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第60讲　离散型随机变量的分布列和数字特征
【备选理由】 例1以排球比赛规则为背景命题,考查离散型随机变量的分布列与均值;例2与统计相结合,综合性强.
1 [配合探究点二使用] [2026·陕西汉中期末] 已知排球比赛采用五局三胜制,每球得分,前四局先得25分且领先2分者胜;决胜局先得15分且领先2分者胜.比赛排名采用积分制,积分规则如下:比赛中,以3∶0或3∶1取胜的球队积3分,负队积0分;以3∶2取胜的球队积2分,负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛,为预测它们的积分情况,收集了两队以往6局比赛的成绩,如下表:　　　　　　　　　
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率,且甲、乙每局的比赛结果相互独立.
(1)估计甲队每局比赛获胜的概率;
(2)如果甲、乙两队比赛1场,求甲队的积分X的概率分布列和数学期望;
(3)如果甲、乙两队约定比赛2场,求两队积分相等的概率.
解:(1)6局比赛中甲胜4局,则用频率估计概率可知,甲队每局比赛获胜的概率为=.
(2)由题意可知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=+×××=,P(X=1)=×××=,
P(X=2)=×××=,P(X=3)=×××+=,
可得X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(3)记“甲、乙比赛两场后,两队积分相等”为事件A,
设第i场比赛甲队、乙队分别积Xi分,Yi分,其中i=1,2,则Xi=3-Yi,
若两队积分相等,则X1+X2=Y1+Y2,
即X1+X2=(3-X1)+(3-X2),可得X1+X2=3.
又因为P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以P(A)=P(X1=0)P(X2=3)+P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=3)P(X2=0)=×+×+×+×=.
2 [配合探究点三使用] 某商场将年度消费总金额不低于10万的会员称为尊享会员,超过5万不足10万的会员称为星级会员.该商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各100名进行调研统计,其中抽到男性尊享会员20名,女性尊享会员40名.
(1)完成下面的2×2列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,判断是否可以认为会员类型与性别有关联
单位:名
会员类型 性别 合计
男 女
尊享会员
星级会员
合计
(2)该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动,该活动以抽奖的形式进行,参与抽奖的会员从放有4个红球和3个白球(每个球除颜色不同外,其余完全相同)的抽奖箱中抽奖.抽奖规则为:①每次抽奖时,每名会员从抽奖箱中随机摸出2个球,若摸出的2个球颜色相同即为中奖,若颜色不同即为不中奖;②每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖.抽奖方案如下:
方案一:共进行两次抽奖,第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖;
方案二:共进行两次抽奖,第一次抽奖后将球不放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖.
会员甲欲参加本次抽奖活动,请从中奖次数的期望与方差的角度分析,会员甲选择哪种方案较好
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
解:(1)根据题中信息得到如下2×2列联表:
单位:名
会员类型 性别 合计
男 女
尊享会员 20 40 60
星级会员 80 60 140
合计 100 100 200
零假设为H0:会员类型与性别无关联.
由表中的数据可得χ2=≈9.524>6.635=x0.01,
所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为会员类型与性别有关联.
(2)设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为X,Y.
对于方案一,可知随机变量X的可能取值为0,1,2,
会员甲每次中奖的概率为==,则X~B,
所以E(X)=2×=,D(X)=2××=.
对于方案二,可知随机变量Y的可能取值为0,1,2,
P(Y=0)=·=,P(Y=2)=·+·=,
P(Y=1)=·+·+·=,
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×=,
D(Y)=02×+12×+22×-=-=.
因为E(X)=E(Y),D(X)第60讲 离散型随机变量的分布列和
数字特征
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
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答案核查【作】
【课标要求】
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.
◆ 知识聚焦 ◆
1.离散型随机变量
对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ,都有唯一的实数
与之对应,称 为随机变量.
可能取值为________或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
有限个
2.离散型随机变量的分布列
（1）定义：设离散型随机变量的可能取值为,, ,,称 取每
一个值的概率，,2， ,为 的概率分布列,简
称分布列.
（2）表示
X …
P …
（3）性质：,,2, , ;
.
3.均值与方差
（1）______________________为随机变量 的均值
或数学期望（简称期望）,它反映了随机变量取值的__________.
（2） ________________________________________________
_________
为随机变量 的方差,它反映了随机变量
取值的__________,称为随机变量 的标准差.
