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第58讲　随机事件与概率、古典概型
【备选理由】 例1是古典概型概率计算问题,强化训练;例2是古典概型与立体几何、统计相结合问题,加强知识间的联系与融合.
1 [配合探究点二使用] (1)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个数,则取出的三个数之和是3的倍数的概率为 ( B )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
(2) [2026·山东聊城模拟] 如图,E,F,G,H四个开关控制着五盏灯,其中开关E控制着1,2,3号灯,开关F控制着2,3,4号灯,开关G控制着3,4,5号灯,开关H控制着1,4,5号灯.开始时,五盏灯均是亮的,现先后按动E,F,G,H这四个开关中两个不同的开关,则其中2号灯亮的概率为 ( B )
A. B.
C. D.
(3)(多选题)在一个不透明的袋子中,装有大小、材质相同的2个红球和3个绿球,从袋中依次抽取2个球,记Ri=“第i次取到红球”,Gi=“第i次取到绿球”,其中i=1,2,则下列说法正确的是 ( BCD )
A.若有放回地抽取,则P(R1)=P(R2)=P(G1)=P(G2)=
B.若有放回地抽取,则P(R1G2)=
C.若不放回地抽取,则P(R1G2)=
D.若不放回地抽取,则P(R1+G2)=
[解析] (1)设集合A1={1,4,7},A2={2,5,8},A3={3,6},从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个数的和为3的倍数,分为两类情形,一类是从集合A1或A2中取三个数,一类是从三个集合中各取一个数,所以所求概率是=.故选B.
(2)先后按动E,F,G,H这四个开关中两个不同的开关,样本空间有=12(个)样本点.2号灯亮有两类情形:第一类,按第一个开关时,2号灯灭,按第二个开关时,2号灯亮,此时对应的样本点有=2(个)(E,F两个开关进行全排列);第二类,按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关,此时对应的样本点有=2(个)(G,H两个开关进行全排列).故2号灯亮的概率为=.故选B.
(3)将2个红球分别编号为a,b,3个绿球分别编号为c,d,e.对于A,B,若有放回地抽取,则样本空间Ω1={(x,y)|x,y∈{a,b,c,d,e}},共包含25个样本点,其中R1={(x,y)|x∈{a,b},y∈{a,b,c,d,e}},包含10个样本点,R2={(x,y)|x∈{a,b,c,d,e},y∈{a,b}},包含10个样本点,G1={(x,y)|x∈{c,d,e},y∈{a,b,c,d,e}},包含15个样本点,G2={(x,y)|x∈{a,b,c,d,e},y∈{c,d,e}},包含15个样本点,所以P(R1)=P(R2)=,P(G1)=P(G2)=,故A错误.因为R1G2={(x,y)|x∈{a,b},y∈{c,d,e}},包含6个样本点,可得P(R1G2)=,故B正确.对于C,D,若不放回地抽取,则样本空间Ω2={ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed},共包含20个样本点,因为事件R1G2={ac,ad,ae,bc,bd,be},包含6个样本点,所以P(R1G2)==,故C正确.因为R1+G2={ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,cd,ce,dc,de,ec,ed},包含14个样本点,所以P(R1+G2)==,故D正确.故选BCD.
2 [配合探究点二使用] (1)在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点,则这2个点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为 ( D )
A. B. C. D.
(2)[2026·湖北宜昌期中] 将95,96,97,98,99这5个数据作为总体,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为 ( D )
A. B. C. D.
[解析] (1)如图,将直线分成3类情况:
AiAj,BiBj,CiCj(1≤i(2)依题意可知,总体平均数为97,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,样本空间中样本点总数为=10,其中满足样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的样本点有(95,97),(95,98),(95,99),(96,97),(96,98),(96,99),(97,98),(97,99),共8个,故该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为=.故选D.(共94张PPT)
第58讲 随机事件与概率、古典概型
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件
与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的
并、交运算.
3.结合具体实例，理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的
概率.
