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第61讲 二项分布与超几何分布、正
态分布
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过具体实例，理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能
解决简单的实际问题.
2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借
助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
4.了解正态分布的均值、方差及其含义.
◆ 知识聚焦 ◆
1. 重伯努利试验
（1）概念:将一个伯努利试验（只包含两个可能结果的试验）独立
地重复进行次所组成的随机试验称为 重伯努利试验.
（2）特性：①同一个伯努利试验重复做 次；②各次试验的结果相
互独立.
2.二项分布
（1）概念：一般地，在重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生
的概率为,用表示事件发生的次数,则 的分布列为
_______________，,1,2, ,,称随机变量 服从二
项分布,记作
（2）期望与方差：____, __________.
3.超几何分布
（1）概念：一般地，假设一批产品共有件,其中有件次品.从 件
产品中随机抽取件（不放回）,用表示抽取的 件产品中的次品数,
则的分布列为_ _______,,,, , ,其中
,,,,,,,, ,称
随机变量 服从超几何分布.
（2）特点：从含有个特殊元素的个元素中不放回地随机抽取 个
元素， 表示其中的特殊元素的个数.
（3）期望：____（其中 为次品率）.
注意：①二项分布与超几何分布的关系.令为次品率，设 表示
抽出的 个产品中次品的个数，则二项分布和超几何分的均值、方差
对比如下.
抽取方式 的分布
放回抽取 二项分布
不放回抽取 超几何分布
②在次试验中，某事件发生的次数 可能服从超几何分布或二项
分布．
区 别 当这次试验是独立重复试验时（如有放回摸球）， 服从二
项分布；
当这次试验不是独立重复试验时（如不放回摸球）， 服从
超几何分布
联 系 在不放回试验中，当总体数量很大，而试验次数 很小时，
，超几何分布可以用二项分布近似
4.正态分布
（1）正态曲线：,，其中， 为
参数，称为正态密度函数，函数 的图象为______________,
简称正态曲线.
正态密度曲线
（2）正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线______对称.
②曲线在______处达到峰值 .
③当无限增大时，曲线无限接近 轴.
④曲线与 轴围成的面积总为___.
⑤在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着 的变
化而沿轴平移，如图甲所示. 决定正态曲线的“胖瘦”: 越大,曲线
越“矮胖”; 越小,曲线越“瘦高”，如图乙所示.
1
（3）正态分布的定义及表示
①定义：若随机变量的概率分布密度函数为 ,则
称随机变量 服从正态分布，记为_____________.特别地，当
，时，称随机变量 服从标准正态分布.
②服从正态分布的随机变量的均值与方差：若 ，则
___, ____.
如果,那么 ,
,
.
常用结论
（1）当时， 的最大值：
若是正整数，则当或 时，
取得最大值；
若不是正整数，则当（不大于 的最
大整数）时， 取得最大值.
（2）若,则 ，
.
（3）两点分布是二项分布当 时的特殊情形.
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为 本，
则 服从超几何分布.( )
[解析] 从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为 本，
则 服从超几何分布.
√
（2）有放回地抽样试验是重伯努利试验，且在 重伯努利试验中，
各次试验的结果相互没有影响.( )
√
[解析] 在有放回地抽样试验中，每次抽取之间是相互独立的，每次
的试验结果之间是相互独立的，所以各次试验的结果相互没有影响.
（3）如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在 重伯努利试
验中这个事件恰好发生 次的概率
.( )
√
[解析] 如果在1次试验中某事件发生的概率是 ，根据独立重复试验
的概率公式，可得在重伯努利试验中这个事件恰好发生 次的概率
.
（4）服从正态分布的随机变量是离散型随机变量.( )
×
[解析] 服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.
题组二 教材改编
1.设随机变量服从正态分布 ，若
，则实数 ___.
6
[解析] 由随机变量服从正态分布，得, ，
因为，
所以，解得 .
2.某班有50名学生,其中15人选修课程,另外35人选修 课程,从该班
中任选2名学生,则他们选修不同课程的概率是__.
