，故D正确.故选 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·江苏南京调研]的展开式中 的系数为( )
A. B. C.15 D.20
[解析] 的展开式的通项为 ，
令，得，
由，可得展开式中 的系数为15.故选C.
√
2.[2026·安徽芜湖期末]若的展开式中各项系数之和为 ，
则实数 为( )
A.0 B. C.1 D.
[解析] 令，
则 的展开式中各项系数的和是,
.故选D.
√
3.的展开式中 的系数为( )
A.10 B.5 C. D.
[解析] 的展开式的通项为
，
令得展开式中 的系数为 .故选D.
√
4.[2025·山东济南模拟]的展开式中 的奇数次幂项的
系数之和为32，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 的展开式的通项为, ,1,2,3,4，
则的展开式中 的奇数次幂项的系数和为
，
故 ，则 .故选B.
√
5.的展开式中 的系数为( )
A. B. C.160 D.80
[解析] 表示5个 相乘，
每个在相乘时均有三种选择，选或或.
设选的有 个,选的有个,那么选的有个,其中, ，
则有，可得或或因此展开式中 的
系数为
故选A.
√
6.（多选题）[2025·广东上进模拟]在 的展开式中，下列说
法正确的是( )
A.常数项为240 B.各项的系数和为
C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项的系数和为364
√
√
[解析] 的展开式的通项为
，
当 ，即时，该项为常数项，
为 ，故选项A正确.
令 ，得各项的系数和为1，故选项B错误.
因为6是偶数，所以二项式系数最大的项是 ，
即第4项为二项式系数最大的项，故选项C正确.
有理项要求的指数为整数，即 为整数，
令，则，即，故 需为偶数，
因此 ,2,4,6，
则有理项的系数和为
，
故选项D错误.故选 .
7.（多选题）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几
何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》
一书中就已经出现，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的
是( )
A.
B.
C.
D.第10行中从左往右数第5个数与第6个数
之比为
√
√
[解析] 根据组合数的性质可知，A正确；
因为 ，
所以 ，故B错误；
根据选项A中的等式得，
，
所以 ，故C错误；
第10行中从左往右数第5个数与第6个数分别为和，
之比为，故D正确.故选 .
8.[2026·河南郑州模拟] 若
，则 ______.
[解析] 因为，
所以 为的展开式中各项的二项式系数之和，
则 .
9.已知，则的展开式中 的
系数为______.
[解析] 由题意知,，
所以 ，则 的展开式的通项为
，
令 ，解得，
所以展开式中的系数为 .
10.已知（ 为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数
的和等于67.
（1）记，求 的值；
解：的展开式中末三项的二项式系数分别为,, ，
则，即 ，
整理可得 ，解得（舍去）或 .
令 ，
则, ，
故 .
（2）求展开式中系数最大的项.
解：由（1）知,则 的展开式的通项为 .
设第 项为系数最大的项，则解得 .
因此系数最大的项为或 .
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）已知 ，
则( )
A.
B.
C. 除以5所得的余数是1
D.
√
√
√
[解析] 对于选项A， ，
令，得 ，所以选项A正确；
对于选项B，的展开式的通项为
，
所以 的展开式中偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，
所以 ，
对于，
令，得 ，令，得 ，
所以 ，所以选项B错误；
对于选项C，因为 ，
所以 除以5所得的余数是1，所以选项C正确；
对于选项D，令，得 ，
所以选项D正确.故选 .
12.（多选题）[2026·广东江门模拟]已知（常数 ）
的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则( )
A.
B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C.展开式中的系数为
D.若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
√
√
√
[解析] 的展开式的通项为
.
对于A,根据题意可得,由组合数的性质可知 ,故A正确；
对于B,的展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，
故B错误；
对于C,由，解得，
则展开式中 的系数为，故C正确；
对于D,令 ,则展开式中各项系数之和为，
解得 （负值舍去），可得展开式的通项为 ，
即每项系数均为该项的二项式系数，
易知展开式中第6项为中间项，则其系数最大，故D正确.故选 .
13.设，则 ___.
3
[解析] 由二项式定理可得，
，
则，
当时，
.
14.[2026·江苏镇江期中] 已知, .
（1）当时，，求, ,
, ， 中的最大值；
解：当 时，
，
的展开式的通项为 ，
则,,1,2, ,10，
显然当为奇数时，，当为偶数时， ，
则当取到最大值时， 为偶数.
设，，， ，中的最大值为，其中 .
当 时，，且 ，
即 ，
且 ，
可得，且 ，
又因为，所以验证得 .
又因为 ，
,
所以，，， ， 中的最大值为 .
（2）若 ，求
.
解：方法一:
因为 ，
所以 ，
令，得 ，
所以 .
方法二： ，
则,,1,2, , ，
因为 ，
所以 ，
所以
【知识聚焦】1.
2. 增大 减小 3.
【课前演练】（1）√ （2）√ （3）× （4）√ 1. 160 2. 2 3. 672 4.
课堂考点探究
例1（1）AD （2）0 【对点演练1】（1）C （2）10 例2（1）A （2）A
例3（1）AD （2）AC 例4 C 【对点演练2】（1）B （2）D （3）BCD （4）
例5（1）B （2）C 例6（1）A （2）B 例7 C
【对点演练3】（1）B （2） （3）
备用习题
例（1）D （2）AD
夯实基础
1. C 2. D 3. D 4. B 5. A 6. AC 7. AD 8. 9.
10.（1）
（2）系数最大的项为或综合提升
11. ACD 12. ACD 13. 3
14.（1）最大值为（2）

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