4.通过实例，理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
5.结合实例，会用频率估计概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.样本空间与样本点
名称 含义
样本点
样本空间
有限样本 空间
每个可能
样本点
2.随机事件、必然事件与不可能事件
名称 含义
随机事件
基本事件 只包含______样本点的事件
必然事件 每次试验__________的事件
不可能事件 每次试验____________的事件
子集
一个
一定发生
一定不发生
3.事件的关系和运算
定义 符号表示
包含关系
相等关系 _______
并事件 （和事件）
一定发生
至少有一个
定义 符号表示
交事件 （积事件）
互斥事件
对立事件
同时
不能同时发生
注意：事件的对立事件记为 ，对立事件是互斥事件的特殊情况.
续表
4.古典概型
两个特征：
有限性：样本空间的样本点只有______个；
等可能性：每个样本点发生的可能性______.
有限
相等
（2）计算公式
设试验是古典概型,样本空间 包含个样本点,事件包含其中的
个样本点,则定义事件的概率___ ____,其中和 分别
表示事件和样本空间 包含的样本点个数.
（1）
5.概率的基本性质
性质1 对任意的事件 ,都有_________.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ___,
___.
性质3 如果事件与事件互斥,那么 ____________.
性质4 如果事件与事件互为对立事件,那么 _________,
_________.
性质5 如果,那么___ .
性质6 设,是一个随机试验中的两个事件,则 _________
________________.
6.频率与概率
（1）概率：对随机事件发生____________的度量（数值）.
可能性大小
（2）概率与频率的关系：随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅
度会缩小,即事件发生的频率会逐渐________事件 发生的概
率,称频率的这个性质为频率的稳定性，可以用频率 估计概
率 .
稳定于
常用结论
互斥事件概率加法公式的推广：若事件,，， ， 两两互
斥，则
.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）某人去市场挑选水果，至少挑选一种水果和至多挑选一种水果
是对立事件.( )
×
[解析] 若至少挑选一种水果，则挑选的水果种数大于或等于1，
若至多挑选一种水果，则挑选的水果种数小于或等于1.
当挑选的水果种数为1时，这两种情况同时发生，
故至少挑选一种水果和至多挑选一种水果不对立.
（2）某幼儿园给小朋友们准备节日灯笼，已知箱子里有6个灯笼，
其中4个已经安装好，可以正常发光，另外2个还未安装好，不能发
光，每次随机取出一个进行检验，取后不放回，直到确定出所有不
发光的灯笼后停止，则检验4次后停止的概率为 .( )
×
[解析] 检验4次后停止的概率 .
（3）若事件和事件是同一样本空间的子集，事件 发生的概率为
,事件发生的概率为，，则事件 与事件
对立.( )
×
[解析] 若事件与事件对立，则 ；
若，则事件与事件 有可能同时发生，不一定对立.
题组二 教材改编
1.向一个目标射击两次，用表示“命中目标”， 表示“没有命中目标”，
则该试验的样本空间 ______________.
,,,
[解析] 由题意可知该试验的样本空间,,, .
2.在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件
都是一级品”为事件，则 的对立事件是______________________.
3件中至多有2件一级品
[解析] “3件都是一级品”为事件，
则 的对立事件为“3件不都是一级品”，即“3件中至多有2件一级品”.
3.从存放号码分别为1，2，3， ，10的卡片的盒子里，有放回地取
100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 17 8 5 7 6 9 18 9 12 9
则取到的号码为奇数的频率为_____.
0.58
[解析] 由题表知，取到的号码为奇数的次数是
，
所以取到的号码为奇数的频率为 .
4.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1，2，3，4，5，
6），事件“朝上一面的数是奇数”，事件 “朝上一面的数不超
过3”，则 __.
[解析] 事件 “朝上一面的数是1，2，3，5”，
所以 .