[解析] 从该班中任选2名学生，他们选修不同课程的概率
.
3.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次取1件），
若表示取得次品的次数，则 __.
[解析] 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率均
为，所以 ，
则
.
4.已知每门大炮击中目标的概率都是 ，现在4门大炮同时对某一目标
各射击一次.记目标被击中的次数为，则 的数学期望为__，方差为
__.
[解析] 由题意可得，所以 ，
.
探究点一 二项分布
例1（1）假设某厂包装食盐的生产线生产出来的每包食盐的质量
单位：服从正态分布 ，该生产线上的检测员某天随机
抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于 的概率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 每包食盐的质量不低于的概率为 ，随机抽取了四包食
盐，则四包食盐中质量不低于的包数服从二项分布 ，
所以恰有两包食盐的质量不低于的概率为
. 故选A.
（2）[2026·四川崇州期中]随机变量，若 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，，
又 ，，
，
，即，
又， ，，解得，
， .故选C.
（3）[2026·江西南昌二模] 为弘扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比
赛分为两个阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，
至少答对其中2个问题，可进入第二阶段，否则被淘汰.第二阶段分高分组
和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，
每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分
组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，选手甲
答对每个问题的概率都是 ；第二阶段，若选手甲进入高分组，则每个问
题答对的概率都是 ，若选手甲进入低分组，则每个问题答对的概率都是 .
①求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
解：选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答3个问题，其中有2个或3个
答对，其概率 .
②求选手甲在该次比赛中得分为40的概率；
解：选手甲在该次比赛中得分为40有两种情况：进入高分组且答对2
个问题，进入低分组且答对4个问题.
故选手甲在该次比赛中得分为40的概率
.
③已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中的得
分为，求随机变量 的分布列和期望.
解： 的可能取值为0,20,40,60,80，
, ，
, ，
，
0 20 40 60 80
所以 .
所以 的分布列为
总结反思
二项分布满足的条件:
①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的（题目中有“将频率视为
概率”时,每次试验中事件发生的概率就是相同的）;
②各次试验中的事件是相互独立的;
③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生;
④随机变量是 重伯努利试验中事件发生的次数.
【对点演练1】（1）一个袋子中有完全相同的 个红球，3个白球.若
采取不放回的方式从中随机摸出2个球，则摸出的2个球都是红球的
概率是 .现采取有放回的方式从中依次摸取3次，每次摸出1个球，
则恰有两次摸出红球的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，采取不放回的方式从中随机摸出2个球，摸出的2
个球都是红球的概率 ，
即，解得 （舍去负根），
所以袋中有2个红球，3个白球.
采取有放回的方式摸球时，每次摸到红球的概率为 ，
所以3次摸球中，恰有两次摸出红球的概率 .
故选A.
（2）[2026·浙江湖州期中] 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，
举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛参赛者从10道题中任意抽取3
道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道
题．规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者
每轮闯关成功的概率稳定且各轮是否闯关成功相互独立，问：小明
同学在10轮闯关比赛中，几次闯关成功的概率最大？
解：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，则小明一轮比
赛闯关成功的概率 ，
记小明在10轮闯关比赛中闯关成功的次数为，则 ，
故,,1, ,10.
当, 时，
令 ，且
，
可得，即 ，所以小明同学在10轮闯关比赛中，7次
闯关成功的概率最大.
探究点二 超几何分布
例2（1）[2026·浙江杭州模拟]一批零件共有10个，其中有3个不合
格．随机抽取3个零件进行检测，则恰好有1个不合格的概率是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从10个零件中抽取3个的样本点总数为 ，其中恰好有1个不
合格包含的样本点个数为 ，
根据古典概型的概率公式得所求概率 .故选B.
（2）某中学组织教职工篮球活动，高一年级有10名教师参加，其中
有6名男教师、4名女教师，为了满足活动的需要，要从这10名教师
中随机抽取3名教师去买比赛服装.