平均水平
离散程度
（3）性质：①若,为常数，则
__________.
②若,为常数，则 ________.
③ .
4.两点分布
（1）定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”, 表示
“失败”,定义如果,则,那么 的分
布列如下表所示,
0 1
称随机变量服从两点分布或 分布.
（2）均值与方差
若随机变量服从两点分布,则, .
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )
√
[解析] 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，故
正确.
（2）如果随机变量的分布列由下表给出，则 服从两点分布.( )
3 4
×
[解析] 随机变量 的取值为0和1的分布才是两点分布，故错误.
（3）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.( )
√
[解析] 根据随机变量的概念，可得随机变量的取值可以是有限个，
也可以是无限个，故正确.
（4）离散型随机变量的期望反映了 取值的概率的平均值.
( )
×
[解析] 离散型随机变量的期望反映了 取值的平均水平，故错误.
题组二 教材改编
1.已知随机变量的分布列如下表，且，则
____.
0 1 2 3
0.1 0.1
0.2
[解析] 由题得解得，因此 .
2.已知随机变量服从两点分布，且， ，
则 __.
[解析] 由题意可知，解得 .
3.已知随机变量 的分布列为
1 2 3 4 5
0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
则 _____.
10.4
[解析] 由题得
，
则 .
探究点一 分布列及其性质
例1（1）[2026·湖北武汉期末]已知随机变量 的分布列为
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得
.故选C.
√
（2）设离散型随机变量的分布列为, ,2,3，
其中为常数，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得，解得 ，
所以 .
故选A.
√
总结反思
离散型随机变量分布列的性质的作用：
（1）利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;
（2）可以求某些特定事件的概率;
（3）可以根据性质判断所得分布列是否正确.
【对点演练1】（1）[2026·江西吉安模拟]已知随机变量 的分布列为
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，
因为 ，
所以，化简得，解得 ，
所以，所以 .故选B.
√
（2）[2026·哈尔滨调研]离散型随机变量 的分布列如表：
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量，则 ( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
[解析] 由分布列的性质可得 ，解得
.
因为 ，所以
.故选D.
√
探究点二 离散型随机变量的均值与方差
例2（1）（多选题）[2026·广东江门期末]已知离散型随机变量 的分
布列如下表所示：
0 1 2
0.36
则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 根据分布列的性质可知，解得
或，
又因为，，所以 ，故A错误，
B正确；
，故C正确；
，故D正确.故选 .
（2）不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球，
现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到取出黑球时停止取球，
则取球次数的数学期望 _ _.
[解析] 取球次数的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
故取球次数 的数学期望
.
（3）某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.
顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为 ，每次抽取乙奖券中奖的概率
为 ，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽
取1张乙奖券.
①求该顾客至少中奖1次的概率；
解：设事件为“该顾客至少中奖1次”，则事件 为“该顾客没有一次
中奖”，则 .
②设该顾客中奖的总次数为，求 的分布列和数学期望.
解：由题可得 的取值为0,1,2,3， ，
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2 3
0.18 0.42 0.32 0.08
数学期望 .
总结反思
1.求离散型随机变量 的分布列的一般步骤:
（1）理解的意义,写出 的全部可能取值;
（2）求 取每个可能值的概率;
（3）写出 的分布列.
2.求离散型随机变量 的均值与方差的方法:
（1）理解随机变量的意义,求出 的分布列;
（2）由均值与方差的定义求出与 .
注意, 的应用
（其中, 为常数）.
【对点演练2】（1）[2026·福建福州模拟]随机变量 的分布列为
0 1 2
0.2
已知，则 ( )
A.0.64 B.0.32 C.0.16 D.0.08
√
[解析] 根据题意可得解得
则
.故选C.
（2）（多选题）[2026·辽宁沈阳质检]已知随机变量 满足
，则( )
A. B.
C. D.记，则
√
√
√
[解析] 由随机变量满足 ，可得
，解得 ，所以A正确；
，
所以B正确；
，所以C错误；
因为，所以 的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以，所以D正确.故选 .
（3）在信道内传输0，1信号，信号的发射和接收都有， 两种模
式，若发射与接收的模式相同，则接收的信号与发射的信号相同，
若发射与接收的模式不同，则接收的信号与发射的信号也不同，每
次发射和接收信号时，选择模式的概率均为，选择 模式的概率
均为 ，每次发射和接收相互独立．
①求一次信号传输中，接收的信号与发射的信号相同的概率；
解：一次信号传输中，接收的信号与发射的信号相同的概率为
.