探究点一 事件的关系与运算
例1（1）[2026·山东潍坊模拟]从装有3个红球和3个黑球的口袋内任
取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少一个红球和都是红球 B.至少一个黑球和都是红球
C.至少一个黑球和至少一个红球 D.恰有一个红球和恰有一个黑球
√
[解析] 对于A，至少一个红球和都是红球不互斥，当3个球都是红球
时同时发生，A错误；
对于B，至少一个黑球和都是红球互斥且对立，B错误；
对于C，至少一个黑球和至少一个红球不互斥，
当取出一个黑球两个红球时两事件同时发生，C错误；
对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球互斥但不对立，
当取出的都是红球或都是黑球时，两个事件都不发生，D正确.故选D.
（2）（多选题）某人连续投篮三次，每次投一球，记事件 为“三次
都投中”，事件为“三次都未投中”，事件 为“恰有两次投中”，事件
为“至少有两次投中”，则( )
A. B. C. D.
[解析] 设为三次投篮命中次，,1,2,3，
则, , ,，可得，
所以， ，，，
故A，C，D正确，B错误.故选 .
√
√
√
总结反思
互斥事件、对立事件的判断
定义法 不可能同时发生的两个事件为互斥事件;
两个事件中,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立
事件;
对立事件一定是互斥事件
集合法
【对点演练1】 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件 “点数不
大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”， “点数为偶数”，
则下列结论正确的是( )
A.，为对立事件 B.， 为互斥事件
C.，为对立事件 D.， 为互斥事件
√
[解析] 由题可得，样本空间， ，
，，.
对于A， ，所以，不互斥也不对立，故A错误；
对于B， ，所以，不互斥，故B错误；
对于C，因为， ，所以，为对立事件，故C正确；
对于D， ，所以， 不互斥，故D错误.故选C.
探究点二 古典概型
例2（1）[2026·湖北武汉模拟]高三（1）班班主任从4名男同学和2名
女同学中随机选出3人去参加志愿服务活动，则选出的3人中至少有2
名男生的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 从6名学生中任选3人，样本空间中有 （个）样本点，
选出的3人中至多有1名男生包含的样本点个数为 ，
所以所求概率为 .故选C.
√
（2）从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任选3个不同的数排成一个
数列，则得到的数列为等差数列的概率为( )
A. B. C. D.
[解析]从给定的7个数中任取3个排成一个数列,样本空间中包含 个样本点.
若得到的数列为等差数列，则当公差为时有 个，
当公差为时有个，当公差为时有 个，
所以得到的数列为等差数列包含的样本点共 （个），
所以得到的数列为等差数列的概率为 .故选A.
√
（3）将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）
连续抛掷三次，求下列事件的概率.
①点数都为奇数；
解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷三次，
样本空间包含的样本点总数为 ，
设事件“点数都为奇数”，则事件包含的样本点有 个，
所以点数都为奇数的概率 .
②至少出现一次3点；
解：设事件“至少出现一次3点”，
则其对立事件 “没有出现3点”，事件包含的样本点有个，
则 ，
所以至少出现一次3点的概率为 .
③三个点数之和为8.
解：三个点数之和为8包含的样本点有,,, ,
,,,,,,,, ,
,,,,,,, ，共21个，
所以三次点数之和为8的概率为 .
总结反思
计算古典概型的概率问题的一般步骤:
（1）判断试验样本空间中每个样本点的发生是否是等可能的,并通过
列举或计算得到样本空间中样本点的总数 ;
（2）找出事件所包含的样本点,得到包含的样本点的个数 ;
（3）利用公式 ,求出概率
.
【对点演练2】（1）从《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》
《四元玉鉴》《张邱建算经》这5部书籍中任意抽取2部，则抽到
《九章算术》的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 用，，，， 分别表示《周髀算经》《九章算术》《海
岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，
从上述5部书籍中任意抽取2部，
则样本空间,,,,,,,,, ,可知，
设抽到《九章算术》为事件，
则， ，，，可知，
所以 .故选D.
（2）[2025·湖南郴州模拟]抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点
数分别为，，则 的概率为( )
A. B. C. D.
[解析]抛掷一枚质地均匀的骰子两次,样本空间中共有(个)样本点.