①已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名教师中至少有1名班主
任的概率；
解：因为10名教师中有2名班主任，所以10名教师中有8名不是班主任，
若抽取的3名教师中没有班主任，则有 种取法，
从10名教师中随机抽取3名教师的方法共有 种，
故抽取的3名教师中至少有1名班主任的概率为 .
②设表示抽取的3名教师中女教师的人数，求 的分布列及数学期望.
解： 的所有可能取值为0，1，2，3，
, ,
, ,
0 1 2 3
故 .
故 的分布列为
总结反思
超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的
个数.特征是:
①考查对象分两类;
②已知各类对象的个数;
③从中抽取若干个个体,考查抽到的某类个体数 的概率分布,其本质
是古典概型.
【对点演练2】（1）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和
4个白球，从中一次性随机摸出3个球，用 表示这3个球中白球的个
数，则下列概率中等于 的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球，从
中一次性随机摸出3个球，
则 表示从这10个球中随机摸3个球包含的样本点个数， 表示从
6个红球中摸出3个球包含的样本点个数，
则 表示从这10个球中随机摸3个球，至少有1个白球包含的样
本点个数，
所以 .故选C.
（2）[2026·江苏镇江期末] 某种植园为测试某款化肥的效果，从果
园中随机选取了90棵果树作为样本，对其中的30棵进行施肥试验，
一年后按照果树的产量情况得到如表所示的列联表．
单位：棵
化肥 产量 合计
正常 超常 未施肥 40 20 60
施肥 10 20 30
合计 50 40 90
①根据小概率值 的独立性检验，分析果树产量超常是否与
施肥有关联；
解：零假设为 果树产量超常与施肥无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即认为果树产量超常与施肥无关联.
②若从样本中进行施肥的30棵果树中选取3棵，记 为产量超常的果
树棵数，求 的概率分布列和期望．
附：， .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
解：施肥的30棵果树中，产量超常的有20棵，产量正常的有10棵，
从中选取3棵， 的可能取值为0,1,2,3，
，
则 ， ，
， ，
故 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
探究点三 正态分布
例3（1）[2026·山东淄博质检]已知随机变量 ,
，则 ( )
A.5 B.4 C.6 D.3
[解析] 由题意可知，对应正态曲线关于直线 对称，
因为，所以，解得 .
故选A.
√
（2）（多选题）设随机变量 ，随机
变量 ，其正态密度曲线如图所示，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为， ，所以
两条正态曲线分别关于直线, 对称，
由题中图可知，故A正确；
因为 ，所以，故B正确；
因为 的正态曲线比的正态曲线更“瘦高”，所以 ，故C错误；
因为，所以，故D正确.故选 .
总结反思
解决正态分布问题有三个关键点:
（1）正态曲线的对称轴直线 ;
（2）标准差 ;
（3）分布区间.
利用正态曲线的对称性可求随机变量在指定范围内的概率值,一般将
指定区间转化为 特殊区间,从而得到所求概率.
【对点演练3】（1）某工厂生产的零件尺寸 服从正态分布
，质检员随机抽取100个零件，则尺寸在 内的
零件个数约为参考数据： ( )
A.68 B.75 C.82 D.95
[解析] ，即, ，
，
质检员随机抽取了100个零件，
尺寸在 内的零件个数为 .故选A.
√
（2）[2026·云南昆明模拟] 某商场在劳动节假期期间开展了一项有
奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人
都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且
满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分由高到低排在
前400名的参加者发放奖励.
①假设该闯关活动每名参加者累计得分的平均数为171，累计得分在
351分以上的共有57人，已知甲的累计得分为270，问甲能否获得奖
励，请说明理由；
解：甲能够获得奖励，理由如下.
设此次闯关活动每名参加者的累计得分为，则 .
由题意可知，
因为 ，且
，所以，则.
而 ，且
，
可知累计得分高于 的人数不多于400，而甲的累计得分
为270，
所以甲能够获得奖励.