②信号发射器从2个0和3个1中随机选择3个信号依次发射，记发射信
号1的个数为 ．
求 的分布列和数学期望；
解：由题意知 的所有可能取值为1，2，3，
且,, ，
所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
②信号发射器从2个0和3个1中随机选择3个信号依次发射，记发射信
号1的个数为 ．
当 时，求接收的信号是2个0和1个1的概率．
当 时，发射的信号为1个0和2个1.
要使接收的信号为2个0和1个1，有下列两种情况：
这3个信号发射与接收的均不相同，概率 ；
其中1个1被接收为0，另外2个信号发射与接收的相同，概率
.
故当 时，接收的信号为2个0和1个1的概率为
.
探究点三 均值与方差中的决策问题
例3 某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四
等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，得到
如下数据：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
（1）根据产品等级，按比例分配的分层随机抽样的方法从这100件
产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中
一等品的数量为，求 的分布列及数学期望.
解：由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以 的可能取值为0，1，2，3，
且，， ，
，
则 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
（2）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产
品，求恰好有1件四等品的概率.
解：从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数
量为，
则，所以 .
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择.
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/（元/件） 24 22 18 16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
解：由题意得，方案二的产品的平均售价为
（元/件），
因为 ，所以从采购商的角度考虑，应该选择方案一.
总结反思
（1）反映了随机变量取值的平均水平, 反映了随机变量取
值的离散程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用
于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来
决定.
（2）表示随机变量对的平均偏离程度, 越大表明平
均偏离程度越大,说明的取值越分散;反之,越小说明 的取值越
集中在 附近.
【对点演练3】 甲同学参加学校举办的诗词竞赛，竞赛中有一类题
需要在给出的四个选项中选出与题干相符合的选项，已知选项中有
两项或三项是正确的，每道题满分6分．全部选对得6分，有错选或
全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分，正确答案为三项
时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的
概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中 ）．
（1）在一次模拟考试中，学生甲对某道多选题完全不会，决定随机
选择一个选项，若 ，求学生甲该题得2分的概率.
解：记事件为“正确答案为两个选项”，事件 为“学生甲得2分”，
则 ，
即学生甲该题得2分的概率为 .
（2）针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项；Ⅱ：随机选两个选项；Ⅲ：随机选三个选项．
（ⅰ）若 ，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
解：记为从四个选项中随机选择一个选项的得分，则 的可能取值
为0，2，3.
当时， ，
，
，
所以 的分布列为
0 2 3
则数学期望 .
（ⅱ）以本题得分的数学期望为决策依据，当唯独选择方案Ⅰ最好时，
求 的取值范围.
解：记为从四个选项中随机选择一个选项的得分， 的可能取值为
0，2，3，则 ，
，
，
所以 .
记为从四个选项中随机选择两个选项的得分， 的可能取值为0，4，6，
则 ，
，
，
所以 .
记为从四个选项中随机选择三个选项的得分， 的可能取值为0，6，
则 ，
，
所以 .
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则解得 ，
故的取值范围为 .
【备选理由】例1以排球比赛规则为背景命题，考查离散型随机变量
的分布列与均值；
例1 ［配合探究点二使用］[2026·陕西汉中期末] 已知排球比赛采用
五局三胜制，每球得分，前四局先得25分且领先2分者胜；决胜局先
得15分且领先2分者胜.比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，
以或取胜的球队积3分，负队积0分；以 取胜的球队积2分，
负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，
收集了两队以往6局比赛的成绩，如下表：
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲、乙每局的比赛结果相互独立．
（1）估计甲队每局比赛获胜的概率；
解：6局比赛中甲胜4局，则用频率估计概率可知，甲队每局比赛获
胜的概率为 .
（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分 的概率分布列和数学
期望；
解：由题意可知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，
，
可得 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率．
解：记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件 ，
设第场比赛甲队、乙队分别积分，分，其中 ,2，则
，
若两队积分相等，则 ，
即，可得 .
又因为，， ，
，
所以 .
【备选理由】例2与统计相结合，综合性强.