设 为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
依次得到的点数，满足，
则中包含的样本点有,, ，共3个，所以，
所以，故 的概率为 .故选D.
√
探究点三 概率的基本性质的应用
例3（1）[2025·河南驻马店质检]设随机事件， 满足
，，则 ( )
A.0.4 B.0.35 C.0.25 D.0.1
[解析] 因为 ，
，
所以 ，
又 ，
所以 .故选D.
√
（2）[2026·河北邯郸期末]抛掷一红一绿两枚质地均匀的正方体骰子，
记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用 表示绿色骰
子的点数，用表示一次试验的结果.设 “两个点数之积是偶
数”，“至少有一枚骰子的点数为5”，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 样本空间
，共36个样本点.
事件包含的样本点有
共27个，所以.
事件包含的样本点有
共11个，所以.
事件包含的样本点有 共6个，
所以 .
所以 .故选D.
总结反思
求复杂的事件的概率一般有两种方法:（1）直接法,将所求事件的概
率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;（2）间接法,先求该事件
的对立事件的概率,再由 求解,当题目为“至多”“至少”
型问题时,多考虑用间接法.
【对点演练3】（1）已知随机事件和互斥，和 对立，且
,，则 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7
[解析] 由和对立，可得，则 ，
又由随机事件和互斥可知 ，
所以 .故选D.
√
（2）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立
攻克该难题的概率为 ，甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为
，则该难题被攻克的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设表示“甲独立攻克该难题”， 表示“乙独立攻克该难题”，
则，
设，由题意可得 ，
即 ，
可得，解得 ，所以该难题被攻克的概率为
.故选B.
（3）（多选题）[2026·山东济南模拟]已知某古典概型的样本空间
及事件和事件满足，， ，
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意得 ,
, ，
所以,， ，
.故选 .
探究点四 频率与概率
例4（1）[2026·湖北咸宁模拟]根据统计，某篮球运动员在1000次投
篮中，命中的次数为860，则该运动员( )
A.投篮10次至少有8次命中 B.投篮命中的频率为0.86
C.投篮命中的概率为0.86 D.投篮100次有86次命中
√
[解析] 由题意可知投篮命中的频率为 ，
而频率可能比概率大也可能比概率小，概率是频率的稳定值，
二者不一定相等，故B正确，C错误；
投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，
每一次的结果都是随机的，其结果可能是一次都没中，
也可能是1次投中，2次投中等，
频率和概率只反映事件发生的可能性的大小，不代表事件一定会发生，
故A，D错误.故选B.
（2）[2025·江西景德镇期中]某著作中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓
收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取
米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为( )
A.361石 B.341石 C.314石 D.360石
[解析] 因为抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，
所以样本中米内夹谷的频率为，
则这批米内夹谷约为 （石）.
故选A.
√
总结反思
概率研究的是“应该发生的可能性”，频率研究的是“实际发生的可能
性”.只要观察地足够久、足够多，“实际发生的可能性”就会无限接近
“应该发生的可能性”，即频率会无限接近概率.
【对点演练4】（1）下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员号称“百发百中”，若他罚球三次，则不会出现三
投都不中的情况
B.随机事件发生的概率与试验次数无关
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖
一元
D.一枚骰子掷一次得到2的概率是 ，则掷6次一定会出现一次2
√
[解析] 对于A选项,一名篮球运动员号称“百发百中”，
若他罚球三次,也可能出现三投都不中的情况,A错误；
对于B选项,随机事件发生的概率是一个固定的值,与试验次数无关,B正确；
对于C选项,买彩票中奖的概率为万分之一，
是指买彩票有万分之一的可能性中奖，
而不是指买一万元的彩票一定会中奖一元，C错误；
对于D选项,一枚骰子掷一次得到2的概率是 ，
掷6次出现2的次数不确定,可能是1次,也可能是2次或者其他次数，
D错误.故选B.