②丙得知他的累计得分为430，而乙告诉丙：“这次闯关活动每名参
加者累计得分的平均数为201，累计得分在351分以上的共有57人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则 ，
，
.
若，则可以认为 为小概率事件，其一般不可能发生.
解：假设乙所说信息为真，则 ，
，
又，所以 ，
从而 ，
因为 ，
所以 为小概率事件，即丙的累计得分为430是小概率事
件，可认为其一般不可能发生，但实际上却发生了，
所以假设不成立，可认为乙所说信息为假.
【备选理由】例1综合性强，涵盖了三个分布的考查；
例1 ［配合探究点一、二、三使用］（1）（多选题）[2026·湖南
师大附中期末]下列说法中正确的有( )
A.若随机变量，且，则
B.某物理量的测量结果， 越大，该物理量在一次测量
中的结果在 内的概率越大
C.已知随机变量，若 ，则
D.已知随机变量，若，则
√
√
[解析] 对于A，随机变量，且 ，则
，A正确；
对于B，， 越大，结果越分散，在 内的数据
越少，概率越小，B错误；
对于C， ，由，
得，解得 ，C正确；
对于D，，则，又 ，所以
，D错误.故选 .
（2）（多选题）[2026·河南南阳模拟]下列说法正确的是( )
A.若随机变量服从两点分布，且，则
B.某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6
只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为
C.若随机变量服从二项分布,，则
D.若随机变量服从二项分布,，且 ，则
，
√
√
√
[解析] 对于A，因为随机变量服从两点分布，且 ，所
以，所以 ，所以A正确；
对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为 ，所以B正确；
对于C，因为随机变量服从二项分布, ，
所以 ，
，
所以 ，所以C错误；
对于D，因为随机变量服从二项分布, ，
所以，，
又 ，
所以,，所以D正确.
故选 .
性别 了解情况 合计
不了解 了解 女 20 20 40
男 10 ______ ______
合计 ______ ______ 80
【备选理由】例2综合考查了统计及二项分布和正态分布问题.
例2 ［配合探究点一、三使用］为了调查同学们对“反诈”知识的了
解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表.
单位：人
（1）补全列联表，并依据小概率值 的独立性检验，判断该
校学生对“反诈”知识的了解情况是否与性别有关联.
解：完整的 列联表如下：
单位：人
性别 了解情况 合计
不了解 了解 女 20 20 40
男 10 30 40
合计 30 50 80
零假设为 该校学生对“反诈”知识的了解情况与性别无关联.
由列联表中数据可得
，
所以依据小概率值 的独立性检验，可以认为该校学生对“反
诈”知识的了解情况与性别有关联.
（2）用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，
记其中对“反诈”知识了解的人数为，求 的分布列及数学期望.
解：由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率是 ，
用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
其对“反诈”知识了解的概率为，则, ，
，
，
，
，
， ．
则 的分布列为
0 1 2 3 4 5
．
（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，
做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛学生的分数近似服从正
态分布，若某同学的分数满足 ，则该同
学被评为“反诈标兵”；若 ，则该同学被评为“反诈达人”.
（ⅰ）试判断分数为88的同学能否被评为“反诈标兵”；
解：依题意得,，因为 ，所以该同
学可被评为“反诈标兵”.
（ⅱ）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞
赛的学生人数（四舍五入后取整）.
附：，其中 ，
.
②若，则 ，
，
.
解：因为 ,
则估计参与本次知识竞赛的学生人数为 .
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.[2026·长春质检]已知随机变量，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 .故选D.
√
2.已知随机变量服从正态分布，且 ，则
( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
[解析] 因为随机变量服从正态分布，所以 ,
又，所以 ，
则 故选B.
√
3.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 ，则每
次射击击中目标的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 设每次射击击中目标的概率为 ，
因为至少有一次击中目标的概率为，
所以三次都未击中目标的概率为 ，即，
解得 .故选D.
√
4.袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，
其中取出红球的个数为，则 ( )
A.1.2 B.1.8 C.2 D.3
[解析] 由题意知， 的所有可能取值为1,2,3，
则，， ，
所以 .故选B.