例2 ［配合探究点三使用］某商场将年度消费总金额不低于10万的
会员称为尊享会员，超过5万不足10万的会员称为星级会员．该商场
从以上两种会员中随机抽取男、女会员各100名进行调研统计，其中
抽到男性尊享会员20名，女性尊享会员40名．
（1）完成下面的列联表，并依据小概率值 的独立性检
验，判断是否可以认为会员类型与性别有关联？
单位：名
会员类型 性别 合计
男 女 尊享会员 ____ ____ ____
星级会员 ____ ____ _____
合计 _____ _____ _____
20
40
60
80
60
140
100
100
200
解：根据题中信息得到如下 列联表：
单位：名
会员类型 性别 合计
男 女 尊享会员 20 40 60
星级会员 80 60 140
合计 100 100 200
（2）该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动，该
活动以抽奖的形式进行，参与抽奖的会员从放有4个红球和3个白球
（每个球除颜色不同外，其余完全相同）的抽奖箱中抽奖．抽奖规
则为：①每次抽奖时，每名会员从抽奖箱中随机摸出2个球，若摸出
的2个球颜色相同即为中奖，若颜色不同即为不中奖；②每名会员只
能选一种抽奖方案进行抽奖．抽奖方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行
第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球不放回抽奖箱，直接
进行第二次抽奖．
会员甲欲参加本次抽奖活动，请从中奖次数的期望与方差的角度分
析，会员甲选择哪种方案较好？
附：，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
解：设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为, .
对于方案一，可知随机变量 的可能取值为0，1，2，
会员甲每次中奖的概率为，则, ，
所以， .
对于方案二，可知随机变量 的可能取值为0，1，2，
， ，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
所以 ，
.
因为， ,所以会员甲选择方案一较好.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·江苏南京期中]已知随机变量 的分布列如下表：
X 2 3 5
P
若，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知
解得 故选A.
2.随机变量服从两点分布，若 ，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为随机变量服从两点分布， ，所以
，所以A错误；
由题意得 ，所以
，所以B错误；
，所以C正确；
，所以D错误.故选C.
3.已知随机变量的分布列为 ，则
( )
A.104 B.100 C.34 D.7
[解析] 由题意知 ，
所以 .故选C.
√
4.小明射击三次，每次射中的概率均为 ，且每次射击互不影响，射
中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则
( )
A. B.12 C.15 D.18
√
[解析] 设小明射中的次数为 ，因为每次射击互不影响，且每次射
中的概率均为，所以随机变量，
则 ， .
又因为射中一次得5分，没射中得0分，射击三次后总得分为，
所以，则 .故选D.
5.离散型随机变量 的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.3
则与 的值分别是( )
A.，3 B.，2 C.，1 D. ，5
√
[解析] 根据题中分布列可得
，
，
则 .故选A.
6.随机变量服从两点分布，且，则当概率 在区间
内增大时，方差 的变化是( )
A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大
√
[解析] 由题可得 ，
.
因为是关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为直
线 ，
所以当从0增大到时，随着的增大而增大，当从 增大到1
时，随着的增大而减小，
因此，当在 内增大时，方差 先增大后减小.故选B.
7.已知随机变量有三个不同的取值，分别是0,1,，其中 ，
又，，则随机变量 的方差的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由,，可得 ，
所以随机变量的期望 ，
则方差
，
结合二次函数的性质及可得，
当 时，方差取得最小值，最小值为 .故选A.
8.已知随机变量满足，则 __，
__.
[解析] 由可得， ,
,，
则 ，
.
9.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机
取球，每次取1个球，如果取到标有数字5的球就停止取球，至多取3
次.记为这几次取出的球中数字的最大值，则的数学期望 ___.
[解析] 由题意可知，,2,3,4,5.
对于 ，当第一次取到5时，概率为，
当第二次取到5时，概率为 ，
当第三次取到5时，概率为，
所以 .
事件“”等价于“进行了3次抽样，结果均在, ,
中且不全在, ,中”，
又3次抽样包含的样本点总数为 ，
所以，，2，3，4.
因此 ，，，
.
所以 .
10.已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道
加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都
合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不
合格品，即刻停止加工.已知方案一每道加工工序合格的概率均为 ，
方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为， .该产品只有合格
品才能出厂销售.已知每件产品未加工之前的成本为10元.
（1）若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件
产品中只有一件产品为合格品的概率.