（2）某学校乒乓球比赛中，学生甲和学生乙比赛三局（采取三局两
胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率是0.3.利
用计算机模拟试验，计算机产生 之间的随机整数，当出现随机
数时，表示一局比赛甲获胜，其概率是 ，由于要比赛三局，
所以每三个随机数为一组.已知产生的20组随机数如下表：
603 099 316 697 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 378 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲最终获胜的概率为( )
A.0.9 B.0.95 C.0.8 D.0.85
√
[解析] 设事件为 “甲最终获胜”，20组随机数中，
表示事件 发生的有16组，所以 .故选C.
【备选理由】例1是古典概型概率计算问题，强化训练；
例1 ［配合探究点二使用］
（1）从集合 中任取三个数，则取出的三个数之和是3
的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设集合，，，
从集合 ，2，3，4，5，6，7， 中任取三个数的和为3的倍数，
分为两类情形，一类是从集合或 中取三个数，
一类是从三个集合中各取一个数，
所以所求概率是 .故选B.
（2）[2026·山东聊城模拟]如图，,,, 四个开关控制着五盏灯，
其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关
控制着3，4，5号灯，开关 控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均
是亮的，现先后按动,,, 这四个开关中两个不同的开关，则其中
2号灯亮的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 先后按动,,, 这四个开关中两个不同的开关，
样本空间有 （个）样本点.
2号灯亮有两类情形：
第一类，按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，
此时对应的样本点有（个）,两个开关进行全排列 ；
第二类，按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，
此时对应的样本点有（个） ,两个开关进行全排列.
故2号灯亮的概率为 .故选B.
（3）（多选题）在一个不透明的袋子中，装有大小、材质相同的2
个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第 次取到红
球”，“第次取到绿球”，其中 ,2，则下列说法正确的是
( )
A.若有放回地抽取，则
B.若有放回地抽取，则
C.若不放回地抽取，则
D.若不放回地抽取，则
√
√
√
[解析] 将2个红球分别编号为,，3个绿球分别编号为,, .
对于A，B，若有放回地抽取,则样本空间,,,,, ，
共包含25个样本点，
其中,,,,,, ，包含10个样本点，
,,,,,, ，包含10个样本点，
,,,,,,, ，包含15个样本点，
,,,,,,, ，包含15个样本点，
所以， ，故A错误.
因为,,,, ，包含6个样本点，
可得 ，故B正确.
对于C，D，若不放回地抽取，则样本空间,,,,,,
,,,,,,,,,,,,, ，共包含20个样本点，
因为事件,,,,, ,包含6个样本点,
所以，故C正确.
因为, , ,,,,,,,,,,, ,
包含14个样本点，所以，故D正确.故选 .
例2 ［配合探究点二使用］
（1）在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这2个点所在直线平
行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例2是古典概型与立体几何、统计相结合问题，
加强知识间的联系与融合.
[解析] 如图，将直线分成3类情况：
,, 均平行于上底面或下底面，
有（条）；
, 均不平行于正三棱柱的底面或侧面；
均平行于某个侧面，有 （条）.
又从每条棱的中点中任取2个点，可确定的直线的条数为 ，
所以所求概率为 . 故选D.
（2）[2026·湖北宜昌期中]将95，96，97，98，99这5个数据作为总
体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平
均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意可知，总体平均数为97，
从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，
样本空间中样本点总数为 ，
其中满足样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的样本点有
,,,,,,, ,共8个，
故该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为 ．
故选D.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·四川成都调研]给出下列说法，其中正确的是( )
A.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B.买彩票中奖的概率是 ，那么买1000张彩票一定能中奖
C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从 共10
个整数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D.昨天没有下雨，则说明气象局预报昨天“降水的概率为 ”是错
误的
√
[解析] 对于A选项，先确定一名学生的生日，
则另外一名学生的生日与其相同的概率为 ，故A错误；
对于B选项，买彩票中奖的概率是 ，这是中奖的可能性，
不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误；
对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确；
对于D选项，概率是一种可能性，不代表对应事件一定发生，
若对应事件没有发生，也不能说明之前对概率的预报是错误的，
故D错误. 故选C.