√
5.[2026·河南商丘模拟]某初级中学对本校八年级的500名男生进行
1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间
（单位：分钟）服从正态分布，若 ，则估
计这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数为( )
A.1 B.5 C.9 D.50
[解析] 因为, ，
所以 ，
则估计这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数
为 .故选B.
√
6.[2026·河北石家庄调研]一个箱子中有
100个大小相同的球，其中有40个黄球，
60个红球，每次从中随机摸出1个，共
摸20次.用表示采取有放回的方式摸球时摸到黄球的次数，用 表示采
取不放回的方式摸球时摸到黄球的次数，， 的概率分布图如图所示，
则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知服从二项分布，
服从超几何分布，因此它们的期望相
同，
又因为 的取值更集中在均值附近，
所以 .故选A.
7.（多选题）已知盒子中有12个样品，其中6个不同的正品和6个不同
的次品，每次从中抽取1个样品，共抽5次.方案一：有放回抽样，记
取得次品的次数为；方案二：不放回抽样，记取得次品的次数为 .
则( )
A.
B.当或3时， 最大
C.
D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为
√
√
√
[解析] 由题可知， ，
所以，,1,2,3,4,5，
服从超几何分布，则， ,1,2,3,4,5.
对于选项A，， ，
，A错误；
对于选项B， ，由于，
故当或3时， 最大，B正确；
对于选项C，由二项分布及超几何分布的期望公式得
， ，C正确；
对于选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为 ，
方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，即前三次抽到样品的情
况为“正正次”或“正次次”或“次正次”或 “次次次”，
其概率依次为， ，
， ，
故第三次抽到次品的概率为，D正确.故选 .
8.（多选题）下列结论中，正确的是( )
A.若随机变量，则
B.若随机变量服从两点分布，且，则
C.若随机变量的分布列为，,0,1,2，则
D.若随机变量，则的分布列中概率最大的只有
√
√
√
[解析] 若随机变量，则 ，由正态分布的对称性可
知，A正确；
若随机变量服从两点分布，且 ，则分布列为
0 1
则，所以 ，
B正确；
若随机变量的分布列为， ,0,1,2，则
，解得 ，C正确；
若随机变量，设 ，且
，
即 ，且
，解得 ，
又，所以或3，则 的分布列中概率最大的有两项，为
和，D错误.故选 .
9.[2026·江苏扬州模拟] 一个盒子中有大小与质地均相同的20个小球，
其中白球 个，其余为黑球.
（1）当盒中的白球数 时，从盒中不放回地随机取两次，每次
取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用 表示事件“第二次取
到白球”，判断并说明事件与 是否相互独立；
解：事件与 不相互独立，理由如下.
当时，由题可得 ，
，
，
所以，所以事件与 不相互独立.
（2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个
球，若取得白球的个数是3，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球
的数量 为多少时，参与者获奖的可能性最大
解：由题可得从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率
，
则 ，
又 ，
当时，, ,
所以当时，当时 ，
所以 ，
所以当 时，参与者获奖的可能性最大.
◆ 综合提升 ◆
10.[2026·广东深圳联考]小张上班有四种方式：步行，骑自行车，乘坐公共
汽车，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用
随机变量,,, 来表示用这四种方式上班所用时间（单位：分钟）.经
数据分析可知，, ，,
.若某天有70分钟可用，为了保证上班不迟到的概率最大，则他
应该选择的上班方式为 ( )
(附： ,
， )
A.步行 B.骑自行车 C.乘坐公汽 D.自己开车
√
[解析] ①当小张步行上班时，由知， ,，
所以他上班不迟到的概率
.
②当小张骑自行车上班时，由知，, ，
所以他上班不迟到的概率
当小张乘坐公共汽车上班时，由 知，
,，所以他上班不迟到的概率 .
④当小张自己开车上班时，由知，, ，
所以他上班不迟到的概率 .