解：采用方案一生产的产品为合格品的概率为 ，
采用方案二生产的产品为合格品的概率为 .
故生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率
.
（2）已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120
元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30
元，售价为120元.若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断
该公司应采用哪种方案进行加工生产.
解：设方案一每件产品的利润为元，则的所有可能取值为 ,
,70，
, ,
，所以 的分布列为
70
则 .
设方案二每件产品的利润为元，则的所有可能取值为， ，70，
, ,
，则 的分布列为
70
则 .
因为 ，所以该公司应采用方案二进行加工生产.
◆ 综合提升 ◆
11.（多选题）[2026·广东梅州模拟]在一个不透明的盒子中装有材质、
大小完全相同的个小球，将它们分别编号为1，2，3， ， .每次
从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球
后停止摸球，记总的摸球次数为 ，则下列结论正确的是( )
提示：若,,则 .
A.
B.
C.，其中
D.
√
√
√
[解析] 对于A，当时，摸球3次，样本空间共有 （个）样
本点，其中恰好在第3次取完所有小球的样本点有
（个），则 ，故A正确.
对于B，， ，
则，故B错误.
对于C，当 时， ，
，
所以 ，故C正确.
对于D，，,3, ,
所以 的分布列为
2 3 … …
P … …
则 +…,
+…,
两式相减可得
,
所以，故D正确.故选 .
12.[2026·安徽皖西南示范中学期中] 将分别标有号码 的6个小球
平均分为两组，记这两组小球中最小的号码分别为, ，
，则数学期望 __.
[解析] 将6个小球平均分为两组，分组的方法有 种，
由题意可得的可能取值为1，2，3，
则 ，，
故 ，
所以 .
13.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随
机取3次，每次取1个球.记 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，
则的数学期望 ___.
[解析] 记随机变量
，2，3，4，5，则 ，由于每个小球
都相同，则每个的期望相同，
又 服从两点分布，所以，
又 ，所以 ，
则 .
14.某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五
局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率均为 .
（1）当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求 的分布
列和期望；
解：由题意知， 的可能取值为3,4,5，且甲在每局比赛中获胜的概率
均为 ，
当 时，甲连胜三局或乙连胜三局，
则 .
当 时，前三局甲胜两局负一局，第四局甲胜，或前三局乙胜两
局负一局，第四局乙胜，则
.
当 时，前四局甲胜两局负两局，第五局甲胜，或前四局乙胜两
局负两局，第五局乙胜，
则
.
所以 的分布列为
3 4 5
则 .
（2）甲以获胜的概率为，求 的最大值.
解：甲以 获胜，即前四局甲胜两局负两局，第五局甲胜，
所以, .
对求导得 ，
令，可得 ，
当时，，单调递增，当 时，
， 单调递减.
因此当时， 取得最大值，最大值为
.
知识聚焦
1.有限个
3.（1） 平均水平 （2）
离散程度 （3）

课前演练
（1）√ （2）× （3）√ （4）× 1.0.2 2. 3.10.4
课堂考点探究
例1（1）C （2）A 【对点演练1】（1）B （2）D 例2（1）BCD （2）
（3）①该顾客至少中奖1次的. ②的分布列为
0 1 2 3
0.18 0.42 0.32 0.08
数学期望.
【对点演练2】（1）C （2）ABD （3）①一次信号传输中，接收的信号
与发射的信号相同的概率为. ②的分布列为
1 2 3
.
当时，发射的信号为1个0和2个1.
当时，接收的信号为2个0和1个1的概率为.
例3（1）的分布列为
0 1 2 3
.
（2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的概率.
（3）从采购商的角度考虑，应该选择方案一，理由略.
【对点演练3】（1）学生甲该题得2分的概率为. （2）（ⅰ）数学期望.
（ⅱ）的取值范围为.
教师备用习题
例1（1）甲队每局比赛获胜的概率为. （2）的分布列为
0 1 2 3
.
（3）所求.
例2（1）20 40 60 80 60 140 100 100 200
依据小概率值的独立性检验，可以认为会员类型与性别有关联.
（2）会员甲选择方案一较好.
夯实基础
1.A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8. 9.
10.（1）生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率为.
（2）该公司应采用方案二进行加工生产.
综合提升
11.ACD 12. 13.
14.（1）的分布列为
3 4 5
.
（2）m>的最大值为.

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