2.[2025·河北秦皇岛质检]投掷两枚质地均匀的骰子，记事件 为“两
枚骰子朝上的点数均为偶数”，事件 为“两枚骰子朝上的点数均为奇
数”，则( )
A.为必然事件 B. 为不可能事件
C.与为互斥但不对立事件 D.与 互为对立事件
[解析] 显然与都是随机事件，且与 不能同时发生，
但可能同时不发生，故与 为互斥但不对立事件.故选C.
√
3.某人连续投篮两次,下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为( )
A.至多有一次投中 B.至少有一次投中
C.恰有一次没有投中 D.两次都投中
[解析] 某人连续投篮两次，可能结果为第一次投中第二次没投中，
第一次没投中第二次投中，第一次投中第二次投中，
第一次没投中第二次没投中，共4种.
事件“恰有一次投中”包含第一次投中第二次没投中和
第一次没投中第二次投中，
结合选项可知，与事件“恰有一次投中”互斥的是“两次都投中”.故选D.
√
4.已知两个随机事件和，其中，， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为和 是两个随机事件,
所以 ，
则 .故选D.
√
5.[2026·沈阳期末]某厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质
检，发现其中有5件不合格，则估计该厂这20万件产品中合格产品有
( )
A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.2万件
[解析] 由题意得，合格率为 ，
因此估计该厂这20万件产品中合格产品有 （万件）.故选C.
√
6.已知事件与事件 是互斥事件，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，B，C，设随机试验为抛掷一枚质地均匀的骰子，
观察朝上的点数，事件，，
则事件与事件 是互斥事件，
此时， ， ，
所以，A错误；
， ，，B错误；
，C错误；
因为事件与事件是互斥事件，所以 ，
所以 为必然事件，所以 ，D正确.故选D.
7.[2026·长沙模拟]有10张卡片，其中有8张标有数字2，有2张标有数
字5.从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为，则
的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，从10张卡片中任意抽出3张卡片，
所有样本点总数为.
抽出的3张卡片上的数字之和 的情况为抽出一个5两个2或者
抽出两个5一个2.
若抽出一个5两个2，则包含的样本点个数为；
若抽出两个5一个2，则包含的样本点个数为 .
则满足的样本点个数为，所以 .
故选C.
8.（多选题）某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的酸奶，同时尽
量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据：
日销售量/杯
天数 4 6 9 5 6
以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是( )
A.估计平均每天销售50杯酸奶（同一组区间以区间的中点值为代表）
B.若当天准备55杯酸奶，则售罄的概率为
C.若当天准备45杯酸奶，则卖不完的概率为
D.这30天酸奶日销售量的 分位数是65杯
√
√
√
[解析] 对于A，估计平均每天酸奶的销售量为
(杯)，A错误；
对于B，日销售量不小于55杯的概率为 ，B正确；
对于C，日销售量小于45杯的概率为 ，C正确；
对于D，，因此这30天酸奶日销售量的 分位数是65杯，
D正确.故选 .
9.[2026·重庆八中模拟] 在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙
进入了决赛（比赛采用三局两胜制，要求比满三局），假设每局比赛
甲获胜的概率为0.6.现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先
由计算机产生 之间的随机整数，指定1，2，3表示一局比赛中甲
胜，4，5表示一局比赛中乙胜，经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为_____.
0.65
[解析] 20组随机数中，表示甲获得冠军的有
334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115，共13组，
所以估计甲获得冠军的概率为 .
10.甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）
玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙
后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）写出甲、乙抽到牌的所有样本点.
解：分别用2，3，4， 表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有样本点为,,,,,,
,,,,, ，共12个.
（2）设事件“乙抽到的牌的数字比3大”，求事件 发生的概率.
解：事件,,,,, ，
共含有6个样本点，故 .
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜，否则乙
胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
解：“甲抽到的牌的数字比乙的大”包含的样本点有,, ,
,，共5个，则甲胜的概率为，乙胜的概率为 ，
因为 ，所以此游戏不公平.