综上可得， ，
所以小张应该选择骑自行车上班.故选B.
11.（多选题）若，随机变量， ，则
( )
A.
B.当时，
C.当时，
D.当在变化时，的最大值为
√
√
√
[解析] 因为， ，所以由正态分布的性质可知
，故选项A正确.
因为 ，所以，即
，解得 或.
当时，；当时， .故选项B
错误.
当，即时，因为，所以 ，所以
，故选项C正确.
因为 ，所以 .
设函数 ，则
，
当时，，当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时， 取得最大值，最大值为
，故选项D正确.故选 .
12.（多选题）[2026·山东菏泽期末]如图，一个质点在随机外力的作用下，
从原点0出发，每经过 向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，
向右移动的概率为，各次移动互不影响.设移动 次后质点位于位置 ，
则下列结论正确的有( )
A.当时，
B.当时，
C.当时，质点共经过两次3的概率为
D.当时，的期望
√
√
√
[解析] 设 次移动中，向右移动
的次数为，则向左移动的次数为， ，则
.
对于A，当时，要使得 ，则向左和向右移动的次数均为2，
根据二项分布的概率公式得，
正确.
对于B,当 时，要使得 ，则向右移动3次，向左移动2次，
，B错误.
对于C，当 时，设表示向
右移动， 表示向左移动，若该质点共经过两次3，
则前5次的移动情况共有2种，即， ，
所以概率为 ，C正确.
对于D，因为，所以 .
因为，所以 ，则 ,当 时， ，D正确.故选 .
13.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安
全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑.为了解某大学的学生对无
人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：
对无人驾驶的态度 支持 中立 反对
频数 48 32 16
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，
且学生的态度相互独立.为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支
持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分.
（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率.
解：由题可知该校每名学生得1分的概率为 ，得3分的概率为
，得5分的概率为 ，
故从该校任选2名学生，他们的得分不相同的概率为
.
（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率.
解：因为 ，
所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为
.
（3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为 ，若
，则利用下面所给的两个结论，求正整数 的最
小值.
结论一：若随机变量，则随机变量 近似服从
正态分布 ；
结论二：若随机变量，则 ，
.
解：易知，设 ，
根据结论一，知 ，
根据结论二，知 .
由条件知 ，
所以，解得 ，所以正整数 的最小值为11.
知识聚焦
2.（1） （2） 3.（1） （3）
4.（1）正态密度曲线 （2） 1 （3）① ②
课前演练
（1）√ （2）√ （3）√ （4）× 1.6 2. 3. 4.
课堂考点探究
例1（1）A （2）C （3）①选手甲第一阶段不被淘汰.
②选手甲在该次比赛中得分为40的概率为.
③的分布列为
0 20 40 60 80
.
【对点演练1】（1）A （2）小明同学在10轮闯关比赛中，7次闯关成功的概
率最大.
例2（1）B （2）①抽取的3名教师中至少有1名班主任的概率为.
②的分布列为
0 1 2 3
.
【对点演练2】（1）C （2）①认为果树产量超常与施肥无关联.
②的分布列为
0 1 2 3
.
例3（1）A （2）ABD 【对点演练3】（1）A （2）①解：甲能够获得奖励，
理由略. ② 认为乙所说信息为假.
教师备用习题
例1（1）AC （2）ABD 例2（1）30 40 30 50 认为该校学生对“反诈”知识的
了解情况与性别有关联.
（2）的分布列为
0 1 2 3 4 5
．
（3）（ⅰ）该同学可被评为“反诈标兵”. （ⅱ）估计参与本次知识竞赛的学生人数
为.
夯实基础
1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.BCD 8.ABC
9.（1）事件与不相互独立.
（2）当时，参与者获奖的可能性最大.
综合提升
10.B 11.ACD 12.ACD
13.（1）从该校任选2名学生，他们的得分不相同的概率为.
（2）从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为.
（3）正整数的最小值为11.第61讲　二项分布与超几何分布、正态分布
【备选理由】 例1综合性强,涵盖了三个分布的考查;例2综合考查了统计及二项分布和正态分布问题.