◆ 综合提升 ◆
11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能
地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概
率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得，质点移动4次，样本空间中的样本点总数为
.
质点位于原点左侧的可能结果为：向左移动4次；
向左移动3次，向右移动1次.
向左移动4次，包含1个样本点，为（左,左,左,左）；
向左移动3次，向右移动1次，包含4个样本点，分别为（左,左,左,右）,
（左,左,右,左）,（左,右,左,左）,（右,左,左,左）.
所以质点位于原点左侧共包含5个样本点，
由古典概型的概率公式可得，质点位于原点左侧的概率为 .故选A.
12.[2026·浙江杭州联考]设,是一个随机试验中的两个事件，记,
分别为事件,的对立事件，且,, ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以 .
又 ，
所以 ，
故 .故选D.
13.（多选题）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语
言类节目，如果不放回地从中依次抽取2个节目，则( )
A.第1次抽到舞蹈节目的概率为
B.第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为
C.第2次抽到语言类节目的概率为
D.在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
√
√
√
[解析] 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件 ，
“第2次抽到舞蹈节目”为事件 ，“第2次抽到语言类节目”为事件C.
对于A，从6个节目中不放回地依次抽取2个， ，
根据分步乘法计数原理有，
所以 ，故A正确；
对于B，，则 ，故B错误；
对于C，，则 ，故C正确；
对于，，故D正确.故选 .
14.[2026·湖南常德模拟] 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，
在不透明的盒子中装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三
个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中
任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一、二、
三等奖.班委会讨论了以下两种规则.
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数，则获一等奖；若抽到两
个白球且标号和为偶数，则获二等奖；若抽到两个球的标号和为奇
数，则获三等奖；其余情形不获奖.#1.1
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数，则获一等奖；若抽到两
个球的标号和为5的倍数，则获二等奖；若抽到两个球的标号和为偶
数,且不是5的倍数，则获三等奖；其余情形不获奖.#1.2
（1）分别求两种规则下获得二等奖的概率；
解：据题意，两次抽取小球的所有样本点为,,, ,
,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,, ，共25个.
记“规则一获得二等奖”为事件，“规则二获得二等奖”为事件 ，
事件包含的样本点为,,,, ,共5个,故 .
事件包含的样本点为,,,, ,共5个,故 .
（2）请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由.
解：两种规则的获奖概率一样大.理由如下.
记规则一获得一、二、三等奖分别为事件,, .
由（1）可知事件包含的样本点为, ，共2个，
所以 .
事件包含的样本点为,,,,,,, ,
,,,,共12个，所以 .
由（1）知 ，所以规则一的获奖概率
.
记规则二获得一、二、三等奖分别为事件,, .
事件包含的样本点为,，共2个，所以 .
事件包含的样本点为,,,,,,, ,
,,,，共12个，所以 .
由（1）知 ，所以规则二获奖的概率
.
因为 ，
所以两种规则获奖的概率一样大.
【知识聚焦】1. 每个可能 样本点 2. 子集 一个 一定发生 一定不发生
3. 一定发生 至少有一个 同时 不能同时发生 4.（1）有限 相等 （2）
5.
6.（1）可能性大小（2）稳定于
【课前演练】（1）× （2）× （3）× 1. ,,, 2. 3件中至多有2件一级品 3. 0.58 4.
课堂考点探究
例1（1）D （2）ACD 【对点演练1】C 例2（1）C （2）A （3）① ② ③
【对点演练2】（1）D （2）D 例3（1）D （2）D 【对点演练3】（1）D （2）B （3）BCD
例4（1）B （2）A 【对点演练4】（1）B （2）C
教师备用习题
例1（1）B （2）B （3）BCD 例2（1）D （2）D
夯实基础
1. C 2. C 3. D 4. D 5. C 6. D 7. C 8. BCD 9. 0.65
10.（1）样本点略 （2） （3）游戏不公平.
综合提升
11. A 12. D 13. ACD
14.（1）规则一获得二等奖的概率为，规则二获得二等奖的概率为
（2）两种规则的获奖概率一样大

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