1 [配合探究点一、二、三使用] (1)(多选题)[2026·湖南师大附中期末] 下列说法中正确的有 ( AC )
A.若随机变量X~N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0B.某物理量的测量结果X~N(2,σ2),σ越大,该物理量在一次测量中的结果在(1.8,2.2)内的概率越大
C.已知随机变量X~N(μ,σ2),若P(X>-2)+P(X≥6)=1,则μ=2
D.已知随机变量X~N(2,3),若Y=2X+1,则D(Y)=36
(2)(多选题)[2026·河南南阳模拟] 下列说法正确的是 ( ABD )
A.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则E(X)=
B.某实验室有6只小白鼠,其中有3只已经测量过某项指标,若从这6只小白鼠中随机取出3只,则恰好有2只测量过该指标的概率为
C.若随机变量X服从二项分布B,则P(X=5)>P(X=6)
D.若随机变量X服从二项分布B,且Y=3X-1,则E(Y)=15,D(Y)=16
[解析] (1)对于A,随机变量X~N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0-2)+P(X≥6)=1,得6-μ=μ-(-2),解得μ=2,C正确;对于D,X~N(2,3),则D(X)=3,又Y=2X+1,所以D(Y)=4D(X)=12,D错误.故选AC.
(2)对于A,因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,所以E(X)=0×+1×=,所以A正确;对于B,恰好有2只测量过该指标的概率为=,所以B正确;对于C,因为随机变量X服从二项分布B,所以P(X=5)==,P(X=6)==,所以P(X=5)=P(X=6),所以C错误;对于D,因为随机变量X服从二项分布B,所以E(X)=8×=,D(X)=8××=,又Y=3X-1,所以E(Y)=3E(X)-1=15,D(Y)=9D(X)=16,所以D正确.故选ABD.
2 [配合探究点一、三使用] 为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况,某校进行了一次抽样调查,统计得到以下列联表.
单位:人
性别 了解情况 合计
不了解 了解
女 20 20 40
男 10
合计 80
(1)补全列联表,并依据小概率值α=0.05的独立性检验,判断该校学生对“反诈”知识的了解情况是否与性别有关联.
(2)用频率估计概率,样本估计总体,从全校男生中随机抽取5人,记其中对“反诈”知识了解的人数为X,求X的分布列及数学期望.
(3)为了增强同学们的防范意识,该校举办了主题为“防电信诈骗,做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛学生的分数近似服从正态分布N(80,25),若某同学的分数Y满足μ+σ≤Y≤μ+2σ,则该同学被评为“反诈标兵”;若Y>μ+2σ,则该同学被评为“反诈达人”.
(i)试判断分数为88的同学能否被评为“反诈标兵”;
(ii)若全校共有50名同学被评为“反诈达人”,估计参与本次知识竞赛的学生人数(四舍五入后取整).
附:①χ2=,其中n=a+b+c+d,P(χ2≥3.841)=0.05.
②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
解: (1)完整的2×2列联表如下:
单位:人
性别 了解情况 合计
不了解 了解
女 20 20 40
男 10 30 40
合计 30 50 80
零假设为H0:该校学生对“反诈”知识的了解情况与性别无关联.
由列联表中数据可得χ2==≈5.333>3.841=x0.05,
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,可以认为该校学生对“反诈”知识的了解情况与性别有关联.
(2)由(1)知,样本中的男生对“反诈”知识了解的频率是,
用频率估计概率,样本估计总体,从全校男生中随机抽取一人,
其对“反诈”知识了解的概率为,则X~B,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)==,
P(X=5)==.
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
E(X)=5×==3.75.
(3)(i)依题意得μ=80,σ=5,因为μ+σ<88<μ+2σ,所以该同学可被评为“反诈标兵”.
(ii)因为P(Y>μ+2σ)=≈=0.022 75,
则估计参与本次知识竞赛的学生人数为≈2198.

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